Dr. V. Gradinaru K. Imeri Herbstsemester 8 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 6 Aufgabe 6. Multiple Choice: Online abzugeben. 6.a) (i) Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Seien a (),..., a (n) R n linear abhängig. Dann hat das homogene Gleichungssystem λ a () +... + λ n a (n) = nichttriviale Lösungen λ,..., λ n R. (ii) Richtig. Denn die Definition von linear abhängig war gerade, dass eine nichttriviale Linearkombination der Vektoren den Nullvektor ergibt. Die Koeffizienten λ,..., λ n dieser Linearkombination lösen dann das obige Gleichungssystem. Seien a (),..., a (k) R n linear unabhängig. Dann muss gelten k n. Richtig. Denn die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl Basisvektoren und damit auch die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Da dim(r n ) = n, können höchstens n Vektoren linear unabhängig sein, und damit gilt also k n (Satz 4.). (iii) Seien a (),..., a (k) R n ein Erzeugendensystem von R n. Dann muss gelten k n. Falsch. Ein Erzeugendensystem ist nicht notwendigerweise linear unabhängig, es kann mehr Vektoren als nötig haben, um den Vektorraum aufzuspannen. Die minimale Anzahl Vektoren in einem Erzeugendensystem, so dass dieses eben noch erzeugend ist, ist gerade die Dimension des Vektorraums, hier also n (Satz 4.). Es kann aber durchaus auch k > n sein. (iv) Seien a (),..., a (k) R n eine Basis von R n. Dann muss gelten k n. (v) Richtig. Eine Basis ist ein linear unahängiges Erzeugendensystem, in anderen Worten ein minimales Erzeugendensystem. Die minimale Anzahl Vektoren in einem Erzeugendensystem, so dass dieses eben noch erzeugend ist, ist gerade die Dimension des Vektorraums, hier n. Somit muss sogar gelten k = n (Satz 4.), insbesondere also k n. Die Vektoren eines Erzeugendensystems können linear abhängig sein. Richtig. Denn ein Erzeugendensystem ist nicht notwendigerweise ein minimales Erzeugendensystem (= Basis). (vi) Falls die Vektoren a (),..., a (k) R n keine Basis von R n bilden, dann müssen sie linear abhängig sein. Falsch. Für k < n können die Vektoren a (),..., a (k) linear unabhängig sein, ohne eine Basis für R n zu sein. Seite
6.b) In welchen Fällen bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem von R? (i),, (ii), (iii), Lösung: Für ein Erzeugendensystem von R brauchen wir nach Satz 4. mindestens Vektoren. Genau dann, wenn wir linear unabhängige Vektoren auswählen können, bilden alle Vektoren zusammen ein Erzeugendensystem. Dies lässt sich wie folgt einsehen: : Die ausgewählten Vektoren bilden nach Satz 4. eine Basis und sind also insbesondere erzeugend. Damit sind aber alle Vektoren zusammen erzeugend. (Durch die Hinzunahme von weiteren Vektoren können wir noch immer den ganzen Raum erzeugen; wähle z. B. als Koeffizienten für die weiteren Vektoren in der Linearkombination.) : Durch Anwenden des Gaussverfahrens (siehe Seite 8 im Buch) können wir r linear unabhängige Vektoren auswählen, wobei r der Rang der dabei auftretenden Matrix ist. Da alle Vektoren zusammen ein Erzeugendensystem bilden, gilt r = n (ebenfalls Seite 8). Dabei ist n die Dimension des Vektorraums, hier also gilt n =. Also können wir linear unabhängige Vektoren auswählen. (i) Die ersten drei Vektoren sind offensichtlich linear unabhängig. Deshalb handelt es sich hier um ein Erzeugendensystem. (ii) Durch Anwenden des Gaussverfahrens (E) sehen wir, dass die Matrix den Rang hat. Deshalb handelt es sich auch hier um ein Erzeugendensystem. (iii) Der dritte Vektor ist -mal der erste, somit sind die drei Vektoren linear abhängig und können kein Erzeugendensystem von R sein. Die lineare Abhängigkeit schliesst man formal aus der Tatsache, dass + + ( ) =. 6.c) In welchen Fällen bilden die Vektoren eine Basis von R? (i),, (ii), (iii), Seite
Lösung: Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das aus linear unabhängigen Vektoren besteht. Nach Satz 4. besteht eine Basis im R aus genau Vektoren. (i) Die Vektoren können keine Basis sein, da es vier Vektoren sind. (ii) Die Vektoren bilden eine Basis, da sie gemäss Aufgabe 6.b) ein Erzeugendensystem sind und es genau drei Vektoren sind. Aus Satz 4. folgt damit, dass sie zusätzlich linear unabhängig und damit eine Basis sind. (iii) Die Vektoren sind keine Basis, da sie gemäss Aufgabe 6.b) kein Erzeugendensystem sind. Aufgabe 6. Spaltenraum und Kern einer Matrix Geben Sie, sofern möglich, für die nachfolgenden Teilaufgaben jeweils eine Matrix A R m n an, welche die angegebenen Bedingungen erfüllt. 6.a) Eine Basis des Spaltenraums von A ist {[ [, und eine Basis für Kern(A) ist {[ Lösung: Da der Spaltenraum von A (d.h., Bild(A)) in R enthalten ist, muss gelten, dass m =. {[ Da Kern(A) R gilt, muss n = gelten. Die Matrix A besteht folglich aus drei Spalten, wobei [, eine Basis des Spaltenraums von A ist. {[ Betrachten wir die zweite Bedingung, dass eine Basis des Kerns ist. Schreiben wir die Bedingung um, erhalten wir Kern(A) = span{[, also A =. (A) :, + (A) :, + (A) :, =. (6..) Es erfüllt somit jede Matrix A R die Anforderungen, für welche Gleichung (6..) gilt mit [ span{[, = span{(a) :,, (A) :,, (A) :, } = Bild(A). Dies gilt zum Beispiel, wenn wir (A) :, = (A) :, berechnen: Eine andere Möglichkeit ist (A) :, = [ [, (A) :, = [ wählen und mittels (6..) den Vektor A =. [, (A) :, = und wir erhalten (A) :, aus (6..): A =. Seite
{[ {[ 6.b) Eine Basis des Spaltenraums von A ist und eine Basis für Kern(A) ist, Lösung: Auch hier ist sofort klar, dass wir eine -Matrix suchen. Die Basis des Kerns gibt uns analog zur vorhergehenden Teilaufgabe: A = und A = [. (A) :, + (A) :, = und (A) :, + (A) :, =. (6..) Es erfüllt somit jede Matrix A R die Anforderungen, welche (6..) erfüllt sowie span{(a) :,, (A) :,, (A) :, } = span{[. Dies gilt zum Beispiel für A =, [ (wir wählen (A) :, = und erhalten (A) :, und (A) :, aus (6..)). 6.c) Der Spaltenraum von A enthält die Vektoren [ [ und und eine Basis für Kern(A) ist {[ Lösung: Die gesuchte Matrix A muss eine 4 4-Matrix sein. Die Basis des Kerns gibt uns eine Bedingung an die Spalten von A: A = Als weitere Bedingung muss gelten span{[,. (A) :, + (A) :, + (A) :,4 =. (6..) [ span{(a) :,, (A) :,, (A) :,, (A) :,4 }. (6..4) Wir suchen eine Matrix A R, welche (6..) und (6..4) erfüllt. Dies gilt zum Beispiel für A =, (wir wählen (A) :, = [ und (A) :, = [, womit (6..4) erfüllt ist, und wir erhalten (A) :,4 aus (6..). Nun können wir (A) :, unter der Bedingung, dass dim Bild(A) =, frei in R 4 wählen. Diese Bedingung stellt sicher, dass dim Kern(A) = ist und Kern(A) damit wirklich die verlangte Basis besitzt.) Seite 4
[ 6.d) Der Spaltenraum von A ist gleich dem Zeilenraum von A und Kern(A) wird von den Vektoren [ und aufgespannt. Lösung: Wir suchen eine Matrix A R, für welche Bild(A) = Bild(A T ) gilt, sowie [ [ A = und A =. Letzteres ist äquivalent zu (A) :, (A) :, + (A) :, = und (A) :, (A) :, (A) :, = (A) :, = (A) :, = (A) :,, (6..) da der Kern von [ von (,, ) T aufgespannt wird. Mit dem Ansatz a a a A = b b b c c c ist die Bedingung Bild(A) = Bild(A T ) genau dann erfüllt, wenn a a a a a b c span b = Bild b b b = Bild a b c = span. c c c c a b c Da der Kern von A zweidimensional ist, kann nicht a = b = c = gelten, und somit muss a = b = c erfüllt sein. Insgesamt haben wir also gezeigt, dass genau alle nichttrivialen Vielfache der Matrix A = die Bedingungen erfüllen. Aufgabe 6. 6.a) Wählen Sie, falls möglich, mit dem Gaussverfahren unter den folgenden sechs Vektoren eine Basis für R und begründen Sie Ihre Antwort:,,, 4,,. Lösung: Eine Basis besteht aus erzeugenden und linear unabhängigen Vektoren. Es muss also gelten: r = k = n =. (E) 4 4 7 8 (E) 4 7 Seite
Wir können also z. B. die Pivot-Vektoren als Basis wählen:,, 4. Wir können aber statt des 4. Vektors 4 auch den 6. Vektor nehmen, wie man durch Vertauschen der entsprechenden Spalten im Gaussschema leicht sieht. Ebenso können wir statt des. Vektors den. Vektor oder statt des. Vektors den. Vektor nehmen. Als Basis könnte man auch eine andere Kombination, wie zum Beispiel 4,,, wählen, aber die Tatsache, dass diese Auswahl eine Basis bildet, sieht man anhand vom Schema nicht. 6.b) Gegeben seien die folgenden drei Vektoren in R : a a, b, c c. + a b + c Diese Vektoren spannen einen Unterraum von R auf. Wie hängt die Dimension dieses Unterraumes von den Werten der auftretenden Parameter ab? Lösung: Sei U der von den drei Vektoren aufgespannte Unterraum des R. Die Dimension von U ist gleich der Anzahl Vektoren, die in U eine Basis bilden. Schreibe nun a c A = a b c. + a b + c Aus der Vorlesung (im Buch auf Seite 8) wissen wir, dass gilt: Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spaltenvektoren von A ist gleich r = Rang A. Eine Basis von U kann also höchstens aus r Vektoren bestehen (sonst sind sie nicht mehr linear unabhängig und bilden keine Basis). Es gilt also d := dim U r. Wegen Satz 4. i) aus dem Buch wissen wir zudem, dass mehr als d Vektoren linear abhängig in U sind. Es folgt also, dass dim U = Rang A, somit können wir die Dimension von U mit dem Gaussverfahren berechnen. Fall a = b = : a c a b c + a b + c c c c (c ) Seite 6 c c
falls c =, gilt d = r =, falls c, gilt d = r =. Fall a =, b : für c = gilt b b also d = r =, für c gilt b + c b c c also d = r =. Fall a : a c a b c + a b + c (E) a c b b c a (E) a c b c a b(c ab) a falls b(c ab) a = (also falls b = oder c = ab): d = r =, falls b(c ab) a : d = r =. Aufgabe 6.4 Sei P 4 der Raum der Polynome mit Grad strikt kleiner als 4. Die Monome, x, x, x bilden eine Basis von P 4, aber dies ist natürlich nicht die einzige Basis. Die sogenannten Legendre-Polynome sind wie folgt definiert: P (x) =, P i (x) = i i! dx i (x ) i für i >. Zeigen Sie, dass P, P, P, P eine Basis von P 4 bilden. Lösung: Wichtig für uns ist folgende Tatsache, die aufgrund der Isomorphie jedes reellen, n-dimensionalen Vektorraums zum R n gilt (siehe Seite 8 im Buch): Sei V ein reeller, n-dimensionaler Vektorraum. Weiter sei B eine Basis von V. Dann gilt: Eine Liste von Vektoren aus V ist genau dann eine Basis von V, wenn die entsprechenden Koordinatenvektoren bezüglich B eine Basis des R n bilden. Wir bestimmen die Koordinatenvektoren der Legendre-Polynome bezüglich der Monombasis und überprüfen, dass diese eine Basis bilden. Wir beginnen mit dem Ausführen der Differentiation: P (x) =, P (x) = x, P (x) = x, P (x) = x x. Jetzt bestimmen wir die Koordinaten p (i) R 4 des Vektors P i für i =,..., bezüglich der Monombasis a () =, a () = x, a () = x, a () = x. d i Seite 7
Wir sehen, dass P = = + x+ x + x, P = x = + x+ x + x, P = x = + x+ x + x, P = x x= x+ x + x. Damit haben wir die folgenden Koordinatenvektoren: p () =, p() =, p() =, p() =. Wir wollen zeigen, dass die Koordinatenvektoren linear unabhängig sind. Anwenden des Gaussverfahrens ist hier einfach: Wir landen direkt beim Endschema Somit sind die Koordinatenvektoren linear unabhängig. Damit ist der Rang gleich 4. Wir können somit folgern, dass die Koordinatenvektoren p (), p (), p (), p () eine Basis von R 4 bilden und damit sehen wir, dass die Legendre-Polynome P, P, P, P eine Basis von P 4 bilden. Aufgabe 6. Kern und Bild Gegeben sei die Matrix Bestimmen Sie Basen für Kern(A) und Bild(A). A = 4 R 4. Lösung: Aus der Vorlesung wissen wir, dass für eine m n-matrix C gilt: i) b Bild(C) Cx = b besitzt mindestens eine Lösung x R n. ii) x Kern(C) x löst Cx =. iii) dim Bild(C) + dim Kern(C) = r + (n r) = n, wobei r = Rang C. iv) Bild(C) = span { c (),..., c (n)}, wobei c (i) die i-te Spalte von C bezeichnet. Löse also zunächst Ax = mit Gausselimination: 4 Wähle x 4 = α R, x = β R, Seite 8
Somit ist x + x x 4 = x = (x 4 x ) = (α β), x + x + x = x = (β α) 4 L = α 4 + β 4 6, 6 4 4 α, β R. eine Basis von Kern(A). Aus iii) folgt ausserdem, dass dim Bild(A) = 4 dim Kern(A) =. Wegen iv) können wir also zwei linear unabhängige Spaltenvektoren von A als Basis von Bild(A) wählen. Aus dem obigen Gauss-Schema sieht man, dass zum Beispiel 4, linear unabhängig sind. Somit ist eine Basis von Bild(A). 4, Aufgabe 6.6 Koordinatentransformation Gegeben seien die zwei Basen B, B des R : B =,,, B =,, 7. 7 6 6 6.6a) Finden Sie die Basiswechselmatrix S, welche Koordinaten bezüglich der Basis B auf die zugehörigen Koordinaten bezüglich der Basis B abbildet. Hinweis: Erinnern Sie sich an die Tatsache, dass die Spalten der Basiswechselmatrix die Koordinaten der alten Basis B bezüglich der neuen Basis B enthalten. Hier müssen Sie lineare Gleichungssysteme lösen, um diese Koordinaten zu bestimmen. Lösung: Wir definieren zuerst die beiden Matrizen B, B, in deren Spalten die Basisvektoren von B, B stehen. Dann folgen wir der Definition der Basiswechselmatrix S, in welcher S durch das Gleichungssystem bj = S i,j b i (6.6.) i= Seite 9
bestimmt ist. Wir schreiben (6.6.) in Matrixnotation: BS = B. (6.6.) In den Spalten von S stehen die Koordinaten der alten Basis B bezüglich der neuen Basis B. Lösung von (6.6.) durch Gausselimination liefert für die Basiswechselmatrix S: S = 4 6. 4 Koordinaten c bezüglich der alten Basis B werden durch Multiplikation mit S in Koordinaten c bezüglich der neuen Basis B überführt. Dies lässt sich durch folgende Rechnung leicht nachvollziehen: Multiplikation des Koordinatenvektors c von links mit (6.6.) ergibt B c = BS c. Da B c und Bc denselben Punkt im R beschreiben sollen, gilt natürlich B c = Bc. Somit muss c = S c sein. 6.6b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors v = + 9 8 7 6 bezüglich der Basis B. Lösung: Es gilt v = B c = B 9. 8 Die Koordinaten bezüglich der Basis B sind gegeben durch c = S c = 9 8. Seite