Beispiele zu Teil 3: Differentialgleichungen 1. Geben Sie die Ordnung der nachstehenden DGL an und geben Sie an ob die DGL in ihrer impliziten oder in ihrer expliziten Form vorliegt. x 2 tx 2 0 xx t 0 x 10 9t 8 3x 4tx x ax bx 3 t ct 4 2. Lösen Sie die folgenden DGL. x 3t 2 5sint e x 4x 3 3. Finden Sie die allgemeine Lösung der DGL x 5t 2 x 0 wie lautet der integrierende Faktor? 4. Skizzieren Sie das Richtungsfeld, Isoklinen und einige Trajektorien für folgende DGL x 1 x t x t x 5. Die Kondensatorspannung U C im RC-Kreis mit einer Kapazität C 0, R 0 gehorcht nach dem Schließen des Schalters S der DGL RCU C U C 0. Der Kondensator C sei zum Zeitpunkt t 0 0 mit der Spannung U 0 geladen. Dann wird der Schalter S geschlossen. Berechnen Sie U C t für t t 0. 6. Die Ladung Q des Kondensators im RC-Kreis mit C 0, R 0 gehorcht der Gleichung RQ t Q t U C e. Das RC -Glied werde mit der Spannung U e t cos t angeregt. Zum Zeitpunkt 0 0 ist der Kondensator auf 1V aufgeladen. Berechnen Sie die Spannung U a t Q t,dieam C Kondensator anliegt. 7. Finden Sie die allgemeine Lösung der DGL x cx d c,d R 8. Löse das AWP x 2xt t und x 1 2 9. Man finde die allgemeine Lösung der folgenden DGL 3x e t 3t cosx x 0
10. Man finde die allgemeine Lösung der folgenden DGL x x 2 11. Man finde die allgemeine Lösung der folgenden DGL x 1 x2 t 12. Man finde die allgemeine Lösung der folgenden DGL 2t 3cosx 2x 3tsinx x 0 13. Man löse das AWP x x t t 2e t2, x 1 1 3 y ex x, y 1 1 1 t 2 x 4tx t, x 1 1 4 14. Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz genügt die Temperatur dt eines abkühlenden Körpers der DGL k T T dt U wobei k 0 konstant ist und T U die (bekannte) Temperatur der Umgebung darstellt. Ein Körper mit der Temperatur 400K wird in einen Raum mit der Temperatur 320K gestellt. DIe Raumtemperatur bleibt bei der Abkühlung des Körpers konstant. Nach 10 Minuten ist die Temperatur des Körpers auf 380K gesunken. Wie groß ist k, und wann hat der Körper 350K? 15. Bestimmen Sie die Stationärlösungen (Fixpunkte) und skizzieren Sie dann das Richtungsfeld, Isoklinen und einige Trajektorien für folgende autonome DGLen, ohne diese explizit zu lösen: x x x x 2 x 1 x 1 16. Man finde die allgemeine Lösung der folgenden DGL x t 1 x 2 17. Man finde die allgemeine Lösung der folgenden DGL x e 2t x 18. Man finde die allgemeine Lösung der folgenden DGL x sin 2 tcos 2 x 19. Man löse das AWP t 2 1 x 2 2xx 0, x 0 1 20. Man löse das AWP x x 2 x 0 1 3
21. Man löse das AWP x 2 x x t 0 0 22. DIe Konzentrations_DGL in mikrobiologischen Reaktoren lautet dc k 1c dt k 2 k c 1,k 2 0 dabei ist c t die zeitabhängige Konzentration der sich vermehrenden Mikrorganismen im Reaktor. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von c t. 23. Skizzieren Sie den Lösungsweg der folgenden DGL (sie brauchen die auftretenden Integrale nicht lösen) x 6x 2t 2x t 24. Man löse das AWP y y xe x x y 1 0 25. Man löse das AWP x tg x t x t x 1 /2 26. Man löse das AWP x t x x 2 t 2 x 1 0 27. Für den harmonischen Oszillator mit Turbulenzreibung ( r ) dt dt ergibt sich folgende DGL 1. Ordnung für die Geschwindigkeit als Funktion dv des Ortes x (Auslenkung) rv 2 x 1 v r 0. Finden sie die allgemine Lösung v x dieser DGL. 28. Verwandeln sie die DGL 2. Ordnung für den harmonischen Oszilator m d2 x kx t cx t k,c 0 in 2. DGLen 1. Ordnung und lösen Sie dt 2 diese für einige Integrationsschritte mit der Eulerschen Metode für die folgenden Anfangsbedingungen und Konstanten: k 0.2, c 0.1, m 1, x 0 100, x 0 10. Wählen Sie als Schrittweite bei der numerischen Integration t h 0.1. Wenn Sie über einen PC und geeignete Software (Fortran, Pascal, Basic, Mathematica...) verfügen versuchen Sie es damit und eventuell auch mit der verbesserten Euler Methode (Haun). Differentialgleichungen 2. Ordnung 1. Welche der folgenden Funktionenmengen sind linear abhängig über R a) e ax sinbx,e ax cosbx b 0 b) x m,x n x R m,n R c) sin x 1,sinx 2. Die DGL für das mathematische Fadenpendel bei kleinen.. Auslenkungen lautet g l
a) Berechenen Sie die allgemeine Lösung t. b) Lösen Sie das AWP 0 0,. 0 a c) Lösen Sie das AWP 0 0,. 0 0 d) Lösen Sie das AWP 0 0,. 0 a e) Zeigen Sie, daß die Lösung des AWP d) in der Form t Ccos t dargestellt werden kann und bestimmen Sie C, und 3. Finden Sie ein Fundamentalsystem für die folgende DGL d 2 y d 2 x 5 6y 0 Anschließend lösen Sie das AWP: y 0 a,y 0 0 4. Finden Sie ein Fundamentalsystem für die folgende DGL d 2 x d 2 t 2 dt 5x 0 Anschließend lösen Sie das AWP: x 0 a,x 0 0 5. Finden Sie ein Fundamentalsystem für die folgende DGL.. x 2 ẋ x 0 Anschließend lösen Sie das AWP: x 0 a,ẋ 0 0 6. Zeigen Sie: Ist x 1 eine von 0 verschiedene Lösung einer homogenen linearen DGL 2. Ordnung, dann gibt es eine von x 1 linear unabhängige Lösung x 2 der Form x 2 t u t x 1 t, wobei u als Lösung einer gew. DGL 1. Ordnung erhalten werden kann (Reduktion der Ordnung) 7. Die DGL y xy y 0 hat eine Lösung der Form y 1 x kx d. Verwenden Sie anschließend die Methode der Reduktion der Ordnung zur Bestimmung einer zweiten von y 1 linear unabhängigen Lösung. 8. Mit Hilfe der Methode der Reduktion der Ordnung lösen Sie die homogene, lineare DGL x tant 2cott x 2cot 2 t x 0 x 1 t sint und einer Lösung: 9. Mit Hilfe der Methode der Reduktion der Ordnung lösen Sie die homogene, lineare DGL 1 x 2 y 2xy 2y 0 und einer Lösung: y 1 x x 10. Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen linearen DGL 2. Ordnung x x 2et e t 1 11. Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen linearen DGL 2. Ordnung
y y 1 cos x 12. Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen x x 6x t e 2t 13. Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen y 4y 13y 6e 2x cos3x 14. Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen x 4x 13x 13t 2 8t 15. Lösen Sie das folgende AWP: y 2y y x mit y 0 0 und y 0 1 16. Lösen Sie das folgende AWP: x 3x 2x e t mit x 0 2 und x 0 4 17. Lösen Sie das folgende AWP: y 2y y e x mit y 0 0 und y 0 0 18. Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden DGL (Verwenden Sie den Ansatz e t und beachten Sie, daß Sie ein Fundamentalsystem mit 4 linear unabhängien Lösungen erhalten) x 4 4x 3x 4x 4x 0 19. Lösen Sie die DGL des gedämpften harmonischen Oszillators mx x Cx 0 x 1 x 2 0 x 0 1/ /m mit 0 2 C/m und Diskussieren Sie die Fälle verschieden starker Dämpfung 1/ : starke, kritische und schwache Dämpfung. 20. Auf einen gedämpften harmonischen Oszillator wirkt eine periodische äußere Kraft x 1 x 0 2 x sin t mit 0 Wie sieht die Lösung nach langer Zeit (nach dem Einschwingvorgang) aus? Was passiert wenn 0?