Berechnung des dynamischen Verhaltens von Trägern nach Sattler Aufgabe Für den Schwingungsnachweis nach ÖNORM B 1995-1-1:2014 ist die erste Eigenfrequenz von Deckensystemen zu ermitteln. Im Fall von nachgiebig verbundenen Trägern oder schubnachgiebigen Elementen aus Brettsperrholz als Durchlaufträger über ein oder mehrere Felder ist diese Aufgabe nicht trivial. Hier wird ein Verfahren nach Sattler vorgestellt, das die dynamische Analyse auf die Berechnung und Auswertung von Biegelinien zurückführt. Damit können Trägersysteme mit Berücksichtigung der schubnachgiebigkeiten, allgemeinen Lastanordnungen der schwingungswirksamen Lasten oder auch Gelenksträger in guter Näherung hinsichtlich ihres Schwingungsverhaltens untersucht werden. Näherung Die Ermittlung von Eigenfrequenzen und der zugehörigen modalen Massen von Trägersystemen lässt sich näherungsweise aus der Biegelinie ermitteln. Das Verfahren wird in Sattler, Konrad: Lehrbuch der Statik Band II/B Stabilität und Schwingungen Höhere Berechnungsverfahren vorgestellt. Dazu werden die ständigen Lasten mit jenem Vorzeichen aufgebracht, das der Auslenkung für die zu erwartenden Schwingeigenform an der jeweilgen Stelle entspricht. Die Biegelinie dieser Last entspricht in guter Näherung der Schwingeigenform. Die Schwingdauer lässt sich dann aus einer Energiebetrachtung ableiten und nach folgender Formel berechnen:
Berechnungsablauf 1. Ermittlung des Feldes 1 mit der maximalen Durchbiegung w max 2. Definition eines Lastfalles mit feldweise das Vorzeichen wechselnden Einwirkungen Gleichlasten: Einzellasten:. q = sgn(i mod 2) g 1 + g 2 Q = sgn(i mod 2) G 2 3. Berechnung der Biegelinie w(x) zufolge der Einwirkungen q und Q. Diese Entspricht weitestgehend der Schwingeigenform. 4. Berechnung der Integrale und Und der Summen für die Einzellasten q(x) w 2 dx = q n + q n+1 c 2 3 (w n 2 2 + w n w n+1 + w n+1 ) q(x) w dx = q n + q n+1 c 2 2 (w n + w n+1 ) Q n w n 2 und 5. Berechnung der Schwingdauer Q n w n T = 2π qw2 dx + Q n w n 2 g( qw dx + Q n w n ) 6. Berechnung der Frequenz aus der Schwingdauer f = 1 T 7. Die Modale Masse kann durch Normierung der Schwingeigenform w(x) auf Eins w (x) errechnet werden. M = qw 2 dx + (Q n w n2 ) 1 Als Feld wird für das Modul Gelenksträger eine Gruppe von 1 bis 3 untereinander gelenkig verbundenen Stäben bezeichnet. Bei Durchlaufträgern wird jedes Feld durch einen Stab gebildet. Die Stäbe laufen über dem Auflager durch. Bei Gelenksträgern kann ein Feld aus einem Stab (kein Gelenk), zwei Stäben (ein Gelek) oder drei Stäben (zwei Gelenke) bestehen. Juni, 2015 2
8. Die Rückrechnung auf die Steifigkeit eines Ein-Masse-Schwingers (EMS) ist zur Plausibilitätskontrolle ebenfalls möglich. f = 1 2π k M k = T = 2π M k T 2 4 M π 2 = 1 4 M f 2 π 2 Juni, 2015 3
Vergleich von Eigenschwingungen verschiedener Durchlaufträger Die in Sattler beschriebene Methode wurde für das Modul Allgemeiner Geleksträger im Programmsystem Bemessung Holzbau von Wallner, Mild implementiert. Die Berechnungsergebnisse erste Eigenfrequenz und modale Masse wurden mit dem Beispiel von Sattler, dem Programmsystem Ruckzuck von Mursoft und RStab von Dlubal verglichen. Die Felder in den Modellen für die beiden Stabwerksprogramme wurden in 10 Stäbe geteilt um ausreichend Genauigkeit für die Dynamische Berechnung zu erhalten. Ohne manuelle Stabunterteilung im Modell sind die Ergebnisse der Frequenzen nicht richtig. Der Systemvergleich zeigt sehr gute Übereinstimmungen bei der Berechnung der ersten Eigenfrequenzen (Abweichung von etwa 3%) wobei die Werte nach der Näherungsberechnung etwas höher liegen. Der Fehler bei der Ermittlung der modalen Masse ist etwas höher, da die Auslenkung quadratisch eingeht. Die Abweichung von höchstens 11% ist tolerierbar, da für den Ansatz der modalen Masse nach ÖNORM ein eigener Ansatz getroffen und diese nicht aus der Schwingungsuntersuchung errechnet wird. Die Berechnung für schubweiche Balken zeigt ebenfalls gute Übereinstimmungen. System 1: Dreifeldträger (Beispiel Sattler) Gleichlast G 2,00 2,00 2,00 4,00 6,00 4,00 A B C D 14,00 System 1 f 8,9 8,97 8,75 8,67 Hz 1% -2% -3% M* 840-750 745 kg -11% -11% Juni, 2015 4
System 2: Dreifeldträger Punktlast im Drittelpunkt G 9,81 kn 4,00 6,00 4,00 A B C D 14,00 System 2 f 8,21 8,299 8,19 Hz 1% 0% M* 871 860 838 kg -1% -4% System 3: Zweifeldträger Gleichlast G 2,00 2,00 4,00 6,00 A B C 10,00 System 3 f 7,66 7,56 7,48 Hz -1% -2% M* 734 677 696 kg -8% -5% Juni, 2015 5
Systemvariante 3.1: Zweifeldträger nach 3. mit Querschnitt aus Brettsperrholz Querschnitt: 5s 180 DL, 40 30 40 30 40 Steifigkeiten: EI = 4896 knm² und GA s = 16231 kn mit κ = 0,189 System 3 WallnerMild Ruckzuck RSTAB f 7,59 7,78 Hz kein +2,5% schubweicher M* 736 Stab 624 kg -15% System 4: Gleichlast und Einzellast im Drittelpunkt G 2,00 2,00 9,81 kn 4,00 6,00 A B C 10,00 System 4 f 5,36 5,31 5,46 Hz -1% 2% M* 1441 1398 1336,7 kg -3% -7% Juni, 2015 6
Systemvariante 4.1: Zweifeldträger nach 4. mit Querschnitt aus Brettsperrholz Querschnitt: 5s 180 DL, 40 30 40 30 40 Steifigkeiten: EI = 4896 knm² und GA s = 16231 kn mit κ = 0,189 System 3 WallnerMild Ruckzuck RSTAB f 5,48 5,32 Hz kein -2,9% schubweicher M* 1867 Stab 1383 kg -25% Modifikationen 22.7.15 Text zur modalen Masse und Erweiterung um Beispiele mit schubnachgiebigem Balken Juni, 2015 7