Einführung in die Artinschen Zopfgruppen

Universität Duisburg-Essen - Campus Duisburg - Fakultät für Mathematik W. Hümbs Einführung in die Artinschen Zopfgruppen In den Aufgaben 1-6 sollen Sie Erzeugendensysteme und das Rechnen mit Generatoren kennenlernen. Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe S 3 von den Zyklen bzw. Transpositionen (12) und (13) erzeugt wird, d.h. es gilt: S 3 = {(1), (123), (132), (12)(23)(13)} = < (12), (13) >. Aufgabe 2 Identifizieren Sie die Gruppe G = {a, b a 3 = b 2 = 1, a 2 b = ba}. Aufgabe 3 Gegeben sei die Kleinsche Vierergruppe V 4 mit der Verknüpfungstafel e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Geben Sie drei Erzeugendensysteme und eine anschauliche Deutung dieser Gruppe an. 1

Aufgabe 4 Sei E n die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln, d.h. E n = {z C z n = 1}. Zeigen Sie, dass E n zyklisch ist. Bestimmen Sie für E 3 zwei erzeugende Elemente. Aufgabe 5 Zeigen Sie: B 3 =< x, y x 3 = y 2 >. Aufgabe 6 Verifizieren Sie, dass die Gruppen G 1 =< a, b aba = bab, (aba) 4 = 1 > und isomorph sind. G 2 =< s, t s 3 = t 2, t 4 = 1 > Die Aufgaben 7-11 behandeln einfache Eigenschaften der Zopfgruppen. Aufgabe 7 Gegeben sei die Artinsche Zopfgruppe B 3 mit den Generatoren σ 1 und σ 2. Verifizieren Sie: Mit = 3 = σ 1 σ 2 σ 1 gilt: (i) σ 1 = σ 2, (ii) σ 2 = σ 1, (iii) 2 kommutiert mit beiden Generatoren. 2

Aufgabe 8 Zeigen Sie: In der Zopfgruppe B n, (n > 2) folgt für zwei Zöpfe mit β n = γ n nicht notwendig β = γ, d.h. es gibt keine eindeutig bestimmten Wurzeln. Aufgabe 9 Verifizieren Sie: Ein beliebiges Produkt eines nicht trivialen konjugierten Zopfes kann trivial sein. Aufgabe 10 Zeigen Sie die folgenden Relationen in B 3 : (i) σ 1 σ 2 σ 1 1 = σ 1 2 σ 1 σ 2 (ii) σ1 1 σ2 1 σ1 1 = σ2 1 σ1 1 σ2 1 (iii) σ1 1 σ2 1 σ 1 = σ 2 σ1 1 σ2 1 (iv) σ 1 σ 1 2 σ 1 1 = σ 1 2 σ 1 1 σ 2 (v) σ1 1 σ 2 σ 1 = σ 2 σ 1 σ2 1 Aufgabe 11 Gegeben seien die Zopfgruppe B n mit den Generatoren σ 1, σ 2,..., σ n 1. Weiterhin sei und sowie z n 1 := σ n 1. z := σ 1, σ 2... σ n 1 z 1 := z, z 2 := σ 2 σ 3... σ n 1 Zeigen Sie: a) zσ 1 = σ 2 z. 3

b) In B n sei U die (Unter-)Gruppe, die von den Generatoren σ 2, σ 3,..., σ n 1 erzeugt wird, also U := gr {σ 2, σ 3,..., σ n 1 }. Geben Sie eine Lösung der Gleichung für n = 3 in U an. Aufgabe 12 z n 1 = X z X In dieser Aufgabe sollen Sie einen Zusammenhang zwischen der Zopfgruppe B 3 und der speziellen linearen Gruppe der SL(2, Z) kennenlernen. a) Gegeben seien die Matrizen S := ( 0 1 1 0 ) und T := ( 0 1 1 1 ). Zeigen Sie S 2 = I = T 3. b) Verifizieren Sie, dass S bzw. T jeweils die zyklische Untergruppe Z 4 bzw. Z 6 von SL(2, Z) erzeugt. c) Berechnen Sie das Zentrum von SL(2, Z). Die modulare Gruppe (projektive spezielle lineare Gruppe) P SL(2, Z) ist der Quotient von SL(2, Z) nach ihrem Zentrum. Man kann auch P SL(2, Z) als die (Unter-) Gruppe der Möbius-Transformationen der komplexen Ebene mit der Korrespondenz auffassen. z az + b ( ) a b cz + d SL(2, Z) c d Eine Möbius-Transformation ist eine Abbildung mit ad bc 0 und C := C { }. f : C C, f(z) = az + b cz + d d) In der Linearen Algebra werden eine Drehung (um den Nullpunkt) bzw. eine Spiegelung durch die R 2 R 2 -Abbildungen bzw. ( x y ) ( cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ ) ( x y ) 4

( ) ( x cos ϕ sin ϕ y = sin ϕ cos ϕ ) ( x y ) definiert. Schreiben Sie diese Abbildungen vermöge der kanonischen Isomorphie als Abbildungen C C. R 2 ( ) x x + iy C y Entscheiden Sie dann, ob diese Abbildungen Möbius-Transformationen sind. e) Zeigen Sie, dass die spezielle lineare Gruppe {( ) } a b SL(2, R) = R 2 2 ad bc = 1 c d durch die Möbius-Transformationen auf der oberen Halbebene operiert. H = {z C Im(z) > 0} f) Geben Sie alle Elemente aus P SL(2, Z) an, die Möbius-Transformationen mit den Fixpunkten ±i beschreiben. g) Zeigen Sie, dass f, f(z) = 1 nicht idempotent ist, d.h., dass es kein n N gibt, so 1+z dass f n = f f... f(n-mal) die identische Abbildung von C ist. Gilt dies auch für g, g(z) = 1 1 z? Aufgabe 13 Sei X = {a, b} und τ = {X, φ, {a}}. Zeigen Sie, dass (X, τ) ein wegzusammenhängender topologischer Raum ist. Aufgabe 14 Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen: 5

1) Homöomorphe topologische Räume sind homotopieäquivalent. 2) Es sei X ein topologischer Raum und x X. Dann ist {x} ein Retrakt von X, aber nicht notwendig ein Deformationsretrakt. 3) Es sei R versehen mit der Standard-Topologie und X R abgeschlossen. Dann ist der Rand von X ein Retrakt von X, aber nicht notwendig ein Deformationsretrakt. 4) Retrakte zusammenziehbarer Räume sind zusammenziehbar. Aufgabe 15 Verifizieren Sie: Wenn die Räume X und Y homotopieäquivalent sind und X wegzusammenhängend ist, dann ist auch Y wegzusammenhängend. Aufgabe 16 a) Begründen Sie anschaulich, warum π 1 (S 1 ) = Z gilt. b) Geben Sie eine Beweisskizze für die Aussage aus a) an. Aufgabe 17 Formulieren Sei einen direkten Beweis, dass die Fundamentalgruppe des Kreises π 1 (S1, 1) abelsch ist. Hinweis: Seien λ, µ : I S 1 zwei Schleifen. Dabei wird die Homotopie H : I S 1 gegeben durch { µ(2st) λ(2(1 t)s für 0 s 1 H(s, t) =, 2 µ(t + (1 t)(2s 1)) λ(1 + 2t(s 1)) für 1 s 1, 2 Dabei ist ζ η das Produkt der komplexen Zahlen iin S 1 mit [λ][µ] = [µ][λ]. H : λµ = µλ, d.h. Zeigen Sie, dass die Homotopie H die Komposition zweier Abbildungen f : I I I I und g : I I S 1 ist. 6

Fertigen Sie auch eine Skizze an. Aufgabe 18 Der Sierpinski-Raum S ist die Menge {0, 1} versehen mit der Topologie τ = { φ, { 0, 1}, { 0}}. Verifizieren Sie, dass S einfach-zusammenhängend ist. Aufgabe 19 Zeigen Sie, dass der Einheitskreis S 1 = {(x, y) R 2 Kleeblattknoten ist. x 2 + y 2 = 1} homöomorph zum Aufgabe 20 Berechnen Sie das Alexander-Polynom des Achterknotens. Aufgabe 21 Berechnen Sie das Alexander-Polynom des Knotens 6 1. Aufgabe 22 Berechnen Sie das Jones-Polynom des Kleeblattknotens mit drei rechtshändigen Kreuzungen. Aufgabe 23 Zeigen Sie, dass das Knotendiagramm des Achterknotens nicht färbbar ist. Aufgabe 24 Gegeben seien die zwei Elemente 1 = σ 1 σ 2 2σ 1 1 σ 1 2 σ 2 1σ 2 und 2 = σ 1 2 σ 4 1σ 2 aus B 3. Zeigen Sie 1 = 2 i) rechnerisch und ii) geometrisch. 7

Aufgabe 25 Berechnen Sie den Braid-Index des Kleeblattknotens. Aufgabe 26 Welchen Zopf muss man verkleben, um den Achterknoten zu erhalten? Aufgabe 27 Bezüglich einer Sequenz X φ Y in der Kategorie der abelschen Gruppen AB ist die Kohomologiegruppe von Y definiert als Quotientengruppe ker ψ/ im φ, vorausgesetzt, es gilt im φ ker ψ, d.h. für y = ψ(x) im φ hat man ψ(y) = 0 oder in anderen Worten ψ(y) = ψ(φ(x)) = (ψ φ)(x) = 0. φ Z Gegeben sei die Sequenz mit f(n) = 4n und g(z) = e 2πiz. Z f C g C in Ab ( ) Berechnen Sie die Kohomologiegruppe von C bzgl. ( ) Aufgabe 28 Zeigen Sie: Die Sequenz 1 P n B n S n 1 ist exakt. Aufgabe 29 Sei n 2. Für ein festes n und i = 1,..., n 1 sei die (n n)-matrix U i = über dem Ring R = Z[t, t 1 ] gegeben. I i 1 0 0 0 0 1 t t 0 0 1 0 0 0 0 0 I n i 1 a) Zeigen Sie, dass U i invertierbar ist, und berechnen Sie die inverse Matrix U 1 i. 8

b) Zeigen Sie die Zopfrelationen U i U j = U j U i für alle i, j mit i j 2 und U i U i+1 U i = U i+1 U i U i+1 für i = 1, 2,... n 2. In den folgenden Aufgaben sollen die Anwendungen der Zopfgruppen in der Kryptographie vorbereitet werden. Aufgabe 30 Die Charakteristik eines Körpers F ist die kleinste natürliche Zahl mit p 0 = 1, wobei 1 die multiplikative Eins des Körpers ist. Existiert kein p mit dieser Eigenschaft, so definiert man die Charakteristik als Null. Verifizieren Sie: Die Charakteristik eines Körpers F ist entweder 0 oder eine Primzahl p. Aufgabe 31 Entscheiden Sie (mit Beweis), ob die Polynome a) f(x) = x 2 + x + 1 Z 2 [x] b) g(x) = 2x 6 + x 4 Z 3 [x] irreduzibel bzw. reduzibel sind. Aufgabe 32 a) Verifizieren Sie, dass der Ring R[x]/(1 + x 2 ) ein Körper ist. Identifizieren Sie diesen Körper. b) Überprüfen Sie, ob der Ring ein Körper ist. Aufgabe 33 Z 2 [x]//1 + x + x 2 ) Berechnen Sie für das Minimalpolynom f(x) über Q. α := 5 + 7 Aufgabe 34 Sei C ein linearer Code der Länge n über F q. Verifizieren Sie: i) C = q dim(c), d.h. dim(c) = log q C ; 9

ii) C ist ein linearer Code, und es gilt dim(c) + dim(c ) = n; iii) (C ) = C. Aufgabe 35 Gegeben sei das Schlüsselaustausch-Protokoll nach Diffie-Hellman, Ko et al., d.h. der öffentliche Schlüssel P ist ein Element aus B n. Die privaten Schlüssel von Alice und Bob seien jeweils S A LB n und S B UB n. Berechnen Sie den gemeinsamen Schlüssel für S A = σ 4 σ 5 σ 2 S B = σ 7 σ 10 σ 9 und p = σ 1 σ 2 σ 8 B 10. Aufgabe 36 i) Zeichnen Sie den farbigen Zopf der durch folgendes Zopfwort repräsentiert wird: C = br(2)bg( 2)gr(2)bg( 1 2 ). ii) Geben Sie die entsprechenden Verteilungen n( 2), n(2), n(3) und n( 1 2 ) an. Aufgabe 37 Berechnen Sie die Verteilung n(t ) der Zopfsegmentlängen, die durch folgende (vereinfachte) Gleichung gegeben ist: 1 2π e T w n(w)dw = e T 2. Aufgabe 38 a) Beweisen oder widerlegen Sie: Man kann auf der Sphäre S 2 = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1} einen Atlas konstruieren, der genau eine Karte enthält. b) Konstruieren Sie einen topologischen Raum, der eine abzählbare Basis der Topologie besitzt, nicht hausdorffsch und nicht lokal homöomorph zum R n ist. 10

Aufgabe 39 Betrachten Sie die offenen Teilmengen U und V des Einheitskreisess S 1 := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} R 2, die gegeben sind durch U = {(cos α, sin α) α ]0, 2π[ und V = {(cos α, sin α) α ] π, π[}. Zeigen Sie, dass mit A := { (U, ϕ), (V, ψ)} ϕ : U R, ϕ(cos α, sin α) = α für α ]0, 2π[ ψ : V R, ψ(cos α, sin α) = α für α ] π, π[ ein Atlas auf S 1 ist. Aufgabe 40 Gegeben sei die Heisenberg-Gruppe H := 1 x y 0 1 z 0 0 1 x, y, z R. (a) Versehen Sie H so mit einer Struktur, dass H eine C -Mannigfaltigkeit wird, die zum R 3 isomorph ist. (b) Zeigen Sie, dass H, versehen mit der Matrizenmultiplikation, eine Lie-Gruppe ist. (c) Ist die Abbildung f : H R, A f(a) = x + y + z differenzierbar? (d) Ist f aus (c) ein Homomorphismus von Lie-Gruppen? Aufgabe 41 Zeigen Sie bitte, dass die reelle projektive Ebene P 2 (R) nicht orientierbar ist. Aufgabe 42 Sei n eine natürliche Zahl und q 1 bzw. q 2 seien Einheiten in einem Integritätsring R. Die Iwahori-Hecke-Algebra H n (q 1, q 2 ), oder kurz H n, ist die assoziative R-Algebra gegeben durch die Generatoren T 1,..., T n 1 und den Relationen 11

1) T i T j = T j T i für i j > 1 2) T i T j T i = T j T i T j für i j = 1 3) (T i q 1 )(T i q 2 ) = 0. i) Die gewöhnliche Definition der Iwahori-Hecke-Algebra benutzt nur einen Parameter q, genauer hat man H n ( 1, q) oder auch manchmal H n (1, q). Zeigen Sie, dass das keine Beschränkung der Allgemeinheit ist, indem Sie einen Isomorphismus H H (q 1, q 2 ) H n ( 1, q 2 q 1 ) angeben. ii) Berechnen Sie T 1 i in Abhängigkeit von T i, q 1 und q 2. iii) Geben Sie einen Homomorphismus von der Zopfgruppe B n in die Gruppe der Einheiten von H n an. Aufgabe 43 Sie X eine Riemannsche Fläche. Eine biholomorphe Abbildung f : X X wird auch Automorphismus von X genannt. Die Menge Aut(X) aller Automorphismen von X zgl. der Komposition von Abbildungen offenbar eine (i.a. nicht-abelsche) Gruppe. Sei Y eine weitere Riemannsche Fläche. Zeigen Sie: Sind X und Y biholomorph äquivalent, so sind die Gruppen Aut(X) und Aut(Y ) isomorph. Aufgabe 44 Zeigen Sie, dass in einer linksorderablen Gruppe G gilt: i) 1 < g g 1 < 1, ii) G ist torsionsfrei. Aufgabe 45 Sei G eine Torsionsgruppe. existieren keine Nullteiler. Aufgabe 46 Beweisen oder widerlegen Sie: Im Gruppenring ZG Gegeben sei die Abbildung f : S n 1 conf(r n, 2), f(z) = (z, z). Konstruieren Sie einen Schnitt, d.h. eine Abbildung mit g f = id. g : conf(r n, 2) S n 1 12