Ferienkurs Quantenmechanik 2009 Grundlagen der Quantenmechanik Vorlesungsskript für den 3. August 2009 Christoph Schnarr Inhaltsverzeichnis 1 Axiome der Quantenmechanik 2 2 Mathematische Struktur 2 2.1 Vektorraum und Skalarprodukt................................. 2 2.2 Operatoren............................................ 3 2.3 Korrespondenzprinzip...................................... 3 2.4 Dirac Notation.......................................... 4 2.5 Kommutator........................................... 5 3 Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik 5 3.1 Normierung............................................ 5 3.2 Projektionsoperator....................................... 6 4 Verschiedene Bilder in der Quantenmechanik 6 4.1 Heisenberg-Bild.......................................... 6 4.2 Schrödinger-Bild......................................... 7 5 Unschärferelation 8 1
1 Axiome der Quantenmechanik 1. Der Zustand wird durch die Wellenfunktion ψ (x) beschrieben. 2. Den Observablen entsprechen hermitesche Operatoren Ô, wobei Funktionen von Observablen Funktionen von Operatoren entsprechen. 3. Der Mittelwert der Observablen mit zugehörigem Operator Ô ist im Zustand ψ gegeben durch: ( ) Ô = ψ, Ô (ψ) (1) 4. Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödinger-Gleichung bestimmt: i ψ = Hψ (2) H = 2 2m 2 + V (x) (3) 5. Wenn bei Messung von Ô der Wert a n gefunden wurde, geht die Wellenfunktion in die entsprechende Eigenfunktion ψ n über. Aus den Axiomen 2 und 3 folgt: Die möglichen Meßwerte einer Observablen sind durch die Eigenwerte des zugehörigen Operator Ô gegeben. Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch c n 2, wobei c n die Entwicklungskoeffizienten von ψ (x) nach den Eigenfunktionen von Ô sind. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort ist gegeben durch ψ (x) 2. 2 Mathematische Struktur Zur Beschreibung der Quantenmechanik nach den oben aufgelisteten Axiomen benötigt man einen geeigneten mathematischen Rahmen, welcher grundsätzlich durch einen geeigneten Vektorraum gegeben ist. 2.1 Vektorraum und Skalarprodukt Bei den Zuständen ψ handelt es sich um Vektoren, die Elemente eines Vektorraums sind. Dieser als Hilbertraum H bezeichnete Raum ist ein vollständiger Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist: (ϕ (x), ψ (x)) = d 3 x ϕ (x) ψ (x) (4) Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften: (ϕ, (C 1 ψ 1 + C 2 ψ 2 )) = C 1 (ϕ, ψ 1 ) + C 2 (ϕ, ψ 2 ) ((C 1 ϕ 1 + C 2 ϕ 2 ), ψ) = C 1 (ϕ 1, ψ) + C 2 (ϕ 2, ψ) (ψ, ϕ) = (ϕ, ψ) V 2
Die Vektoren ψ lassen sich als Linearkombination schreiben: ψ = i λ i ψ i (5) 2.2 Operatoren Im Hilbertraum H lassen sich Operatoren Ô definieren, welche einen Vektor auf einen anderen abbilden. Für lineare Operatoren gilt: ( ) Ô (ψ) = Ô λ i ψ i = λ i Ô (ψ i ) (6) i i Zu jedem Operator Ô lässt sich der adjungierte Operator Ô definieren: ) ( ) (Ô (ϕ), ψ = ϕ, Ô (ψ) (7) Für hermitesche Operatoren gilt: ) ) (Ô (ϕ), ψ = (ϕ, Ô (ψ) (8) Für hermitesche Operatoren gilt folglich: Ô = Ô Hermitesche Operatoren haben folgende Eigenschaften: ) ) (ϕ, Ôψ = (Ôϕ, ψ Eigenwerte zu hermiteschen Operatoren sind reell Eigenfunktionen zu hermiteschen Operatoren sind diagonal. Für normierte Eigenfunktionen gilt folglich: (ψ i, ψ j ) = δ ij Die Eigenfunktionen bilden eine vollständige Basis für den Hilbertraum Für hermitesche Operatoren Â, B, Ĉ,... gilt: (Â BĈ...) =... Ĉ BÂ 2.3 Korrespondenzprinzip Als Korrespondenz bezeichnet man die Zuordnung von klassischen Observablen zu ihren Entsprechungen in der mathematischen Formulierung in der Quantenmechanik, den Operatoren auf Hilbert-Räumen. Unter Anwendung des Korrespondenzprinzips dient die klassische Theorie dazu, die physikalisch sinnvollen Gleichungen in der Quantenmechanik zu finden. Man übernimmt die algebraische Form der Gleichungen und ersetzt klassische Observablen durch ihre korrespondierenden Operatoren. Auf diese Art und Weise kann man beispielsweise aus der klassischen Energiegleichung - durch Ersetzung des Impulses durch den Impulsoperator - die Schrödinger-Gleichung gewinnen. Heuristische Herleitung der Schrödinger-Gleichung in der Ortsdarstellung Geht man von der Energiegleichung E = p2 + V (r, t) (9) 2m aus, kann man die klassischen Größen durch ihre quantenmechanischen Entsprechungen ersetzen: E Ê = i p p = i r r = r 3
Anschließendes Anwenden auf eine unbekannte Wellenfunktion ψ = ψ (r, t) ergibt: 2.4 Dirac Notation i ψ = ψ + V ψ (10) 2m Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass quantenmechanische Zustände Vektoren in einem Hilbertraum H sind. Die Darstellung dieser Vektoren in verschiedenen Koordinatensystemen ist gleichwertig und es ist somit sinnvoll, zu einer allgemeineren, koordinatenfreien Notation überzugehen. Hierzu hat sich die sogenannte Dirac-Notation etabliert, bei der ein Zustand als sogenanntes Ket geschrieben wird: v. Zu jedem v V gibt es ein Bra w V, welches eine lineare Abbildung von V in den zugrundeliegenden Körper K repräsentiert. Der Ergebnis der Anwendung des Bras auf das Ket wird geschrieben als: v w (11) Hierdurch ist der Zusammenhang zur konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt. Eigenzustände Zustände ψ i werden zudem durch ihre Quantenzahl i verkürzt dargestellt: i. Es lässt sich zeigen, dass für gebundene Zustände stets abzählbar unendlich viele diskrete Eigenzustände n des Hamiltonoperators exisitieren, für nicht-gebundene Zustände ist das Spektrum der Eigenzustände kontinuierlich. Im Folgenden beschränken wir uns auf gebundene Zustände. Wie wir zuvor gesehen haben, sind die Eigenzustände orthogonal und vollständig. Wir können somit jeden Zustand ψ als Linearkombination seiner Eigenzustände n schreiben. Anders ausgedrückt entwickeln wir den Vektor ψ nach einer vollständigen Orthogonalbasis { n } des entsprechenden Vektorraums: ψ = n c n n (12) Um einen Ausdruck für die Identität 1 zu finden, führen wir folgende Rechnung durch: m ψ = m c n n (13) n = n c n m n (14) = c m (15) Damit lässt sich also schreiben: ψ = n n n ψ (16) Da dies für jedes ψ gelten muss, folgt: n n = 1 (17) n 1 ist die Identität, man kann sie verwenden wie die Zahl 1 bei den reellen Zahlen. Gleichung 17 nennt man Vollständigkeitsrelation. In einer Basis, die nicht abzählbar viele Basisvektoren besitzt (z.b. Impulseigenzustände), gilt: dp p p = 1 (18) 4
2.5 Kommutator Im Allgemeinen sind Operatoren nicht kommutativ, das heißt  B BÂ. Aus diesem Grund defininiert man den sogenannten Kommutator: [Â, B] =  B B (19) Beispiel [ x i, x j ] ψ = ( x i ) x i ψ x j x j = x i ψ δ ij ψ x i ψ x j x j = δ ij ψ Grundlegende Kommutatoren [x i, x j = 0 [, ] = 0 i x i i x j [ x i, ] = i δ ij i x j Sätze über kommutierende Operatoren Sind  und B Operatoren mit [Â, B] = 0, dann folgt aus der Eigenwertgleichung  ψ = a ψ, dass auch B ψ ein Eigenvektor von  zum Eigenwert a ist: ( ) ( )  B ψ = a B ψ Vertauschen zwei Operatoren  und B, so ist jeder Eigenraum von  invariant gegenüber der Wirkung von B. Vertauschen zwei Operatoren  und B, so kann man aus ihren gemeinsamen Eigenvektoren eine orthonormierte Basis des Zustandsraumes bilden. 3 Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik Durch die Bornsche Regel ist eine räumliche Dichte für die Wahrscheinlichkeit gegeben durch: ϱ (x) = ψ (x, t) 2 (20) Es lassen sich quantenmechanisch gesehen also keine Aufenthaltsorte angeben, wohl aber die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem bestimmten Raumelement d 3 x um x herum zu finden: ϱ (x) d 3 x = ψ (x, t) 2 d 3 x (21) 3.1 Normierung Ausgehend von der Wahrscheinlichkeitsinterpretation sind Zustände in der Quantenmechanik zu normieren, sodass gilt: ψ ψ = 1 (22) 5
3.2 Projektionsoperator Der Projektionsoperator P n ist definiert als: P n := n n (23) Der Projektionsoperator P n projeziert einen Zustand ψ mit der Wahrscheinlichkeit n ψ 2 auf den Zustand n. Dieser Operator ist sehr nützlich, da bei der Messung eines Eigenwertes das System in den entsprechenden Eigenzustand übergeht, was genau der Wirkung von P n entspricht. Zudem lässt sich ein diagonaler Hamilton-Operator H als Summe von Projektionsoperatoren schreiben: H = m m H n n m,n = m,n E n δ mn m n = n E n n n = n E n Pn 4 Verschiedene Bilder in der Quantenmechanik Sowohl das Heisenberg- als auch das Schrödinger-Bild sind Modelle für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. 4.1 Heisenberg-Bild Annahmen im Heisenberg-Bild: Zustände sind nicht zeitabhängig Operatoren sind zeitabhängig: Ô = Ô (t) Die Dynamik des Systems wird durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung beschrieben: dâ dt = i [ ] H, Â + Â Herleitung der Heisenbergschen Bewegungsgleichung Der Darstellungswechel eines Operators vom Schrödinger- ins Heisenbergbild geschieht über: A H (t) = U (t) A S (t) U (t) (24) Durch Anwendung des Zeitentwicklungsoperators auf einen Zustand im Schrödingerbild zum Zeitpunkt t 0 = 0 erhält man den Zustand zum Zeitpunkt t: Durch das Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung folgt: ψ S (t) = U (t) ψ S (0) (25) i U (t) ψ S (0) = H S (t) U (t) ψ S (0) (26) 6
Daraus ergibt sich eine Operatorgleichung: i U (t) = H S (t) U (t) (27) Nun wird die zeitliche Ableitung von Gleichung 24 gebildet: ( ) ( ) ( ) d dt A H (t) = U A S U + U A S U + U A S U (28) Nun wird Gleichung 27 und ihre Adjungierte in Gleichung 28 eingesetzt: d dt A H = = i U = i H S U (29) U = i H S U (30) ( ) ( i U H S A S U + U A S i ) H S U ( U H S A S U U A S H S U ) + U ( AS + U ( A S ) U (31) ) U (32) Man kann eine 1 einfügen: d dt A H = i ( U H S U U }{{} A S U U }{{} A S U U }{{} H S U + U }{{} AS H H A H A H H H = i (H HA H A H H H ) + A H = i [H H, A H ] + A H ) U } {{ } A H (33) (34) (35) 4.2 Schrödinger-Bild Zustände sind i.a. zeitabhängig: ψ (t) Operatoren hängen höchstens explizit von der Zeit ab: d b A dt = b A Die Dynamik des Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben: i ψ = H ψ Hierbei ist der zeitabhängige Zustand ψ (t) durch den unitären Zeitentwicklungsoperator gegeben: ψ (t) = Û (t, t 0) ψ (t 0 ) (36) Im Falle eines zeitunabhängigen Hamilton-Operators ist Û (t, t 0) gegeben durch: [ Û (t, t 0 ) := exp i ] (t t 0) H (37) 7
5 Unschärferelation Für zwei beliebige Operatoren  und B gilt die sogenannte Unschärferelation:  B 1 2 [Â, B] (38) Eine einfache Folgerung ist, dass man nur zwei kommutierende Variablen gleichzeitig beliebig genau messen kann. Zwei nicht kommutierende Observablen sind folglich nicht gleichzeitig beliebig genau messbar. 8