2.3 Rentenrechnung bei einfacher Verzinsung

2.3 Rentenrechnung bei einfacher Verzinsung Die Rentenrechnung befasst sich it Kapitalvorgängen, bei denen regeläßig Zahlungen gleicher Höhe anfallen. Zunächst betrachten wir die einfache Verzinsung bei Ein- und Auszahlungen Hier kann an sich vorstellen, dass jede Zubuchung +R i oder Abbuchung R i in der Zeit t i vo Buchungsterin bis zu Laufzeitende auf eine gesonderten Konto geführt und dort einfach verzinst wird it deselben Zinsfuß p% wie das Anfangskapital K 0. Die Zinsen für den i-ten Buchungsbetrag sind dann p t i R i, und sie sind zu Zinsertrag des Anfangskapitals zu addieren, wenn es sich u ein Zubuchung handelte, bzw. davon zu subtrahieren i Falle einer Abbuchung (da diese den Zinsertrag für die Zeitspanne t i entsprechend verindert. Die Zinsen betragen soit, wenn t die Laufzeit des gesaten Vorgangs ist: Z t = p t K 0 + p t i (±R i. Dabei sind ±R 1,...,±R die während der Laufzeit t erfolgten Buchungen, wobei das Vorzeichen + zu nehen ist, wenn der Kapitalstand durch die Buchung erhöht wird (z.b. Einzahlung auf ein Sparkonto oder Auszahlung aus eine Darlehenskonto, und das Vorzeichen, wenn der Kapitalstand durch die Buchung erniedrigt wird (z.b. Abbuchung von eine Sparkonto oder Rückzahlung eines Teilbetrags eines Darlehens. Die Buchungsbeträge R i selbst nehen wir hier stets positiv an, wir rechnen also nicht it negativen Zahlen für Abbuchungen, sondern achen diese durch die Wahl des negativen Vorzeichens kenntlich. Die Laufzeiten t i für die einzelnen Buchungen werden gerechnet vo Tage der Wertstellung (Gutschrift / Belastung bis zu Ende des ins Auge gefassten Zeitraus einfacher Verzinsung der Dauer t; insbesondere liegt t i dann natürlich zwischen 0 und t. Wie ier werden hier die Zeiten t und t i in Jahren gerechnet! (Der Tag der Wertstellung kann erheblich abweichen von de Tag, an de eine Buchung tatsächlich erfolgte. Bei Hypotheken z.b. war es bis zu eine entgegenstehenden Gerichtsentscheid üblich, die während des Jahres geleisteten Tilgungsbeträge erst zu Jahresende wertzustellen. Man kann das Anfangskapital auch als eine erste Zahlung K 0 = R 0 it zugehöriger Laufzeit t 0 = t auffassen und dann den Suanden p t K 0 oben als 0-ten Suanden der nachfolgenden Sue schreiben; das acht keinen Unterschied i Ergebnis der Zinsberechnung, entspricht aber weniger de realen Sachverhalt. Eine andere Berechnungsweise der Zinsen für das einfach verzinste Konto bei Zu- und Abbuchungen ist folgende: Man erittelt zu i-ten Buchungs- bzw. Wertstellungsterin den jeweils aktuellen Kontostand k i = K 0 ±R 1 ±...±R i, der alle bis dahin vorgenoenen Zu- und Abbuchungen berücksichtigt, und verzinst den Betrag k i dann für den Zeitrau bis zur nächsten Buchung einfach zu Zinsfuß p%. Die Länge dieses Zeitraus ist gerade die Differenz t i t i+1 der Laufzeiten der i-ten und der (i+1-ten Buchung, wobei für die letzte Buchung t +1 := 0 anzusetzen ist. Das führt auf die Forel Z t = p t K 0 + p (t i t i+1 und an kann sich durch Rechnung leicht davon überzeugen, dass dieser Ausdruck gleich de zuvor angegebenen Ausdruck für die während der Laufzeit t insgesat angefallenen Zinsen Z t ist. (Inhaltlich ist von vorneherein klar, dass die beiden verschiedenen Berechnungsweisen für die Zinsen zu gleichen Ergebnis führen. 82 k i,

Kap. 2, Abschnitt 2.3 83 Natürlich gilt alles hier Gesagte unter de Vorbehalt, dass kein negativer Kontostand aufgrund der Abbuchungen eintritt; denn da der Zinssatz für Sollzinsen ein anderer ist als für Habenzinsen, uss für Zeiträue it negative Kontostand natürlich it eine andern Zinsfuß gerechnet werden. Ebenso uss bei Änderung des Zinsfußes p% verfahren werden: Man beendet dann die Periode einfacher Verzinsung zu bisherigen Zinsfuß, erittelt den aktuellen Kapitalstand und beginnt it diese als Anfangskapital eine Periode der einfachen Verzinsung zu neuen Zinsfuß. In der Praxis ist der Fall regeläßiger Zahlungen in gleicher Höhe besonders wichtig. Solche Zahlungen nennt an auch Renten, und an kann wichtige sog. Rentenforeln für Zinsen und Kapitalstand herleiten, die wir besprechen in folgender DISKUSSION der Rentenrechnung bei einfacher Verzinsung: 1 Zunächst zur Terinologie: Unter einer Rente versteht an in der Finanzatheatik, wie gesagt, eine Abfolge von Zahlungen in gleicher Höhe und in gleichen Zeitabständen. Die einzelne Zahlung R wird dabei Rate genannt (oder auch wieder Rente, und wir nehen R i Folgenden stets positiv an. Die gleich langen Zeiträue zwischen zwei Ratenzahlungen werden Ratenperioden genannt. Ist t die Gesatlaufzeit des betrachteten Zahlungsvorgangs und werden in dieser Zeit Raten gezahlt, so hat also jede Ratenperiode die Dauer r = t (Jahre!. Man unterscheidet nun vorschüssige Ratenzahlung, bei der die Raten zu Beginn jeder Ratenperiode geleistet werden, und nachschüssige Ratenzahlung, bei der die Raten jeweils a Ende der Ratenperiode gezahlt werden. Beide Zahlungsweisen koen in der Praxis vor, z.b. die vorschüssige Zahlung typischerweise bei ratenweisen Ansparen eines Guthabens, die nachschüssige typischerweise bei ratenweisen Abzahlen eines Kredits. Deshalb üssen wir auch beide Zahlungsweisen der Raten hier parallel diskutieren. (Aber bitte nicht das vor- bzw. nachschüssige Zahlen der Raten verwechseln it vor- bzw. nachschüssiger Verzinsung! In der Rentenrechnung nehen wir ier die übliche nachschüssige Art der Verzinsung an. Sollte dort ein vorschüssiger Zinsfuß auftauchen, so rechnen wir einfach it de dazu konforen nachschüssigen Zinsfuß für die Laufzeit t. 2 Wenn während der Gesatlaufzeit t vorschüssig Raten der Höhe R gezahlt werden, so haben diese die Laufzeiten t, t 1 t, t 2 t,..., 2 t, 1 t; bei nachschüssiger Ratenzahlung sind alle Ratenlaufzeiten jeweils u die Zeitspanne 1 t kürzer. Die für die i-te Rate anfallenden Zinsen betragen also p i 1 p (1 t R bei vorschüssiger und (1 i t R bei nachschüssiger Zahlungsweise (wobei wir die einzelnen Ratenzahlungen it i = 1,..., durchnueriert haben und einfache Verzinsung annehen. Dies sind arithetische Folgen, und die Sue der Zinsen für alle Ratenzahlungen lässt sich daher it der arithetischen Suenforel aus 1.1 berechnen. Hinzu koen gegebenenfalls noch die Zinsen pt K 0 für ein Anfangskapital K 0. Das Ergebnis ist die Rentenforel bei einfacher Verzinsung: vorschüssige Ratenzahlung: Z t = p t ( K 0 ± +1 2 R nachschüssige Ratenzahlung: Z t = p t ( K 0 ± 1 2 R K t = K 0 ± R + Z t K t = K 0 ± R + Z t

84 Matheatik für Wirtschaftswissenschaftler Wir wiederholen, was die in diesen Foreln vorkoenden Paraeter (Variablen sind: Zugrunde liegt eine Zinsperiode von t Jahren (z.b. t = 1 bei 6 Monaten it einfacher 2 Verzinsung zu Jahreszinsfuß p%. Die Zinsperiode ist in gleich lange Ratenperioden von r = t/ Jahren eingeteilt (z.b. t = 1, = 6, r = 1 bei onatlicher Ratenzahlung 2 12 für ein Halbjahr alle Laufzeitangaben erfolgen in Jahren!. Man kann also statt t auch r in die Rentenforeln einsetzen. Bei vorschüssiger Ratenzahlung wird die Rate R zu Beginn, bei nachschüssiger Ratenzahlung zu Ende jeder Ratenperiode gezahlt. Als Vorzeichen in den Foreln ist + zu nehen, wenn die Ratenzahlung den Kontostand erhöht (Einzahlung auf ein Einlagenkonto oder Auszahlung aus eine Darlehenskonto, und, wenn die Ratenzahlung den Kontostand erniedrigt (Auszahlung aus eine Einlagenkonto, Tilgungsrate für ein Darlehen. Die richtige Vorzeichenwahl uss an sich bei jeder Anwendung der Rentenforeln klar achen es wäre ein katastophaler Fehler, z.b. vo Kapitalstand Raten und Zinserträge abzuziehen, die eigentlich addiert werden üssten! Z t sind die Gesatzinsen für das Anfangskapital K 0 und die gezahlten Raten, K t schließlich ist der abschließende Kapitalstand a Ende der Gesatlaufzeit t, der sich aus K 0 durch Addition (bei Vorzeichenwahl + bzw. Subtraktion (bei der gezahlten Raten und Addition der Gesatzinsen Z t ergibt. 3 Die Rentenforeln in 2 haben eine Interpretation, die sehr plausibel ist und die an sich leicht erken kann (und die aus der arithetischen Suenforel folgt: Der Gesatzins ist der Zins für das Anfangskapital über die gesate Laufzeit plus der Zins für die Sue aller Ratenzahlungen über deren ittlere Laufzeit. Die ittlere Laufzeit der Raten ist nälich geäß 2 gleich 1 (t i 1 t bei vorschüssiger Ratenzahlung, und it der arithetischen Suenforel ergibt sich dies zu +1 t ; 2 bei nachschüssiger Ratenzahlung ist die ittlere Laufzeit der Raten natürlich u die Dauer einer Ratenperiode t 1 kürzer, also gleich t pt. Der Suand +1R bzw. 2 2 pt 1 R in der Rentenforel lässt sich daher auffassen als Verzinsung der gesaten 2 Ratenzahlung R zu Zinsfuß p% für die ittlere Ratenlaufzeit. 4 Die Rentenforeln in 2 lassen sich anwenden auf vier Arten von Vorgängen: Guthabenaufbau (Ansparen; Vorzeichen + und eist vorschüssige Raten; Guthabenabbau (Auszahlung einer Rente aus Kapitalverögen; Vorzeichen ; Schuldenaufbau (ratenweise Darlehensauszahlung; Vorzeichen + ; Schuldenabbau (Tilgungsratenzahlungen; Vorzeichen, nachschüssige Raten. Voraussetzung für die Anwendung der Rentenforeln aus 2 ist, dass einfache Verzinsung zu Jahreszinsfuß p% über die gesate Laufzeit t gegeben ist, dass also Zinsen überhaupt erst a Ende dieser Laufzeit fällig werden oder dass sie während der Laufzeit auf eine separaten Konto (unverzinst abgerechnet werden. Wenn sich der Zinsfuß während des Ablaufs eines Rentenvorgangs ändert, so kann an natürlich die Rentenforel zu bisherigen Zinsfuß nicht weiter verwenden, sondern an uss den aktuellen Kapitalstand eritteln und dann it de neuen Zinsfuß in der Rentenforel weiter rechnen. Dies bedeutet insbesondere, dass die Rentenforeln nicht verwendet werden dürfen, wenn sich während der Laufzeit ein negativer Kapitalstand ergibt; denn bei Übergang von eine positiven zu eine negativen Kapitalstand ändert sich natürlich der Zinsfuß. (Da wir K 0 nicht negativ annehen, kann sich ein negativer Kapitalstand während der Laufzeit natürlich nur ergeben, wenn das Vorzeichen in der Rentenforel zu wählen ist.

Kap. 2, Abschnitt 2.3 85 Wir bringen nun einige konkrete Beispiele zur Anwendung der Rentenforeln bei einfacher Verzinsung. Dabei sind alle Paraeter bis auf einen jeweils vorgegeben, und die Fragestellung erfordert die Auflösung der Rentenforel nach der unbekannten Variablen. Dazu braucht an nur die Grundrechenarten; wenn die Laufzeit t und die Anzahl der Raten gekoppelt sind, etwa t = 1 bei onatlichen Ratenzahlungen, so hat an i 12 schlisten Fall quadratische Gleichungen zu lösen. BEISPIELE (Anwendungen der Rentenforeln bei einfacher Verzinsung: 1 Welche Rate R uss jeden Monatsanfang eingezahlt werden, dait nach 1 Jahr bei einfacher Verzinsung zu 5% p.a. ein Guthaben von 1200e zur Verfügung steht? Lösung: Die vorschüssige Rentenforel ist anzuwenden it den bekannten Paraetern K 0 = 0, K 1 = 1 200, p = 5, t = 1, = 12 und it de Vorzeichen + ; die Unbekannte Größe ist R. Die Forel für K t lautet it diesen Paraetern 1 200 = 12 R + 5 13 2 R, also ist R = 1 200 12 + 5 13 2 = 97.36 (e. Man hätte auch it eine Anfangskapital K 0 = R und 11 nachschüssigen Ratenzahlungen in Höhe R rechnen können das ist offenbar derselbe Vorgang, und die nachschüssige Rentenforel hierfür liefert auch dasselbe Ergebnis. 2 Was ist die zu Vorgang 1 gehörende Jahres-konfore Ersatzrate R, die bei einaliger Zahlung zu Jahresbeginn zu gleichen Kapitalendstand führt? Lösung: Es soll gelten 1 200 = ( 1 + 5 R, also ist R = 1 200 1 + 5 = 1 142.86 (e. Es ist von vorneherein klar, dass diese Ersatzrate niedriger sein uss als die Sue 1 168.36e aller 12 Raten (waru?! Genauer heißt R hier die jahreskonfore vorschüssige Ersatzrate; die jahreskonfore nachschüssige Ersatzrate, die zu Jahresende gezahlt denselben Kapitalstand bringt, ist hier natürlich einfach R = 1 200e. Allgeein kann an durch Übergang zu einer konforen Ersatzrate ehrere Ratenzahlungen in einer Periode einfacher Verzinsung in eine einzige äquivalente vorschüssige oder nachschüssige Rate it entsprechend größerer Laufzeit verwandeln. Das ist besonders bei der Rentenrechnung it Zinseszins (s.u. nützlich, weil sonst die Behandlung sehr unübersichtlich würde. 3 Aus eine Kapital von 60 000e werden zu Monatsende jeweils eine Rente von 1 200e und zusätzlich a Ende eines jeden Quartals die angefallenen Guthabenzinsen von 8% p.a. entnoen. Nach wievielen Monaten sind einschließlich Zinsen 20 000 e ausgezahlt? Lösung: Da die Zinsen entnoen werden, ist einfache Verzinsung für die gesate Laufzeit gegeben. Anzuwenden ist hier die nachschüssige Rentenforel it de Vorzeichen, it der unbekannten Zahl der Ratenperioden (Monate und it der Laufzeit t = (weil es 12 Ratenperioden pro Jahr gibt. Die Forel gibt als Auszahlungsbetrag 12 für Monate A /12 = R + Z /12 = 1 200 + 8 ( 60 000 1 1 200 = 1 604 4 2. 12 2

86 Matheatik für Wirtschaftswissenschaftler Allerdings gilt dies nur für durch 3 teilbare Monatszahlen, weil die Zinsen ja nur a Quartalsende ausgezahlt werden. Zu bestien ist als die größte durch 3 teilbare Zahl, für die A /12 noch kleiner als 20 000 ist. Das kann an it Probieren herausfinden und findet = 12 it A 12/12 = 18 672. (Man kann auch systeatisch vorgehen und die quadratische Gleichung 20 000 = 4 2 + 1 604 für lösen; an findet die Lösungen 12.81 und 390.13 und nit für dann die größte durch 3 teilbare Zahl unterhalb von 12.81, also = 12, da die zweite Lösung offenbar it de Proble nichts zu tun hat. Die 13. und 14. Rentenzahlung beträgt noch je 1200e, ohne dass Zinsen zusätzlich ausgezahlt werden (die werden erst it der 15. Rentenzahlung fällig. Mit der 14. Rentenzahlung überschreitet die Sue aller ausgezahlten Raten und Zinsen also die 20 000 e -Grenze (u 1 072e. Realistischer ist natürlich, dass die Zinsen de Kapital zugeschlagen werden; dann aber ist für die Rentenberechnung die erst später in diese Abschnitt diskutierte Rentenforel bei Zinsverzinsung zuständig. 4 Eine Schuld von 000e soll it 10% p.a. verzinst und in onatlichen Tilgungsraten von 2 000 e zurückgezahlt werden, wobei anfallende Schuldzinsen zusätzlich onatlich beglichen werden. Wie hoch ist die Annuität (=Belastung i i-ten Monat? Welcher Betrag wird insgesat an Schuldzinsen gezahlt? Lösung: Man hat K 0 = 000, R = 2 000, p = 10, = 50, t = 50/12 in der nachschüssigen Rentenforel it einzusetzen: ( Z 50/12 = 10 50 12 000 49 2 2 000 = 21 250 (e (Euro sind die insgesat gezahlten Schuldzinsen. Die Annuität a i setzt sich zusaen aus der Tilgungsrate und de Schuldzins z i für die i-te Ratenperiode, in der die Schuld noch 000 (i 1 2 000 beträgt. Also gilt a i = R + z i = 2 000 + 10 ( 000 (i 1 2 000 = 2 833.33 (i 1 16.67 (e. 12 Man erkennt, dass die Annuitäten hier eine arithetisch degressive Folge bilden, beginnend it a 1 = 2 833.33 und endend it a 50 = 2 016.67. Allgeein spricht an hier von einer Ratenschuld, d.h. die Tilgung erfolgt it gleichbleibenden Beträgen (sog. Ratentilgung. Der Nachteil für den Schuldner ist hierbei, dass die Annuitäten anfangs höher als gegen Ende der Tilgungszeit sind. (Ugekehrt wäre es ih eist weniger unangeneh! Das ist anders bei einer Annuitätenschuld, bei der die Annuität, also die regeläßige (z.b. onatliche Belastung, konstant bleibt und der die jeweils fälligen Schuldzinsen übersteigende Teil der Annuität zur Tilgung verwendet wird. Aber dies ist, weil die Schuldzinsen nicht direkt beglichen sondern der jeweiligen Restschuld zugeschlagen werden, ein Rentenvorgang it Zinsesverzinsung, wofür dann eine andere Rentenforel zuständig ist (s. 2.4. Bei sog. Teilzahlungskrediten, Kleinkrediten, Anschaffungsdarlehen etc. berechnen Händler und Banken häufig die Zinsen über die gesate Laufzeit von der anfänglichen Schuld. Diese unfaire Vorgehensweise führt natürlich zu einer höheren Zinsbelastung als die Zinsberechnung geäß der Rentenforel zu deselben einfachen Zinsfuß, weil dabei Zinsen ja nur auf die jeweilige Restschuld anfallen. U Teilzahlungskreditkonditionen zu

Kap. 2, Abschnitt 2.3 87 bewerten und vergleichbar zu achen, kann an einen Effektivzins angegeben, der z.b. auf Grundlage der Rentenforel definiert werden kann. Wir beschreiben das nun i Detail in folgender DISKUSSION (Belastung und Effektivzins bei Teilzahlungskrediten: 1 Die Kosten des Teilzahlungskredits setzen sich zusaen aus Zinskosten und Gebühren, die u.u in For einer Minderung der Auszahlung (Disagio erhoben werden. Ist S die aufgenoene Schuld, also z.b. die Differenz von Kaufpreis und Anzahlung, p% der noinelle Zinsfuß, d.h. der i Kreditvertrag angegebene Jahreszinssatz für die Verzinsung der Schuld, und die vereinbarte Anzahl der Raten, it denen die Schuld zurückgezahlt werden soll, so ist a Ende jeder Ratenperiode die Tilgungsrate 1 p r S zuzüglich der Zinsen von S fällig, wenn die Dauer der Ratenperioden jeweils r ist (z.b. r = 1 bei onatlicher Ratenzahlung. Es ergibt sich dait also bei eine 12 Teilzahlungskredit ohne Disagio und Gebühren: onatliche Belastung : ( 1 + p r S = 1 ( 1 + p t S, gesate Zinszahlung : p r S = p t S. 2 Ein Abgeld (Disagio, Danu von d% bedeutet, dass d% des Darlehens bei Auszahlung einbehalten werden. Daher uss der Schuldner eine größere noinelle Schuld S no = (1 d 1 S aufnehen, u über den benötigten Betrag S verfügen zu können. Die Zinsen und Tilgungsraten werden dann natürlich von der noinellen Schuld berechnet. Eine Gebühr von g% bedeutet dagegen, dass it jeder Rate zusätzlich noch 1 g% der noinellen Schuld S no eingezogen wird. (I allgeeinen wird kein Disagio einbehalten, wenn eine Gebühr erhoben wird; dann ist natürlich S no = S, und die Gebühr wird in Höhe von insgesat g% des ausgezahlten Darlehensbetrags S ratenweise eingezogen. U alle in der Praxis vorkoenden Fälle siultan zu erfassen, berücksichtigen wir hier aber Disagio und Gebühr. Wenn die Gebühr anders erittelt wird, etwa als Prozentwert des Kaufpreises statt des Differenzbetrags zwischen Kaufpreis und Anzahlung, so uss an den Gebührensatz zuerst als Prozentsatz der noinellen Schuld urechnen. Bei Auszahlung des Betrags S, noinelle Zinsfuß p% und Rückzahlung in Ratenperioden der Dauer r (Jahre ergibt sich also für einen Teilzahlungskredit it d% Disagio und/oder g% Gebühr: onatliche Belastung : 1 gesate Zuzahlung : ( 1 + p t + g S no, ( p t + g + d S no, S no = 1 1 d wobei der Suand d S no i letzten Ausdruck die Differenz zwischen der tatsächlich zurückgezahlten noinellen Schuld S no und de ausgezahlten Darlehensbetrag S = (1 d S no ist und t = r die Gesatlaufzeit des Kreditvertrags (in Jahren angibt. Die gesate Zuzahlung (Gesatbelastung des Darlehensnehers ist natürlich die Sue all seiner Ratenzahlungen abzüglich des ausgezahlten Kreditbetrags. S,

88 Matheatik für Wirtschaftswissenschaftler 3 Als Vergleichsverfahren betrachten wir nun die Rückzahlung der Schuld S in Raten 1 S, wobei die (einfachen! Zinsen nur in fairer Weise auf die in der jeweiligen Ratenperiode der Dauer r bestehende Restschuld erhoben werden it de Zinsfuß p% und ein Disagio oder eine Gebühr nicht einbehalten werden. Aus der Rentenforel (nachschüssig, it R = S/, t = r und Vorzeichen ergibt sich dann die p t ( faire Gesatzinszahlung : S 1 S = +1 p r 2 2 S, die auch gleichzeitig die Gesatzuzahlung in diese Vergleichsverfahren ist. Die Differenz zu der in 1 angegebenen Gesatzinszahlung p r 1 S ist p r S. Bei langen Laufzeiten 2 ( groß acht die Zuvielzahlung an Zinsen i Verfahren 1 fast genau so viel aus wie die faire Gesatzinszahlung! Dabei sind Disagio und/oder Gebühren noch gar nicht berücksichtigt! 4 U einen Bewertungsaßstab für die Qualität von Teilzahlungskrediten zu erhalten, bestien wir nun den konforen Zinsfuß i Vergleichsverfahren, d.h. denjenigen Zinsfuß p %, für den die in 3 berechnete faire Gesatzuzahlung genau so hoch ist wie die Gesatzuzahlung G bei de zu beurteilenden Teilzahlungskredit, die wir in 2 erittelt haben. Die Gleichung für p ist also + 1 2 p r S = G = ( p t + g + d 1 1 d Wenn an den Standpunkt annit, dass das faire Vergleichsverfahren das eigentlich angeessene ist, so gibt der konfore Zinsfuß p den Zinsfuß an, der bei de Teilzahlungskredit in Wahrheit angewendet wird. Man nennt ihn daher auch den effektiven Zinssatz p eff = p des Kreditvertrags i Unterschied zu de darin ausgewiesenen noinellen Zinsfuß p no = p. Die Auflösung der letzten Gleichung nach p = p eff acht keine Schwierigkeiten (it 200 ultiplizieren, it (+1rS dividieren und gibt für Teilzahlungskredite die S. Effektivzinsforel: p eff = 200 (+1 r G S = 2 ( +1 p no + g + d t 1 1 d wenn d% Disagio und/oder g% Gebühr anfallen, der Kredit sat Zinsen und Disagio/Gebühren in Ratenperioden der Dauer r = t Jahre it Raten konstanter Höhe abgezahlt wird und G die Gesatzuzahlung ist. Die Forel erlaubt verschiedene Aussagen über den Zusaenhang von Noinal- und Effektivzins: Da 2 2 ist für große, +1 ist der Effektivzinssatz bei vielen Ratenperioden ungefähr das Doppelte des Noinalzinssatzes, i Falle eines Disagio sogar ehr als das Doppelte. Weil andererseits der Faktor 1 klein ist für große t, erkennt an, dass eine Gebühr sich bei großen Laufzeiten kau t steigernd auf den Effektivzins auswirkt (bei kleinen Laufzeiten natürlich schon, während ein Abgeld von d% den Effektivzins in jede Falle u ehr als den Faktor (1 d 1 vergrößert. Außerde sieht an, dass der Effektivzinssatz proportional zur Gesatzuzahlung ist. Bei der Wahl zwischen verschiedenen Angeboten läuft also die Entscheidung für das Angebot it de niedrigsten Effektivzinssatz darauf hinaus, die Gesatzuzahlung so klein wie öglich zu achen. (Das ist oft die ökonoisch sinnvollste Entscheidung, aber nicht ier. Unter Uständen wird der Darlehensneher einen höheren Effektivzins in Kauf nehen, wenn dafür die Raten niedriger ausfallen..,

Kap. 2, Abschnitt 2.3 89 BEISPIELE (zur Effektivzinsberechnung: 1 Ein Teilzahlungskredit von 6 000e ist in 5 Jahren bei noinell 8% und 120e Gebühren in onatlichen Raten abzuzahlen. Wie hoch ist die Gesatzuzahlung? Was ist der Effektivzinssatz? 8 60 Lösung: Die gesate Zinszahlung ist 6 000e, die Gebühr 120e, die Gesatzuzahlung ithin 2520e. Aus der Effektivzinsforel ergibt sich 12 peff = 200 2 520 61 1 6 000 = 2 60 ( 61 8 + 2 16.52 (%. 5 12 Der Effektivzinssatz ist also ehr als das Doppelte des Noinalzinssatzes von 8%. 2 Autokauf, Barpreis 17950e. Welches Angebot ist günstiger? (a Der Händler bietet bei 3 950 e Anzahlung einen Teilzahlungskredit für den Restbetrag zu 10% über 36 Monate an it Gebühr von 2% des Kaufpreises. (b Die Bank offeriert Teilzahlungskredite bis noinell 20 000e zu 8.25% für 36 Monate bei 99% Auszahlung. Lösung: Bei (a ist die Gesatzuzahlung 10 36 14 000e an Zinsen plus 359e Gebühren, 12 also gleich 4 559e. Der Effektivzinssatz bezogen auf den Kredit von 14 000e ist dait p eff = 200 4559 21.12 (%. 37 1/12 14 000 Bei (b ist, bezogen auf eine Auszahlung von 17 950 e die Gesatzuzahlung gleich ( 8.25 3 + 1 1 17 950e 4 668.81e und p 0.99 eff = 2 36 (8.25 + 1 1 16.87 (%. Die 37 3 0.99 Zuzahlung ist also höher, d.h. an üsste sich für (a entscheiden??? Das wäre ein Denkfehler an darf nicht zwei Kreditverfahren it unterschiedlichen Darlehensbeträgen (14 000e bei (a, 17 950e bei (b vergleichen! Wenn der Käufer die Anzahlung 3 950e bar leisten kann andernfalls uss er sowieso zu seiner Bank gehen, so braucht er auch bei der Bank nur 14 000e aufzunehen. Dafür ergibt die Rechnung unter den Bedingungen aus (b dann eine Zuzahlung von ( 8.25 3 + 1 1 14 000e = 0.99 3 641e, also viel weniger als bei (a. Das sieht an i übrigen auch durch Vergleich der Effektivzinssätze 21.12% bei (a und 16.87% bei (b; denn diese Sätze stehen ja bei gleicher Schuld S in deselben Verhältnis wie die Zuzahlungen. (Der Effektivzinssatz für das Darlehen der Bank hängt nur von den Konditionen, nicht von der aufgenoenen Schuld ab, wie die Effektivzisforel zeigt; er ist daher der oben berechnete, auch wenn nur 14 000 e aufgenoen werden. Der Käufer sollte also die Anzahlung leisten und den Restbetrag it de Bankkredit finanzieren. Das letzte Beispiel scheint darauf hinzudeuten, dass an in solchen Fällen a besten das Kreditangebot it de niedrigsten Effektivins wählt. So einfach ist aber die Sache nicht. Wenn an z.b. das Angebot des Händlers als ein Darlehen von 17950e auffasst, von de sofort eine erste Rate von 3 950e zurückzuzahlen ist, so ergibt sich dafür ein 200 Effektivzinssatz von 4559 16.44 (Prozent, der niedriger ist als der des Bankangebots. (Das korrespondiert dait, dass die Gesatzuzahlung bei (a niedriger ist als 37 1/12 17 950 bei (b. Dennoch wäre hier die Entscheidung für (a unterstellt, der Käufer kann die Anzahlung überhaupt aufbringen ganz falsch, wie wir oben in Beispiel 2 gesehen haben. Man erkennt hier die Probleatik der Entscheidung nach de Effektivzins, also nach der geringsten Gesatzuzahlung. Das Proble ist, dass ein Effektivzinsvergleich nur die Gesatzuzahlung erfasst, aber unberücksichtigt lässt, wann die einzelnen Zahlungen in welcher Höhe anfallen. Das ag bei kleineren Ratenkrediten it kürzerer Laufzeit ein akzeptables Verfahren sein, ist aber bei größeren Investitionen ökonoisch unvertretbar!

90 Matheatik für Wirtschaftswissenschaftler Gegen das Vergleichsverfahren, das wir oben bei der Definition des Effektivzinses zu Grunde gelegt haben, lässt sich noch Weiteres einwenden, nicht nur, dass die Zeitpunkte der einzelnen Zahlungen unberücksichtigt bleiben. Z.B. würde das Vergleichsverfahren in der Praxis zu höheren Belastungen a Anfang der Tilgung führen als a Ende; denn da wir einfache Verzinsung annehen, üssten ja neben den konstanten Tilgungsraten auch noch die i Laufe der Zeit abnehenden Schuldzinsen regeläßig bezahlt werden. Statt eines solchen Ratendarlehens würde der Schuldner in den eisten Fällen ein Annuitätendarlehen vorziehen, bei de stets dieselbe Rate (Annuität zu zahlen ist, von der zunächst die angefallenen Schuldzinsen subtrahiert und dann der verbliebene Betrag zur Schuldtilgung verwendet wird. Jedoch läuft dies darauf hinaus, dass die Schuldzinsen regeläßig der Restschuld zugeschlagen werden, so dass ein Rentenvorgang it Zinsverzinsung vorläge, den wir erst in 2.4 diskutieren. Jedenfalls wäre auch ein Annuitätendarlehen ein sinnvolles Vergleichsverfahren für die Beurteilung von Teilzahlungskrediten, und auch it diese Vergleichsverfahren erhielte an eine sinnvolle Definition eines Effektivzinssatzes (wobei die Werte des Effektivzinssatzes etwas anders ausfallen würden als oben. Tatsächlich kot es nicht sehr darauf an, welches Vergleichsverfahren an für die Definition des Effektivzinses konkret verwendet, und es ist auch gar nicht einfach herauszufinden, wie die Banken zu ihren Effektivzinsangaben koen (entweder wissen sie es selbst nicht genau typische Antworten auf Nachfragen sind: Das acht der Coputer. oder Das ist gesetzlich geregelt., oder sie wollen es nicht gerne offen legen. Die wesentliche Funktion einer Effektivzinsangabe ist es ja, einen Vergleich zwischen unterschiedlichen Kreditkonditionen zu eröglichen, und das ist gewährleistet, wenn alle dasselbe (z.b. vo Gesetzgeber vorgegebene Vergleichsverfahren zur Definition des Effektivzinses verwenden; die Details sind dabei weniger wichtig. Wir schließen diesen Abschnitt it einigen grundsätzlichen Beerkungen zu den ökonoischen Bewertungsprobleen, auf die wir oben bei der Diskussion des Ratenkredits gestoßen sind. Bei der Entscheidung für eine von verschiedenen Finanzierungsöglichkeiten bei Autokauf wie i Beispiel oben und erst recht bei ökonoischen Entscheidungen über wesentlich koplexere Investitionsvorgänge oder Geldanlageöglichkeiten stehen wir vor der Grundaufgabe der Finanzatheatik: Eine erwartete, vereinbarte oder geplante Folge von Einnahen und Ausgaben zu bewerten und it anderen Folgen von Einnahen/Ausgaben sinnvoll zu vergleichen. Die Bewertung erfolgt i Allgeeinen durch Angabe einer Bewertungszahl, die z.b. ein Geldbetrag sein kann (erwarteter Gewinn, Gesatzuzahlung bei eine Kredit oder ein Prozentsatz (Rendite, Effektivzins. Der Größenvergleich der nach eine einheitlichen Bewertungsverfahren berechneten Bewertungszahlen für verschiedene alternative Maßnahen oder Projekte kann dann eine Grundlage ökonoischer Entscheidungen sein. Für die Bewertung einer Folge von Einnahen / Ausgaben gilt folgender Grundsatz: Grundprinzip der Finanzatheatik: Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen, dürfen nicht unittelbar verglichen addiert oder subtrahiert werden, sondern sie sind zuvor it angeessenen Zinsfüßen auf einen geeinsaen Bezugszeitpunkt auf- oder abzuzinsen. Diese Vorgehensweise berücksichtigt nicht nur die Sue aller Einnahen und Ausgaben, sondern auch die Zeitpunkte, zu denen die einzelnen Zahlungen erfolgen. Dies ist natürlich

Kap. 2, Abschnitt 2.3 91 ökonoisch sinnvoller als die Addition aller Einnahen und Ausgaben ohne Auf- oder Abzinsung auf einen geeinsaen Bezugszeitpunkt; denn in der Ökonoie ist ja ein Geldbetrag heute ehr wert als derselbe Betrag zu eine zukünftigen Zeitpunkt (eben weil an ihn bis dahin zu arktüblichen Zinsen anlegen kann. Die angeessenen Zinsfüße, auch Kalkulationszinsfüße genannt, weil sie den finanzatheatischen Berechnungen zu Grunde liegen, hängen dabei von der ökonoischen Bedeutung der jeweiligen Zahlungen ab: Einnahen werden it de arktüblichen Habenzinssatz aufgezinst, soweit sie die Schulden übersteigen, aber it de arktüblichen Sollzinsfuß, soweit sie zur Schuldentilgung dienen können; Ausgaben werden it de Habenzinssatz aufgezinst, soweit sie aus Eigenkapital gedeckt sind, aber it de Sollzinsfuß, wenn sie fredfinanziert werden üssen. (Eigenkapitalfinanzierung ist de facto eine Finanzierung zu Habenzinsfuß. Die angelegten Kalkulationszinsfüße berücksichtigen unter Uständen auch weitere Paraeter wie Gebühren, langfristige Zinsprognosen etc. Zurückhaltende Ansätze der Kalkulationszinsfüße verstärken dabei die Aussagekraft der ökonoischen Bewertungsverfahren. In der Kurs- und Investitionsrechnung wird die Probleatik genauer studiert. Dies ist ein wichtiger Zweig der Finanzatheatik, dessen detaillierte Behandlung aber den Rahen dieser Einführung in die Finanzatheatik sprengen würde. Wir deuten hier nur an, wie an it dieser Theorie die oben diskutierten Teilzahlungskredite zu bewerten hätte. Entsprechend de Grundprinzip der Finanzatheatik werden hierbei alle zu leistenden Zahlungen für Kredite it de arktüblichen Zinssatz für Einlagen bis zu Ende der Laufzeit aufgezinst, u sie korrekt zu bewerten; denn wenn an die Kredite nicht aufnit, so könnte an die entsprechenden Beträge ja it arktüblicher Verzinsung anlegen. Dabei ist unterstellt, dass an zu Zeitpunkt der Fälligkeit einer jeden Zahlung auch über entsprechende Eigenittel verfügt. (Wen an dafür wiederu Kredite braucht, so verläuft die Rechnung natürlich anders als i Folgenden dargestellt. Ist nun z.b. b = 1 12 p nos die onatliche Belastung bei eine Teilzahlungskredit, wobei wir der Einfachheit halber Disagio d = 0 und Gebühren g = 0 annehen, so ergibt sich als aufgezinster Wert aller Ratenzahlungen ( 1 + p arkt (i 1 12 b = b + p arkt ( 1 24 Bei de fairen Vergleichsverfahren, das der oben angegebenen Effektivzinsforel zu Grunde liegt, ist die Folge der onatlichen Belastungen b 1, b 2,...,b arithetisch degressiv, wenn wir onatliche Zahlung der fälligen Zinsen und der Tilgungsrate 1 S annehen, und zwar haben wir b i = p ( 1 S i 1 12 S + 1 S, wobei p % der i Vergleichsverfahren verwendete Zinsfuß ist. Aufgezinst zu Laufzeitende ist der Wert all dieser onatlichen Zahlungen b i gleich ( 1+ p arkt ( i 12 b i = b i + p arkt 12 [ ( i p 12 b. ( S i 1 S + 1 S ], und die Berechnung dieser Sue kann an zurückführen auf die Sue einer arithetischen Folge und auf die Quadratzahlensue i2 = 1 (+1(2+1 (die ihrerseits 6

92 Matheatik für Wirtschaftswissenschaftler it Hilfe der Darstellung i 2 = 1 3 [(i+13 i 3 ] i 1 auf eine arithetische Sue reduziert werden kann. Wir wollen diese Rechnung hier nicht weiter ausführen an sieht 3 ierhin, dass außer den Suen von arithetischen oder geoetrischen Progressionen noch andere Suenberechnungen in der Finanzatheatik erforderlich sind, hier z.b. die Sue der ersten Quadratzahlen. Die durch relativ koplexe Foreln wie oben erittelten auf- oder abgezinsten Werte aller Zahlungen auf einen geeinsaen Bezugszeitpunkt uss an eigentlich zu Grunde legen, wenn einen ökonoisch wirklich sinnvollen Vergleich zwischen verschiedenen Entscheidungsalternativen anstellen will. Bei siplen Teilzahlungskrediten werden Kalkulationen dieser Genauigkeit natürlich selten durchgeführt; an kann sich dabei it de Vergleich des Effektivzinses, also it de Vergleich der Gesatzuzahlung, durchaus zufrieden geben. Bei Entscheidungen über große Investitionen aber, wo es daru geht, den Kreditund Investitionskosten die erwarteten Gewinne gegenüber zu stellen und die Rendite it derjenigen zu vergleichen, die an bei Anlage der Eigenittel zu arktüblichen Zinsen erzielen würde, ist es unbedingt erforderlich, die Kreditkosten und die erwarteten Gewinne zu eine fixierten zukünftigen Zeitpunkt aufzuzinsen. Für eine ausführliche Behandlung der Investitions- und Kursrechnung verweisen wir auf Lehrbücher zur Finanzatheatik (z.b. von Bosch oder Köhler. Die Aussagekraft einer finanzatheatisch berechneten Bewertungszahl für einen Wirtschaftsvorgang sollte an i Übrigen nicht überschätzen; sie liefert ja nur eine einzige Zahlenangabe zur Bewertung eines koplexen Sachverhalts. Finanzatheatisch berechnete Bewertungszahlen für ökonoische Vorgänge eröglichen nur die Beurteilung unter eine einzigen Gesichtspunkt. Solche Bewertungszahlen sind daher nicht als alleinige Grundlage einer Entscheidung geeignet. Basis einer sinnvollen ökonoischen Entscheidung uss neben einer kritischen Prüfung der vorliegenden Bewertungszahlen ier auch eine Gesatbeurteilung des ökonoischen Vorgangs sein. So wird auch schon ein Kreditneher bei seiner Entscheidung für ein Kreditangebot neben de Effektivzinsvergleich oder de Vergleich von ökonoisch sinnvoller erscheinenden Bewertungszahlen, wie der Sue aller zu Laufzeitende aufgezinsten Zahlungen, noch andere Gesichtspunkte heranziehen, die seine individuelle ökonoische Situation betreffen. Z.B. kann er sich wegen der geringeren Höhe seiner onatlichen Belastung für einen Kredit it längerer Laufzeit entscheiden, auch wenn er dabei eine höhere Gesatzuzahlung hat. Mit der oben negativ forulierten Einschätzung der Aussagekraft finanzatheatischer Bewertungsverfahren wollen wir natürlich nicht sagen, dass die Berechnung von Bewertungszahlen für ökonoische Vorgänge generell überflüssig oder sinnlos sei. Ierhin sind Bewertungszahlen die einzige Grundlage für eine quantitativ vergleichenden Beurteilung verschiedener ökonoischer Entscheidungsalternativen und dait eine wertvolle Entscheidungshilfe. Man uss sich aber bewusst sein, dass auch in finanzatheatische Bewertungsverfahren Annahen über die Zukunft eingehen (z.b. über erwartete Absätze oder über die Entwicklung der arktüblichen Zinssätze für Einlagen bzw. Kredite, und dass ihre Ergebnisse, auch wenn sie it beeindruckenden wissenschaftlichen Foreln berechnet sind, it denselben Unsicherheiten behaftet sind wie die den Berechnungen zu Grunde liegenden Schätzungen.