Mathematische Grundlagen der Stringtheorie und Supersymmetrie Aufgaben WS 2009/10

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1 Universität Duisburg-Essen - Campus Duisburg - Fakultät für Mathematik Wolfgang Hümbs Mathematische Grundlagen der Stringtheorie und Supersymmetrie Aufgaben WS 2009/10 Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass der Operator A auf L 2 (R) definiert durch (Ax)(t) = e t x(t) beschränkt und selbstadjungiert ist. Aufgabe 2: Ein beschränkter (linearer) Operator T auf einem Hilbertraum H heißt isometrisch (Isometrie), wenn T x = x für alle x H gilt. Verifizieren Sie: Ein beschränkter Operator T auf H ist isometrisch genau dann, wenn T T = Id auf H gilt. Aufgabe 3: Sei A ein beschränkter (linearer) Operator auf einem Hilbertraum H. Zeigen Sie, dass dann auch die Operatoren T 1 = A A und T 2 = A + A selbstadjungiert sind. Aufgabe 4: Benutzen Sie die Lagrange-Funktion L = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) 1 2 k(x2 + y 2 + z 2 ) für den dreidimensionalen isotropischen, harmonischen Oszillator, um mit den Lagrangegleichungen d L L = 0 dt ẋ i x i zu zeigen, dass die Gesamtenergie konstant bleibt. (k ist die Federkonstante.) 1

2 Aufgabe 5: Sei u 1, u 2, u 3 eine Orthonormalbasis und diesbezüglich sei die Darstellung gegeben. ψ = 2i u 1 3 u 2 + i u 3 und φ = 3 u 1 2 u u 3 a) Geben Sie ψ und φ an. b) Berechnen Sie das Skalarprodukt φ, ψ und zeigen Sie, dass gilt: c) Berechnen Sie aψ für a = 3 + 3i. d) Geben Sie ψ + φ und ψ φ an. φ, ψ = ψ, φ. Aufgabe 6: ( 2 Gegeben sei ψ = mit + = 0 e 2. Berechnen Sie die Tensorprodukte ψ 2 und ψ 3. ) = e 1 und = ( 0 1 ) = Aufgabe 7: Gegeben seien die Z-Moduln (abelsche Gruppen) A und C sowie die exakte Sequenz 0 A f A g C 0. Beweisen oder widerlegen Sie: Dann ist auch die Sequenz exakt. Tipp: Setzen Sie: 0 A C A C C C 0 A = Z und C = Z/(2) mit f(x) = 2x und g sei der natürliche Homomorphismus. 2

3 Aufgabe 8: Sei M eine Matrix aus K m m mit Eigenwerten λ 1, λ 2,..., λ m und den zugehörigen Eigenvektoren u 1, u 2,..., u m. Weiterhin sei N K n n eine Matrix mit den Eigenwerten µ 1, µ 2,..., µ n und den zugehörigen Eigenvektoren v, v 2,..., v n. (a) Zeigen Sie, dass dann die Matrix M N die Eigenwerte λ i µ k zugehörigen Eigenvektoren mit den u j v k (1 j m und 1 k n) besitzt. ( 0 i (b) Sei M = i 0 von M N. ) und N = ( ). Berechnen Sie die Eigenwerte (c) Berechnen Sie alle Eigenwerte von M = C4 4. Aufgabe 9: (a) Geben Sie Beispiele für kovariante und kontravariante Funktoren an. (b) Sei F : C 1 C 2 ein Funktor von einer Kategorie C 1 in die Kategorie C 2. Angenommen, zwei Objekte X und Y von C 1 seien isomorph. Verifizieren Sie: Dann sind auch die Objekte F (X) und F (Y ) von C 2 isomorph. (c) Formulieren Sie eine Aussage, wenn die Objekte F (X) und F (Y ) von C 2 nicht isomorph sind. (d) Zeigen Sie mit (a), dass die zyklischen Gruppen Z 4 und Z 5 nicht isomorph sind. 3

4 Aufgabe 10: Bezüglich einer Sequenz X φ Y in der Kategorie der abelschen Gruppen AB ist die Kohomologiegruppe von Y definiert als Quotientengruppe kerψ/imφ, vorausgesetzt es gilt im φ kerψ, d.h. für y = ψ(x) im φ hat man ψ(y) = 0 oder in anderen Worten ψ(y) = ψ ( φ(x) ) = (ψ φ)(x) = 0. Gegeben sei die Sequenz ψ Z Z f C g C in Ab mit f(n) = 4n und g(z) = e 2πiz. Berechnen Sie die Kohomologiegruppe von C. Aufgabe 11: In dieser Aufgabe sollen Sie die Grothendieck-Gruppe (vgl. auch die K 0 -Gruppe einer unitalen C -Algebra) kennenlernen. Sie S ein abelsches Monoid, d. h die Addition S S S ist kommutativ, assotiativ und besitzt ein neutrales Element. Nun wird auf S S folgendermaßen eine Äquivalenzrelation definiert: Es gelte (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) genau dann, wenn ein z S existiert, so dass x 1 + y 2 + z = x 2 + y 1 + z gilt. Sei G(S) := (S S)/ und bezeichne x, y die Äquivalenzklasse in G(S), die (x, y) S S enthält. (a) Verifizieren Sie, dass eine Äquivalenzrelation ist. (b) Zeigen Sie, dass ( G(S), + ) mit der Addition eine abelsche Gruppe bildet. x 1, y 1 + x 2, y 2 = x 1 + x 2, y 1 + y 2 (c) Verifizieren Sie, dass die Grothendieck-Abbildung unabhängig von y S ist. γ S : S G(S), x x + y, y Aufgabe 12: (a) Klassifizieren Sie die Großbuchstaben des Alphabets, aufgefasst als Teilräume des R 2 nach Homöomorphie. Hinweis: Verwenden Sie den Sans-Serif -Stil, dann gibt es genau neun Homöomorphieklassen. 4

5 (b) Wieviele Klassen gibt es, wenn man die Buchstaben nach ihrem Homotopie- Typ ordnet? Aufgabe 13: Verifizieren Sie, dass der euklidische Raum R 2 und der offene Einheitskreis {( ) } x E := R 2 x 2 + y 2 < 1 y diffeomorph sind. Aufgabe 14: Beweisen oder widerlegen Sie: (a) Das Intervall [0,1] ist homöomorph zu S 1. (b) Diffeomorphe topologische Räume sind homotopie-äquivalent. (c) Es gibt keine C 1 -differenzierbare surjektive Abbildung f : R n R n+1. (d) Die Funktion f : R R, f(t) = t 3 definiert eine differenzierbare Struktur auf R und die Atlanten {(R, f)} und {(R, id)} sind äquivalent. (e) Die Abbildungen f : R R, f(t) = t 2k (für k N) sind Karten. Aufgabe 15: Beweisen oder widerlegen Sie: Seien M und N zwei C -Mannigfaltigkeiten. Dann gibt es eine Abbildung f : M N, so dass M nur aus kritischen Punkten besteht und die Menge der kritischen Werte das Maß 0 besitzt. Aufgabe 16: Zeigen Sie, dass die reelle projektive Ebene P 2 (R) nicht orientierbar ist. Aufgabe 17: Eine geometrische Vorstellung besagt, dass ein Vektor w R n+1 ein Tangentialvektor von S n an einen Vektor v S n ist, wenn w senkrecht auf v steht. Um den Tangentenpunkt herauszustellen, schreibt man auch für diesen Tangentialvektor (v, w) R n+1 R n+1. Damit ist die Menge aller Tangentialvektoren an S n gegeben durch T (S n ) = { (v, w) R n+1 R n+1 v = 1, w v }. Topologisch wird T (S n ) als Teilraum von R n+1 R n+1 aufgefasst. Durch die stetige Projektionsabbildung p : T (S n ) S n, p(v, w) = v ordnet p jedem Tangentialvektor den Tangentenberührpunkt zu. 5

6 (a) Drücken Sie T v0 (S n ) = { (v 0, w) T (S n ) }, d. h. die Menge aller Tangentialvektoren von S n in v 0 durch die Abbildung p aus. (b) Strukturieren Sie T v0 (S n ) so, dass diese Menge ein n-dimensionaler Vektorraum wird. Bemerkung: Diese Struktur, p : T (S n ) S n, heißt Tangentialbündel von S n. Der Raum T (S n ) heißt auch der Totalraum und der Raum S n der Basisraum des Bündels und p ist die Bündelprojektion. Oft wird auch nur der Totalraum als Tangentialbündel bezeichnet. Aufgabe 18: In dieser Aufgabe sollen Sie die Raumzeitfläche eines relativistischen Strings kennenlernen. Im Gegensatz zur klassischen Physik, wo die Spur eines Partikels eine Weltlinie (world line) in der Raumzeit ist, liegt bei einem String eine Fläche (Weltfläche, world sheet) vor. Die Standardnotation in der Stringtheorie ( für die Koordinatenfunktion ist X µ (τ, σ), d. h. die Koordinaten lauten X 0 (τ, σ), X 1 (τ, σ),..., X 3 (τ, σ) ). die vom String überstrichene Fläche A kann man dann in der relativistischen Skalarproduktnotation durch A = ( X τ X ) 2 σ ( X τ ) 2 ( ) 2 X dτ dσ σ darstellen, vgl. dazu auch die Nambu-Goto-String-Wirkung und die entsprechende Lagrange-Dichte. Dabei muss natürlich der Ausdruck unter der Wurzel für jeden Punkt der Weltfläche gößer als Null sein. Was charakterisiert also lokal die vom String überstrichene Fläche? Hierzu betrachtet man einen Punkt der Weltfläche und dazu die Menge aller Tangentialvektoren. Bekannterweise bilden diese Vektoren einen zweidimensionalen Vektorraum, genauer: eine Basis dieses Vektorraums besteht aus einem raumartigen und einem zeitartigen Vektor. Dabei heißt ein Vierervektor a bzgl. des relativistischen Skalarprodukts a b = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 zeitartig, wenn a 2 = a a < 0 und raumartig, wenn a 2 > 0 oder a = 0 gilt und schließlich null- bzw. lichtartig, wenn a 2 = 0 und a 0 gilt. 6

7 (a) Welche Fläche überstreicht der String bzgl. der Parametrisierung τ X : [1, π] [0, 2π] R 4, X(τ, σ) = cos σ sin σ? 1 (b) Geben Sie eine Basis des Tangentialraums in einem Punkt P an. Hinweis: Die Tangentialvektoren in P sind gegeben durch mit λ ], [. v µ (λ) = Xµ τ + λ Xµ σ (c) Geben Sie je einen raumartigen und einen zeitartigen Vektor aus dem Tangentialraum an. (d) Welche physikalische Interpretation hat dann die Bedingung X 0 0, τ Endpunkt wenn, grob gesprochen, der Parameter τ zu der Zeit auf den Strings und σ zu den Lagen längs der Strings (Ortskoordinaten) in Beziehung steht? Aufgabe 19: Betrachten Sie die klassische Trajektorie eines offenen Strings mit X 0 = 2τ X 1 = 2 cos τ cos σ X 2 = 2 sin τ cos σ. Bestimmen Sie die Tangentialebene im Punkt X( π 2, π 4 ) = (π, 0, 2). Aufgabe 20: In dieser Aufgabe sollen Sie einige Eigenschaften der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren kennenlernen. Dabei müssen wir zwischen bosonischen und fermionischen Operatoren unterscheiden. Wie üblich wird die Ket- und Bra- Notation von Dirac benutzt. Beginnen wir mit den Bosonen. In der sogenannten Besetzungszahldarstellung wird ein Zustand n B durch die Anzahl n B der Bosonen charakterisiert. Den Einteilchenoperator, der die Bosonenzahl erhöht (erniedrigt), bezeichnet man als Erzeuger b + (Vernichter b ): b + n B = n B + 1 n B + 1 und b n B = n B n B 1. 7

8 (a) Erklären Sie physikalisch, warum per definitionem b 0 = 0 festgelegt wird. (b) Verifizieren Sie: Wird mit dem Operator N B = b + b ein Boson zuerst vernichtet und dann wieder erzeugt, dann bleibt der Zustand bis auf eine Skalierung unverändert. (c) Berechnen Sie die Kommutatoren [b, b + ], [b +, b ] und [b, b ]. Diese fundamentalen Vertauschungsrelationen bestimmen ein Bosonen-System vollständig. (d) Zeigen Sie durch wiederholtes Anwenden von b + auf den Vakuumzustand 0, dass man jeden beliebigen Zustand erzeugen kann. (e) Für die Fermioperatoren f + und f, welche Fermionenzahl n F erhöhen und erniedrigen, gelten ähnliche Beziehungen wie bei den Bosonen: f + n F = n F + 1 n F + 1 und f n F = n F n F 1. Geben Sie die Eigenwertgleichung des Teilchen-Operators N F = f + f an. (f) Welches fundamentale quantenmechanische Prinzig verbirgt sich hinter der Forderung (f + ) 2 = 0? Aufgabe 21: Sei X eine Riemannsche Fläche. Eine biholomorphe Abbildung f : X X wird auch Automorphismus von X genannt. Die Menge Aut(X) aller Automorphismen von X ist bzgl. der Komposition von Abbildungen offenbar eine (i. A. nicht-abelsche) Gruppe. Sei Y eine weitere Riemannsche Fläche. Zeigen Sie: Sind X und Y biholomorph äquivalent, so sind die Gruppen Aut(X) und Aut(Y ) isomorph. Aufgabe 22: Sei N N. Die affine Fermat-Kurve F A (N) C 2 vom Grad N werde definiert durch F A (N) := { (X, Y ) C 2 X N + Y N = 1 }. 8

9 (a) Geben Sie die projektiven Fermat-Kurven F (N) an. (b) Zeigen Sie, dass die projektiven Fermat-Kurven singularitätenfrei sind. (c) Geben Sie die genau 3N Punkte (X : Y : Z) auf F (N) an, bei denen eine der Koordinaten X, Y, Z Null ist. Diese Punkte heißen unendlich ferne Punkte auf F (N). (d) Beweisen oder widerlegen Sie: F (3) ist homöomorph zur 2-Sphäre S 2. Aufgabe 23: Gegeben seien die folgenden Matrizen aus M at(2, C): u 1 = 1 ( ) ( ) 3i 5 0 i, u 4 5 3i 2 = u i 0 3 = 1 ( 4 (a) Überprüfen Sie, ob die u i (i {1, 2, 3}) hermitesch sind. (b) Stellen Sie die u i jeweils mit Hilfe der Pauli-Matrizen dar. (c) Berechnen Sie für j, k {1, 2, 3} jeweils u j u k + u k u j. 5 3i 3i 5 ). Aufgabe 24: Zeigen Sie dass die (reelle) Clifford-Algebra Cl 3 des euklidischen Raumes R 3 isomorph ist zur reellen Algebra M at(2, C). Aufgabe 25: Berechnen Sie Cen(Cl 3 ), d. h. das Zentrum von Cl 3. Zeigen Sie, dass Cen(Cl 3 ) isomorph ist zum Körper der komplexen Zahlen. Aufgabe 26: (a) Zeigen Sie, dass der reelle dreidimensionale Vektorraum V = R 3 eine assoziative Algebra bzgl. der Operation x y = x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 für x = (x 1, x 2, x 3 ) T und y = (y 1, y 2, y 3 ) T aus V bildet. 9

10 (b) Weiterhin sei der Shift-Operator S definiert durch x 1 S x 2 x 3 := x 2 x 3 x 1. Drücken Sie das (Standard-) Vektorprodukt auf R 3 (x y) z mit Hilfe des Shift-Operators aus. (c) Zeigen Sie, dass V mit dem Produkt x y eine Lie-Algebra ist, d. h. es gilt sowie die Jacobi-Identität x 2 = 0 (x y) z + (y z) x + (z x) y = 0. Insbesondere ist das Produkt also nicht assoziativ und besitzt kein Einselement. Aufgabe 27: Eine wichtige Tatsache ist: Wenn V = V 0 V 1 ein graduierter Vektorraum ist, dann ist die Algebra der Endomorphismen End(V ) ebenfalls graduiert. Geben Sie die geraden und ungeraden Endomorphismen von End(R 2 ) an. Aufgabe 28: Die Superalgebra A sei superkommutativ, d. h. für homogene Elemente a, b A gilt die Vertauschungsrelation ab = ( 1) p(a)p(b) ba. Verifizieren Sie: Jede A-Links-Supermodulstruktur induziert eine A-Rechts-Supermodulstruktur. (Es gilt auch die umgekehrte Aussage.) Hinweis: Für homogene Elemente definiert man Zeigen Sie ma := ( 1) p(a)p(m) am. m(ab) = (ma)b für alle m M und alle a, b A. 10

11 Aufgabe 29: Sei B := ( B1 B 2 B 3 B 4 ) GL A (r s); dabei ist GL A (r s) die Gruppe der geraden invertierbaren Elemente von Mat A (r s). GL A (r s) heißt die allgemeine lineare Supergruppe vom Rang (r s). Weiter heißt sdetb := det(b 1 B 2 B4 1 B 3 ) det B4 1 die Superdeterminante (oder auch Berezin-Determinante) von B. Verifizieren Sie: Eine zur Definition der Berezin-Determinante gleichwertige Formel ist ( ) B1 B sdet 2 = det B B 3 B 1 det(b 4 B 3 B1 1 B 2 ) 1. 4 Aufgabe 30: Gegeben sei das Spielzeug-Universum T 10 (toy universe) von Roger Penrose und p = 10, d. h. den Punkten 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (a) Wieviele Zustände können n identische Bosonen besetzen? (b) Wieviele Zustände können n identische Fermionen besetzen? (c) Wieviele identische Fermionen können in T 10 leben? Welches fundamentale physikalische Prinzip folgt daraus? Aufgabe 31: Verifizieren Sie: Jeder Schnitt eines Produktbündels (B F, p, B) hat die Form s(b) = ( b, f(b) ), wobei f : B F eindeutig durch s bestimmt ist. Aufgabe 32: Sei E := { (u, v) = (x, y, z, a, b, c) R 3 R 3 u = 1, u, v = 0 }, und die Projektionsabbildung auf die Einheitssphäre S 2 sei gegeben durch π : E S 2, π(u, v) = u. Zeigen Sie, dass ξ = (E, π, S 2 ) ein lokal-triviales Bündel über S 2 mit Faser R 2 ist. 11

12 Aufgabe 33: Sei S n die Oberfläche der Einheitskugel im R n+1. (a) Berechnen Sie die kanonische Darstellung des Tangentialbündels T S n als Teilmenge eines gewissen R k. (b) Bestimmen Sie einen differenzierbaren Schnitt in T S 2 mit genau zwei Nullstellen. Aufgabe 34: Gegeben sei die Heisenberg-Gruppe 1 x y H := 0 1 z x, y, z R. (a) Versehen Sie H so mit einer Struktur, dass H eine C -Mannigfaltigkeit wird, die zum R 3 isomorph ist. (b) Zeigen Sie, dass H, versehen mit der Matrizenmultiplikation, eine Lie-Gruppe ist. (c) Ist die Abbildung f : H R, A f(a) = x + y + z differenzierbar? (d) Ist f (aus (c)) ein Homomorphismus von Lie-Gruppen? Aufgabe 35: Die direkte Summe von zwei C -Algebren ist die C -Algebra von allen Paaren (a, b) mit a A und b B, versehen mit den entsprechenden, komponentenweise definierten algebraischen Operationen und der Norm Zeigen sie: Die kurze exakte Sequenz (a, b) := max { a, b }. 0 A f A B g B 0 spaltet. Hinweis: Spezifizieren Sie die Abbildungen f und g und geben Sie dann einen -Homomorphismus (Lift, Hochhebung von g) an mit der Eigenschaft g λ = id B. λ : B A B 12

13 Aufgabe 36: Sei die obere Halbebene und M 1 = N 1 = R 2 + = M 2 = N 2 = R 2 = {( x y {( x y ) y 0} ) y 0} die untere Halbebene. Die Abbildungen h 1 und h 2 seien gegeben durch und h 1 : M 1 N 1, h 1 (x, y) = (x + y, y) (für y 0) h 1 : M 2 N 2, h 2 (x, y) = (x, y) (für y 0). Mit den Bezeichnungen der Vorlesung sollen schließlich noch φ und ψ die Identitäten sein, so dass man W = V = R 2 hat. (a) Überprüfen Sie, ob man die Abbildungen in dieser Form verkleben kann, um einen Diffeomorphismus von R 2 nach R 2 zu erhalten. (b) Modifizieren Sie die Abbildungen, so dass man einen Diffeomorphismus H = h 1 h 2 : R 2 R 2 erhält. Aufgabe 37: Verkleben Sie die glatten 1-Mannigfaltigkeiten M 1 = [0, 1] und M 2 = [1, 2] so, dass Sie die glatte 1-Mannigfaltigkeit M 3 = [0, 2] erhalten. Aufgabe 38: Machen Sie folgende Strukturen zu einer Frobenius-Algebra, in dem Sie ein entsprechendes lineares Funktional angeben: (a) A Dabei sei A eine endliche Körpererweiterung von K. (b) C (c) A Dabei sei A eine Divisionsalgebra (endlicher Dimension) über K. Aufgabe 39: Wir benötigen zunächst folgende Definition: Eine Prägarbe über einem topologischen Raum X genügt dem Identitätssatz, wenn für jedes Gebiet U X und f, g G(U) mit [f] c = [g] c für ein c U folgt: f = g. 13

14 (a) Verifizieren Sie: Für eine komplexe Mannigfaltigkeit M genügt die Garbe O M dem Identitätssatz. Zur Erinnerung: Sei M eine komplexe Mannigfaltigkeit und T die Topologie auf M. Für U T sei G(U) der C-Vektorraum O(U) der holomorphen Funktionen auf U. Für U, V T mit V U sei weiter res U V : O(U) O(V ) der C-Vektorraumhomomorphismus f f V. Dann ist (G, res) mit G ( O(U) ) und U T (resu V ) U,V T,V U eine Prägarbe von C-Vektorräumen. Diese Prägarbe wird mit O M bezeichnet. (b) Verifizieren Sie: O M ist auch eine Prägarbe kommutativer unitärer Ringe. Aufgabe 40: Seien (X, T ) ein topologischer Raum und G eine Prägarbe auf X. Für U T und f G(U) sei U f := { [f] c c U }. Zeigen Sie: (a) Die U f bilden die Basis einer Topologie T G auf G. (b) Die kanonische Projektion p : G X ist eine unverzweigte Überlagerung. Hinweis zu (b): Es reicht aus zu zeigen, dass p lokalhomöomorph ist. Bemerkung: G := ( G, T G ) heißt der der Prägarbe G assoziierte Überlagerungsraum. 14