TII: Quantenmechanik

Transkript

1 TII: Quantenmechanik Vorlesungsskriptum Prof. Dr. Stefan Kehrein Arnold Sommerfeld Center for Theoretical Physics Department Physik Universität München München, Germany

2 Letzte Aktualisierung: 4. Mai 009 Aktueller Stand Korrekturlesen: Seite -8 (d.h. Textteil ohne Musterlösungen) Mitwirkende Studenten (WiSe 007/008) Sebastian Gottwald, Philipp Grötsch, Astrid Seifert Hinweis Dies ist eine Vorlesungsmitschrift von Studierenden für Studierende. Fehler und Unstimmigkeiten sind unvermeidlich und können nur durch iteriertes Korrekturlesen über einen längeren Zeitraum beseitigt werden. Für Hinweise bin ich immer dankbar Bitte beachten Sie, dass eine Vorlesungsmitschrift ein gutes Lehrbuch nicht ersetzen kann.

3 Inhaltsverzeichnis I Quantenmechanik in endlichdim. Zustandsräumen Motivation. Doppelspaltexperiment Atommodell Hohlraumstrahlung Photoelektrischer Effekt Das Stern-Gerlach-Experiment Endlichdimensionale Hilberträume 6. Die Struktur des Hilbertraums H Operatoren auf H Darstellungen Spektralsatz Sätze kommutierender Operatoren Ein wichtiges Beispiel Die Postulate der Quantenmechanik 8 3. Postulat Postulat Postulat Postulat Postulat Postulat Dichtematrix 33

4 II Quantenmechanik in beliebigen Zustandsräumen 38 5 Unendlichdimensionale Hilberträume Motivation Eigenschaften unendlichdim. Hilberträume Wichtige Hilberträume Kontinuierliche Spektren Korrespondenzprinzip Postulat Wellenmechanik Ortsdarstellung Erweiterung von Postulat Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung Wahrscheinlichkeitsstrom Impulsdarstellung Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung Freies Teilchen/freies Wellenpaket Wellenfunktion eines freien Teilchens Unschärfe Stationary phase approximation Gaußsches Wellenpaket Potentialkasten Unendlich hoher Potentialkasten Endlicher Potentialkasten Harmonischer Oszillator 7 0. Vernichtungs- und Erzeugungsoperator Konstruktion der Eigenzustände Eigenschaften der Eigenzustände Dynamik im harmonischen Oszillator Streuung am Delta-Potential 8 3

5 . Konstruktion der Eigenfunktionen Streuung eines Wellenpakets Heisenberg- und Schrödinger-Bild der Quantenmechanik 89. Zeitentwicklungsoperator Heisenberg- und Schrödinger-Bild Beispiel: Harmonischer Oszillator III Symmetrien und Drehimpuls 94 3 Drehimpulsalgebra Die Drehimpulsoperatoren Die Leiteroperatoren L ± Eigenwertspektrum für den Drehimpuls Kugelflächenfunktionen 0 4. Ortsdarstellung der Impulsoperatoren Gem. Eigenfunktionen von L z und L Radialgleichung Zeitunabhängige Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten Anwendung von Symmetrien Wasserstoffatom Asymptotische Analyse Lösungsweg : Eigenspektrum Lösungsweg : Eigenfunktionen Drehimpuls und Drehgruppe 5 7. Wdh.: Drehungen in der klass. Mechanik Drehungen in der Quantenmechanik Spin 0 8. Der Spinzustandsraum Spin-/ Teilchen Spin- Teilchen

6 8.4 Messungen und Dynamik der Spinfreiheitsgrade Addition von Drehimpulsen 8 IV Quantensysteme mit mehreren Teilchen 3 0 Unterscheidbare Teilchen und verschränkte Zustände 3 0. Postulat Verschränkte Zustände Vielteilchen-Wellenfunktion Ununterscheidbare Teilchen 36. Gedankenexperiment Erweiterung von Postulat Mehrelektronenatome 4. Heliumatom Grundzustände von Mehrelektronenatomen V Störungstheorie 45 3 Zeitunabhängige (stationäre) Störungstheorie Allgemeine Strategie Störungstheorie. Ordnung (nicht-entartet) Störungstheorie. Ordnung (nicht-entartet) Entartete Störungstheorie (. Ordnung) Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms Spin-Bahn-Kopplung Relativistische Korrektur Vollständige Feinstrukturaufspaltung Zeeman-Effekt Problematik und allgemeiner Ansatz Zeeman-Effekt bei schwachem Magnetfeld Zeeman-Effekt bei starkem Magnetfeld

7 6 Zeitabhängige Störungstheorie 6 6. Wechselwirkungsbild Zeitabh. Störungstheorie. Ordnung Übergangswahrscheinlichkeit Emission und Absorption von Strahlen Fermis Goldene Regel Variationsrechnung 70 VI Streutheorie 73 8 Grundlagen 74 9 Bornsche Näherung Integralform der zeitunabh. Schrödinger-Gleichung Erste Bornsche Näherung VII Anhang 8 A Übungsaufgaben 83 A. Blatt 0: Präsenzübung A. Blatt A.3 Blatt A.4 Blatt A.5 Blatt A.6 Blatt A.7 Blatt A.8 Blatt A.9 Blatt A.0 Blatt A. Blatt A. Blatt A.3 Blatt A.4 Probeklausur

8 A.5 Probeklausur B Lösungen zu den Übungsaufgaben 5 B. Blatt 0 Präsenzübung B. Blatt B.3 Blatt B.4 Blatt B.5 Blatt B.6 Blatt B.7 Blatt B.8 Blatt B.9 Blatt B.0 Blatt B. Blatt B. Blatt B.3 Probeklausur

9

10 Teil I Quantenmechanik in endlichdimensionalen Zustandsräumen

11 Kapitel Motivation Interferenzmuster Beeinflussung durch Messung Im Folgenden werden einige experimentelle Befunde vorgestellt, die maßgeblich zur Entwicklung der Quantenphysik beitrugen. Sie zeigten die Grenzen der klassischen Physik auf und verlangten nach einer Revidierung klassischer Begriffe.. Doppelspaltexperiment Wir betrachten zunächst das sogenannte Doppelspaltexperiment mit Elektronen, welches in Abb.. schematisch dargestellt ist. Ein Elektronenstrahl gelangt durch eine Blende auf einen Schirm, wo ein Detektor die jeweilige Intensitätsverteilung misst. Links ist das Ergebnis für einen Einfachspalt abgebildet, rechts das entstandene Interferenzmuster beim Doppelspalt. Man erkennt bei einer direkten Gegenüberstellung der Intensitätsverteilungen, dass an den Maxima im klassischen Bild (also bei einer Superposition der beiden Einzelspaltmuster) im realen Doppelspaltinterferenzmuster Minima sein können, also dort die Auftreffwahrscheinlichkeiten verschwinden. Um herauszufinden durch welchen der beiden Spalte die Elektronen tatsächlich gelangen, könnte man einen Detektor hinter einem der Spalte platzieren, der sofort signalisiert, wenn er ein Elektron beobachtet. Hier beobachtet man allerdings, dass mit installiertem Detektor kein Doppelspaltinterferenzmuster mehr auftritt, also durch die Messung das Verhalten des Systems grundlegend beeinflusst wird. Eine Veranschaulichung bietet eine Animation, die hier zu finden ist.. Doppelspaltexperiment. Atommodell.3 Hohlraumstrahlung.4 Photoelektrischer Effekt.5 Das Stern- Gerlach-Experiment Analog kann man das Experiment auch mit Licht, Neutronen, leichten Molekülen oder Fullerenen (C60) durchführen.

12 Motivation Einfachspaltexperiment Doppelspaltexperiment e e gemessene Verteilung erwartete Verteilung. Atommodell Abbildung.: Doppelspaltexperiment Diskrete Energiespektren Instabilität der Atome Die Bindungsenergien von Elektronen in Atomen sind in der klassischen Physik kontinuierlich verteilt, was den Beobachtungen widerspricht, denn in Wirklichkeit treten diese Energien in diskreten Spektren auf. Beschleunigte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab. Dies würde im klassischen Sinne allerdings zur Instabilität aller Atome führen. Das Bohr- Sommerfeld-Atommodell gibt eine quantenmechanische Erklärung für die offensichtliche Stabilität..3 Hohlraumstrahlung Unendliche Strahlungsenergie Ein Hohlraum mit geheizten und absorbierenden Innenwänden und einer kleinen Öffnung, aus der Strahlung austritt, wird als Hohlraumstrahler bezeichnet. Würde man die gespeicherte Strahlungsenergie mithilfe klassischer Physik berechnen, so würde man einen unendlich großen Wert erhalten. Nur eine Quantenbeschreibung löst dieses Problem..4 Photoelektrischer Effekt Quantisierte Lichtenergie Wird ein Lichtstrahl auf eine Metallplatte gelenkt, so treten ab einer bestimmten Lichtfrequenz Elektronen aus dem Metall aus. Dieser Effekt, der unabhängig von der Intensität des Lichts ist, kann nur durch den Teilchencharakter von Photonen erklärt werden. Demnach wird einem Photon die Energie E = hf = ω (.) T: Quantenmechanik 3 LMU München

13 Motivation zugeordnet (neue Fundamentalkonstante: Plancksches Wirkungsquantum h)..5 Das Stern-Gerlach-Experiment Stern-Gerlach- Versuch Aus einem Atomstrahlofen werden Silberatome abgedampft. Dieser Strahl wird mit Hilfe zweier Blenden kollimiert und durchläuft ein inhomogenes Magnetfeld. Auf einem Schirm schlägt sich das Silber nieder (siehe Abb..). Um den Effekt des Magnetfelds auf die Silberatome zu verstehen, benutzen wir ein vereinfachtes Modell eines Silberatoms: Ein Silberatom besteht aus einem Kern und 47 Elektronen. Das magnetische Moment µ des Atoms entsteht durch das Zusammenwirken aller Bahndrehimpulse und Spins dieser Elektronen. 46 von ihnen kompensieren ihre Wirkung allerdings gegenseitig, womit nur noch ein Elektron für das magnetischen Moment verantwortlich ist. Dieses 5s-Elektron hat keinen Bahndrehimpuls, es ist also nur der Spin S des äußersten Elektrons, der das magnetische Moment µ des Atoms bewirkt. Es gilt deshalb µ S (.) Die potentielle Energie des Atoms im Magnetfeld B ist µ B, wodurch eine Kraft in z-richtung auf das Atom wirkt: F z = (µ B) z µ z B z z (.3) Quantisierung des Ergebnisses Wie stark und ob das Atom nach oben oder nach unten abgelenkt wird ist somit abhängig vom Vorzeichen und Wert von µ z. Die Stern-Gerlach-Apparatur kann also als Messgerät für die z-komponenten der magnetischen Momente µ der Silberatome verstanden werden. Da die Atome im Ofen willkürlich orientiert sind, gibt es im klassischen Sinne keine ausgezeichnete Orientierung von µ. µ z müsste somit alle Werte zwischen µ und µ annehmen können und entsprechend würden wir eine kontinuierliche Verteilung der Silberatome auf dem Schirm erwarten. Dem entgegen steht allerdings die experimentelle Beobachtung, denn in Wirklichkeit wird der ursprüngliche Silberstrahl in zwei voneinander getrennte Komponenten aufgeteilt, was sich durch zwei separate Silberflecken auf dem Schirm niederschlägt. Einführung eines Wir ordnen die Atome deshalb zwei Zuständen zu: Zwei-Zustandssystems Atome mit µ z > 0 : Vektor (, 0) (.4) Atome mit µ z < 0 : Vektor (0, ) (.5) Quantenmechanisches Axiom Dies ist ein Beispiel für ein Grundkonzept der Quantenmechanik: T: Quantenmechanik 4 LMU München

14 Motivation Abbildung.: Der Stern-Gerlach-Versuch. Das Magnetfeld ist inhomogen in z-richtung. Der physikalische Zustand eines Quantensystems entspricht einem Vektor in einem geeigneten Zustandsraum. Wichtige Lerninhalte des Kapitels Doppelspaltexperiment Welle-Teilchen-Dualismus Quantisierte Energieniveaus im Atommodell Stern-Gerlach Experiment: Quantisierung der Werte des magnetischen Moments µ z im Experiment T: Quantenmechanik 5 LMU München

15 Kapitel Endlichdimensionale Hilberträume Wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation der Wellenfunktion Vorläufige Einschränkung In der Quantenmechanik kann man den Zustand eines Teilchens durch eine Wellenfunktion ψ(r, t) angeben. Die wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation dieser Wellenfunktion besagt, dass deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit angibt, das Teilchen zu einer gegebenen Zeit an einem bestimmten Ort aufzufinden: mit dp = ψ(r, t) d 3 x (.) ψ(r, t) d 3 x = (Integration über den gesamten Raum) (.) Deshalb müssen wir den Raum der quadratisch-integrierbaren Funktionen betrachten, welcher mit L bezeichnet wird und die Struktur eines Hilbertraums inne hat. Tatsächlich benötigen wir aber nur die stetigen, unendlich oft differenzierbaren Funktionen ψ(r, t) L. Da uns noch nicht alle mathematischen Mittel zur Verfügung stehen, unendlichdimensionale Hilberträume zu untersuchen, beschränken wir uns zunächst auf endlichdimensionale Hilberträume. Wir werden im nächsten Kapitel den Elementen eines solchen Raumes quantenmechanische Zustände zuordnen. Zunächst müssen wir uns allerdings mit der Struktur eines Hilbertraums und mit den auf ihm lebenden Operatoren beschäftigen.. Die Struktur des Hilbertraums H. Operatoren auf H. Repräsentationen.4 Spektralsatz.5 Sätze kommutierender Operatoren.6 Ein wichtiges Beispiel 6

16 Endlichdimensionale Hilberträume. Die Struktur des Hilbertraums H Def.: Der Hilbertraum H Def.: Ket-Vektoren Definition. (Hilbertraum, Ket). Sei H ein endlichdimensionaler Vektorraum über C. Gibt es in H ein positiv definites Skalarprodukt, so ist H ein (Prä-)Hilbertraum. Die Elemente von H bezeichnen wir als Ket-Vektoren (auch Kets) und schreiben ψ H (.3) Beispiel. Beispielsweise können wir die Zustände des oben betrachteten Zweizustandssystems im Stern-Gerlach-Experiment schreiben als (, 0) = +, (0, ) = (.4).. Skalarprodukt und Norm Skalarprodukt Für das Skalarprodukt in H schreiben wir (ϕ, ψ) =: ϕ ψ C (.5) mit den Eigenschaften (i) ϕ ψ = ψ ϕ (komplexe Konjugation) (ii) ϕ λ ψ + λ ψ = λ ϕ ψ + λ ϕ ψ (Linearität) (iii) λ ϕ + λ ϕ ψ = λ ϕ ψ + λ ϕ ψ (Antilinearität) (iv) ψ ψ 0 und ψ ψ = 0 ψ = 0 (positive Definitheit) Norm Durch dieses Skalarprodukt wird eine Norm in H induziert ψ = ψ ψ (.6).. Der Dualraum H und dessen Elemente Dualraum Ein Dualraum V eines K-Vektorraums V besteht aus der Menge aller linearen Abbildungen χ : V K, also aus allen linearen Abbildungen, die Vektoren aus V Zahlen aus dem zugrundeliegenden Körper zuordnen. Der Dualraum H besteht also aus den linearen Verknüpfungen von Ket-Vektoren aus H mit komplexen Zahlen: H := { χ : H C, ψ c } (.7) T: Quantenmechanik 7 LMU München

17 Endlichdimensionale Hilberträume Def.: Bra-Vektoren Definition. (Bra). Da H als Dualraum auch ein Vektorraum ist, können wir dessen Elemente auch als Vektoren bezeichnen. In unserem Fall nennen wir sie Bra-Vektoren und schreiben χ H (.8) für ein Element aus H und definieren χ : H C, ψ χ ψ (.9) Bemerkung. Man schreibt gerne λψ, womit man den Vektor λ ψ notiert. Beachten sollte man, dass gilt λψ = λ ψ (.0) Schwarzsche Ungleichung Satz. (Schwarzsche Ungleichung) Seien ϕ und ϕ zwei beliebige Kets aus H, dann gilt die Ungleichung ϕ ϕ ϕ ϕ (.) Beweis: Für einen beliebigen Ket ψ = 0 gilt immer ψ ψ 0 (.) Sei nun ψ := ϕ + λ ϕ, dann ist ψ ψ = ϕ ϕ + λ ϕ ϕ + λ ϕ ϕ + λλ ϕ ϕ 0 (.3) Wenn wir nun λ = ϕ ϕ setzen, ergibt sich ϕ ϕ ψ ψ = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0 (.4) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (.5) T: Quantenmechanik 8 LMU München

18 Endlichdimensionale Hilberträume. Operatoren auf H.. Lineare Operatoren Def.: Lineare Operatoren Definition.3 (Linearer Operator). Es ist ein Merkmal der Quantenmechanik, dass ausschließlich lineare Operatoren auftreten. Dies sind Abbildungen A : H H, welche die Eigenschaft erfüllen A(λ ψ + λ ψ ) = λ A ψ + λ A ψ (.6) Anwendung linearer Operatoren auf Bras Bemerkung. (i) Lineare Operatoren können nicht nur auf Ket-, sondern auch auf Bra-Vektoren angewendet werden: ( ϕ A) ψ := ϕ (Aψ ) (.7) Anders ausgedrückt erhalten wir nach Anwendung einer linearen Abbildung A auf einen Bra-Vektor ϕ wieder einen Bra-Vektor ϕ A. (ii) Die Definition der Anwendung linearer Operatoren auf Bra-Vektoren zeigt, dass die Klammersetzung dabei willkürlich ist, weshalb wir nur noch schreiben ϕ A ψ := ϕ (A ψ ) = ( ϕ A) ψ (.8).. Der adjungierte Operator A Def.: adjungierter Operator Definition.4 (Adjungierter Operator). Der adjungierte Operator A (oder auch: der hermitesch konjugierte Operator) ist Folgendermassen definiert: ψ A ϕ = ϕ A ψ (.9) für zwei beliebige Kets ϕ, ψ...3 Hermitesche Operatoren Def.: hermitescher Operator Definition.5 (Hermitescher Operator). Ein Operator A heißt hermitesch, wenn Folgendes gilt: A = A (.0) Eigenwerte und Eigenvektoren Satz. (Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren) Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell und Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. T: Quantenmechanik 9 LMU München

19 Endlichdimensionale Hilberträume Beweis: (a) Sei ϕ ein Eigenvektor von A, dann ist ϕ A ϕ = λ ϕ ϕ, ϕ A ϕ = ϕ A ϕ = λ ϕ ϕ (.) Somit ist λ R. (b) Sei A ϕ = λ ϕ und A ψ = µ ψ, dann ist ϕ A ψ = µ ϕ ψ, ϕ A ψ = ϕ A ψ = λ ϕ ψ (.) Da aber λ µ, muss gelten: ϕ ψ = 0..4 Unitäre Operatoren Def.: Unitärer Operator Definition.6 (Unitärer Operator). Ein Operator U ist unitär, wenn U = U (.3) Falls also gilt UU = U U = (.4) Eigenschaften unitärer Operatoren Bemerkung.3 (Eigenschaften) (i) Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist invariant unter der Wirkung eines unitären Operators: (Uϕ) (Uψ) = ϕ U U ψ = ϕ ψ (.5) (ii) Das Produkt zweier unitärer Operatoren ist unitär: (UV )(UV ) = UV V U = UU = (.6) (iii) Unitäre Operatoren sind die Verallgemeinerung im komplexen mehrdimensionalen Raum von orthogonalen Operatoren im reellen dreidimensionalen Raum. Das Skalarprodukt insbesondere die dadurch beschriebene Norm ist ebenfalls invariant unter der Wirkung dieser Operatoren (Rotationen, punkt- oder ebenensymmetrische Operationen). (iv) Sei { i } eine orthonormale Basis des Zustandsraums H. Dann gilt für die durch einen unitären Operator U transformierten Ket-Vektoren der Menge { ĩ := U i }: j ĩ = j i = δ ij (.7) ψ = U(U ψ ) = U X i c i i = X i c i ĩ (.8) Also bildet das Orthonormalsystem { ĩ : ĩ = U i } eine Basis in H. Das heißt, unitäre Operatoren führen einen Basenwechsel durch: A mn = Um A Un = m U AU n = (U AU) mn (.9) T: Quantenmechanik 0 LMU München

20 Endlichdimensionale Hilberträume Charakteristik der Eigenwerte Satz.3 (Eigenwerte unitärer Operatoren) Sei ψ u ein normierter Eigenvektor des unitären Operators U. U ψ u = u ψ u (.30) Dann ist = ψ u ψ u = ψ u U U ψ u = u u ψ u ψ u = u u (.3) Also ist der Eigenwert u eine komplexe Zahl mit Betrag. u = e iϕu (.3) Eigenschaft der Eigenvektoren Satz.4 (Eigenvektoren unitärer Operatoren) Seien ψ u und ψ u zwei normierte Eigenvektoren des unitären Operators U. Dann ergibt sich ψ u ψ u = ψ u U U ψ u = u u ψ u ψ u = e i(ϕ u ϕu) ψ u ψ u (.33) Sind die Eigenwerte u und u verschieden, so sind also die zugehörigen Eigenvektoren orthogonal...5 Projektionsoperatoren Def.: Projektor Definition.7 (Projektionsoperator). Sei H ein Untervektorraum von H und H dazu orthogonal, d.h. H = H H. Jeder Vektor ϕ kann eindeutig zerlegt werden in ϕ = ϕ + ϕ, wobei ϕ H und ϕ H. Dann heißt der Operator P : H H, ϕ ϕ (.34) Projektionsoperator. Zerlegung der Identität Bemerkung.4 (Eigenschaften) (i) P ist hermitesch. ( ϕ P ψ = ϕ ψ = ϕ ψ = ϕ ψ = ϕ P ψ ) P ist idempotent (P = P ). (P ψ = P ψ = ψ ) = Gilt P P = P, so ist P ein Projektor. (ii) Sei ψ normiert und spanne den Unterraum H auf, dann ist durch P := ψ ψ (.35) ein Projektor in den Unterraum H gegeben. (iii) Zerlegung der Identität: Sei { i : i {,..., n}} ein vollständiges Orthonormalsystem von H, dann kann die Identität zerlegt werden in nx = i i (.36) i= T: Quantenmechanik LMU München

21 Endlichdimensionale Hilberträume.3 Darstellungen Eine bestimmte Darstellung zu wählen bedeutet nach Einführung einer diskreten oder kontinuierlichen Basis Vektoren und Operatoren nur noch durch Zahlen (für Vektoren Komponenten, für Operatoren Matrizenelemente) bezüglich dieser Basis zu charakterisieren. Welche Darstellung also welche Basis gewählt wird, ist für die Theorie beliebig. In der Praxis wählt man diejenige, welche rechnerisch am günstigsten ist (d.h. typischerweise die physikalischen Symmetrien wiederspiegelt). Orthonormierungsrelation.3. Orthonormierungsrelation Eine Menge von Ket-Vektoren { i } wird orthonormal genannt, falls gilt i j = δ ij (.37).3. Darstellung der Ket- und Bra-Vektoren Darstellung der Kets: Spaltenvektoren Darstellung der Bras: Zeilenvektoren In einer diskreten Basis { i } wird ein Ket-Vektor durch die Menge seiner Komponenten c i = i ψ bezüglich dieser Basis dargestellt: ψ = ψ ψ.. (.38) Ein Bra-Vektor kann geschrieben werden als ψ = ψ = i ψ i i = i b i i (.39) Also kann der Bra-Vektor ψ als Linearkombination der Bras i geschrieben werden, mit den Komponenten b i, welche die komplex Konjugierten der Komponenten des zugehörigen Ket-Vektors in derselben Basis darstellen. Da wir die Komponenten von Kets in Spaltenvektoren schreiben, wählen wir für die Bras eine Zeilenschreibweise: ψ = ( ψ ψ ψ i ) (.40) Bemerkung.5 (Skalarprodukt) Um das Skalarprodukt zweier Kets zu berechnen, können wir uns nun der Spalten- Koordinatendarstellung des Skalarprodukts T: Quantenmechanik LMU München

22 Endlichdimensionale Hilberträume und Zeilenschreibweise bedienen, indem wir einfach deren Matrix-Produkt bilden: 0 B ϕ ψ = ( ϕ u ϕ u u ψ u ψ. 0 C A = (b b B c c.. C A = X i b i c i Und erhalten dadurch die bekannte Komponentenschreibweise des Skalarprodukts..3.3 Darstellung von Operatoren Sei ψ := A ψ, mit den Komponenten b j die erste Komponente in der Basis { i }. Betrachten wir b = ψ = (A ψ ) (.4) Für ψ können wir schreiben ψ = j b j j : b = (A ψ ) = A b j j = j j A j b j (.4) Allgemein: b i = i (A ψ ) = i A j b j j = j i A j b j (.43) Darstellung von Operatoren: Matrizen Wir nennen die Zahlen i A j := A ij und schreiben sie in eine Matrix A A j A :=.. A i A ij.. (.44) Denn wir erhalten b A ψ =. b i. = j A jb j. j A ijb j = A. b. b j. (.45) Daraus ergibt sich der T: Quantenmechanik 3 LMU München

23 Endlichdimensionale Hilberträume Berechnung der Matrixelemente Satz.5 (Matrixelemente) Die Matrixelemente A ij der darstellenden Matrix A einer Abbildung A ergeben sich aus A ij = i A j (.46) Bemerkung.6 Jede lineare Abbildung kann geschrieben werden als A = X m,n A mn m n (.47) Denn A ψ = X n c na n = X n A n c n = X m,n m m A n n ψ (.48) Darstellung des adjungierten Operators Matrix-Darstellung des adjungierten Operators Die zum adjungierten Operator A gehörende Matrix lässt sich berechnen durch A ij = i A j = j A i = A ji (.49) Somit ist die zum adjungierten Operator gehörende Matrix A die transponierte der komplex konjugierten Matrix A (Matrixelemente konjugiert) der Matrix A. Hermitesche Matrix Hermitesche Matrix Eine Hermitesche Matrix ist die zu einem hermiteschen Operator (A = A ) gehörende Matrix, sie hat somit die Eigenschaft: A ij = A ji (.50) A ii = A ii (.5) Die Diagonalelemente sind also reelle Zahlen und die bezüglich der Diagonalen symmetrischen Einträge ihre jeweiligen komplex Konjugierten. Unitäre Matrizen Unitäre Matrix Es ist u i u j = u i U U u j = k u i U u k u k U u j (.5) T: Quantenmechanik 4 LMU München

24 Endlichdimensionale Hilberträume Die Elemente einer unitären Matrix erfüllen also die Relation UkiU kj = δ ij (.53) k Das heißt, das Skalarprodukt einer Spalte mit der komplex Konjugierten einer anderen Spalte ergibt null (orthonormale Spalten)..4 Spektralsatz Spektralsatz Satz.6 Sei A hermitesch, dann existiert eine unitäre Matrix U, sodass U AU Diagonalform hat, mit den Eigenwerten von A als Diagonalelemente. Für entartete Eigenwerte λ n können e(n) (Grad der Entartung) orthonormierte Eigenvektoren n, r gewählt werden. Man kann dann Projektoren in die jeweiligen Eigenräume durch P n = e(n) r= n, r n, r definieren. Für A gilt die Spektralzerlegung A = n λ n P n (.54).5 Sätze kommutierender Operatoren Hilfssatz Satz.7 Sind die Operatoren A und B vertauschbar und ist ψ ein Eigenvektor von A, so ist auch B ψ ein Eigenvektor von A mit demselben Eigenwert a. Beweis: A(B ψ ) = B(A ψ ) = B(a ψ ) = a(b ψ ) Bemerkung.7 (Folgerungen) Es ergeben sich direkte Folgerungen:. Ist a ein nicht entarteter Eigenwert, so gilt: B ψ ψ (.55) Also ist ψ auch ein Eigenvektor von B.. Ist a ein entarteter Eigenwert, so gehört B ψ zum Eigenraum E a von a. Das heißt: ψ E a B ψ E a (.56) (Man sagt: E a ist global invariant unter Einwirkung von B.) T: Quantenmechanik 5 LMU München

25 Endlichdimensionale Hilberträume Gemeinsame Eigenbasis Satz.8 (Gemeinsame Eigenbasis) Sind die hermiteschen Operatoren A und B vertauschbar, so besitzen A und B gemeinsame Eigenvektoren, die eine Orthonormalbasis des Zustandsraums bilden. Beweis: Da A eine Observable ist, existiert mindestens ein Orthonormalsystem von Eigenvektoren {u i n } von A bezüglich Eigenwerten an, die eine Basis des Zustandsraums E bilden.. Ist der Eigenwert a n nicht entartet, so ist der zugehörige Eigenvektor u n von A auch ein Eigenvektor von B (Satz.7).. Ist a n entartet, so sind alle Elemente des Eigenraums E n Eigenvektoren von A mit Eigenwert a n. B hat im Eigenraum E n die Darstellung β (n) ij = u i n B uj n. Diese Matrix ist hermitesch, da B hermitesch ist. Das heißt, sie ist diagonalisierbar, also existiert eine Basis aus Eigenvektoren von B in E n, die automatisch Eigenvektoren von A sind. Def.: Vollständiger Satz vertauschbarer hermitescher Operatoren Definition.8 (Vollständiger Satz kommutierender Observablen). Eine Menge von vertauschbaren hermiteschen Operatoren A i wird als vollständiger/maximaler Satz von kommutierenden Observablen bezeichnet, wenn durch Eigenwerte dieser Operatoren gemeinsame Eigenvektoren (bis auf einen konstanten Faktor) eindeutig bestimmt werden. Bemerkung.8 Äquivalent dazu ist: Eine Menge von Observablen A i ist eine vollständige Menge kommutierender Observablen, wenn eine eindeutige Orthonormalbasis aus gemeinsamen Eigenvektoren existiert..6 Ein wichtiges Beispiel Beispiel Ist H ein hermitescher Operator, so ist U = e ith, t R (.57) ein unitärer Operator. Beweis: U = P n (ith) n P n! = ( ith) n n = e n! ith. Somit ist UU =. Satz.9 Sei H hermitesch mit der Spektralzerlegung H = n λ np n. Dann ist U = e ith = n e itλn P n (.58) T: Quantenmechanik 6 LMU München

26 Endlichdimensionale Hilberträume Beweis: Da P np m = δ mn und Pn = Pn ist H = X n λ np n! = X n λ npn (.59) Somit e ith = X (itλ n) k P n = X k! n,k n e itλn P n (.60) Wichtige Lerninhalte des Kapitels Definition Hilbertraum Schwarzsche Ungleichung Adjungierte, hermitesche und unitäre Operatoren Bra-Ket-Notation Projektionsoperatoren Spektralsatz Kommutierende Operatoren T: Quantenmechanik 7 LMU München

27 Kapitel 3 Die Postulate der Quantenmechanik Erstes Postulat 3. Postulat Zustandsvektoren und Zustandsräume Der physikalische Zustand eines Quantensystems wird zu einer gegebenen Zeit t 0 vollständig durch einen Zustandsvektor ϕ H beschrieben, wobei H ein komplexer Hilbertraum (Zustandsraum) ist. ϕ ist dabei normiert zu wählen. Bemerkung 3. (i) ϕ, χ H ψ = ( ϕ + χ ) H (repräsentiert einen phys. Zustand) (ii) Klassische Mechanik: Der Zustand eines Systems ist definiert durch Angabe von Ort und Impuls. Quantenmechanik: Der Zustand eines Systems ist abstrakt definiert. Trennung von Zustand und physikalischen Eigenschaften. 3. Zustandsvektoren und -Räume 3. Physikalische Eigenschaften 3.3 Messergebnisse 3.4 Messwahrscheinlichkeit 3.5 Kollaps der Wellenfunktion 3.6 Schrödinger- Gleichung Beispiel 3. In Abschnitt. wurde der Stern-Gerlach-Versuch vorgestellt und den beiden möglichen Zuständen des Systems Vektoren aus dem Zustandsraum H = C zugeordnet. Ein solcher Zustand wird also durch einen Ket-Vektor der Form ψ = α + β ( α β ), wobei α, β C (3.) charakterisiert. 8

28 3 Die Postulate der Quantenmechanik Zweites Postulat 3. Postulat Physikalische Eigenschaften Jede physikalisch messbare Eigenschaft A wird durch einen hermiteschen Operator A im Zustandsraum beschrieben. A bezeichnet man als Observable. Beispiel 3. (Pauli-Matrizen) Die Einheitsmatrix = ( 0 0 ) (3.) und die drei Pauli-Matrizen ( ) 0 σ x =, σ 0 y = ( 0 i i 0 ), σ z = ( 0 0 ) (3.3) sind linear unabhängige hermitesche Operatoren (Observablen). Jede - Matrix ist als Linearkombination dieser Matrizen darstellbar (vgl. Übungsblatt Nr. ). Den Pauli-Matrizen werden die drei Komponenten (µ x, µ y, µ z ) des magnetischen Moments µ zugeordnet, für das wir uns im Stern-Gerlach-Versuch interessieren. Drittes Postulat 3.3 Postulat 3 Messergebnisse Die Messung der physikalischen Eigenschaft A liefert immer einen der Eigenwerte von A. Bemerkung 3. Da hermitesche Operatoren reelle Eigenwerte besitzen (wie in Unterabschnitt..3 gezeigt wurde), sind Messergebnisse den Erwartungen entsprechend immer reell. Beispiel 3.3 Im Stern-Gerlach-Experiment werden quantisierte Ergebnisse beobachtet: Die Verteilung der möglichen magnetischen Momente µ z ist nicht kontinuierlich, wie es die klassische Theorie vorhersagt, sondern ist auf zwei Werte beschränkt. Dies sind genau die Eigenwerte ± der Pauli-Matrix σ z. T: Quantenmechanik 9 LMU München

29 3 Die Postulate der Quantenmechanik Viertes Postulat 3.4 Postulat 4 Messwahrscheinlichkeit Wird die Eigenschaft A im Zustand ψ gemessen, dann findet man mit der Wahrscheinlichkeit p n = ψ P n ψ (3.4) das Messergebnis λ n. (P n := P e(n) r= n, r n, r projiziert in den Eigenraum des Messergebnisses λn. ) Def.: Erwartungswert Bemerkung 3.3 (i) Man kann äquivalent schreiben e(n) X p n = n, r ψ (3.5) r= Damit folgt auch wie für eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation notwendig p n 0, insbesondere p n R. (ii) Nach dem dritten Postulat sollte P n pn = sein, da man sicher irgendeines der Ergebnisse λ n erhält: X ψ P n ψ = ψ X P n ψ (.36) = ψ ψ = (3.6) n n (iii) Der Erwartungswert der Messung einer Observablen A wird definiert durch A := X n p nλ n = X n ψ P n ψ λ n (.54) = ψ A ψ (3.7) Globale Phase Wie man leicht sieht, ist der Erwartungswert A eines hermiteschen Operators reell. Der Erwartungswert muss im allgemeinen kein erlaubtes Messergebnis einer Einzelmessung sein. (iv) Physikalische Zustände sind nur bis auf eine globale Phase festgelegt, denn der Vektor ψ := e iα ψ (α R) hat die gleichen Messwahrscheinlichkeiten wie ψ : p n = ψ P n ψ = e iα ψ P n e iα ψ = e i(α α) ψ P nψ = p n (3.8) Strenggenommen entsprechen physikalische Zustände einem sog. Strahl (ray), d.h. einem Vektor bis auf einen Phasenfaktor. Während eine globale Phasendifferenz keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten hat, ist eine relative Phase zwischen zwei aufsummierten Zustandsvektoren von Bedeutung. So sind die physikalischen Eigenschaften der Zustände ( ϕ + χ ), ( ϕ + χ ) (3.9) dieselben, wohingegen die Vektoren ( ϕ + χ ), jeweils zu verschiedenen Messergebnissen führen. ( ϕ χ ) (3.0) (v) Das vierte Postulat erklärt einen fundamentalen Indeterminismus (es sei denn es existiert ein i mit p i = ). T: Quantenmechanik 0 LMU München

30 3 Die Postulate der Quantenmechanik Fünftes Postulat 3.5 Postulat 5 Kollaps der Wellenfunktion Wenn die Messung der physikalischen Eigenschaft A im Zustand ψ das Messergebnis λ n ergibt, so ist das System nach der Messung im Zustand ψ n := P n ψ ψ Pn ψ (3.) (normierte Projektion in den Eigenraum des Eigenwerts λ n). Bemerkung 3.4 Dieses Postulat führt zu zwei grundsätzlichen Fragen: Ist das fünfte Postulat fundamental oder ableitbar? Ist diese Veränderung des Zustands ein physikalischer Effekt oder ein rechnerisches Hilfsmittel? 3.5. Bornsche Regel Eine Kombination aus dem vierten und fünften Postulat ergibt den Bornsche Regel Satz 3. Die Wahrscheinlichkeit dafür, das System ψ im normierten Zustand ϕ zu finden, ist durch das Betragsquadrat des Überlappmatrixelements ϕ ψ gegeben: p(ψ ϕ) = ϕ ψ (3.) Beweis: Für eine Observable mit nicht-entarteten Eigenwerten werden die Wahrscheinlichkeiten nach dem vierten Postulat berechnet durch p n = ψ P n ψ = ψ ϕ n ϕ n ψ = ϕ n ψ 3.5. Präparation eines Quantenzustands Präparation eines Zustands Als eine Konsequenz des fünften Postulats ergibt sich, dass durch die Messung eines vollständigen Satzes kommutierender Observablen der Quantenzustand des gemessenen Systems eindeutig festgelegt wird (der Zustand wird präpariert). Beispiel 3.4 (Stern-Gerlach-Experiment) Im Stern-Gerlach-Experiment (.5) konnte eine Quantisierung des Messergebnisses beobachtet werden. Den Atomen mit µ z > 0 wurde der Zustand +, T: Quantenmechanik LMU München

31 3 Die Postulate der Quantenmechanik denen mit µ z < 0 der Zustand zugeschrieben. Benutzen wir die Pauli- Matrix ( ) 0 σ z = (3.3) 0 (siehe Übungsblatt Nr. und Nr.) um die Messung durch die Stern-Gerlach- Apparatur mit Ausrichtung in z-richtung zu beschreiben, wird die Quantisierung durch das diskrete Eigenwertspektrum {+, } von σ z mit zugehörigen Eigenvektoren +, erklärt. Desweiteren bildet {σ z } einen vollständigen Satz kompatibler Observablen, da keiner der Eigenwerte entartet ist (eindimensionale Eigenräume). Wird nun einer der entstandenen Atomstrahlen blockiert (sagen wir, der mit µ z < 0), so ist der Zustand des noch vorhandenen Strahls eindeutig festgelegt, was einer Präparation des Zustands ψ =: + entspricht Messung von kompatiblen Observablen Wir betrachten zwei kommutierende Observablen A, B mit der gemeinsamen orthonormierten Eigenbasis { a n, b m, i : n =,...,N; m =,...,M; i =,...,e(n, m)} (3.4) (N, M: Anzahl der verschiedenen Eigenwerte von A bzw. B, e(n, m): Grad der restlichen Entartung) Ziel A B a n und b m geben dabei die Eigenwerte von A und B an, die den Eigenraum bestimmen, in dem die Menge { a n, b m, i : i =,...,e(n, m)} eine Orthonormalbasis bildet. Das System sei im Anfangszustand ψ = m,n,i c nmi a n, b m, i. Im Folgenden soll untersucht werden, ob die Reihenfolge der Messung von A und B einen Unterschied für die Wahrscheinlichkeit p(a n0, b m0 ) macht, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit a n0 und b m0 gemessen wird. (i) Wird zuerst A gemessen, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür a n0 zu finden: p(a n0 ) = m,i c n0,m,i (3.5) Das System befindet sich dann im Zustand ψ n = c n0,m,i a m,i c n0, b m, i (3.6) n 0,m,i m,i T: Quantenmechanik LMU München

32 3 Die Postulate der Quantenmechanik Wird nun B gemessen, so ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert b m0 zu finden p an0 (b m0 ) = m,i c n 0,m,i c n0,m 0,i (3.7) Somit erhalten wir für die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit i p(a n0, b m0 ) = p(a n0 ) p an0 (b m0 ) = i c n0,m 0,i (3.8) B A (ii) Messen wir zuerst B, so erhalten wir einen Wert b m0 mit der Wahrscheinlichkeit p(b m0 ) = n,i c n,m0,i (3.9) Das System befindet sich dann im Zustand ψ m = c n,m0,i a n, b n,i c m0, i (3.0) n,m 0,i n,i Wird nun A gemessen, so ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert a n0 zu finden p bm0 (a n0 ) = n,i c n,m 0,i c n0,m 0,i (3.) Somit erhalten wir für die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit i p(b m0, a n0 ) = p(b m0 ) p bm0 (a n0 ) = i c n0,m 0,i (3.) Es ist also p(b m0, a n0 ) = p(a n0, b m0 ) (3.3) und macht somit für die Gesamtwahrscheinlichkeit keinen Unterschied, welche der kommutierenden Observablen zuerst gemessen wird. Das heißt, für kompatible (vertauschbare) Observablen sind die physikalischen Vorhersagen unabhängig von der Reihenfolge der Messung. Nach der Messung ist das System im Zustand ψ = i c c n0,m 0,i a n 0,m 0,i n0, b m0, i (3.4) i Resultat: gleichzeitige Messung möglich und jede weitere Messung von A oder B liefert a n0 oder b m0. Die Hintereinanderausführung der Messung kompatibler Observablen liefert zusätzliche Informationen. T: Quantenmechanik 3 LMU München

33 3 Die Postulate der Quantenmechanik Messung inkompatibler Observablen Ziel A B Nun wollen wir Observablen A, B betrachten, die nicht kommutieren, aber als Vereinfachung deren Eigenwerte den jeweils zugehörigen Eigenzustand eindeutig festlegen (es treten keine entarteten Eigenwerte auf). Ein Beispiel für ein solches System von Observablen sind die Pauli-Matrizen. Es soll wieder untersucht werden, ob die Reihenfolge der Messung von A und B eines Quantensystems im Zustand ψ einen Einfluss auf die jeweilige Gesamtwahrscheinlichkeit p(a n0, b m0 ) hat, die Eigenwerte a n0 und b m0 zu messen: (i) Die Messung von a n0 mit der Wahrscheinlichkeit p(a n0 ) = a n0 ψ (3.5) führt zum Zustand ψ n = a n 0 (3.6) Wird daraufhin B gemessen, so erhält man den Wert b m0 mit der Wahrscheinlichkeit p ψ n (b m0 ) = b m0 a n0 (3.7) und den Endzustand ψ m = b m0 a n0 b m0 (3.8) Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also p(a n0, b m0 ) = a n0 ψ b m0 a n0 (3.9) B A (ii) Wird b m0 mit der Wahrscheinlichkeit p(b m0 ) = b m0 ψ (3.30) zuerst gemessen, so führt dies zum Zustand ψ m = b m 0 (3.3) Wird daraufhin A gemessen, so erhält man den Wert a n0 mit der Wahrscheinlichkeit p ψ m (a n0 ) = a n0 b m0 (3.3) und den Endzustand ψ m = a n 0 b m0 a n0 (3.33) Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist p(b m0, a n0 ) = b m0 ψ a n0 b m0 (3.34) T: Quantenmechanik 4 LMU München

34 3 Die Postulate der Quantenmechanik Da im Allgemeinen gilt: b m0 ψ a n0 ψ (3.35) Resultat: keine gleichzeitige Messung möglich unterscheiden sich die Gesamtwahrscheinlichkeiten sowie die Endzustände bei der Messung inkompatibler Observablen in verschiedener Reihenfolge. Inkompatible Observablen können nicht gleichzeitig gemessen werden. Die Messung der zweiten Observablen zerstört die Information, die die erste Messung geliefert hat, da es keine gemeinsame Eigenbasis gibt. Bemerkung 3.5 Eine mögliche Interpretation dieses Ergebnisses ist, dass sich die Messungen inkompatibler Observablen gegenseitig stören. Beispiel: Sequenz von Stern-Gerlach- Apparaturen Beispiel 3.5 (Sequenz von Stern-Gerlach-Apparaturen) Wir betrachten eine Sequenz von Stern-Gerlach-Apparaturen, wie sie in Abb. 3. schematisch dargestellt ist. Nachdem durch eine erste Apparatur in z-richtung der Zustand σ z = + (normierter Eigenzustand zum Eigenwert λ + = + von σ z ) präpariert wurde (siehe Bsp. 3.4), wird das System in diesem Zustand in einer zweiten Apparatur gemessen, deren Magnet nun in x-richtung (senkrecht zur z-richtung und zur Ausbreitungsrichtung) positioniert ist. Wir ordnen dieser Apparatur (analog zur ersten) die Pauli-Matrix σ x = ( 0 0 ) (3.36) zu, mit den möglichen Messergebnissen (Eigenwerte) λ ± = ±. Nach dieser zweiten Messung befindet sich das System in einem der beiden Eigenzustände von σ x : σ x = + = ( ), σ x = = ( ) (3.37) Ist nun das System im Zustand σ z = +, so ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten für die beiden möglichen Messergebnisse nach der Bornschen Regel (3.5.) zu p(σ x = +) = σ x = + σ z = + = p(σ x = ) = (3.38) (3.39) Nachdem der Atomstrahl nun die zweite Apparatur passiert hat und in die beiden Eigenzustände von σ x aufgespalten wurde, blockieren wir erneut einen T: Quantenmechanik 5 LMU München

35 3 Die Postulate der Quantenmechanik Abbildung 3.: Sequenzielles Stern-Gerlach-Experiment ( σ x = ) der beiden Komponenten (was dem Kollaps der Wellenfunktion bei Messung von λ + = + entspricht) und positionieren eine dritte Apparatur wieder in z-richtung, in der der präparierte Zustand σ x = + einer Messung von σ z unterzogen wird. Für die möglichen Ergebnisse (λ ± = ±) finden wir die Wahrscheinlichkeiten p(σ z = +) = σ z = + σ x = + = ( ) ( 0) = (3.40) p(σ z = ) = (3.4) σ x und σ z sind nicht kompatibel Das heißt, obwohl durch die erste Apparatur der Zustand σ z = + präpariert wurde, ist es nach der Messung von σ x bei einer folgenden Messung von σ z wieder gleich wahrscheinlich, als Endzustand der Messung σ z = + oder σ z = zu erhalten. Die Messung durch die zweite Apparatur hat somit die Information aus der ersten zerstört. Dass σ x und σ z nicht gleichzeitig gemessen werden können, sieht man auch folgendermaßen: Das Quantensystem sei im Zustand +. Es ist p(σ z = +, σ x = +) = = p(σ x = +, σ z = +) = = 4 (3.4) (3.43) Bei unterschiedlicher Reihenfolge der Messung erhalten wir also andere Wahrscheinlichkeiten für die gleichen Messergebnisse Verallgemeinerte Unschärferelation Def.: Varianz Definition 3. (Varianz). Befindet sich das Quantensystem im Zustand ψ, so ist die Varianz einer Observablen A gegeben durch ( A) := (A A ) = A A (3.44) T: Quantenmechanik 6 LMU München

36 3 Die Postulate der Quantenmechanik Sie ist ein Maß für die Unschärfe der Messergebnisse von A. * Siehe Übungsblatt Nr. Aufgabe 6. Bemerkung 3.6 Die Varianz verschwindet genau dann, wenn ψ ein Eigenzustand von A ist, denn falls A ψ = a ψ gilt, ist A = a, A = a (3.45) Verallgemeinerte Unschärferelation Satz 3. (Verallgemeinerte Unschärferelation) Seien A und B zwei beliebige Observablen, dann gilt die Unschärferelation ( A) ( B) 4 [A, B] (3.46) Beweis: Siehe Übungsblatt Nr.. Für nicht-kommutierende Observablen gibt es Zustände mit [A, B] 0. In solchen Zuständen kann das Produkt der Unschärfen der Messergebnisse von A und B also nicht kleiner sein als ein bestimmter Wert. Bemerkung 3.7 Besonders wichtig sind die Fälle, in denen [A, B] = α, α C (3.47) (Dies kann nur in unendlichdimensionalen Hilberträumen auftreten.) Das Produkt der Unschärfen ist dann für alle Zustände nach unten beschränkt. Das heißt, man kann dann A und B nicht simultan beliebig genau kennen. Heisenbergsche Unschärferelation Beispiel 3.6 (Heisenbergsche Unschärferelation) Betrachten wir die Observablen für Ort und Impuls, X und P, und geben an [X, P] = i (3.48) so erhalten wir die Heisenbergsche Unschärferelation ( x)( p) (3.49) T: Quantenmechanik 7 LMU München

37 3 Die Postulate der Quantenmechanik Sechstes Postulat 3.6 Postulat 6 Schrödinger-Gleichung Die Zeitentwicklung eines Zustands ψ(t) wird durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (SG) beschrieben: i d ψ(t) = H(t) ψ(t) (3.50) dt mit dem hermiteschen Hamiltonoperator H(t), der die Gesamtenergie des Systems repräsentiert und dem Planckschen Wirkungsquantum = h π =, Js. Normerhaltung Superpositionsprinzip Bemerkung 3.8 (i) Wie man aus der klassischen Hamilton-Funktion H den quantenmechanischen Operator H erhält, wird später diskutiert werden, wenn uns der notwendige Formalismus vertraut ist. (ii) Unter der zeitlichen Entwicklung eines Zustands, die durch die Schrödinger- Gleichung beschrieben wird, muss die Norm erhalten bleiben: ««d d d dt ψ(t) ψ(t) = dt ψ(t) ψ(t) + ψ(t) dt ψ(t) (3.5) (3.50) = i ψ(t) H(t) ψ(t) + ψ(t) H(t) ψ(t) i (3.5) = 0 (3.53) Das heißt, ist ein Anfangszustand ψ(t 0) gegeben mit ψ(t 0) = so ist ψ(t) =, t (3.54) (iii) Während individuelle Messergebnisse indeterministisch sind, ist die Zeitentwicklung eines Zustands in der Quantenmechanik völlig deterministisch (festgelegt durch die SG). (iv) Aus der Linearität der Schrödinger-Gleichung folgt, dass Superpositionen von Lösungen auch Lösungen sind. (v) Da die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung eine Differentialgleichung erster Ordnung ist, wird als Anfangszustand nur ψ(t 0) benötigt (keine Ableitungen). T: Quantenmechanik 8 LMU München

38 3 Die Postulate der Quantenmechanik 3.6. Die Zeitentwicklung des Erwartungswerts Das Ehrenfest-Theorem Satz 3.3 (Ehrenfest-Theorem) Die Zeitentwicklung des Erwartungswerts einer Observablen A ist gegeben durch d dt A(t) = [A, H] + i A t (3.55) Beweis: d dt A(t) = ψ(t) A(t) ψ(t) + ψ(t) A(t) ψ(t) + ψ(t) A(t) ψ(t) = fi fl A i HA + + t i AH = fi fl A [A, H] + i t Verbindung zur klassischen Mechanik Bemerkung 3.9 (Analogie zur klassischen Mechanik) In der klassischen Mechanik gilt für die totale Zeitableitung einer Observable da dt = {A, H} + A t (3.56) Bei dieser Analogie ist zu beachten, dass in der Quantenmechanik die Aussage für den Erwartungswert, nicht für individuelle Messergebnisse gilt. Für die Erwartungswerte des Orts- und Impulsoperators ergibt sich d p x = dt m, d dt p = V (x) (3.57) Def.: Erhaltungsgröße Definition 3. (Erhaltungsgröße). Eine nicht explizit zeitabhängige Observable, die mit H kommutiert, heißt Erhaltungsgröße. Satz 3.4 Der Erwartungswert einer Erhaltungsgröße ist zeitunabhängig. d A = 0 (3.58) dt Beweis: Klar. Bemerkung 3.0 In konservativen Systemen (Systeme mit H H(t)) ist die Gesamtenergie eine Erhalkonservative Systeme T: Quantenmechanik 9 LMU München

39 3 Die Postulate der Quantenmechanik tungsgröße und es gilt d H = 0 (3.59) dt 3.6. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Lösung der SG in konservativen Systemen Satz 3.5 (Lösung der SG in konservativen Systemen) In konservativen Systemen kann anstelle der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung auch die Gleichung H ϕ = E ϕ (E R) (3.60) gelöst werden. (Eigenwertproblem) Die Lösungen {ϕ n,i } dieser Gleichung (Eigenvektoren von H mit Eigenwerten E n und Entartung i =,..., e(n)) bilden eine Basis des Zustandsraums. Ein gegebener Anfangszustand kann dann zerlegt werden in ψ(t 0 ) = n,i c n,i ϕ n,i (3.6) Die Lösung für die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ergibt sich daraus zu ψ(t) = n,i e ien(t t0)/ c n,i ϕ n,i (3.6) Beweis: Da der Hamiltonoperator H zeitunabhängig ist, sind dessen Eigenwerte und Eigenvektoren ebenfalls zeitunabhängig. Die Lösung der zeitabhängigen SG muss somit der Form sein ψ(t) = X n,i c n,i (t) ϕ n,i (3.63) Wir benötigen also lediglich einen Ausdruck für die c n,i (t) = ϕ n,i ψ(t). Dazu bedienen wir uns der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung: ϕ n,i i ddt «ψ(t) = ϕ n,i H ψ(t) = E n ϕ n,i ψ(t) (3.64) i d dt c n,i(t) = E nc n,i (t) (3.65) Durch Lösung dieser Differentialgleichung erhalten wir c n,i (t) = c n,i (t 0 )e ien(t t 0)/ (3.66) T: Quantenmechanik 30 LMU München

40 3 Die Postulate der Quantenmechanik Allgemeine Lösungsstragie Bemerkung 3. (Allgemeine Strategie) Allgemein ist beim Lösen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung in konservativen Systemen also wie folgt vorzugehen: (i) Bestimmung der Eigenwerte und Eigenzustände des Hamiltonoperators. (ii) Zerlegung eines Anfangszustands in die Eigenbasis. (iii) Die gesuchte Lösung hat die Form aus (3.6) Stationäre Zustände Befindet sich ein System im Anfangszustand ψ 0, welcher ein Eigenzustand zum Eigenwert E des Hamiltonoperators eines konservativen Systems ist, so ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung nach Satz 3.5 ψ(t) = e ie(t t0)/ ψ 0 (3.67) Dieser Zustand unterscheidet sich für alle Zeiten nur um einen globalen Phasenfaktor von ψ 0, weshalb er physikalisch von seinem Anfangszustand nicht unterscheidbar ist (siehe Bemerkung 3.3.iv). Die folgende Definition erscheint deshalb sinnvoll. Def.: Stationäre Zustände Energieerhaltung Definition 3.3 (Stationäre Zustände). Die Eigenzustände des Hamiltonoperators werden stationäre Zustände genannt. Bemerkung 3. (Energieerhaltung) Wird die Gesamtenergie eines Systems gemessen, so kollabiert die zugehörige Wellenfunktion in den zur gemessenen Eigenenergie E 0 gehörenden Eigenzustand. Das System befindet sich dann also in einem stationären Zustand, der sich einerseits zeitlich nicht ändert und andererseits bei jeder weiteren Messung dieselbe Eigenenergie E 0 liefert. Dies ist quantenmechanisch die Energieerhaltung in konservativen Systemen. T: Quantenmechanik 3 LMU München

41 3 Die Postulate der Quantenmechanik Wichtige Lerninhalte des Kapitels Zustandsvektor und Zustandsraum Observable Messergebnisse und Messwahrscheinlichkeiten Indeterminismus Kollaps der Wellenfunktion Bornsche Regel Sequenz von Stern-Gerlach-Experimenten Messung von kompatiblen und nicht-kompatiblen Observablen Verallgemeinerte Heisenbergsche Unschärferelation Schrödinger-Gleichung Superpositionsprinzip Zeitentwicklung von Erwartungswerten; Erhaltungsgrößen Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Stationäre Zustände T: Quantenmechanik 3 LMU München

42 Kapitel 4 Dichtematrix Gemischte Zustände In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Beschreibung von Systemen beschäftigen, für deren Anfangszustand nur probabilistische Information vorhanden ist. Betrachten wir dazu erneut das Stern-Gerlach-Experiment: Beispiel 4. Im Stern-Gerlach-Experiment kennen wir für jedes Teilchen nach dem Passieren des Magnetfelds den genauen Zustand: Einer der Eigenzustände χ +, χ der zugeordneten Pauli-Matrix. Doch wir können keine Angabe darüber machen, wie der Zustand vor dem Eintritt ins Magnetfeld aussah, d.h. nach dem Atomofen. Wir beschreiben diesen deshalb als sogenannten gemischten Zustand, in dem die möglichen Zustände mit bestimmten aus der Präparation resultierenden Wahrscheinlichkeiten versehen sind. Im Folgenden bedienen wir eine statistische Mischung von (o.b.d.a.) orthogonalen normierten Zuständen ψ n : ψ n ψ m = δ nm (4.) Angenommen es sei bekannt, mit welchen Wahrscheinlichkeiten p k der Anfangszustand in einem Zustand ψ k präpariert wurde. P(a n ) sei nun die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung einer Observablen A den Eigenwert a n zu finden. Offensichtlich ist P(a n ) gerade die Summe der Produkte p k P k (a n ), wobei P k (a n ) = ψ k P n ψ k die Wahrscheinlichkeit angibt, im Zustand ψ k den Eigenwert a n zu messen (mit dem Projektionsoperator P n auf den Unterraum zum Eigenwert a n ): Messwahrscheinlichkeit P(a n ) = k p k P k (a n ) (4.) Def.: Dichtematrix Definition 4. (Dichtematrix). Zur Beschreibung eines gemischten Zustands verwendet man die Dichtematrix 33

43 4 Dichtematrix ρ := k p k ψ k ψ k (4.3) Messwahrscheinlichkeit im gemischten Zustand Satz 4. (Wahrscheinlichkeit im gemischten Zustand) Die Wahrscheinlichkeit P(a n ), in einem durch ρ beschriebenen gemischten Zustand den Eigenwert a n als Messergebnis zu erhalten, ist gegeben durch P(a n ) = Tr(ρP n ) (4.4) Beweis: Wir erhalten den Ausdruck (4.) folgendermaßen: Tr(ρP n) = X k ψ k ρp n ψ k = X k,l ψ k ψ l p l ψ l P n ψ k = X k p k P k (a n) Bemerkung 4. (Unterschied zum reinen Zustand) (i) Den Unterschied zur Messwahrscheinlichkeit in einem reinen Zustand erkennt man durch einfaches Umformen: P pure(a n) = ψ P n ψ = X k,l c k c l ψ l P n ψ k (4.5) = X c k ψ k P n ψ k + X c l c k ψ l P n ψ k (4.6) k k l {z } P(a n) P pure(a n) unterscheidet sich von P(a n) also um zusätzliche Interferenzterme. (ii) Da ρ im Falle eines reinen Zustands in einen Projektionsoperator ψ ψ übergeht, ist ρ = ρ. So kann man allgemein zwischen reinen und gemischten Zuständen (für die offensichtlich ρ ρ gilt) unterscheiden. Eigenschaften der Dichtematrix Satz 4. (Allgemeine Eigenschaften des Dichteoperators) Der Dichteoperator erfüllt die Eigenschaften (i) Tr(ρ) = (4.7) (ii) φ ρ φ 0 φ (positiver Operator) (4.8) Beweis: (i) Tr(ρ) = X p k ψ m ψ k ψ k ψ m = X m,k k p k = (ii) φ ρ φ = X k p k φ ψ k ψ k φ = X k p k φ ψ k 0 Nun können wir einige der Grundpostulate der Quantenmechanik mit unseren Überlegungen ergänzen. T: Quantenmechanik 34 LMU München

44 4 Dichtematrix Verallgemeinerung von Postulat Postulat * Der physikalische Zustand eines Quantensystems ist durch einen Dichteoperator ρ auf dem Hilbertraum H beschrieben. ρ ist ein positiver Operator mit Tr(ρ) =. Bemerkung 4. Da ρ für einen reinen Zustand ψ H übergeht in ψ ψ, ist das alte Postulat ein Spezialfall von *. Verallgemeinerung von Postulat 4 Postulat 4* Wird die Eigenschaft A im Zustand ρ gemessen, so findet man mit der Wahrscheinlichkeit P n = Tr(ρP n ) (4.9) das Messergebnis λ n (mit dem Operator P n, der in den Eigenraum von λ n projiziert). Verallgemeinerung von Postulat 5 Postulat 5* Nach einer Messung befindet sich das gemessene System im Zustand ρ = P nρp n Tr(ρP n ) (4.0) Bemerkung 4.3 (Projektion in eindimensionalen Eigenraum) Wenn der Messwert λ n nicht entartet ist, beschreibt der Dichteoperator nach der Messung also einen reinen Zustand ρ = ψ n ψ n. Verallgemeinerung von Postulat 6 Postulat 6* Die Zeitentwicklung des Systems wird beschrieben durch i dρ(t) dt = [H(t), ρ(t)] (4.) T: Quantenmechanik 35 LMU München

45 4 Dichtematrix Beweis: i dρ dt = i X k» «d p k dt ψ k(t) ψ k (t) + ψ k (t) d dt ψ k(t) (4.) = X k p k [H ψ k (t) ψ k (t) ψ k (t) ψ k (t) H] = [H, ρ] (4.3) Eigenzustand für ein beliebig orientiertes Magnetfeld Beispiel 4. (Stern-Gerlach-Experiment) Hinweis: Zum Verständnis dieses Beispiels ist die Kenntnis von Kapitel 8 (Teilchenspin) von Vorteil. Wir beschreiben den Atomstrahl vor dem Eintritt ins Magnetfeld durch eine Dichtematrix, wobei wir uns dabei im Folgenden auf den Spinzustandsraum H s beschränken. Die möglichen Zustände der Spin-/ Teilchen sind allgemein die Eigenzustände der Observablen n S = n x S x + n y S y + n z S z, wobei n ein Einheitsvektor ist. Da wir nach dem Ofen eine gleiche Verteilung der Eigenzustände bezüglich allen Richtungen annehmen können, müssen die Eigenzustände ψ(θ, φ) (Kugelkoordinaten) von n S mit der Wahrscheinlichkeit 4π (reziproker gesamter Raumwinkel) gewichtet werden. Der Eigenzustand von n S zum Eigenwert ist gegeben durch ψ = cos θ e iφ/ χ + + sin θ eiφ/ χ (4.4) mit den Eigenzuständen χ ± von S z. Die Dichtematrix dieses reinen Zustands ist ( cos ρ(θ, φ) = ψ ψ = θ sin θ cos ) θ e iφ sin θ cos θ eiφ sin θ (4.5) Dichtematrix des Atomstrahls im Stern-Gerlach- Experiment Damit erhalten wir die Dichtematrix der Teilchen nach dem Ofen aus ρ = dω π π ( ) ρ(θ, φ) = dφ dθ sin θρ(θ, φ) = 0 (4.6) 4π 4π ρ = ( 0 0 ) (4.7) Wenden wir diese Beschreibung nun an, um zwei Messwahrscheinlichkeiten zu berechnen: ( ) 0 (i) Mit P +z = χ + χ + = ist P(S 0 0 z = + ) = Tr(ρP +z) =. (ii) Mit P +x = ( ) ( ) = ( ) ist P(S x = + ) =. T: Quantenmechanik 36 LMU München

46 4 Dichtematrix Also ist die Aufspaltwahrscheinlichkeit unabhängig von der Orientierung des Magnetfelds, was durch keinen reinen Zustand beschrieben werden könnte. T: Quantenmechanik 37 LMU München

47 Teil II Quantenmechanik in beliebigen Zustandsräumen 38

48 Kapitel 5 Unendlichdimensionale Hilberträume Motivation [A, B] = c ist nur in unendlichdim. Hilberträumen möglich 5. Motivation Betrachten wir die Hamiltonfunktion aus der klassischen Mechanik: H(q, p) = p + V (q) (5.) m Um daraus den Hamiltonoperator der Quantenmechanik zu konstruieren, ersetzt man die Größen für den Ort und Impuls durch die zugehörigen Observablen R und P, die der Relation genügen: [R, P] = i (5.) (Ersetzt die Poissonklammer-Relation {q, p} = der klassischen Mechanik.) Bemerkung 5. Eine Relation der Form [A, B] = c mit c C und zwei Observablen A, B ist in endlichdimensionalen Hilberträumen nicht möglich, denn sei { n } eine Eigenbasis von A, so ist Tr([A,B]) = NX n AB BA n n= = X n n AB n n BA n 5. Motivation 5. Eigenschaften unendlichdim. Hilberträume 5.3 Wichtige Hilberträume 5.4 Kontinuierliche Spektren = X n a n n (B B) n = 0 Tr(c) = Nc (5.3) 39

49 5 Unendlichdimensionale Hilberträume 5. Eigenschaften unendlichdim. Hilberträume Def.: Unendlichdim. Hilberträume Zusätzlich zu den Eigenschaften eines endlichdimensionalen Zustandsraums werden in der Quantenmechanik folgende Eigenschaften für einen unendlichdimensionalen Hilbertraum H verlangt: (i) Vollständigkeit: Jede Cauchyfolge in H hat einen Grenzwert in H. (ii) Separabilität: Jeder Vektor in H lässt sich durch eine geeignete endliche Summe von Basisvektoren beliebig gut approximieren. 5.3 Wichtige Hilberträume l L [a, b] (i) l : Die Elemente ϕ l sind unendliche Folgen von komplexen Zahlen c, c,... mit der Eigenschaft, dass die Summe der Betragsquadrate aller Folgenglieder endlich ist: l = {(c, c,...) : c, c,... C mit ϕ = Das Skalarprodukt in l ist definiert durch χ ϕ := c n < } (5.4) n= d n c n C (5.5) n= (Wenn d n, c n die Folgenglieder der Elemente χ, ϕ sind.) Mit der Schwarzschen Ungleichung sieht man leicht, dass das Skalarprodukt immer endlich ist. (ii) L [a, b]: Die Elemente ψ L [a, b] sind die quadratintegrablen Funktionen auf dem Intervall [a, b]: L [a, b] = {f : [a, b] C : b Das Skalarprodukt in L [a, b] ist definiert durch a dx f(x) < } (5.6) L [R] ψ ϕ = b a dx ψ (x)ϕ(x) (5.7) (iii) L [R]: Die Elemente ψ L [R] sind die quadratintegrablen Funktionen auf R: L [R] = {f : R C : dx f(x) < } (5.8) Bemerkung 5. Die Hilberträume l, L [a, b] und L [R] sind isometrisch isomorph. T: Quantenmechanik 40 LMU München

50 5 Unendlichdimensionale Hilberträume 5.4 Kontinuierliche Spektren Beispiel für einen hermiteschen Operator in L [R] Beispiel 5. (Differentialoperator) Betrachten wir den linearen Operator A := i d dx in L [R]. Es ist ( ψ A ϕ = dx i d ) dx ψ(x) ϕ(x) (5.9) ( ) d = i dx dx ψ (x) ϕ(x) (5.0) = iψ (x)ϕ(x) i dx ψ (x) d ϕ(x) (5.) }{{} dx =0 = ψ A ϕ (5.) Also ist A hermitesch, womit es eine Basis aus Eigenfunktionen geben muss. Berechnen wir die Eigenfunktionen von i d dx : Lösungen der Gleichung i d dxϕ(x) = λϕ(x) sind offensichtlich die Funktionen ϕ λ (x) = e iλx (5.3) Unnormierte Eigenfunktionen Diese Funktionen sind ebene Wellen, aber nicht quadratisch integrierbar. Es kann also vorkommen, dass die Eigenvektoren eines linearen Operators aus L [R] nicht mehr in L [R] sind, also auch keine physikalischen Zustände mehr darstellen (deswegen kann man streng genommen nicht von einer Basis in L sprechen). Wir können also jedes Element aus L in die Eigenfunktionen e iλx mit geeigneten Koeffizienten c(λ) := ψ(λ) zerlegen: ψ(x) = dλ ψ(λ)e iλx (5.4) Analogie zur Fouriertransformation mit ψ(λ) = ϕ λ ψ = dx ψ(x)e iλx. In der Theorie der Fouriertransformation finden wir einen analogen Ausdruck für jede quadratintegrable Funktion ψ(x): ψ(x) = π dλ ψ(λ)e iλx (5.5) mit ψ(λ) = π dx ψ(x)e iλx. In der Tat war die Fouriertransformation der Anfang der Funktionalanalysis, auf welcher die meisten der hier behandelten mathematischen Erkenntnisse beruhen. T: Quantenmechanik 4 LMU München

51 5 Unendlichdimensionale Hilberträume Bemerkung 5.3 (i) Bei einer Definition eines Operators wie in Beispiel 5. sei der Definitionsbereich automatisch eingeschränkt auf den Gültigkeitsbereich, sodass z.b. Af(x) L [R] ist. (ii) Die hier betrachteten Eigenfunktionen e iλx sind orthogonal zueinander, denn Z ϕ λ ϕ λ = dx e iλ x e iλx = π δ(λ λ ) (5.6) Dies folgt aus der Darstellung für die Dirac-Distribution δ(x) = π Z dλ e iλx (5.7) Diese kann man sich klar machen, indem man die Fouriertransformierte der Dirac-Distribution berechnet, die sich ergibt zu δ(λ) Spektralsatz Verallgemeinerung auf kontinuierliche Spektren Das Spektrum eines hermiteschen Operators A besteht im Allgemeinen aus einem Anteil aus diskreten Eigenwerten λ n R (n N) und einem kontinuierlichen Anteil mit λ(ν) R, ν R. Bei geeigneter Wahl der Eigenvektoren n, i gilt für das diskrete Spektrum nach wie vor A n, i = λ n n, i (5.8) m, j n, i = δ mn δ ji (5.9) Analog gilt für das kontinuierliche Spektrum A ν, i = λ(ν) ν, i (5.0) µ, j ν, i = δ(µ ν)δ ij (5.) Eigenvektoren aus dem diskreten und kontinuierlichen Anteil können orthogonal gewählt werden, m, j ν, i = 0 (5.) Zerlegung der Identität Satz 5. (Zerlegung der Identität) Analog zu den endlichdimensionalen Hilberträumen können wir die Identität zerlegen = n e(n) i= n, i n, i + e(n) dν j= ν, j ν, j (5.3) Spektralsatz Satz 5. (Spektralsatz) Für eine beliebige Observable A gilt die Zerlegung T: Quantenmechanik 4 LMU München

52 5 Unendlichdimensionale Hilberträume A = n e(n) i= n, i λ n n, i + e(n) dν i= ν, i λ(ν) ν, i (5.4) Dabei sind λ n und λ(ν) reelle Eigenwerte Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung In einem konservativen System gibt es eine Basis aus zeitunabhängigen Eigenzuständen der Hamiltonfunktion dieses Systems, sodass für jeden beliebigen Zustand gilt ψ(t) = c n,i (t) n, i + dν c i (ν)(t) ν, i (5.5) n,i i Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung (Wenn n, i und ν, i die Eigenzustände bezüglich den diskreten und kontinuierlichen Anteilen des Spektrums von H sind.) Genau wie im endlichdimensionalen Fall muss die ganze Zeitabhängigkeit von ψ(t) in den Komponenten bezüglich dieser zeitunabhängigen Basis enthalten sein. Die Herleitung des Ausdrucks für diese Komponenten erfolgt analog zu Unterabschnitt Satz 5.3 Die Eigenvektoren n, i, ν, j und Eigenenergien E n, E(ν) der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung seien bekannt: H n, i = E n n, i (5.6) H ν, j = E(ν) ν, j (5.7) Ein beliebiger Anfangszustand ψ(t 0 ) kann dann folgendermassen in diese Basis zerlegt werden: ψ(t 0 ) = c n,i n, i + dν c i (ν) ν, i (5.8) n,i i mit c n,i := n, i ψ(t 0 ) und c i (ν) := ν, i ψ(t 0 ). Die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ist dann einfach ψ(t) = e ien(t t0)/ c n,i n, i + dν e ie(ν)(t t0)/ c i (ν) ν, i (5.9) n,i i Bemerkung 5.4 Auch hier sind die Kets ν, i nicht normierbar, also keine Elemente des Zustandsraums H. Doch sie sind nötig um jeden beliebigen Anfangszustand in Eigenvektoren von H zerlegen zu können. T: Quantenmechanik 43 LMU München

53 5 Unendlichdimensionale Hilberträume Wichtige Lerninhalte des Kapitels Spektralsatz mit kontinuierlichem Spektrum Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mit kontinuierlichem Spektrum T: Quantenmechanik 44 LMU München

54 Kapitel 6 Korrespondenzprinzip Siebtes Postulat 6. Postulat 7 Korrespondenzprinzip 6. Korrespondenzprinzip Ort und Impuls eines Teilchens werden beschrieben durch die Observablen R j, P j (j {,, 3}), welche die kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen [R j, P k ] = i δ jk (6.) [R j, R k ] = [P j, P k ] = 0 (6.) Eine beliebige physikalische Eigenschaft der klassischen Mechanik A (r, p, t) wird in der der Quantenmechanik durch einen Operator A beschrieben, welcher aus A hervorgeht, indem r und p durch die Operatoren R und P ersetzt werden. Falls nötig wird der entsprechende Operator symmetrisiert, um ihn hermitesch zu machen. Beispiel 6. Wir wollen Hamiltonoperatoren für verschiedene Systeme konstruieren: (i) Freies Teilchen: H(p) = p m H = P m Da P hermitesch ist, ist in diesem Fall auch H hermitesch. (6.3) (ii) Harmonischer Oszillator: H(p, r) = p m + m ω r H = P m + m ω R (6.4) 45

55 6 Korrespondenzprinzip (iii) H(p, r) = pr H = (PR + RP) (6.5) Da der Operator H = PR nicht hermitesch ist ((PR) = RP), wird eine Symmetrisierung vorgenommen, d.h. das arithmetische Mittel gebildet. Wichtige Lerninhalte des Kapitels Kanonische Vertauschungsregeln Symmetrisierung T: Quantenmechanik 46 LMU München

56 Kapitel 7 Wellenmechanik Eigenkets von R Die Basis { x } 7. Ortsdarstellung Definition 7. (Eigenvektoren von R). Die normierten Eigenvektoren des Ortsoperators R zum Eigenwert x werden mit x bezeichnet: R i x = x i x (7.) Da die Menge { x } eine kontinuierliche Basis bildet, gelten 7. Ortsdarstellung 7. Erweiterung des vierten Postulats 7.3 Schrödinger- Gleichung in Ortsdarstellung 7.4 Wahrscheinlichkeitsstrom 7.5 Impulsdarstellung x x = δ(x x ) (7.) dx x x = (7.3) 7.6 Schrödinger- Gleichung in Impulsdarstellung Somit kann jeder Zustand ψ zerlegt werden in ψ = dx x x ψ =: dx x ψ(x) (7.4) Def.: Wellenfunktion Definition 7. (Wellenfunktion). Die Komponenten x ψ =: ψ(x) werden als (komplexe) Wellenfunktion ψ : R C, x ψ(x) (7.5) bezeichnet. Bemerkung 7. Wellenfunktionen sind Elemente von L [R], denn es ist Z = ψ ψ = dx dx ψ x x x x ψ (7.6) 47

57 7 Wellenmechanik = = = Z Z Z dx dx ψ (x )δ(x x )ψ(x) (7.7) dx ψ (x)ψ(x) (7.8) dx ψ(x) (7.9) Wirkung von P in { x } Satz 7. (Wirkung des Impulsoperators in der Ortsdarstellung) In der Ortsdarstellung, also wenn die Menge { x } als Basis gewählt wurde, gilt für die Komponenten des Kets P ψ : x P ψ = i ψ x (7.0) Beweis: Plausibilitätsbetrachtung: x [R, P] ψ = x RP ψ x P R ψ Z = x x P ψ dx x P x x R ψ Z = i x ψ x + i x dx δ(x x )x ψ(x ) = i x ψ x + i x (xψ(x)) = i ψ(x) = x i ψ Die angegebene Wirkung von P in Ortsdarstellung reproduziert also die kanonische Vertauschungsrelation [R, P] = i. Viertes Postulat (kontinuierliches Spektrum) 7. Erweiterung von Postulat 4 Die Wahrscheinlichkeit, ein Messergebnis im Intervall [ν, ν + dν] aus dem kontinuierlichen Spektrum einer Observable zu finden, ist gegeben durch dp(ν) = ν ψ dν (7.) Wellenfunktion und Satz 7. (Wahrscheinlichkeitsdichte des Ortes) Das Betragsquadrat einer Wellenfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) := ψ(x, t) (7.) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, die die Wahrscheinlichkeit angibt, das Teilchen bei einer Ortsmessung zur Zeit t am Ort x zu finden. Denn nach (7.) ist T: Quantenmechanik 48 LMU München

58 7 Wellenmechanik die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [a, b] zu finden, gegeben durch p = b dx x ψ(t) = b a a dx ψ(x, t) (7.3) 7.3 Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung Ortsdarstellung der Schrödinger- Gleichung in einer Dimension Satz 7.3 (Eindimensionale Schrödinger-Gleichung) In der Ortsdarstellung lautet die (zeitabhängige) Schrödinger-Gleichung (im Eindimensionalen) i ( t ψ(x, t) = m ) + V (x, t) ψ(x, t) (7.4) x Beweis: Das System befinde sich im Zustand ψ und werde durch den Hamiltonoperator H = m P + V (R, t) beschrieben. Dann gilt x i d «dt ψ(t) = x m P + V (R, t) ψ(t) (7.5) i» t ψ(x, t) = i x ψ(t) + x V (R, t) ψ(t) (7.6) m x = ψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) (7.7) m x Dabei wurde benutzt, dass für eine operatorwertige Funktion F(R), die auf einen Eigenket des Operators R angewendet wird, gilt F(R) x = F(x) x (leicht nachzuprüfen). Ortsdarstellung der Schrödinger- Gleichung in drei Dimensionen Satz 7.4 (Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen) Übeträgt man obige Überlegungen auf drei Dimensionen (x = (x, y, z)), so erhält man für die Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung i ( ) t ψ(x, t) = m + V (x) ψ(x, t) (7.8) mit = x + y + z. Satz 7.5 (Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung) Genau wie im endlichdimensionalen Zustandsraum kann für konservative Systeme die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung gelöst werden H ϕ E = E ϕ E (7.9) Ortsdarstellung der zeitunabhängigen Schrödinger- Gleichung In der Ortsdarstellung erhält man T: Quantenmechanik 49 LMU München

59 7 Wellenmechanik E ϕ E (x) = ) ( m + V (x) ϕ E (x) (7.0) Bemerkung 7. In der Ortsdarstellung entspricht die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung einer partiellen Differentialgleichung für ψ(x, t), wohingegen die zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Eigenfunktionen ϕ E(x) darstellt. 7.4 Wahrscheinlichkeitsstrom 7.4. Analogie aus der Hydrodynamik Wir betrachten ein Volumen V, durch das eine Flüssigkeit hindurch strömt. Wir benutzen die Größe der Stromdichte j(r, t) := ρ(r, t)v(r, t) (7.) die angibt, wieviel Flüssigkeit (Masse) pro Zeit durch eine Fläche hindurchströmt. v(r, t) ist dabei ein zeitabhängiges Geschwindigkeitsfeld der Strömung und ρ(r, t) die Massendichte. Wollen wir die zeitliche Massenänderung berechnen, so erhalten wir einerseits mithilfe des Gaußschen Satzes d dt V ρ(r, t) d 3 x = dm dt = V j(r, t) da = V div j d 3 x (7.) Kontinuitätsgleichung in der Hydrodynamik Da dies für beliebige Volumina gelten muss, erhalten wir die (auch aus der Elektrizitätslehre bekannte) Kontinuitätsgleichung ρ (r, t) + div j(r, t) = 0 (7.3) t Sie impliziert die lokale Massenerhaltung Wahrscheinlichkeitsstrom Betrachten wir den Erwartungswert der Geschwindigkeit: ˆv = ψ(t) p m ψ(t) = d 3 x ψ (r, t) ψ(r, t) (7.4) im part. Int. = d 3 x im (ψ (r, t) ψ(r, t) ψ(r, t) ψ (r, t)) (7.5) T: Quantenmechanik 50 LMU München

60 7 Wellenmechanik Def.: Wahrscheinlichkeitsstrom Definition 7.3 (Wahrscheinlichkeitsstrom). Der Integrand des Ausdrucks in (7.5) ist rein reell und wird als Wahrscheinlichkeitsstrom bezeichnet: j(r, t) := im (ψ (r, t) ψ(r, t) ψ(r, t) ψ (r, t)) (7.6) [ ] = R im ψ (r, t) ψ(r, t) (7.7) Kontinuitätsgleichung Satz 7.6 (Kontinuitätsgleichung) Für die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(r, t) = ψ (r, t)ψ(r, t) und den Wahrscheinlichkeitsstrom j(r, t) gilt die Beziehung Kontinuitätsgleichung ρ(r, t) + div j(r, t) = 0 (7.8) t Beweis: ρ t = ψ ψ ψ + ψ (7.9) t t» = ψ i m + V ψ + ψ «i m + V ψ (7.30) = i m (ψ ψ ψ ψ ) (7.3) = im (ψ ψ ψ ψ + ψ ψ ψ ψ) (7.3) = im (ψ ψ ψ ψ ) = div j (7.33) Das bedeutet daß eine Änderung der lokalen Wahrscheinlichkeitsdichte die Quelle eines Wahrscheinlichkeitsflusses ist. Bemerkung 7.3 (i) Der Ortserwartungswert (in einer Dimension) ist gegeben durch Z Z R (t) = ψ(t) R ψ(t) = dx xψ(x,t) ψ(x,t) = dx xρ(x,t) (7.34) Für den Impulserwartungswert erhalten wir einen analogen Ausdruck Z P (t) = dx ψ (x, t) Z ψ(x, t) = m dx j(x, t) (7.35) i x T: Quantenmechanik 5 LMU München

61 7 Wellenmechanik (ii) Bei der Betrachtung des Wahrscheinlichkeitsstrom stoßen wir erneut auf die Tatsache, dass die Norm eines Zustands zeitlich erhalten bleibt: Z» 0 = d 3 ρ x t + j = d Z Z d 3 x ρ(r, t) + j da (7.36) dt R 3 {z } =0 Falls also für einen Zeitpunkt t = 0 gilt R d 3 x ψ(x,t = 0) = so ist t Z d 3 x ψ(x,t) = (7.37) (iii) Für stationäre Zustände (Eigenfunktionen des Hamiltonoperators in konservativen Systemen) gilt x ψ(x,t) = e iet/ ϕ E(x) (7.38) ρ = j = 0 (7.39) t da d dt ψ(x,t) = d dt ϕe(x) = 0. T: Quantenmechanik 5 LMU München

62 7 Wellenmechanik 7.5 Impulsdarstellung Eigenkets von P Definition 7.4 (Eigenvektoren von P). Die normierten Eigenvektoren des Impulsoperators P mit Eigenwert p werden mit p bezeichnet: P i p = p i p (7.40) Eigenkets von P in Ortsdarstellung Satz 7.7 (Die Eigenkets von P in Ortsdarstellung) Die Wellenfunktionen x p =: χ p (x) haben die Form χ p (x) = π e ipx/ (7.4) Beweis:» χ p(x) = x p = x p P p = i p χp(x) (7.4) x Das oben angegebene χ p(x) ist eine Lösung dieser Differentialgleichung mit der richtigen Normierung. Bemerkung 7.4 Als Eigenkets der Observablen P bilden die p eine Basis des Zustandsraums und erfüllen: Z χ p(x)χ p (x) dx = δ(p p ) Orthonormierung (7.43) Z p p dp = Vollständigkeitsrelation (7.44) Wellenfunktion in Impulsdarstellung - Fouriertransformierte Satz 7.8 (Wellenfunktion in Impulsdarstellung) Stellen wir einen Zustand ψ in Impulsdarstellung dar, d.h. wählen wir die Eigenkets p von P als Basis und betrachten die Komponenten p ψ, so erhalten wir ψ(p) := p ψ = π dx e ipx/ ψ(x) (7.45) Also bilden diese Komponenten gerade die Fouriertransformierte von ψ(x). Wollen wir nun einen Basenwechsel zur Ortsdarstellung durchführen, so ergibt sich ψ(x) = π dp e ipx/ ψ(p) (7.46) T: Quantenmechanik 53 LMU München

63 7 Wellenmechanik Beweis: Wir berechnen die Komponenten: p ψ = x ψ = Z Z Z dx p x x ψ = Z dp x p p ψ = dx χ p(x)ψ(x) (7.47) dp χ p(x) ψ(p) (7.48) Darstellung in drei Dimensionen Bemerkung 7.5 (Verallgemeinerung in drei Dimensionen) In drei Raumdimensionen ist die Wellenfunktion in Orts- und Impulsdarstellung gegeben durch: ψ(p) = ψ(x) = Z (π ) 3/ Z (π ) 3/ d 3 x e ip x/ ψ(x) (7.49) d 3 p e ip x/ ψ(p) (7.50) Nun wissen wir, wie die Eigenkets von P in Ortsdarstellung aussehen, welche Komponenten ein beliebiger Zustand ψ bezüglich Orts- und Impulsdarstellung hat und wie man zwischen ihnen transformiert (Fouriertransformation). Wir kennen auch die Wirkungen des Impulsoperators P in Ortsdarstellung ( i x ) und in Impulsdarstellung (Multiplikation mit Skalar p). Für den Ortsoperator R kennen wir bis jetzt nur die Wirkung in der eigenen Basis (Multiplikation mit Skalar x) weshalb nun noch dessen Wirkung in Impulsdarstellung zu klären ist. Wirkung von R in { p } Satz 7.9 (Wirkung des Ortsoperators in Impulsdarstellung) Die Komponenten des Kets R ψ bezüglich der Basis { p } haben die Form p R ψ = i p ψ(p) (7.5) Beweis: Es ist Z p R ψ = Z dx p R x x ψ = dx x p x ψ(x) Mit x p = χ p(x) und χ p p = x i χ p (x) ergibt sich p R ψ = i Z p π dx e ipx/ ψ(x) = i ψ(p) p Es ergibt sich also in der Impulsdarstellung ein zur Ortsdarstellung analoges Verhalten der Operatoren. T: Quantenmechanik 54 LMU München

64 7 Wellenmechanik 7.6 Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung Impulsdarstellung der Schrödinger- Gleichung Satz 7.0 (Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung) In der Impulsdarstellung hat die (zeitabhängige) Schrödinger-Gleichung (im Eindimensionalen) die beiden äquivalenten Darstellungen i t ψ(p, t) = i t ψ(p, t) = [ ( p m + V i )] ψ(p, t) (7.5) p p m ψ(p, t) + dp Ṽ (p p ) ψ(p, t) (7.53) Dabei ist Ṽ (q) die Fouriertransformierte des Potentials V (x). Beweis: Wir projizieren die Schrödinger-Gleichung auf die Eigenkets p : i p dψ P «dt = p m + V (R) ψ (7.54) i ψ(p) t i ψ(p) t = p ψ(p) + m =» p ψ(p) + V m p V (R) ψ {z } = P n αn p Rn ψ «i p (7.55) ψ(p) (7.56) Alternativ dazu können wir p V (R) ψ auch ausdrücken durch p V (R) ψ = = = = Z Z dx p V (R) x x ψ = Z Z dx V (x)e ipx/ π Z π Z π Z dp ψ(p ) dx dx V (x) χ p (x) ψ(x) (7.57) dp π e ip x/ ψ(p ) (7.58) π e i(p p )x/ V (x) (7.59) dp ψ(p )Ṽ (p p ) (7.60) Die kanonische Vertauschungsrelation in den Darstellungen Bemerkung 7.6 (Kanonische Vertauschungsrelation) Die kanonische Vertauschungsrelation [R, P] = i sollte auch in den Darstellungen bezüglich der jeweiligen Basen stimmen. So erhalten wir in der Ortsdarstellung:» x, i f(x) = i x x x f + i (xf) = i f(x) (7.6) x Genauso in der Impulsdarstellung:»i p, p f(p) = i (pf(p)) i p f = i f(p) (7.6) p p T: Quantenmechanik 55 LMU München

65 7 Wellenmechanik Wichtige Lerninhalte des Kapitels Ortsdarstellung Interpretation des Betragsquadrats der Wellenfunktion Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung Kontinuitätsgleichung für Wahrscheinlichkeitsstromdichte Impulsdarstellung Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung T: Quantenmechanik 56 LMU München

66 Kapitel 8 Freies Teilchen/freies Wellenpaket Zeitunabhängige SG eines freien Teilchens Lösung der SG 8. Wellenfunktion eines freien Teilchens Eindimensionale Beschreibung Für ein freies Teilchen nimmt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung die Form an p m ψ(p) = E ψ(p) (8.) Diese Gleichung gilt für beliebige Funktionen ψ(p), solange die Eigenenergie E(p) = p m beträgt. D.h. alle möglichen ψ(p, t = 0) sind Eigenfunktionen des Hamiltonoperators in Impulsdarstellung. Die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ist deshalb ψ(p, t) = e ie(p)t/ ψ(p, t = 0) (8.) 8. Wellenfunktion eines freien Teilchens 8. Unschärfe 8.3 Stationary phase approximation 8.4 Gaußsches Wellenpaket In der Ortsdarstellung erhalten wir dann als Wellenfunktion ψ(x, t) = π dp e i(px E(p)t)/ ψ(p, t = 0) (8.3) Def.: Wellenvektor Definition 8. (Wellenvektor). Wir definieren den Wellenvektor k als k := p (8.4) 57

67 8 Freies Teilchen/freies Wellenpaket Dann gilt für die Frequenz ω(k) = E( k) = k m (8.5) Damit ergibt sich für die Wellenfunktion ψ(x, t) = dk e i(kx ω(k)t) A(k) (8.6) π mit A(k) := π dx e ikx ψ(x, t = 0) (8.7) Verallgemeinerung auf drei Dimensionen Die allgemeine Form eines freien Wellenpakets Im dreidimensionalen Raum wird die Wellenfunktion eines freien Teilchens ausgedrückt durch ψ(x, t) = A(k) = (π) 3/ (π) 3/ d 3 k e i(k x ω(k)t) A(k) (8.8) d 3 x e ik x ψ(x, t = 0) (8.9) 8. Unschärfe Wir erinnern uns an die Heisenbergsche Unschärferelation aus Beispiel 3.6 ( x)( p) (8.0) Unschärferelation für Ort und (Gilt für alle physikalischen Zustände, aber nicht für die nicht normierbaren Eigenkets von R und P.) Somit ist Wellenvektor ( x)( k) (8.) mit ( x) := V ar(r) = ( ) P ( k) := V ar = dx (x x ) ψ(x, t = 0) (8.) dk (k k ) A(k) (8.3) T: Quantenmechanik 58 LMU München

68 8 Freies Teilchen/freies Wellenpaket Das heißt, eine bessere Lokalisierung im Ortsraum führt zu einer größeren Impulsunschärfe und umgekehrt. Extremfälle Bemerkung 8. (Extremfälle) (i) Nehmen wir an, es wäre möglich den Impuls eines Teilchens scharf zu begrenzen, was in Wirklichkeit natürlich von der Heisenbergschen Unschärferelation verboten wird. Sei also die Amplitude des Wellenpakets ψ(x, t) gegeben durch A(k) = δ(k k ) (8.4) Dann erhalten wir ψ(x,t = 0) = π e ik x (8.5) Also eine ebene Welle, deren Betragsquadrat unabhängig vom Ort und somit völlig delokalisiert ist. (ii) Es sei möglich, den Ort eines Teilchens bei x = x 0 scharf zu begrenzen, dann ist ψ(x,t = 0) = δ(x x 0) (8.6) Daraus resultiert A(k) = π e ikx 0 (8.7) Wir erhalten in diesem Fall also eine unendlich große Unschärfe für den Impuls. 8.3 Stationary phase approximation Lokalisierte Impulsverteilung Wir betrachten den Fall einer Impulsverteilung A(k) = A(k) e iφ(k), die nur um die Stelle k = k deutlich von Null verschiedene Werte annimmt. Für die Wellenfunktion in Ortsdarstellung können wir schreiben ψ(x, t) = π dk e iα(k) A(k), α(k) := kx ω(k)t + φ(k) (8.8) Da ω(k) = E( k) = k m nun auch nur für Werte um k = k interessant ist, entwickeln wir α(k) um diesen Punkt herum: α(k) = kx + φ(k) ω( k)t dω (k dk k)t d ω k dk (k k) t k }{{}}{{} :=v g = /m = k(x v g t) + φ(k) + ω( k)t (k k) m t (8.9) T: Quantenmechanik 59 LMU München

69 8 Freies Teilchen/freies Wellenpaket ψ(x, t = 0) x De Broglie Wellenlaenge Abbildung 8.: De-Broglie-Wellenlänge Def.: Gruppengeschwindigkeit Definition 8. (Gruppengeschwindigkeit). Der Ausdruck v g =: dω dk k = k m = p m wird als Gruppengeschwindigkeit bezeichnet. (8.0). Vernachlässigung des quadratischen Terms in α(k) Vernächlässigung von (k k) Wir wollen zunächst den quadratischen Term in (8.9) vernachlässigen und erhalten damit ψ(x, t) = e iω( k)t dk e ik(x vgt) A(k) = e iω( k) ψ(x v g t, t = 0) (8.) π Dies ist ein mit konstanter Geschwindigkeit v g = p/m fortschreitendes Wellenpaket, dessen Form für alle Zeiten bis auf einen globalen Phasenfaktor dieselbe ist wie zum Zeitpunkt t = 0. Def.: De-Broglie- Wellenlänge Definition 8.3 (De-Broglie-Wellenlänge). Nach Louis de Broglie bezeichnet man die zur Materiewelle mit Impuls p gehörende Wellenlänge λ = h p (8.) als De-Broglie-Wellenlänge (siehe Abb. 8.). Bemerkung 8. (Doppelspalt) Die De-Broglie-Wellenlänge ist entscheidend für die quantenmechanische Interferenz. Betrachten wir beispielsweise eine sehr vereinfachte Interferenz am Doppelspalt (vgl. Abb. 8.): Die einzelnen Auftreffwahrscheinlichkeiten sind abhängig von der jeweiligen Differenz l = l l der beiden Wege von den Spalten bis zum Schirm, denn die T: Quantenmechanik 60 LMU München

70 8 Freies Teilchen/freies Wellenpaket l l Abbildung 8.: Interferenz am Doppelspalt Superposition zweier - der Einfachheit wegen - ebener Einzelwellen am Schirm e i kl und e i kl führt zu e i kl + e i kl = + cos( k(l l )) (8.3) An diesem Ausdruck kann man sehen, dass bei Änderung von l um eine de Broglie- Wellenlänge λ die Auftreffwahrscheinlichkeit gerade eine Oszillation ausführt. Bemerkung 8.3 (Welle-Teilchen-Dualismus) (i) Bei einer Messung findet man immer ein ganzes Teilchen mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ψ(x,t). (ii) Bei Superposition von Materieteilchen findet man Welleneigenschaften, d.h. konstruktive und destruktive Interferenz in der Wahrscheinlichkeitsverteilung. (iii) Quantenmechanische Effekte sind dann relevant, wenn die De-Broglie-Wellenlänge vergleichbar oder größer ist als eine charakteristische Längenskala im jeweiligen Experiment. Beispiel 8. Ein kleines Staubteilchen der Masse m = 0 5 kg und Geschwindigkeit von v = mm s hat eine De-Broglie-Wellenlänge von λ = 6, Å. Das heißt, hier sind Quanteneffekte nicht sehr relevant. Neutronen haben hingegen eine De-Broglie-Wellenlänge von λ =, 8 Å bei einer Temperatur T = 300K; λ = 3 Å bei T = K. Berücksichtigung von (k k). Berücksichtigung des vernachlässigten Terms in α(k) Satz 8. (Konsequenz des Ehrenfest-Theorems) Aus dem Ehrenfest-Theorem folgt für den zeitlichen Verlauf der Varianz des Ortes für freie Teilchen: ( x) (t) = ( p) m (t t 0) + ( x) (t 0 ) (8.4) T: Quantenmechanik 6 LMU München

71 8 Freies Teilchen/freies Wellenpaket Beweis: D E (i) Aus dem Ehrenfest-Theorem d dt A = i [A, H] + A folgt für den Orts- und t Impulserwartungswert d dt x = p [x, i m ] = p (8.5) m d p = 0 p(t) = p = const. (8.6) dt Also erhalten wir x(t) = (t t 0) m p + x(t 0) (8.7) (ii) Es ist außerdem Es ergibt sich d dt x = i x[x, p /(m)] + [x, p /(m)]x = xp + px (8.8) m d px + xp = dt i p[x,p /(m)] + [x, p /(m)]p = m p (8.9) d dt p = 0 (8.30) x (t) = p m (t t 0) + (px + xp)(t 0) (t t 0 ) + x (t 0 ) (8.3) m ( x) (t) = x (t) x(t) = ( p p ) m (t t 0 ) + ( (px + xp)(t 0) p x(t 0 ) ) (t t 0 ) m + x (t 0 ) x(t 0 ) Durch geeignete Wahl von t 0 ergibt sich obige Relation. Der quadratische Term in der vorherigen Rechnung führt also zum einem Auseinanderlaufen des Wellenpakets (Abb. 8.3). 8.4 Gaußsches Wellenpaket Charakteristik des Gaußschen Wellenpakets Satz 8. (Wellenpaket minimaler Unschärfe) Als Wellenpaket, welches die Unschärferelation minimiert: ( x)( p) = (8.3) erhält man ein Gaußsches Wellenpaket (siehe Übungsaufgabe 5) ψ(x) = ei kx x x e ( (πσ ) /4 σ ) (8.33) T: Quantenmechanik 6 LMU München

72 8 Freies Teilchen/freies Wellenpaket ( x) (t) t 0 t Abbildung 8.3: Zeitabhängigkeit der Ortsunschärfe eines Wellenpakets ψ(x) σ(t) v g (t t) σ(t ) x Abbildung 8.4: Zeitabhängige Unschärfe eines Gaußschen Wellenpakets mit Standardabweichung σ := ( x) und Impulsunschärfe ( p) = 4σ. Satz 8.3 Zeitabhängige Das Gaußsche Wellenpaket bleibt bei freier Zeitentwicklung ein Gaußsches Wel- Breite lenpaket mit zeitabhängiger Breite (Aufgabe 7). [ ψ(x, t) = π σ(t) exp (x p m t ] x) σ (t) mit σ (t) = 4m σ t + σ (siehe Abb. 8.4). (8.34) Bemerkung 8.4 Dies stimmt mit der Beziehung (8.4) überein. Beispiel 8. Ein Neutron bei Temperatur T = 300K, welches anfänglich mit σ = nm lokalisiert ist, erfährt eine Verdopplung der Ortsunschärfe nach einer Wegstrecke von 00nm. T: Quantenmechanik 63 LMU München

73 8 Freies Teilchen/freies Wellenpaket Bemerkung 8.5 (Unschärferelation für das Gaußsche Wellenpaket) Das Produkt der Impuls- und Ortsunschärfe eines Gaußschen Wellenpakets wächst als Funktion der Zeit gemäß ( x)(t) ( p) = r 4 + t 4 4m σ 4 (8.35) T: Quantenmechanik 64 LMU München

74 Kapitel 9 Potentialkasten 9. Unendlich hoher Potentialkasten Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit einem außerhalb eines Kompaktums unendlich großen Potential (Abb. 9.) beschäftigen, das gegeben ist durch 9. Unendlich hoher Potentialkasten 9. Endlicher Potentialkasten { 0 für 0 x a V (x) = sonst (9.) Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung Wir versuchen nun die möglichen Wellenfunktionen eines Teilchens in einem solchen Potential zu finden. Da der Erwartungswert der Energie endlich sein sollte, können wir annehmen, dass die Wellenfunktion des Teilchens außerhalb des Kompaktums verschwindet (denn sonst hätte das unendlich hohe Potential einen Beitrag in ψ H ψ ). Für den Bereich 0 x a lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung d ψ m dx = Eψ(x) d ψ me dx = k ψ mit k = (9.) Das heißt wir erhalten 0 für x < 0 ψ(x) = Asin(kx) + B cos(kx) für 0 x a 0 für x > a (9.3) Anschlussbedingungen Für einen endlichen Potentialtopf muss die Wellenfunktion immer stetig sein (wird später in Satz 9. gezeigt). Da ein unendlicher Potentialtopf durch einen 65

75 9 Potentialkasten V (x) a x Abbildung 9.: Unendlich hoher Potentialtopf Grenzübergang aus dem endlichen entsteht, muss die zugehörige Wellenfunktion ebenfalls stetig sein. Es muss also gelten Das ergibt ψ(x = 0) = ψ(x = a) = 0 (9.4) B = 0, sin(ka) = 0 (9.5) ka kann also nur die Werte mπ für m Z {0} annehmen. m = 0 ist aber uninteressant, da der zugehörige Zustand nicht normierbar ist und m < 0 kann durch einen globalen Phasenfaktor kompensiert werden. Somit bleiben nur die m N übrig, und k kann nur die Werte annehmen k n = nπ a n {,, 3,...} (9.6) Diskretes Energiespektrum Eigenfunktionen im unendlich hohen Potentialkasten Das heißt, im unendlichen Potentialtopf sind nur diskrete Eigenenergien möglich: E n = k n m = n π ma (9.7) Die zugehörigen Eigenfunktionen sind (siehe Abb. 9.) φ n (x) = a sin ( nπ a x ) x [0, a] (9.8) T: Quantenmechanik 66 LMU München

76 9 Potentialkasten E 3 V (x) E E 0 a x Abbildung 9.: Eigenzustände im unendlichen Potentialtopf Bemerkung 9. (Beobachtungen) (i) Jeder höher angeregte Zustand hat einen zusätzlichen Knoten in der Wellenfunktion. (ii) Die Eigenfunktionen φ n sind orthogonal und vollständig: Z φ n φ m = dx φ n(x)φ m(x) = δ mn (9.9) X φ n φ n = ψ(x) = X c nφ n(x), mit c n = φ n ψ (9.0) n n für eine beliebige quadratintegrable Funktion ψ(x). Die Orthogonalität folgt aus dem Satz über Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten und die Vollständigkeit aus dem Spektralsatz. (iii) Die Zeitentwicklung des Anfangszustands kann nun mit einem gegebenen Anfangszustand ψ(x, t = 0) ausgedrückt werden durch X ψ(x,t) = c nφ n(x) (9.) n= e ient/ c nφ n(x), wenn ψ(x, t = 0) = X n 9. Endlicher Potentialkasten Sei nun ein Potential V (x) der Form eines endlichen Potentialtopfes gegeben (Abb. 9.3): 0 für x < a V (x) = V 0 für a x a 0 für x > a Wir wollen die Intervalle einzeln untersuchen: (9.) T: Quantenmechanik 67 LMU München

77 9 Potentialkasten (i) x < a: Da hier das Potential verschwindet, ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung gegeben durch d ψ = Eψ(x) (9.3) m dx Wir müssen zwischen zwei Fällen unterscheiden: E > 0 bei x > a E > 0: Lösung von (9.3) ist führt zu me Streuzuständen ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), k = (9.4) Da hierfür alle x < a zugelassen sind, ist diese Funktion nicht normierbar. Wir werden solche Fälle später genauer betrachten und feststellen, dass sie sogenannten Streuzuständen entsprechen. E < 0 bei x > a führt zu gebundenen Lösungen E < 0: Lösung von (9.3) ist (da k hier imaginär): me ψ(x) = Ae κx + Be κx, κ = (9.5) Um Normierbarkeit zu erhalten, muss A = 0 sein. Also erhalten wir eine nach exponentiell abfallende Wellenfunktion. (ii) x > a: Aus Symmetriegründen verläuft die Argumentation völlig analog zum Fall x < a: E > 0 : ψ(x) = Asin(kx) + B cos(kx) (Streuzustand) (9.6) E < 0 : ψ(x) = Fe κx (9.7) (iii) a x a: Für dieses Intervall lautet die zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung d ψ m dx V 0ψ = Eψ (9.8) Gebundene Lösungen für x < a Somit erhalten wir die Lösung (da E + V 0 immer positiv ist) m(e + V0 ) ψ(x) = C sin(lx) + D cos(lx), l = Wir erhalten insgesamt Be κx ψ(x) = C sin(lx) + D cos(lx) Fe κx für x < a für a x a für x > a (9.9) (9.0) Damit wir die Lösungen genauer angeben können, benötigen wir zunächst Bedingungen über Symmetrie und Stetigkeit. T: Quantenmechanik 68 LMU München

78 9 Potentialkasten V (x) a a x V 0 Abbildung 9.3: Endlicher Potentialtopf (anti-)symmetrische Eigenfunktionen Satz 9. (Symmetrische Potentiale) Wenn das Potential V (x) symmetrisch ist, d.h. V (x) = V ( x), dann kann man Eigenfunktionen verwenden, die entweder symmetrisch sind (gerade Parität) oder antisymmetrisch (ungerade Parität). Beweis: Sei ψ(x) eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators H = d m dx +V (x) mit Eigenenergie E, dann gilt (bei Substitution von x mit x):» d m d( x) + V ( x) ψ( x) = Eψ( x) (9.) d Da aber V ( x) = V (x) vorausgesetzt ist und d( x) = d dx, ist ψ( x) ebenfalls eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators H. Aufgrund der Linearität der Eigenwertgleichung von H (zeitunabh. Schrödinger-Gleichung) sind die Funktionen φ ± := ψ(x) ± ψ( x) (9.) ebenfalls Eigenfunktionen zum Eigenwert E. Für diese beiden Funktionen gilt φ + ( x) = ψ( x) + ψ(x) = φ + (x) φ + symmetrisch (9.3) φ ( x) = ψ( x) ψ(x) = φ (x) φ antisymmetrisch (9.4) Stetigkeit der Eigenfunktionen des Hamiltonoperators Satz 9. (Stetigkeit der Eigenfunktionen) Die Wellenfunktion ψ(x) eines Eigenzustands ψ des Hamiltonoperators ist überall stetig und deren Ortsableitung ist auch überall stetig, mit Ausnahme von Punkten an welchen das Potential divergiert. Beweis: O.B.d.A. betrachten wir die Stelle x = 0 und integrieren die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung von ε bis ε: Z ε d Z ψ ε Z ε m ε dx dx + V (x)ψ(x) dx = E ψ(x)dx (9.5) ε ε T: Quantenmechanik 69 LMU München

79 9 Potentialkasten " dψ lim dψ # ε 0 dx ε dx ε = m» Z ε lim dx (V (x) E)ψ(x) = 0 (9.6) ε 0 ε Also ist die Ableitung von ψ stetig und damit auch ψ selbst. Kehren wir nun zurück zu den gebundenen (E < 0) Eigenfunktionen des Hamiltonoperators im endlichen Potentialtopf. Wir hatten Be κx ψ(x) = C sin(lx) + D cos(lx) Fe κx für x < a für x a für x > a (9.7) Bedingungen für die Eigenfunktionen im endlichen Potentialtopf Wir benutzen nun die beiden obigen Sätze. Zunächst beschränken wir uns im Folgenden auf die symmetrischen Eigenfunktionen, die antisymmetrischen Eigenfunktionen werden in Übungsaufgabe diskutiert. Also ψ( x) = ψ(x) (9.8) und damit erhalten wir B = F und C = 0, d.h. Be κx ψ(x) = D cos(lx) Be κx für x < a für x a für x > a (9.9) Nun sind ψ und dψ dx stetig. Dies führt im Punkt x = a zur Bedingung Be κa = D cos(la) (9.30) Aus der Stetigkeit der Ableitung bei x = a dψ dx = Dl sin(la), a ε folgt die Bedingung Bκe κa = Dl sin(la) (9.3) dψ dx = Bκe κa (9.3) a+ε Die explizite Berechnung der Energieeigenwerte über eine geometrische Konstruktion erfolgt in Übungsaufgabe. T: Quantenmechanik 70 LMU München

80 Kapitel 0 Harmonischer Oszillator Bedeutung des harmonischen Oszillators Die meisten interessanten Potentiale besitzen keine einfache symmetrische Struktur, sondern sind von komplizierter Form mit vielen lokalen Maxima, Minima und Polstellen (vgl. Abb. 0.). Häufig interessiert man sich aber nur für das Verhalten eines Teilchens in der unmittelbaren Umgebung einer Gleichgewichtslage. In diesem Fall bietet sich eine Taylorentwicklung um das entsprechende lokale Minimum x 0 an, die man als harmonische Näherung bezeichnet, wenn man nur bis zur quadratischen Ordnung der Auslenkung entwickelt. V (x) V (x 0 ) + dv dx (x x 0 ) + x0 d V dx (x x 0 ) (0.) x0 Da wir V (x 0 ) = 0 und x 0 = 0 setzen können (durch einfaches Verschieben des Ursprungs möglich) und da die erste Ortsableitung in einem Extremum der Funktion gerade verschwindet, nimmt der Hamiltonoperator die Form für den harmonischen Oszillator an: 0. Vernichtungsund Erzeugungsoperator 0. Konstruktion der Eigenzustände 0.3 Eigenschaften der Eigenzustände 0.4 Dynamik im harmonischen Oszillator Schrödinger- Gleichung für den harmonischen Oszillator H = p m + mω x mit mω := V (x 0 ) (0.) In der klassischen Mechanik, würde man als Lösung eines solchen Problems die zeitliche Entwicklung der Auslenkung x(t) = C cos(ωt)+c sin(ωt) bezeichnen. In der Quantenmechanik suchen wir die Eigenkets des Hamiltonoperators, die in der Ortsdarstellung als Wellenfunktionen bezeichnet werden und der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung genügen: d ψ m dx + mω x ψ(x) = Eψ(x) (0.3) Wir könnten nun versuchen, die Differentialgleichung (0.3) analytisch zu lösen, eleganter ist aber ein algebraisches Lösungsverfahren. 7

81 0 Harmonischer Oszillator V (x) harmonische Naeherung 0 x o x Abbildung 0.: Harmonische Näherung in der Gleichgewichtslage eines Potentials 0. Vernichtungs- und Erzeugungsoperator Def.: Vernichtungsoperator Definition 0. (Vernichtungsoperator). Man definiert den Vernichtungsoperator a als a := mω (ip + mωx) (0.4) Def.: Erzeugungsoperator Definition 0. (Erzeugungsoperator). Die Adjungierte des Vernichtungsoperators bezeichnet man als Erzeugungsoperator a = mω ( ip + mωx) (0.5) Def.: Anzahloperator Definition 0.3 (Anzahloperator). Der Anzahloperator N ist definiert durch N := a a (0.6) N ist hermitesch und damit eine Observable. Erzeuger-Vernichter Darstellung des Hamiltonoperators eines harmonischen Oszillators Satz 0. (Erzeuger-Vernichter Darstellung des Hamiltonoperators) Der Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators lässt sich darstellen durch ( H = ω a a + ) ( = ω N + ) (0.7) T: Quantenmechanik 7 LMU München

82 0 Harmonischer Oszillator Beweis: a a = = = mω (P + m ω X imωpx + imωxp) (0.8) mω (P + m ω X + imω [X, P] ) (0.9) {z } =i P ω m + «mω X (0.0) {z } =H [a, a ] Satz 0. (Vertauschungsrelation von a und a ) Der Kommutator von Vernichtungs- und Erzeugungsoperator hat das schöne Ergebnis [a, a ] = (0.) [N, a ], [N, a] Damit folgen sofort die Vertauschungsrelationen mit dem Anzahloperator [N, a ] = +a [N, a] = a (0.) Beweis: [a, a ] = = = [ip + mωx, ip + mωx] (0.3) mω ([ip, mωx] [mωx, ip]) (0.4) mω i ( i i ) = (0.5) 0. Konstruktion der Eigenzustände Alle Eigenenergien sind positiv Satz 0.3 (Positive Eigenenergien) Alle Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators sind positiv. Beweis: Sei φ ein normierter Eigenzustand von H zur Eigenenergie E. In Ortsdarstellung ist also d φ m dx + mω x φ(x) = Eφ(x) (0.6) Beide Seiten dieser Gleichung mit φ (x) multipliziert und über alle x integriert ergibt Z «E = dx» m φ (x) d φ dx + mω x φ (x)φ(x) (0.7) T: Quantenmechanik 73 LMU München

83 0 Harmonischer Oszillator Partielle Integration im ersten Summand und die Tatsache, dass φ(x) exponentiell abklingt führt zu Z " E = dx m # dφ dx + mω x φ(x) (0.8) Da der Integrand für alle x R positiv ist, können nur positive Energien E auftreten. Erzeugung von Eigenzuständen mit aufsteigenden Eigenenergien Satz 0.4 (Erzeugte Eigenzustände durch Erzeugungsoperator) Wenn ϕ ein Eigenzustand des Hamiltonoperators in (0.7) zur Eigenenergie E ist, dann ist der durch den Erzeugungsoperator transformierte Zustand a ϕ ein Eigenzustand zur Energie E + ω. Insbesondere ist a ϕ 0. Beweis: Unter Verwendung der Vertauschungsrelationen des Anzahloperators folgt sofort: Ha ϕ = ω N + «a ϕ (0.9) = ω [N, a ] + a N + «a ϕ (0.0) = ωa N + 3 «ϕ (0.) = a (H + ω) ϕ = (E + ω)a ϕ (0.) Es bleibt zu zeigen, dass a ϕ = 0: ϕ aa ϕ = ϕ [a, a ] + a a ϕ = ϕ + H ω ϕ = E ω + «ψ ψ > 0 Erzeugung mit absteigenden Eigenenergien Satz 0.5 (Eigenzustände erzeugt durch den Vernichtungsoperator) Wenn ϕ ein Eigenzustand des Hamiltonoperators in (0.7) zur Eigenenergie E ist, dann ist der durch den Vernichtungsoperator transformierte Zustand a ϕ ein Eigenzustand zur Energie E ω oder a ϕ verschwindet. Beweis: Unter Verwendung der Vertauschungsrelationen des Anzahloperators folgt sofort: Ha ϕ = ω Na + «a ϕ (0.3) = ω [N, a] + an + «a ϕ (0.4) = ω a + an + «a ϕ (0.5) = ωa N «ϕ (0.6) = a(h ω) ϕ = (E ω)a ϕ (0.7) T: Quantenmechanik 74 LMU München

84 0 Harmonischer Oszillator Grundzustandswellenfunktion Sukzessive Verringerung der Eigenenergien Ist ein Eigenzustand ϕ des Hamiltonoperators zur Eigenenergie E gegeben, so können nun durch mehrmaliges Anwenden des Vernichtungsoperators a Eigenzustände erzeugt werden, die jeweils eine um ω reduzierte Eigenenergie besitzen. Da aber keine negativen Eigenenergien existieren - das Energiespektrum also nach unten beschränkt ist - muss irgendwann gelten a ψ 0 = 0 (0.8) Untere Grenze des Spektrums Grundzustand des harm. Oszillators Diese Gleichung hat eine eindeutige Lösung, die wir nun in Ortsdarstellung berechnen wollen: dψ 0 dx dψ 0 ψ 0 lnψ 0 ψ 0 (x) 0 = x a ψ 0 = x ip + mωx ψ 0 (0.9) mω ( = d ) mω dx + mωx ψ 0 (x) (0.30) = mω xψ 0(x) (0.3) = mω xdx (0.3) = mω x + const. (0.33) = Ne mω x (0.34) Nach einer Normierung erhalten wir für die Grundzustandswellenfunktion des harmonischen Oszillators ψ 0 (x) = ( mω ) /4 e mω x (0.35) π Energiespektrum Für den konstruierten Grundzustand ψ 0 können wir jetzt die Eigenenergie berechnen ( H ψ 0 = ω a a + ) ψ 0 = ω ψ 0 (0.36) Energiespektrum des harm. Oszillators Für ψ 0 ist also E 0 = ω und da durch den Erzeugungsoperator a Eigenzustände ψ n+ = c n a ψ n mit Eigenenergien E n+ = E n + ω erzeugt werden, besitzt der harmonische Oszillator das Energiespektrum E n = ( n + ) ω (0.37) T: Quantenmechanik 75 LMU München

85 0 Harmonischer Oszillator a t 7 hω a t 5 hω a t 3 hω a t hω a a a a ψ 0 Abbildung 0.: Schema der Wirkung des Vernichtungs- und des Erzeugungsoperators Eigenzustände Ist ein Eigenzustand ϕ n bekannt, wird der Eigenzustand mit der um ω höheren Eigenenergie erzeugt durch c n ψ n+ = a ψ n (0.38) mit einer Normierungskonstante c n C, die wir noch bestimmen müssen: c n ψ n+ ψ n+ = ψ n aa ψ n = ψ n H ω + ψ n = c n = n +, ψ n+ = ( En ω + ) n + a ψ n (0.39) Es ist also ψ = a ψ 0 (0.40) ψ = a ψ = (a ) ψ 0 (0.4) ψ 3 = 3 a ψ = 3 (a ) 3 ψ 0 (0.4) Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators Durch Induktion erhält man für die normierten Eigenzustände eines harmonischen Oszillators ψ n = n = n! (a ) n ψ 0 (0.43) Bemerkung 0. Operatoren mit Vertauschungsrelationen [N, a ] = +a und [N, a] = a bezeichnet man auch als Leiteroperatoren: a ist der Absteigeoperator und a der Aufsteigeoperator (vgl. Abb. 0.). Beachte insbesondere, daß die so erzeugte Leiter Abb. 0. T: Quantenmechanik 76 LMU München

86 0 Harmonischer Oszillator eindeutig ist, d.h. wirklich alle Eigenzustände durch (0.43) gegeben sind: Dies folgt unmittelbar daraus, daß die Nacheinanderausführung von Auf- und Absteigeoperator (bzw. umgekehrt) auf einen Eigenzustand wieder zu diesem Eigenzustand (mit einem Proportionalitätsfaktor) zurückführt. 0.3 Eigenschaften der Eigenzustände 0.3. Eigenschaften des Grundzustands Für den Grundzustand ψ 0 des harmonischen Oszillators, dessen Ortsdarstellung (0.35) die Form einer Gaußkurve annimmt, zeigen sich folgende Eigenschaften: (i) Die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ 0 (x) ist ebenfalls eine Gaußfunktion. Orts- und Impulserwartungswert verschwindet im Grundzustand (ii) Im Grundzustand gilt ψ 0 X ψ 0 = ψ 0 P ψ 0 = 0 (0.44) (In X ψ0 = R x ψ 0(x) dx hat man über eine ungerade Funktion zu integrieren, weshalb der Ausdruck verschwindet. Für P ψ0 ergibt sich bis auf einen konstanten Faktor dasselbe Integral, wenn man die Differentiation von ψ 0(x) nach x explizit angibt.) Man kann leicht zeigen, dass diese Argumentation auch für die angeregten Zustände gilt und allgemein folgt ψ n X ψ n = ψ n P ψ n = 0 (0.45) (iii) Nun wollen wir zeigen, wie man den Wert für ψ 0 X ψ 0 = Bestimmung von dx x ψ 0 (x) X ψ0 ohne unhandliche Integration elegant bestimmen kann: Dazu benutzen wir wiederum die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a und a, die der Relation genügen a + a = mωx m ω (0.46) Damit ergibt sich ψ 0 X ψ 0 = = mω ψ0 (a + a ) ψ 0 (0.47) ψ0 aa +aa + a a + a a ψ 0 mω (0.48) {z} =0 {z} =0 {z} =0 Dabei wurde ausgenutzt, dass a den Grundzustand ψ 0 komplett zerstört und dass der Zustand ψ = a t a t ψ 0 orthogonal zum Grundzustand ψ 0 ist, da Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal T: Quantenmechanik 77 LMU München

87 0 Harmonischer Oszillator zueinander sind. Wir erhalten also ψ 0 X ψ 0 = = mω ψ0 aa ψ 0 (0.49) mω ψ0 [a, a ] + a a ψ 0 = mω (0.50) Bestimmung von (iv) Den Ausdruck für ψ 0 P ψ 0 bestimmt man analog zu (iii): P ψ0 a a = ip m ω (0.5) ψ 0 P ψ 0 = m ω ψ0 (a a ) ψ 0 (0.5) = m ω ψ0 ( aa ) ψ 0 = mω (0.53) Orts- und Impulsunschärfe des harmonischen Oszillators im Grundzustand (v) Jetzt können wir die Orts- und Impulsunschärfe im Grundzustand und deren Unschärferelation angeben: x = m ω mω, p = (0.54) x p = / (0.55) Unschärferelation für den n-ten Ein Teilchen im Grundzustand besitzt also die minimale Unschärfe, die von der Heisenbergschen Unschärferelation für Ort und Impuls erlaubt wird. Man kann sich die Tatsache, dass die Unschärfe von Ort und Impuls nach unten beschränkt ist, auch dadurch plausibel machen, dass die von null verschiedene Grundzustandsenergie E 0 = ω Quantenfluktuationen erlaubt. Für den n-ten stationären Zustand des harmonischen Oszillators gilt stationären Zustand x p = (n + ) (0.56) 0.3. Ortsdarstellung der Eigenzustände Eigenzustände des harmonischen Oszillators in Ortsdarstellung Satz 0.6 (Ortsdarstellung der angeregten Eigenzustände) Die Eigenzustände ψ n des harmonischen Oszillators aus (0.43) sind in Ortsdarstellung gegeben durch ψ n (ξ) = ( mω ) /4 π n n! H n(ξ) e ξ / (0.57) T: Quantenmechanik 78 LMU München

88 0 Harmonischer Oszillator mit ξ := mω x und den Hermite-Polynomen H 0 (ξ) =, H (ξ) = ξ, H (ξ) = 4ξ, H 3 (ξ) = 8ξ 3 ξ,... bzw. allgemein H n+ (ξ) = ξh n (ξ) nh n (ξ) (0.58) Beweis: Wir wollen hier keinen allgemeinen Beweis geben, sondern (0.57) nur für den ersten angeregten Zustand ψ überprüfen: x ψ = x a ψ 0 = x ( ip + mωx) ψ 0 (0.59) mω = (0.35) = = d «mω dx + mωx ψ 0 (x) (0.60) mωx mω ψ 0 (x) = mω π mω /4 H (ξ)e ξ / π /4 ξe ξ / (0.6) (0.6) Orthogonalitätseigenschaft der Hermite-Polynome Satz 0.7 (Orthogonalitätseigenschaft der Hermite-Polynome) Die Hermite-Polynome erfüllen die Orthogonalitätsrelation dy e y H n (y)h m (y) = δ nm π n n! (0.63) Beweis: Spektralsatz. Bemerkung 0. (Beobachtungen) Wir beobachten folgende Eigenschaften der Eigenfunktionen ψ n(x) (vgl. Abb. 0.3.): (i) Die Grundzustandswellenfunktion hat keine Knoten. (ii) Jeder höher angeregte Zustand hat einen zusätzlichen Knoten. (iii) Die Lösungen haben abwechselnd positive und negative Parität. Alternativer Lösungsweg Bemerkung 0.3 (Alternativer Lösungsweg für den harm. Oszillator) Anstatt des hier vorgestellten algebraischen Lösungsverfahrens mit dem Erzeugungsund Vernichtungsoperator, hätte man die Differentialgleichung (0.3) die Schrödinger- Gleichung des harmonischen Oszillators auch analytisch lösen können. Dieser etwas mühsamere Lösungsweg soll hier grob skizziert werden: Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (0.3) kann mit ξ := p mω x auf die Form gebracht werden d ψ dξ = ξ E «ψ(ξ) (0.64) ω T: Quantenmechanik 79 LMU München

89 0 Harmonischer Oszillator φ (x) φ (x) φ 0 (x) E V (x) h 5 ω h 3 ω h ω 0 x Abbildung 0.3: Energieniveaus und Eigenzustände des harmonischen Oszillators Für große ξ, d.h. ξ E, ergibt sich als Lösung ω ψ(ξ) = ae ξ / + be ξ / (0.65) wobei b = 0 sein muss, damit ψ normierbar ist. Dies motiviert den Ansatz für allgemeine ξ (Variation der Konstanten) ψ(ξ) = h(ξ)e ξ / (0.66) Eingesetzt in Gleichung (0.64) erhalten wir eine Differentialgleichung für h(ξ) «d h dh E ξ dξ dξ + ω h(ξ) = 0 (0.67) Eine Differentialgleichung dieser Form hat zwei Typen von Lösungen: Eine Art von Lösung h(ξ) ist proportional zu e ξ, was für normierbare Wellenfunktionen nicht sinnvoll ist. Die andere Art besteht aus normierbaren Lösungen mit h(ξ) H n(ξ), wobei H n(ξ) die oben definierten Hermite-Polynome sind. Diese Lösungen gibt es allerdings nur für Energien der Form E n = (n+ ) ω. Damit sind diese Lösungen konsistent mit den Ergebnissen aus dem algebraischen Lösungsverfahren. 0.4 Dynamik im harmonischen Oszillator Sei nun ein Anfangszustand zur Zeit t = 0 gegeben. Dieser kann zerlegt werden in Komponenten bezüglich der Basis aus Energieeigenzuständen { n := ψ n } ψ(t = 0) = c n n (0.68) n=0 T: Quantenmechanik 80 LMU München

90 0 Harmonischer Oszillator Periodische Zeitentwicklung Nach dem Satz über die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist die Zeitentwicklung dieses Zustands gegeben durch ψ(t) = e ient/ c n n = e i(n+/)ωt c n n (0.69) n=0 n=0 Der Zustand verhält sich also periodisch, sodass mit Periodendauer T = π ω gilt ψ(t + T) = ψ(t) (0.70) Daraus folgt, dass die Messergebnisse einer beliebigen Observablen in einem beliebigen Zustand ebenfalls periodisch mit T ist. T: Quantenmechanik 8 LMU München

91 Kapitel Streuung am Delta-Potential Wir wollen nun die in Abschnitt 9. angesprochenen Streuzustände genauer untersuchen, die auftreten, wenn die Energie des betrachteten Systems größer als die höchst mögliche Bindungsenergie des jeweiligen Potentials ist. Wir wollen im Folgenden die Streuzustände eines Delta-Potentials konstruieren, welches eine modellhafte Idealisierung ist und für theoretische Überlegungen sehr nützlich:. Konstruktion der Eigenfunktionen. Streuung eines Wellenpakets V (x) = αδ(x) (.) Ist α positiv spricht man von einem repulsiven, bei negativem α von einem attraktiven Potential (vgl. Abb.. und.).. Konstruktion der Eigenfunktionen.. Lösungen der Schrödinger-Gleichung Schrödinger- Gleichung für die Stellen mit V (x) = 0 Um die möglichen Grundzustände und das Energiespektrum zu finden betrachten wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung für die Stellen an denen das Potential verschwindet, also für x < 0 und x > 0: d ψ = Eψ(x) (.) m dx Die Struktur der Lösungen unterscheidet sich für positive und negative Energien (wobei wir für E < 0 bereits die Normierbarkeit berücksichtigen): E < 0 : ψ(x) = { Be κx für x < 0 Ae κx für x > 0 (.3) 8

92 Streuung am Delta-Potential V (x) 0 x α < 0 Abbildung.: Attraktives Delta-Potential V (x) α > 0 0 x Abbildung.: Repulsives Delta-Potential me mit κ := (.4) { Ae E > 0 : ψ(x) = ikx + Be ikx für x < 0 Fe ikx + Ge ikx (.5) für x > 0 me mit k = (.6) Struktur der Lösungen.. Anschlussbedingungen der Wellenfunktion Bemerkung. Negative - klassisch verbotene - Energien führen also zu exponentiell abfallenden Wellenfunktionen, wohingegen aus positiven Energien nichtnormierbare Eigenfunktionen resultieren. Anschlussbedingungen... In Abschnitt 9. haben wir nachgewiesen, dass die Wellenfunktion und ihre Ableitung für das dort betrachtete Potentialproblem (endlicher Potentialkasten) stetig ist. Da das Delta-Potential (.) aber bei x = 0 divergiert, kann die Ableitung nicht mehr stetig sein. Wir erhalten als Anschlussbedingungen an der Stelle x = 0: T: Quantenmechanik 83 LMU München

93 Streuung am Delta-Potential ψ(x) κe κx 0 x Abbildung.3: Wellenfunktion des gebundenen Zustands im Delta-Potential...aufgrund der (i) Die Wellenfunktion ist stetig: Stetigkeit der Wellenfunktion E < 0 : B = A (.7) E > 0 : A + B = F + G (.8)...aufgrund der Sprungstelle der Ableitung (ii) Für die Ableitung erhalten wir durch Integration der Schrödinger-Gleichung um eine Umgebung von x = 0: ε d ψ ε ε m ε dx + αδ(x)ψ(x) = Eψ(x) ε ε m (ψ (ε) ψ ( ε)) = αψ(0) + E(Ψ(ε) Ψ( ε)) Ψ stehe hier für die Stammfunktion der Wellenfunktion, weswegen sie stetig ist. Im Grenzübergang ε 0 sehen wir, dass die Ableitung von ψ(x) an der Stelle x = 0 um mα ψ(0) springt. Wir erhalten deshalb zusätzlich die Bedingungen: E < 0 : E > 0 : κa κb = mα A (.9) ik(f G) ik(a B) = mα (A + B) (.0)..3 Gebundener Zustand (E < 0) Aus (.4) (Definition von κ) und aus den Bedingungen (.7) und (.9) erhalten wir κ = mα me = (.) Bindungsenergie im Delta-Potential Ein gebundener Zustand ist somit nur für α < 0, d.h. für attraktive Potentiale möglich. Er besitzt die Eigenenergie (Bindungsenergie) T: Quantenmechanik 84 LMU München

94 Streuung am Delta-Potential E = mα (.) Gebundene Eigenfunktion im Delta-Potential und die Ortsdarstellung (A = κ aus Normierung) ψ(x) = { κe κx für x < 0 κe κx für x > 0 (.3)..4 Streuzustände (E > 0) Schreiben wir die Anschlussbedingungen (.8) und (.0) mithilfe der Definition β := mα k, so erhalten wir A + B = F + G (.4) F G = A( + iβ) B( iβ) (.5) Dies sind zwei Gleichungen mit vier Unbekannten, die wir nur lösen können, wenn wir weitere Annahmen machen. Wir setzen deshalb zunächst G = 0 (.6) und werden nachher sehen, welche Interpretation die so erzeugte Eigenlösung hat. Nun können wir die vorhandenen Bedingungen (.4), (.5) und (.6) verarbeiten: A + B = F = A( + iβ) B( iβ) (.7) B = iβ iβ A, F = iβ A (.8) Def.: Reflexionsund Transmissionsamplitude Definition. (Reflexions- und Transmissionsamplitude). Wir definieren die Reflexionsamplitude über r(k) := B A = iβ(k) iβ(k) und die Transmissionsamplitude durch t(k) := F A = iβ(k) (.9) (.0) Eigenzustand für die fiktive Energie E = k m Definition. (Stationärer Streuzustand für eine ebene Welle). Den Streuzustand mit A = für die kinetische Energie E = k m bezeichnen wir mit T: Quantenmechanik 85 LMU München

95 Streuung am Delta-Potential φ + k (x) = { e ikx + r(k)e ikx für x < 0 t(k)e ikx für x < 0 (.). Streuung eines Wellenpakets Nach (8.3) ist die Zeitentwicklung eines freien Wellenpakets gegeben durch ψ(x, t) = dk e ikx e iω(k)t ψ(k, t = 0) (.) π Ansatz für das zeitabhängige Wellenpaket bei Sreuung mit ω(k) = k m. Nun kennen wir die Streuwirkung eines Delta-Potentials auf die ebene Welle e ikx, weshalb wir für die Wellenfunktion eines gestreuten Teilchens ansetzen können ψ(x, t) = dk φ + π k (x)e iω(k)t ψ(k, t = 0) (.3) Dieser Ansatz führt zur korrekten Lösung, denn 0 =! (i d H)ψ(x, t) = dk dt ψ(k, t = 0)( ω(k) H)φ + π k }{{ (x) } =0 für beliebige ψ(k, t = 0). e iω(k)t Wir betrachten nun konkret ein Wellenpaket, das von links einläuft. Beispielsweise können wir von einem Gaußschen Wellenpaket ausgehen, das mit freier Zeitentwicklung (ohne Potential) zum Zeitpunkt t = 0 gegeben ist durch ψ(x) = (πσ ) 4 e ikx e (x x) 4σ Dieses Wellenpaket können wir in ebene Wellen zerlegen: ψ(x) = dk e ikx σ ψ(k), ψ(k, t = 0) = π (π) 4 mit dem Impulserwartungswert k > 0. e σ (k k) Wir setzen dieses ψ(k, t = 0) nun die die Streulösung (.3) ein und machen zwei Annahmen: Das Zerfließen der Wellenfunktion soll auf der Zeitskala der Streuung vernachlässigbar sein (dies ist häufig eine sehr gut erfüllte Annahme). ψ(k, t = 0) sei hinreichend scharf um k lokalisiert, so dass allgemein die Reflexions- und Transmissionsamplituden durch ihren Wert bei k gut approximiert werden können. T: Quantenmechanik 86 LMU München

96 Streuung am Delta-Potential t = 0 v g = h k m v g t >> 0 0 ψ(x) t >> 0 v g x Abbildung.4: Streuung am Deltapotential führt zu Reflexion und Transmission einer einlaufenden Welle Damit folgt: ψ(x, t) = (8.9) = Z π e iω(k)t π Z j dk ψ(k,0)e iω(k)t e ikx + r(k)e ikx, x < 0 t(k)e ikx, x < 0 ( dk ψ(k,0) e ik(x vg(k)t) + r(k)e ik( x vg(k)t), x < 0 t(k)e ik(x vg(k)), x < 0 ψ(x, t) = e iω(k)t j ψ(x vg(k)t, t = 0) + r(k)ψ( (x + v g(k)t), t = 0), x < 0 t(k)ψ(x v g(k)t, t = 0), x < 0 Somit ergibt sich für t die einlaufende Gaußsche Welle von links und für t eine auslaufende Welle, die aus einem reflektierten und einem transmittierten Anteil besteht (siehe Abb..4). Bemerkung. (Interpretation) Wir haben damit auch eine Interpretation der Streulösung (.) mit A =, G = 0 gefunden: Diese beschreibt ein von links einlaufendes Teilchen mit Impuls k. Völlig analog kann man auch Streulösungen für von rechts einlaufende Teilchen konstruieren: diese haben G =, A = 0. Transmissions- und Bemerkung.3 (Transmissions- und Reflexionskoeffizient) Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit einem vor der Streuung einigermaßen wohldefinierten Impuls nach der Streuung irgendwo links zu finden, ist gegeben durch den sog. Reflexionskoeffizienten R(k) := r(k) und die Wahrscheinlichkeit, es rechts zu finden durch den Transmissionskoeffizient T(k) := t(k). Für das δ-potential gilt Reflexionskoeffizient T = + β = + mα E, R = β + β = + E mα (.4) Die Gesamtwahrscheinlichkeit bleibt dabei erhalten (vgl. Abb..5). R + T = (.5) T: Quantenmechanik 87 LMU München

97 Streuung am Delta-Potential T 0 R h E mα Abbildung.5: Reflexions- und Transmissionskoeffizient des δ-potentials T: Quantenmechanik 88 LMU München

98 Kapitel Heisenberg- und Schrödinger-Bild der Quantenmechanik. Zeitentwicklungsoperator Die Zeitentwicklung eines Zustands kann man auch mithilfe eines Operators beschreiben, der wie folgt definiert ist: Definition. (Zeitentwicklungsoperator). Man erhält aus einem Zustand ψ(t 0 ) durch Anwendung des linearen Zeitentwicklungsoperators U(t, t 0 ) den Zustand zur Zeit t:. Zeitentwicklungsoperator. Heisenbergund Schrödinger-Bild.3 Beispiel: Harmonischer Oszillator ψ(t) = U(t, t 0 ) ψ(t 0 ) (.) Wir wollen zunächst einige Eigenschaften des Zeitentwicklungsoperators zusammentragen: Eigenschaften von U(t, t 0 ) Schrödinger- Gleichung für den Zeitentwicklungsoperator Satz. (Eigenschaften des Zeitentwicklungsoperators) Der Zeitentwicklungsoperator besitzt die folgenden Eigenschaften (i) U(t 0, t 0 ) = (ii) Er ist Lösung der Differentialgleichung (auch Schrödinger-Gleichung für den Zeitentwicklungsoperator genannt) i t U(t, t 0) = H(t)U(t, t 0 ) (.) 89

99 Heisenberg- und Schrödinger-Bild der Quantenmechanik Diese ist äquivalent zur Integralgleichung U(t, t 0 ) = i t t 0 H(t )U(t, t 0 )dt (.3) (iii) Er erfüllt eine Art Gruppeneigenschaft: U(t, t ) = U(t, t )U(t, t ) t, t, t (.4) (iv) Er ist unitär: U (t, t ) = U (t, t ) = U(t, t) (.5) Beweis: (i) ψ(t 0 ) = U(t 0, t 0 ) ψ(t 0 ). (ii) Wir setzen die Definition von U(t, t 0 ) in die Schrödingergleichung ein: i t ψ(t) = H(t) ψ(t) i t U(t, t 0) = H(t)U(t, t 0 ) (iii) ψ(t) = U(t, t ) ψ(t ) = U(t, t )U(t, t ) ψ(t )! = U(t, t ) ψ(t ) (iv) Aus (iii) folgt zunächst = U(t, t) = U(t, t )U(t, t) und daraus U(t, t ) = U (t, t). Für die Unitärität betrachten wir den infinitesimalen Zeitentwicklungsoperator U(t + dt, t), den wir sofort aus der Integralgleichung (.3) erhalten: U(t + dt, t) = i H(t)dt Dieser ist unitär, denn ` + i H(t)dt ` i H(t)dt = + O(dt ). Da außerdem jeder Zeitentwicklungsoperator U(t, t ) als Produkt von infinitesimalen Zeitentwicklungsoperatoren darstellbar ist und das Produkt von unitären Operatoren auch unitär ist, ist U(t, t ) unitär. Oft ist man mit konservativen Systemen konfrontiert. Dafür nimmt der Zeitentwicklungsoperator eine besonders einfache Form an. U(t, t 0 ) in konservativen Systemen Satz. (Zeitentwicklungsoperator in konservativen Systemen) In Systemen, in denen der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt, ist der Zeitentwicklungsoperator gegeben durch U(t, t 0 ) = e ih(t t0)/ (.6) Beweis: U(t 0, t 0 ) =, i t U(t, t 0) = i He ih(t t 0) = HU(t, t 0 ) T: Quantenmechanik 90 LMU München

100 Heisenberg- und Schrödinger-Bild der Quantenmechanik. Heisenberg- und Schrödinger-Bild Schrödinger-Bild War bisher der zeitliche Verlauf des Systems von Interesse, so haben wir den zugehörigen Zuständen eine zeitliche Entwicklung zugeschrieben, die durch die Schrödinger-Gleichung i t ψ s(t) = H(t) ψ s (t) gegeben ist. Den zeitabhängigen Erwartungswert einer Observablen O s (t) erhalten wir dann aus O (t) = ψ s (t) O s (t) ψ s (t) Heisenberg-Bild Die Interpretation, den Zuständen eine Zeitentwicklung zuzuordnen, wird Schrödinger-Bild der Quantenmechanik genannt. Alternativ dazu kann man die Zeitentwicklung aber auch der Observablen zuordnen, wobei die Zustände zeitlich konstant bleiben: O (t) = ψ(t 0 ) U (t, t 0 )O s (t)u(t, t 0 ) ψ(t 0 ) = ψ(t 0 ) O H (t) ψ(t 0 ) Ein Operator O H im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist also mit dem Operator O s aus dem Schrödinger-Bild verknüpft durch O H (t) = U (t, t 0 )O s (t)u(t, t 0 ) (.7) Damit erhalten wir eine äquivalente Beschreibung der Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Um zu kennzeichnen, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren meist mit dem Index H versehen. Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg- Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung: Heisenbergsche Bewegungsgleichung Satz.3 (Bewegungsgleichung für Operatoren) Im Heisenberg-Bild ist die Zeitentwicklung eines Operators O H durch die Gleichung i d dt O H(t) = [O H (t), H H (t)] + i U (t, t 0 ) O s t U(t, t 0) (.8) gegeben, mit H H (t) = U (t, t 0 )H(t)U(t, t 0 ). Die mögliche Zeitabhängigkeit von O s(t) stammt aus der Definition der jeweiligen Observablen O s. In der Regel interessieren wir uns aber meistens für Observable ohne eine solche explizite Zeitabhängigkeit. T: Quantenmechanik 9 LMU München

101 Heisenberg- und Schrödinger-Bild der Quantenmechanik Beweis: Es ist i d dt O H(t) = i d «dt U (t, t 0 ) O s(t)u(t, t 0 ) + U (t, t 0 )O d s(t)i dt U(t, t 0) +U (t, t 0 )i Os t U(t, t 0) (.) = U (t, t 0 )H(t)U(t, t 0 )U (t, t 0 )O s(t)u(t, t 0 ) + U (t, t 0 )O s(t)u(t, t 0 )U (t, t 0 )H(t)U(t, t 0 ) + U (t, t 0 )i Os t U(t, t 0) = H H (t)o H (t) + O H (t)h H (t) + i U (t, t 0 ) Os t U(t, t 0) Bemerkung. (Spezialfall der Heisenbergschen Bewegungsgl.) Befinden wir uns in einem konservativen System und besitzt die Observable O s keine explizite Zeitabhängigkeit, so nimmt die Heisenbergsche Bewegungsgleichung die Form an: i d OH(t) = [OH(t), H] (.9) dt.3 Beispiel: Harmonischer Oszillator In manchen Fällen ist es durchaus angebracht im Heisenberg-Bild zu denken. Im Folgenden wollen wir einige dieser Gedankengänge am Beispiel des harmonischen Oszillators ausführen. (i) Zunächst wollen wir die Heisenbergsche Bewegungsgleichung für den Vernichtungsoperator im Heisenberg-Bild a H lösen: Erzeugungs- und Vernichtungsoperator im Heisenberg-Bild i da H dt = [a H, H] = ω[a H, N] Wegen den Kommutatorrelationen (0.) können wir die Lösung raten : a H (t) = e iωt a, a H (t) = eiωt a (.0) Erhaltung der Kommutatorrelationen im Heisenberg-Bild Bemerkung. (Erhaltung der Kommutatorrelation) Die Kommutatorrelation [a, a ] = des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators im Schrödinger-Bild bleibt auch im Heisenberg-Bild (trotz Zeitentwicklung) erhalten: Dies sieht man sofort an [a H (t), N] = e iωt [a, N] = a H (t) und i d dt a H(t) = ωa H (t). T: Quantenmechanik 9 LMU München

102 Heisenberg- und Schrödinger-Bild der Quantenmechanik [a H(t), a H (t)] = U (t,t 0)aa U(t, t 0) U (t, t 0)a au(t, t 0) = U (t,t 0)[a, a ]U(t, t 0) = Da hier nur im letzten Schritt die spezielle Relation für a und a benutzt wurde, gilt allgemein: Wenn der Kommutator zweier Operatoren eine Zahl ergibt, dann bleibt diese Relation auch im Heisenberg-Bild erhalten, d.h. sie ist zeitunabhängig. Orts- und Impulsoperator im Heisenberg-Bild (ii) Als nächstes interessiert uns die Zeitabhängigkeit des Orts- und Impulsoperators im Heisenberg-Bild für den harmonischen Oszillator. Aus der Linearität des Kommutators folgt: ˆx H (t) = mω (a H(t) + a H (t)) = mω (e iωt a + e iωt a ) ( = cosωt(a + a ) i sin ωt(a a ) ) mω = cos(ωt) ˆx + sin(ωt) ˆp (.) mω Analog erhält man für den Impulsoperator ˆp H (t) = cos(ωt) ˆp mω sin(ωt) ˆx (.) Verbindung zur klassischen Mechanik Bemerkung.3 (i) Aus obigen Ausdrücken sieht man, dass d dt ˆxH = ˆp H m und d dt ˆpH = mωˆx H gilt. Diese Relationen erinnern uns an die Hamiltonsche Mechanik: ẋ = H p = p m, ṗ = H x = mω x (ii) Im Heisenberg-Bild lässt sich die Zeitabhängigkeit der Erwartungwerte sehr bequem berechnen: x (t) = ψ x H(t) ψ = cos(ωt) x (t = 0) + sin(ωt) mω p (t = 0) Wie man sieht, gibt es durchaus praktische Vorteile des Heisenberg-Bildes. In der Regel ist das Schrödinger-Bild aber bequemer, da die Heisenbergsche Bewegungsgleichung als Operatorgleichung im Allgemeinen schwer lösbar ist. T: Quantenmechanik 93 LMU München

103 Teil III Symmetrien und Drehimpuls 94

104 Motivation Um Probleme mit einem Zentralpotential wie beispielsweise die Beschreibung des Elektrons des Wasserstoffatoms im quantenmechanischen Formalismus zu beschreiben, betrachten wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen in Ortsdarstellung mit einem rotationssymmetrischen Zentralpotential V (r) = V ( x + y + z ). ( ) m + V (r) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) (.3) In der klassischen Mechanik führt ein rotationssymmetrisches Potential zur Drehimpulserhaltung. Wir werden im Folgenden sehen, zu welchen Resultaten der quantenmechanische Formalismus führt. 95

105 Kapitel 3 Drehimpulsalgebra 3. Die Drehimpulsoperatoren In der klassischen Mechanik wird der Drehimpuls definiert als L = r p. Dies motiviert folgende Definition für die Operatoren, die den Drehimpuls beschreiben. Definition 3. (Drehimpulsoperatoren). Aus dem Korrespondenzprinzip folgt die komponentenweise Definition der (hermiteschen) Drehimpulsoperatoren: L x = yp z zp y (3.) L y = zp x xp z (3.) L z = xp y yp x (3.3) 3. Die Drehimpulsoperatoren 3. Die Leiteroperatoren L ± 3.3 Das Eigenwertspektrum für den Drehimpuls Def.: Drehimpulsoperatoren Vertauschungsrelation für L x, L y, L z [L i, L j ] = Satz 3. (Vertauschungsrelation) Die Operatoren für den Drehimpuls erfüllen die Kommutatorrelation 3 i ε ijk L k (3.4) k= Beweis: Es ist [L x, L y] = [yp z zp y, zp x xp z] (3.5) = [yp z, zp x] + [yp z, xp z] [zp y, zp x] +[zp y, xp z] (3.6) {z } {z } =0 =0 = y[p z, zp x] + [y, zp x]p z + z[p y, xp z] +[z, xp z]p y (3.7) {z } {z } =0 =0 96

106 3 Drehimpulsalgebra = y[p z, z]p x + x[z,p z]p y = i yp x + i xp y (3.8) = i L z (3.9) Die Kommutatoren [L y, L z] und [L z, L x] werden analog berechnet. Unterschied zur klassischen Mechanik [L, L i ] = 0 Bemerkung 3. (Unterschied zur klassischen Mechanik) Die Observablen, die den Komponenten des Drehimpulses L zugeordnet werden, sind also nicht kompatibel, d.h. sie können nicht gleichzeitig gemessen werden. Dies unterscheidet den quantenmechanischen Drehimpuls in fundamentaler Weise von der klassischen Mechanik. Satz 3. Die Operatoren L x, L y und L z vertauschen mit L := L x + L y + L z. Beweis: Wir beweisen die Relation nur für L z: [L, L z] = [L x, Lz] + [L y, Lz] + [L z, Lz] (3.0) = L x[l x, L z] + [L x, L z]l x + L y[l y + L z] + [L y, L z]l y (3.) = i ( L xl y L yl x + L yl x + L xl y) = 0 (3.) 3. Die Leiteroperatoren L ± Wahl von {L, L z} als vollst. Menge kompatibler Observablen Def.: Die Leiteroperatoren L ± Wir wollen Eigenzustände der Drehimpulsoperatoren bestimmen, die durch Angabe von Eigenwerten eindeutig festgelegt sind. Dazu benötigen wir einen vollständigen Satz kommutierender Observablen. Die Operatoren L x, L y, L z sind dazu nicht geeignet, da sie nicht kompatibel sind. Wir wählen deshalb die Menge {L, L z }. Dies ist möglich, da zum einen [L, L z ] = 0 ist und was wir später sehen werden die gemeinsamen Eigenzustände eindeutig durch Angabe eines Eigenwerts λ von L und eines Eigenwerts µ von L z festgelegt sind. Zunächst müssen wir die Eigenwerte der Operatoren herausfinden, was am besten mit einer algebraischen Methode funktioniert. Definition 3. (Die Leiteroperatoren L ± ). Wir wollen das Eigenwertspektrum der Drehimpulsoperatoren mithilfe der (nicht hermiteschen) Leiteroperatoren L ± := L x ± il y (= L ) (3.3) bestimmen. Wir könnten genauso gut {L, L x} oder {L, L y} nehmen. T: Quantenmechanik 97 LMU München

107 3 Drehimpulsalgebra Vertauschungsrelationen der Leiteroperatoren mit den Impulsoperatoren Satz 3.3 (Kommutatorrelationen mit Leiteroperatoren) Es ist [L z, L ± ] = ± L ± und [L, L ± ] = 0. Beweis: [L z, L ± ] = [L z, L x] ± i[l z, L y] = i L y i L x (3.4) = (±L x + il y) = ± (L x ± il y) = ± L ± (3.5) [L, L ± ] = [L, L x] + i[l, L y] = 0 (3.6) Nun wollen wir untersuchen, was passiert, wenn wir einen Leiteroperator auf einen bereits bekannten gemeinsamen Eigenzustand von L und L z anwenden. Erzeugung von Eigenzuständen mit den Leiteroperatoren Satz 3.4 (Erzeugung von Eigenzuständen) Sei f ein gemeinsamer Eigenzustand von L und L z mit L f = λ f und L z f = µ f, dann sind auch L ± f Eigenzustände mit gleichem Eigenwert λ für L und Eigenwert µ ± für L z, oder L ± f verschwindet. L L ± f = λ L ± f, L z L ± f = (µ ± ) L ± f (3.7) Beweis: Sei f ein gemeinsamer Eigenzustand wie im Satz angegeben, dann ist L (L ± f ) = L ± L f = λl ± f L z(l ± f ) = ([L z, L ± ] + L ± L z) f = (± L ± + L ± L z) f = L ± (µ ± ) f Das Spektrum von L z ist beschränkt Satz 3.5 (Beschränktes Spektrum von L z ) Die möglichen Eigenwerte µ von L z sind nach oben und unten beschränkt mit µ λ (3.8) Beweis: λ = f L f = L x + L y + L z f L z f = µ Existenz von f t und f b Nun ist das Spektrum von L z nach unten und oben beschränkt. Mit den Leiteroperatoren L + und L können wir aber immer neue Eigenzustände L ± f mit Eigenwerten µ± erzeugen. Es müssen also irgendwann Eigenzustände f t und f b erreicht werden mit L + f t = 0 und L f b = 0. Somit kann man von einer Art Leiter von Eigenzuständen (siehe Abb. 3.) sprechen, wobei jeder Stufe ein um verschiedener Eigenwert zugeordnet wird. T: Quantenmechanik 98 LMU München

108 3 Drehimpulsalgebra L + µ + 3 h µ + h µ + h µ µ h µ h µ 3 h L 3 + f L + f L + f f L f L f L 3 f L Abbildung 3.: Die gemeinsamen Eigenzustände von L z und L mit Eigenwerten µ ± bezüglich L z bilden eine Leiterstruktur. Eindeutigkeit der Leiter Bemerkung 3. (Eindeutige Leiter) Bewegt man sich mit L + auf der Leiter nach oben, dann sollten beim umgekehrten Vorgang mit L wieder dieselben Stufen erreicht, also die gleichen Eigenzustände (bis auf einen konstanten Faktor) konstruiert werden: L ±L = (L x ± il y)(l x il y) = L x + L y ± i[l y, L x] = L L z ± L z (3.9) Somit ist L ±L f = α f mit α C. Nützliche Damit haben wir gleichzeitig eine wichtige Darstellung von L durch die Leiteropera- Darstellung von L toren und L z: L = L ±L + L z L z (3.0) 3.3 Eigenwertspektrum für den Drehimpuls Wir sind bei der Konstruktion einer Leiter wie in Abb. 3. von einem gemeinsamen Eigenvektor f von L und L z ausgegangen und haben mit L ± neue Eigenzustände konstruiert, die für L z jeweils um verschobene Eigenwerte liefern. Für L bleibt der Eigenwert der konstruierten Zustände aber auf der ganzen Leiter gleich. Das heißt, mit dem Eigenwert λ von L wählen wir gewissermaßen eine Leiter (einen Eigenraum von L ) aus, deren Stufen dann die Eigenwerte von L z liefern. Um einen Drehimpuls-Eigenzustand eindeutig zu charakterisieren, benötigen wir also die Angabe des Eigenwerts λ und des Ei- T: Quantenmechanik 99 LMU München

109 3 Drehimpulsalgebra genwerts µ, wodurch die Wahl von {L, L z } als vollständige Menge kompatibler Observablen gerechtfertigt wird. Größter und kleinster Eigenwert von L z bei festem λ Definition 3.3 (Größter und kleinster Eigenwert von L z ). Wir bezeichnen für ein festes λ den größten Eigenwert von L z mit l, den kleinesten mit l. Es ist also L z f t = l f t, L z f b = l f b (3.) Da f t und f b zum selben Eigenwert λ von L gehören, können wir eine Beziehung zwischen dem größten und dem kleinsten Eigenwert von L z herleiten: Wir benutzen die Darstellung (3.0) von L : L f t = (L L + + L z + L z) f t = ( l + l) f t λ = l(l + ) L f b = (L +L + L z L z) f b = ( l l) fb λ = l( l ) l und l müssen somit der Gleichung genügen l(l + ) = l( l ) (3.) Diese Gleichung hat zwei Lösungen: Entweder ist l = l +, was nicht sinnvoll ist, da per Definition l l sein muss. Die andere und korrekte Lösung ist l = l. Struktur des Eigenspektrums Eigenspektrum Wir können zusammenfassen: Ein gemeinsamer Eigenzustand von L und L z wird eindeutig festgelegt durch die Angabe von λ und µ. Nun haben wir festgestellt, dass der jeweils größte und kleinste Wert für µ bei festem λ (also die Leitergröße ) von λ abhängt über l µ l, mit λ = l(l + ) (3.3) µ läuft dabei vom kleinsten bis zum größten Wert in Schritten der Größe. Führen wir einen Parameter m ein über m := µ/, so läuft dieser in ganzen Schritten von l bis l. Aus diesem Grund muss l ganz- oder halbzahlig sein. Es ist also L f m l = l(l + ) f m l (3.4) L z f m l = m f m l (3.5) mit den erlaubten Quantenzahlen T: Quantenmechanik 00 LMU München

110 3 Drehimpulsalgebra Drehimpulsquantenzahl: l = 0,,, 3,... (3.6) Magnetische Quantenzahl: m = l, l +,...,l, l (3.7) Beispiel 3. (Starrer Rotator) Betrachten wir ein starres Molekül der Breite a, dessen Schwerpunkt ruht. Sein Hamiltonoperator ist dann gegeben durch H = L θ θ = ma. Das Energiespektrum ist dann quantisiert: mit Trägheitsmoment E l = l(l + ) ma mit l = 0,,,... (3.8) Bemerkung 3.3 (Spin) Um die Eigenspektren in (3.4) und (3.5) zu konstruieren, haben wir lediglich die Drehimpulsalgebra [L i, L j] = i L k ɛ ijk (3.9) benutzt. Im späteren Verlauf der Vorlesung werden wir sehen, dass es Observablen S x, S y und S z gibt, die ebenfalls diese Drehimpulsalgebra erfüllen, die aber nicht als Bahndrehimpuls, sondern als Spin des Teilchens interpretiert werden. T: Quantenmechanik 0 LMU München

111 Kapitel 4 Kugelflächenfunktionen 4. Im letzten Kapitel haben wir das Eigenwertspektrum mit einer algebraischen Ortsdarstellung der Impulsoperatoren Lösungsmethode bestimmt. Im Folgenden werden wir die Ortsdarstellung fl m (θ, φ) der Eigenvektoren fl m der Impulsoperatoren bestimmen, das heißt ein analytisches Lösungsverfahren in Form der Lösung einer Differentialgleichung verwen- 4. Gemeinsame Eigenfunktionen den. Dazu müssen wir die Operatoren L x, L y, L z und L als Differentialoperatoren von L z und L. darstellen. Im Zusammenhang mit dem Drehimpuls in drei Dimensionen bietet sich eine Beschreibung in Kugelkoordinaten an. Diese Wahl ist sinnvoll, da sich herausstellen wird, dass die Eigenfunktionen nicht vom Radius, sondern nur von den beiden Winkeln θ, φ abhängen. 4. Ortsdarstellung der Impulsoperatoren Ortsdarstellung von L = (L x, L y, L z) Betrachten wir die Wirkung von L = (L x, L y, L z ) in Ortsdarstellung. Sei ψ ein belieber Ket aus dem Hilbertraum H, dann ist r L ψ = ( x y z )L ψ = x y z ˆr ˆp ψ = i (r )ψ(r) (4.) mit ˆr = (ˆx, ŷ, ẑ), ˆp = (ˆp x, ˆp y, ˆp z ), r = (x, y, z), wie man komponentenweise sieht. Um die Wirkung von L in Kugelkoordinaten ausdrücken zu können, benötigen wir den Gradienten in Kugelkoordinaten: = ê r r + ê θ r θ + ê φ r sin θ φ Mit r = rê r ergibt sich ( ) L = i r = i ê φ θ ê θ sinθ φ (4.) (4.3) 0

112 4 Kugelflächenfunktionen z e φ e r θ r e θ φ y x Abbildung 4.: Kugelkoordinaten Bemerkung 4. An der Darstellung (4.3) sieht man bereits, dass die Ortsdarstellungen der Lösungen der Eigenwertgleichungen (3.4) und (3.5) nicht von r abhängen müssen. Nun haben wir in (4.3) die Ortsdarstellung des Impulsoperators L in der Basis {ê r, ê θ, ê φ } bestimmt. Weil wir aber L z und L benötigen, ist eine Darstellung in der kartesischen Basis {ê x, ê y, ê z } sinnvoll. Die Einheitsvektoren ê θ und ê φ haben in kartesischen Koordinaten die Darstellung (siehe Abb. 4.) ê θ = cosθ cosφê x + cosθ sin φê y sinθê z (4.4) ê φ = sinφê x + cosφê y (4.5) Impulsoperatoren in Kugelkoordinaten Eine einfache Rechnung liefert ( L x = i sinφ θ cosφcotθ ) φ ( L y = i cosφ ) sin φcotθ θ φ (4.6) (4.7) L z = i φ L = [ sin θ ( sin θ ) + θ θ sin θ ] φ (4.8) (4.9) T: Quantenmechanik 03 LMU München

113 4 Kugelflächenfunktionen 4. Gem. Eigenfunktionen von L z und L Differentialgleichungen in θ und φ als Eigenwertgleichungen Um die simultanen Eigenfunktionen fl m (θ, φ) von L z und L zu erhalten, müssen wir also die beiden partiellen Differentialgleichungen lösen» sin θ sin θ «+ θ θ sin θ i φ fm l (θ, φ) = mfl m (θ, φ) (4.0) f m l (θ, φ) = l(l + )f m l (θ, φ)(4.) φ Nach Gleichung (4.0) müssen die Lösungen der Form f m l (θ, φ) = g(θ)e imφ sein. Bemerkung 4. (Ganzzahlige m und l) Später werden wir gemeinsame Eigenfunktionen von H und L konstruieren, die πperiodisch in φ sein müssen, damit sie Wellenfunktionen im dreidimensionalen Raum entsprechen. Deshalb werden wir auch hier nur ganzzahlige Werte für m und damit auch für l zulassen (e imφ! = e im(φ+π) gilt nur für m Z). Setzen wir nun den Ansatz für fl m (θ, φ) in die zweite Eigenwertgleichung (4.) ein: sin θ d ( sinθ dg(θ) ) + (l(l + )sin θ m )g(θ) = 0 (4.) dθ dθ Eine Differentialgleichung dieser Form besitzt zwei Klassen von Lösungen. Wir interessieren uns hier nur für eine der beiden Klassen, da nur diese aus normierbaren Funktionen besteht (der andere Funktionstyp divergiert bei x = 0): g(θ) P m l (cos θ) (4.3) Zugeordnetes Legendre-Polynom Dabei ist P m l das zugeordnete Legendre-Polynom ( ) m d Pl m (x) = ( x ) m / P l (x) (4.4) dx mit dem Legendre-Polynom P l (x). Def.: Legendre-Polynom Definition 4. (Legendre-Polynom). Die Legendre-Polynome P l (x) sind Lösungen der legendreschen Differentialgleichung d dx [( x )f (x)] + l(l + )f(x) = 0 (4.5) Das l-te Legendre-Polynom hat den Grad l und rationale Koeffizienten. Nach der sog. Rodriguez-Formel können sie bestimmt werden durch T: Quantenmechanik 04 LMU München

114 4 Kugelflächenfunktionen d l P l (x) = l l! dx l (x ) l (4.6) Bemerkung 4.3 (Die ersten Legendre-Polynome) Die ersten vier Legendre-Polynome sind P 0(x) = (4.7) P (x) = x (4.8) P (x) = (3x ) (4.9) P 3(x) = (5x3 3x) (4.0) Gemeinsame Eigenfunktionen von L z und L Als Lösung der Eigenwertgleichungen (4.0) und (4.) erhalten wir f m l (θ, φ) = P m l (cosθ)e imφ (4.) Definition 4. (Kugelflächenfunktion). Als Kugelflächenfunktion bezeichnet man die auf der Oberfläche der Einheitskugel {(r, θ, φ) R + [0, π] [0, π) r = } normierten Eigenfunktion Yl m (θ, φ) der Drehimpulsoperatoren L z und L. Sie erfüllen also die Relation Yl m Yl m = dφdθ sin θ Y m l (θ, φ) = (4.) Sie haben die Darstellung Yl m (θ, φ) = s l + (l m )! 4π (l + m )! eimφ Pl m (cos θ) (4.3) mit s := { ( ) m für m 0 für m < 0, m = l, l +,...,l und l = 0,,,.... Beispiel 4. Y0 0 = 3, Y 0 = 4π 4π ± 3 cosθ, Y = 8π sinθe±iφ (4.4) Bemerkung 4.4 (Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen) Orthonormalität der Def.: Kugelflächenfunktion Kugelflächenfunktionen (i) Orthonormalität: Da die Yl m normierte Eigenvektoren hermitescher Operatoren sind, gilt T: Quantenmechanik 05 LMU München

115 4 Kugelflächenfunktionen Y m l Y m l = Z dφdθ sin θ Y m l (θ, φ) Y m l (θ, φ) = δ mm δ ll (4.5) Man beachte hierbei, dass für die Ortsbasis { θ, φ } in Kugelkoordinaten Folgendes gilt: Z dφdθ sin θ θ, φ θ,φ = (4.6) Vollständigkeit der (ii) Vollständigkeit: Da die Eigenvektoren hermitescher Operatoren eine Basis bilden, gilt X lx l=0 m= l Yl m Yl m = (4.7) Das heißt, jede in φ π-periodische Funktion auf der Kugeloberfläche lässt sich entwickeln in X lx u(θ, φ) = c l,m Yl m (θ, φ) (4.8) l=0 m= l (iii) Aus der Vollständigkeit von { Yl m } folgt θ, φ θ, φ = X lx l=0 m= l Y l m(θ, φ) Y l m(θ, φ ) = δ(cos θ cos θ)δ(φ φ) (in der Dirac-Distribution für θ steht cos θ, weil dθ sin θ = d(cos θ).) Visualisierung Visualisierung der Kugelflächenfunktionen Kugelflächenfunktionen Um die Eigenfunktionen der Impulsoperatoren darstellen zu können, betrachten wir nur reelle Superpositionen. S m l = (Y m l + Y m l ) (4.9) Sl 0 = Yl 0 (4.30) S m l = i (Y l m Y m l ) (4.3) Beispiele solcher Superpositionen sind S = sinθ cosφ, S = 4π 4π sin θ sin φ, S0 = 4π cosθ Hier findet man ein schönes Applet, mit dem man unter anderem die radialen Wellenfunktionen (Kugelflächenfunktionen) eines Wasserstoffatoms generieren kann. Eine weitere und sehr anschauliche Darstellung ist hier zu finden. T: Quantenmechanik 06 LMU München

116 Kapitel 5 Radialgleichung In diesem kurzen Kapitel werden wir sehen, wie aus der dreidimensionalen zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten mithilfe von Symmetrieeigenschaften des Systems mit zentralsymmetrischem Potential eine eindimensionale Radialgleichung entwickelt werden kann, die die Struktur einer eindimensionalen Schrödinger-Gleichung mit einem effektiven Potential besitzt. 5. Zeitunabhängige Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten 5. Anwendung von Symmetrien Wir betrachten die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung: ] [ m + V (r) ψ(r) = Eψ(r) (5.) In Kugelkoordinaten hat der Laplace-Operator die Darstellung = (4.9) = ( r r ) + r r r r ( r r ( sin θ ) + θ θ ( ) r sin θ φ r sin θ ) L r (5.) 5. Zeitunabhängige Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung in Kugelkoordinaten mit zentralsymmetrischem Potential Da wir hier den Fall zentralsymmetrischer Potentiale V = V (r) betrachten, hat die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung die Form [ ( mr ( r ) ) ] + L + V (r) ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) (5.3) r r 07

117 5 Radialgleichung 5. Anwendung von Symmetrien Existenz einer gemeinsamen Eigenbasis von H, L, L z Nun können wir verwenden, dass die Differentialoperatoren in L sich ausschließlich auf θ und φ beziehen und V zentralsymmetrisch ist. Diese beiden Operatoren erfüllen deshalb die Vertauschungsrelationen [L, V (r)] = 0, [L, ] = 0 (5.4) Lösungsansatz Dasselbe gilt auch für L z. Es muss also eine gemeinsame Eigenbasis von H, L, L z geben. Das heißt, wir können gleichzeitig die Energie, den Gesamtdrehimpuls und den Drehimpuls in z-richtung eines physikalischen Zustands bestimmen. Die gemeinsamen Eigenfunktionen von L und L z sind bereits bekannt, die Kugelflächenfunktionen Yl m (θ, φ) aus (4.3). Wir können zur Lösung der Differentialgleichung (5.3) den allgemeinen Separationsansatz machen ψ(r, θ, φ) = R(r) Y m l (θ, φ) (5.5) (Dies sind immer noch Eigenfunktionen von L und L z, weil R(r) unabhängig von θ, φ ist.) Durch einsetzen in (5.3) sehen wir, dass Yl m (θ, φ) herausfällt, die Gleichung also nur noch vom Radius abhängt: ( mr ( r ) ) + l(l + ) R(r) + V (r)r(r) = E R(r) (5.6) r r Nun definieren wir u(r) := r R(r) dr dr = u r + du r dr, ( d r dr ) = r d u dr dr dr (5.7) Radialgleichung Wir erhalten die Radialgleichung d u (V m dr + (r) + m ) l(l + ) r u(r) = E u(r) (5.8) Dies ist eine eindimensionale Schrödinger-Gleichung für r mit r [0, ) und effektivem Potential V eff = V (r) + l(l + ) } m {{ r } Drehimpulsbarriere (5.9) Dabei kann u(r) als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, das Teilchen in einem Abstand r vom Zentrum zu finden. Im nächsten Kapitel werden wir diese Gleichungen für das in der Quantenmechanik wichtigste Beispiel eines Systems mit Zentralpotential, das Wasserstoffatom, lösen. T: Quantenmechanik 08 LMU München

118 Kapitel 6 Wasserstoffatom Effektives Potential für das Wasserstoffatom Das Wasserstoffatom ist das am einfachsten aufgebaute Atom und bietet daher den Schlüssel zum Verständnis des Aufbaus und der Eigenschaften aller Atome. Es ist das einzige Atom, für das die Schrödinger-Gleichung analytisch in geschlossener Form gelöst werden kann. Die Spektrallinien des Wasserstoffatoms sind mit hoher Genauigkeit berechenbar und können mit den gemessenen Werten verglichen werden. In der Tat war diese Vorhersage eine der wichtigsten theoretischen Ergebnisse in den frühen Jahren der Quantenmechanik. Wie wir gesehen haben, kann die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung im Falle eines zentralsymmetrischen Potentials in drei unabhängige Gleichungen separiert werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann mathematisch exakt gelöst werden. Die ersten beiden ergaben die Kugelflächenfunktionen Yl m (θ, φ). Um die Radialgleichung (5.8) für das Elektron des Wasserstoffatoms (wobei der Kern als unendlich schwer angenommen wird) zu lösen, betrachten wir das effektive Potential (vgl. Abb. 6.) ( V eff (r) = e 4πε 0 r + l(l + ) m r = ) l(l + ) + m a 0 r r (6.) 6. Asymptotische Analyse 6. Lösungsweg : Eigenspektrum 6.3 Lösungsweg : Eigenfunktionen mit dem Bohrschen Radius a 0 := 4πε0 me = 0, m. Wir werden im Folgenden nur die gebundenen Zustände, also jene mit E < 0 berechnen. 6. Asymptotische Analyse Wir legen zunächst dimensionslose Längen fest: ρ := κr, mit κ = me, ρ 0 := a 0 κ (6.) 09

119 6 Wasserstoffatom V eff l = 0 l = l = r Abbildung 6.: Effektives Potential für das Elektron des Wasserstoffatoms für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen Damit können wir die Radialgleichung (5.8) umschreiben: ( du dr + a 0 r κ d u dr = d u dρ = ) l(l + ) + r u(r) = me u(r) (6.3) ( ) l(l + ) + a 0 κ κr κ r u(r) (6.4) ( ρ 0 l(l + ) + ρ ρ ) u(ρ) (6.5) Asymptotisches Betrachten wir das asymptotische Verhalten dieser Gleichung: Verhalten der Radialgleichung (i) ρ : d u dρ = u(ρ) u(ρ) = Ae ρ Die Lösung e ρ kann nicht vorkommen, da sonst keine Normierbarkeit vorhanden ist. d u dρ = l(l+) (ii) ρ 0: ρ u(ρ) u(ρ) = Cρ l+ Dρ l wäre ebenfalls eine Lösung, aber für ρ 0 nicht mehr normierbar. Separation des Dieses asymptotische Verhalten motiviert den folgenden Ansatz: asymptotischen Verhaltens u(ρ) = ρ l+ e ρ v(ρ) (6.6) Nach Einsetzen in die Radialgleichung (6.5) und etwas aufwendigen Manipulationen ergibt sich als Differentialgleichung für v(ρ): ρ d v + (l + ρ)dv dρ dρ + (ρ 0 (l + ))v(ρ) = 0 (6.7) T: Quantenmechanik 0 LMU München

120 6 Wasserstoffatom 6. Lösungsweg : Eigenspektrum Potenzreihenansatz Möchte man nicht explizit die Eigenfunktionen wissen, sondern genügt zunächst das Eigenspektrum, so ist der folgende Lösungsweg möglich. Wir wählen einen Potenzreihenansatz für v(ρ): v(ρ) = c j ρ j, (6.8) j=0 wobei wir keine negativen Potenzen j zulassen, damit die Funktion für ρ 0 normierbar bleibt. Setzen wir diesen Ansatz in die DGL (6.7) ein, so erhalten wir durch Koeffizientenvergleich eine rekursive Darstellung der Koeffizienten c j+ = (j + l + ) ρ 0 (j + )(j + l + ) c j (6.9) Asymptotische Analyse An dieser Darstellung können wir ablesen, dass für große j gilt c j+ j j(j + ) c j j + c j c j j c j j(j ) c j... j j! Das heißt, wir erhalten für große j v(ρ) j j ρ j j! = e ρ (6.0) Somit wäre u(ρ) für große ρ nicht normierbar. Daraus können wir schließen, dass die Koeffizienten c j für irgendein j max verschwinden, damit v ein endliches Polynom ist. Wir erhalten somit aus (6.9) die Bedingung Und damit n := (j max + l + ) = ρ 0 (6.) n = a 0 κ E n = κ n m = ma (6.) 0 n Energiespektrum des Wasserstoffatoms Wir erhalten als Energiespektrum des Wasserstoffatoms E n = E B n (6.3) mit Hauptquantenzahl n =,, 3,... und Bindungsenergie E B = 3, 6eV. ma 0 T: Quantenmechanik LMU München

121 6 Wasserstoffatom Bemerkung 6. (i) Da wir j max + l + =: n gesetzt haben, muss die Drehimpulsquantenzahl l {0,,,..., n } sein. (ii) Das hier erhaltene Energiespektrum ist konsistent mit der Bohr-Sommerfeld- Quantisierungsregel (Übungsblatt ): I I p p dr = n r, p φ dφ = n φ, mit n = n r + n φ (6.4) (iii) Das Energiespektrum des Wasserstoffatoms kann für wasserstoffähnliche Atome mit Kernladungszahl Z verallgemeinert werden: E n = Z E B n (6.5) 6.3 Lösungsweg : Eigenfunktionen In der mathematischen Literatur finden wir für die Rekursionsformel (6.9) der Koeffizienten c j mit ρ 0 = n als Lösung für v(ρ): v(ρ) = L l+ n l (ρ) (6.6) mit dem zugeordneten Laguerre-Polynom ( ) p L p d q p (x) = ( )p L q (x) (6.7) dx mit dem Laguerre-Polynom L q aus Definition 6.. Def.: Laguerre-Polynom Definition 6. (Laguerre-Polynom). Die Laguerre-Polynome L q sind Lösungen der Laguerreschen Differentialgleichung xy (x) + ( x)y (x) + qy(x) = 0, q = 0,,... (6.8) Das q-te Laguerre-Polynom lässt sich darstellen als ( ) q d L q (x) = e x (e x x q ) (6.9) dx Sammeln wir die Definitionen zusammen: u(ρ) = ρ l+ e ρ v(ρ), ρ = κr, κ = me (6.0) T: Quantenmechanik LMU München

122 6 Wasserstoffatom u(r) = r R(r), a 0 = 4πε 0 me = 0, m (6.) ψ(r, θ, φ) = R(r) Yl m (θ, φ) (6.) Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms Schließlich erhalten wir als normierte Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms ψ n,l,m (r, θ, φ) = ( na 0 ) 3 (n l )! n[(n+l)!] 3 (Normierung) e r/(na0) (asymptotischer Abfall) ( ) l r na 0 (Verhalten für kleine r) ( ) L l+ r n l na 0 (Knoten im Radialanteil) Y m l (θ, φ) (Winkelabhängigkeit) (6.3) mit den Quantenzahlen n =,,... (Hauptquantenzahl) (6.4) l = 0,,...,n (Drehimpulsquantenzahl) (6.5) m = l, l +,...,l, l (magnetische Quantenzahl) (6.6) Orbitale Bemerkung 6. (i) In Ket- und Bra-Schreibweise notieren wir die Eigenzustände des Wasserstoffatoms mit n, l, m mit der Ortsdarstellung r, θ, φ n, l, m =: ψ n,l,m (r,θ, φ). (ii) Man nennt die Eigenfunktionen eines Elektrons auch Orbitale. Als Orbital wählt man den Aufenthaltsraum, in dem sich das Elektron mit ca. 90%-iger Wahrscheinlichkeit aufhält. Dadurch werden Räume definiert, die etwa der Größe der Atome entsprechen. Die Begrenzungsfläche eines solchen Orbitals ist die Fläche gleicher Wahrscheinlichkeit (Isofläche). Die verschiedenen Orbitale werden durch die Quantenzahlen klassifiziert : n:...legt die Schale fest, in dem sich das Elektron aufhält, also das Hauptenergieniveau. Alle Lösungen mit gleicher Hauptquantenzahl besitzen die gleiche Energie, sind aber entartet bezüglich l und m. l:...bestimmt die Form des Orbitals, da es über l(l+) (Eigenspektrum von L ) den Bahndrehimpuls festlegt. Die Orbitale mit l = 0 heißen s- Orbital, die (dreifache Entartung wegen m =, 0,) mit l = heißen p-orbitale und die (fünffache Entartung) Orbitale mit l = bezeichnet man als d-orbitale. Oft schreibt man für ein Orbital einfach n, s oder n, p, etc..., wenn man nur das Grundniveau und die Drehimpulsquantenzahl angeben will. Dies kann man sich wieder hiermit sehr schön klar machen. Vergleiche außerdem Abb. 6. T: Quantenmechanik 3 LMU München

123 6 Wasserstoffatom E 0 n = 3 n = Streuzustaende 3s 3p 3d s p n = ( 3, 6eV ) s l = 0 s l = p 3 l = d 5 Abbildung 6.: Orbitale des Wasserstoffatoms m:...beschreibt die möglichen Orbitale pro Drehimpulsquantenzahl und legt über L z = m die einzelnen Komponenten des Drehimpulses fest. Später werden wir sehen, dass sie auch die räumliche Ausrichtung in einem äußeren Magnetfeld bestimmt, das in L z-richtung anliegt. (iii) Geht das Elektron von einem höheren zu einem niedrigeren Energieniveau über oder umgekehrt, so emittiert oder absorbiert das Atom Photonen. Die Übergänge sind dabei nach ihrem jeweiligen Entdecker benannt: Rydberg-Formel n i, s n f, s (Lyman-Reihe) (6.7) n i, p n f, p (Balmer-Reihe) (6.8) n i, d n f, d (Paschen-Reihe) (6.9) Um die Wellenlänge des emittierten Lichts zu erhalten, müssen wir die Energiedifferenz E i E f = 3, 6eV (/n i /n f) mit der Energie eines Photons E γ = hν gleichsetzen und erhalten damit die sog. Rydberg-Formel für Wasserstoff! λ = R (6.30) n f n i mit der Rydberg-Konstante R = E B/( c). (iv) Die radiale Wellenfunktion hat nur für die s-orbitale keinen Knoten bei r = 0. T: Quantenmechanik 4 LMU München

124 Kapitel 7 Drehimpuls und Drehgruppe Drehungen in der klassischen Mechanik 7. Wdh.: Drehungen in der klass. Mechanik Wir wollen die wichtigsten, aus der klassischen Mechanik bekannten Merkmale von Drehungen auflisten: (i) Eine Drehung R in R 3 erhält Winkel, Abstände und Orientierung. (ii) Als Parametrisierung für eine Drehung R d um die Drehachse n mit Drehwinkel α können wir beispielsweise wählen d = αn (7.) wobei n ein Einheitsvektor ist, n =. (iii) Drehungen bilden die nicht-abelsche Gruppe SO(3). Die zugrundeliegende Menge sind alle reellen orthogonalen 3 3-Matrizen R mit det(r) =. (iv) Für infinitesimale Drehungen mit Drehwinkel dα gilt Rr = r + dα n r + O(dα ) (7.) 7. Wdh.: Drehungen in der klass. Mechanik 7. Drehungen in der Quantenmechanik Separate Betrachtung in der QM 7. Drehungen in der Quantenmechanik In der Quantenmechanik müssen wir separat betrachten, wie sich eine Drehung auf einen physikalischen Zustand ψ H und auf die Observablen auswirkt. 5

125 7 Drehimpuls und Drehgruppe 7.. Wirkung auf Zustände Sei r := Rr ein gedrehter Ortsvektor im dreidimensionalen Raum. Für den gedrehten Zustand ψ H soll definitionsgemäß gelten: r ψ = ψ (r )! = ψ(r) = ψ(r r ) = R r ψ (7.3) Wir können hiermit einen Rotationsoperator R auf H definieren: Def.: Rotationsoperator Definition 7. (Rotationsoperator). Ein gedrehter Ket ψ H soll aus dem ursprünglichen Zustand ψ durch ψ = R ψ hervorgehen, mit einem Rotationsoperator R, der über seine Ortsdarstellung r R ψ definiert wird: r R ψ = R r ψ (7.4) Linearität und Unitarität von R Satz 7. (Eigenschaften des Rotationsoperators) Ein Rotationsoperator R ist linear und unitär. Beweis: (i) Sei ψ = λ ψ + λ ψ, so ist r R ψ = R r ψ = λ R r ψ + λ R r ψ (7.5) = λ r R ψ + λ r R ψ (7.6) (ii) Für zwei verschiedene Elemente r, r 0 aus der Ortsbasis gilt r R r 0 = R r r 0 = δ(r r r 0 ) = δ(r (r Rr 0 )) (7.7) Da δ(ax) = δ(x) (Transformationssatz) und det R =, ist det A r R r 0 = det(r ) δ(r Rr 0) = r Rr 0 (7.8) Wir haben also für allgemeines r R 3 : R r = Rr und unmittelbar aus der Definition: R r = R r. Daraus folgt r RR r 0 = r R R r 0 = r RR r 0 = r r 0 (7.9) Dasselbe gilt für R R und damit: RR = R R =, d.h. R ist unitär. Bemerkung 7. Da R unitär ist, erhält R das Skalarprodukt, das heißt, das Skalarprodukt zweier gedrehter Vektoren ist dasselbe wie das der ursprünglichen. Somit sind Wahrscheinlichkeitsamplituden unabhängig von Drehungen. SO(3)-Gruppendarstellung Satz 7. (Drehgruppe) Der Rotationsoperator R ist eine Darstellung der Drehgruppe SO(3) auf H. T: Quantenmechanik 6 LMU München

126 7 Drehimpuls und Drehgruppe Beweis: Wir wollen nur die Abgeschlossenheit bezüglich Komposition zeigen: Seien R, R Rotationsoperatoren. Dann ist R d R d r = R d R d r = R d R d r =: R d3 r = R d3 r (7.0) Explizite Darstellung des Rotationsoperators Satz 7.3 (Explizite Darstellung von R) Der Rotationsoperator für eine infinitesimale Drehung um dα um eine beliebige Achse n hat die Darstellung R dαn = i dα n L + O(dα ) (7.) Eine endliche Drehung um den Winkel α um eine beliebige Achse n lässt sich darstellen als R αn = e i αn L (7.) Beweis: (i) Wir betrachten eine infinitesimale Drehung um die z-achse, d = dα n. Für die Rückdrehung eines gedrehten Vektors r gilt: Somit R d r = R dr = r dα e z r = (x + y dα, y x dα, z) (7.3) ψ (r) = ψ(r d = ψ(x, y, z) dα = r) = ψ(x + y dα, y x dα, z) (7.4) x y y «ψ(x, y, z) (7.5) x» i dαlz ψ(x, y, z) (7.6) r ψ = r i dαlz ψ = r R d ψ (7.7) Die Verallgemeinerung für Drehungen um beliebige Achsen ist offensichtlich. (ii) Für eine endliche Drehung um die z-achse gilt: R (α+dα)ez = R αez R dαez = R αez i dαlz «Dann ergibt sich für die Differenz (7.8) R (α+dα)ez R αez = dr αez = i Rαez L zd α (7.9) dr αez = i dα Rαez L z (7.0) Lösung dieser Differentialgleichung ist R αez = e i αlz (7.) Allgemein gilt obiger Ausdruck. T: Quantenmechanik 7 LMU München

127 7 Drehimpuls und Drehgruppe Bemerkung 7. Die Unitarität von R in dieser Darstellung folgt aus der Hermitezität von L: R αnr αn = e i αn L e i αn L = (7.) Zur Erinnerung: Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion mit Operatoren im Argument gilt nur, wenn diese vertauschbar sind. Das bedeutet für die Darstellung des Rotationsoperators: R αn e i αnxlx e i αnyly e i αnzlz (7.3) 7.. Wirkung auf Observablen Nun wollen wir wissen, wie eine Observable A in einem gedrehten System aussieht, also wie sie transformiert werden muss, damit sie ihre ursprüngliche Wirkung auf den gedrehten Zuständen beibehält. Transformation der Observablen unter Drehungen Satz 7.4 (Wirkung einer Drehung auf Observablen) Unter der Wirkung eines Rotationsoperators R transformiert eine Observable A zu A = RAR (7.4) Beweis: Für einen Zustand ψ = R ψ soll für die transformierte Observable A gelten: A ψ = R(A ψ ). Damit ergibt sich A R ψ = A ψ = RA ψ R A R ψ = A ψ A = RAR Def.: Skalare Observable Definition 7. (Skalare Observable). Eine Observable A heißt skalar, wenn für alle Drehungen gilt A = A (7.5) (Dies ist äquivalent mit [A, R] = 0, und damit zu [A, L] = 0.) Beispiel 7. Der Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms H = m + V (r) = ( mr ( r ) ) + L + V (r) (7.6) r r vertauscht mit L, ist also ein skalarer Operator. T: Quantenmechanik 8 LMU München

128 7 Drehimpuls und Drehgruppe Translationsgruppe Bemerkung 7.3 (Translationsgruppe) Für Translationen im dreidimensionalen Raum erhält man eine zu den Drehungen analoge Konstruktion: Der Translationsoperator für eine Verschiebung um a ist gegeben durch T a = e i a p (7.7) Beweis: Sei r := T ar = r + a. Dann soll für die Wellenfunktion des Zustands ψ := T a ψ gelten: ψ(r) = ψ (r ) und damit ψ(r a) = r a ψ = Ta r ψ = r T a ψ (7.8) h i h = ψ T a r = ψ e i a p r i (7.9)»Z = d 3 p 0 ψ p 0 p 0 e i a p r (7.30) =»Z d 3 p 0 ψ p 0 e i a p 0 p 0 r (7.3) = = " Z d 3 p 0 ψ p 0 e i a p 0»Z # e i (π ) 3 p 0 r (7.3) d 3 p 0 ψ p 0 p 0 r a (7.33) = r a ψ = ψ(r a) (7.34) T: Quantenmechanik 9 LMU München

129 Kapitel 8 Spin Notwendigkeit eines inneren Drehimpulses Erinnern wir uns zurück an das in Abschnitt.5 eingeführte Stern-Gerlach- Experiment. Eine Messung des magnetischen Moments von Silbaratomen in einer Raumrichtung durch ein inhomogenes Magnetfeld ergab eine Quantisierung der Messergebnisse: Nur zwei diskrete Werte sind aufgetreten. Alle bis auf ein Elektron (das 5s Elektron) des Silberatoms kompensieren ihre Wirkung auf das magnetische Moment gegenseitig. Dieses einzelne Elektron bewirkt also die magnetischen Eigenschaften des ganzen Atoms. Da es aber im s-orbital sitzt, ist l = 0, also kein Bahndrehimpuls vorhanden. Um das vorhandene magnetische Moment erklären zu können, muss man annehmen, es gäbe einen inneren Drehimpuls, den sogenannten Spin des Teilchens, der ebenfalls mit dem magnetischen Moment verknüpft ist. 8. Der Spinzustandsraum 8. Spin-/ Teilchen 8.3 Spin- Teilchen 8.4 Messungen und Dynamik der Spinfreiheitsgrade Orbitalraum Spinzustandsraum 8. Der Spinzustandsraum Bisher haben wir die Quantisierung von Observablen betrachtet, die klassischen Größen entsprechen, d.h. Observablen, die Funktionen von Ort r und Impuls p sind. Diese Operatoren leben auf dem Zustandsraum H, der in Ortsdarstellung dem Raum der quadratintegrablen Wellenfunktionen im R 3 entspricht. Im Folgenden werden wir diesen Raum mit H o bezeichnen und Orbitalraum nennen. Dieser Raum muss verallgemeinert, beziehungweise ergänzt, werden durch einen sogenannten Spinzustandsraum H s, auf welchem Spinoperatoren definiert werden, die keine klassische Interpretation haben. 0

130 8 Spin Der Spin eines Teilchens Postulat (i) Teilchen haben einen zusätzlichen ( inneren ) Zustandsraum H s für ihren Spinfreiheitsgrad. Der Gesamthilbertraum des Teilchens ist dann das Tensorprodukt des Orbitalraums H o mit H s : H = H o H s (8.) (ii) Der Spinoperator S := (S x, S y, S z ) erfüllt die Drehimpulsalgebra [S i, S j ] = i ɛ ijk S k (8.) Daraus folgt (analog zur Beschreibung des Drehimpulses L), dass S mit den S i, i {x, y, z} vertauscht und {S, S z } ein vollständiger Satz kommutierender Observablen bildet. H s wird deshalb durch die Eigenzustände s, m aufgespannt, die den Eigenwertgleichungen S s, m = s(s + ) s, m (8.3) S z s, m = m s, m (8.4) genügen. Die Quantenzahlen m, s sind dabei nicht der Beschränkung unterworfen nur ganzzahlig zu sein: s = 0,,, 3,,..., m = s, s +,...,s, s (8.5) (iii) Ein Teilchen wird charakterisiert durch die Festlegung seines Spins s. Der Spinzustandsraum H s des Teilchens hat somit (s + ) Dimensionen: H s = C s+ (8.6) (Es ist dim H s = s +, da es für einen Eigenwert s(s + ) von S (s+) mögliche Eigenzustände s,m gibt, die den Raum H s aufspannen.) (iv) Der Zusammenhang zwischen dem magnetischen Moment µ und dem Spinoperator S ist gegeben durch µ = γs (8.7) (Mit dem gyromagnetischen Verhältnis γ, das für jede Teilchenart charakteristisch ist.) T: Quantenmechanik LMU München

131 8 Spin Bemerkung 8. Da H = H o H s, kommutieren alle Orbitaloperatoren mit allen Spinoperatoren. Das heißt, es genügt im Allgemeinen nicht, einen Teilchenzustand nur durch einen Ket aus H o zu charakterisieren. Beispiel 8. Teilchen mit Spin sind beispielsweise das Elektron, das Proton und das Neutron, Spin-0 Teilchen können π-mesonen, Spin- Teilchen ρ + -Mesonen sein. Drehungen in H R d = e i αn L e i αn S (8.8) Bemerkung 8. Das beudeutet, für ψ := φ χ mit φ H o, χ H s ist R d ψ = e i αn L φ e i αn S χ (8.9) Wichtiges Beispiel: s = 8. Spin-/ Teilchen 8.. Basis im Spin-/-Zustandsraum Der Raum H s=/ ist zweidimensional. Es gibt also eine Eigenbasis { χ +, χ }, sodass jeder Zustand χ aus H s=/ = C zerlegt werden kann in χ = a χ + + b χ mit a, b C (8.0) Die Basenelemente sind Eigenzustände von S z für die Eigenwerte m = und m = : S z χ + = χ +, S z χ = χ (8.) Satz 8. (Verhalten unter Drehungen) Soll ein Zustand aus H mit d = αn gedreht werden, so hat der Rotationsoparator die Darstellung Darstellung des Spinoperators im Spin-/- Zustandsraum Satz 8. (Pauli-Matrizen) In H s=/ = C kann der Spinoperator S dargestellt werden als S = σ, σ := (σ x, σ y, σ z ) (8.) T: Quantenmechanik LMU München

132 8 Spin mit den Paulimatrizen ( ) 0 σ x =, σ 0 y = ( 0 i i 0 ), σ z = ( 0 0 ) (8.3) Beweis: Die Pauli-Matrizen erfüllen die Vertauschungsrelation [σ i, σ j ] = iɛ ijk σ k. Somit ist die Drehimpulsalgebra (8.) mit obigem Ausdruck für die Spinoperatoren erfüllt. Außerdem ist σi =, womit S = 3 4. Damit ist die Eigenwertgleichung S χ = s(s + ) χ für alle χ C erfüllt. 8.. Spinor Die Wahl eines vollst. Satzes komp. Observablen in H Wir erhalten eine eindeutige Basis im Gesamtzustandsraum H = H o H /, wenn wir die Eigenfunktionen eines vollständigen Satzes kompatibler Observablen in H betrachten. Dieser entsteht aus der Vereinigung eines vollständigen Satzes aus H o ({ˆx, ŷ, ẑ} oder z.b. für das H-Atom {H, L, L z }) und eines vollständigen Satzes aus H / (z.b. {S, S z }). Wir wählen hier {ˆx, ŷ, ẑ, S, S z } (8.4) als eine solche Menge. Wir kennen die gemeinsamen Basen in beiden Räumen: { x y z := r, r R 3 } und { χ +, χ } (8.5) Basis in H Die gemeinsame Eigenbasis des gesamten vollständigen Satzes besteht dann aus den Elementen r, ±, welche Tensorprodukte der Elemente der beiden einzelnen Basen sind : r, ± := r χ ± (8.6) Ein beliebiger Zustand ψ H kann zerlegt werden in ψ = r, + r, + ψ + r, r, ψ d 3 r (8.7) Spinor Die Komponenten r, ± ψ von ψ bezüglich dieser Basis können in zwei Funktionen zusammengefasst werden, die wiederum in einen zwei-komponentigen Vektor (in diesem Zusammenhang spricht man von Spinor) geschrieben werden können: ( ) r, + ψ r, ± ψ = (8.8) r, ψ Man kann auch einen direkten Beweis durch Ausrechnen der Matrizenelemente χ i S χ j mit i, j {+, } führen, womit man mithilfe der Leiteroperatoren S ± = S x ± is y die Pauli- Matrizen direkt erhält. Beispielsweise ist S z r,+ = r S z χ + = r,+ oder ˆx r, ± = x r, ±. T: Quantenmechanik 3 LMU München

133 8 Spin Verhalten unter Rotationen 8..3 Rotationen in H / Satz 8.3 (Rotationsoperator in H / ) Der Rotationsoperator im Spin-/-Zustandsraum hat die Darstellung R αn = cos α i(n σ)sin α (8.9) Beweis: Der Spinoperator in H / hat die Darstellung R s αn = e i αn S = e i α n σ = = X k=0 X k=0 i α k (n σ) k + (k)! i α k (n σ) k k! X k=0 i α k+ (n σ) k+ (k + )! Mit (n σ) = n = ergibt sich obiger Ausdruck. Nur zweifache Umdrehung führt zum gleichen Zustand. Bemerkung 8.3 Zu beachten ist dabei, dass eine Drehung um π den Rotationsoperator e i πn S = (8.0) ergibt. Das heißt, ein Zustand ändert sein Vorzeichen bei ganzer Umdrehung, also erst nach zweimaliger Umdrehung ist der Zustand wieder derselbe. Da dieses Verhalten sich nur auf die globale Phase auswirkt ist es nicht beobachtbar. 8.3 Spin- Teilchen Beispiel: s = In H s= sieht die Darstellung des Spinoperators bezüglich der Eigenbasis wie folgt aus: S = J (8.) mit J x = , J y = 0 i 0 i 0 i 0 i 0, J z = Damit ist S = s(s + ) = erfüllt. T: Quantenmechanik 4 LMU München

134 8 Spin 8.4 Messungen und Dynamik der Spinfreiheitsgrade Im Folgenden werden wir Beispiele von endlichdimensionalen Zustandsräumen betrachten, wie wir sie in Teil I behandelt haben Larmor Präzession Beispiel: Spin-/ Teilchen im Magnetfeld Wir betrachten ein ruhendes Spin-/ Teilchen in einem Magnetfeld B in z- Richtung. Nach (8.7) ist der Operator für das magnetische Moment µ des Teilchens gegeben durch µ = γs. Die potentielle Energie eines magnetischen Dipols im äußeren Magnetfeld ist µ B. Damit erhalten wir den Hamiltonoperator des Teilchens: H = γbs z = γb ( ) 0 (8.) 0 Die Energieeigenzustände sind damit die Spin-/-Eigenzustände χ + und χ mit den Eigenwerten E ± = γb. Die Zeitentwicklung eines beliebigen Zustands kann dargestellt werden als ( ) e χ(t) = e ie+t/ a χ + + e ie t/ ie +t/ a b χ = e ie t/, (8.3) b wobei die komplexen Zahlen a, b den Anfangszustand zur Zeit t = 0 parametrisieren, a + b =. Zeitabhängige Der Erwartungswert von S x ist zeitabhängig: Spinerwartungswerte S x (t) = χ(t) S x χ(t) ( = a e iγbt/, b e iγbt/) ( 0 0 ) ( ae iγbt/ be iγbt/ = Re ( a b e iγbt) (8.4) Analog ergibt sich für S y (t) und S z : S y (t) = Im ( a b e iγbt) (8.5) S z = ( a b ) (8.6) ) Larmor-Frequenz Die Frequenz γb, mit der S x und S y oszillieren, heißt Larmor-Frequenz und stimmt bemerkenswerterweise mit der klassischen Rechnung überein (vgl. Abb. 8.). Bemerkung 8.4 Hier ist zu beachten, dass nur die Erwartungswerte der Spinoperatoren oszillieren, nicht aber die Messwerte selbst. Zum Beispiel ist S x = 4 σ x = 4 t. Klassische Bilder wie Abb. 8. dürfen also nicht überstrapaziert werden. T: Quantenmechanik 5 LMU München

135 8 Spin z ω < S > x y Abbildung 8.: Larmor-Präzession der Spinerwartungswerte 8.4. Stern-Gerlach-Experiment Wir betrachten nun erneut das in Abschnitt.5 eingeführte Stern-Gerlach- Experiment mit einem inhomogenen Magnetfeld in z-richtung und wollen mit einem vereinfachten Modell die Zeitentwicklung eines Spin-/ Teilchens (Silberatom bzw. das Elektron, das die Dipoleigenschaften verursacht) berechnen. Dazu betrachten wir den Versuch aus dem Inertialsystem, das sich mit dem Atomstrahl bewegt. Deshalb müssen wir das Problem mit einem zeitabhängigen Hamiltonoperator beschreiben: 0 für t < 0 H(t) = γb(z)s z für 0 t T (8.7) 0 für t > T Wirkung des Magnetfelds auf den Spin-/ Atomstrahl Dabei sei T die Zeit, während das Teilchen vom Magnetfeld beeinflusst wird und B(z) B 0 +αz. Vor dem Eintritt ins Magnetfeld sei das Spin-/ Teilchen im Anfangszustand χ(t) = a χ + + b χ, t < 0 (8.8) Im Magnetfeld wirkt der Hamiltonoperator auf die übliche Art und Weise: χ(t) = ae ie+t/ χ + + be ie t/ χ, 0 t T (8.9) mit E ± = γb(z). Danach, also für t > T, finden wir χ(t) = ae iγtb(z)/ χ + + be iγtb(z)/ χ = e } iγtαz/ {{ ae iγtb0/ } χ + + e } iγtαz/ {{ be iγtb0/ } χ up down T: Quantenmechanik 6 LMU München

136 8 Spin Aufspaltung in zwei Strahlen Dieser Zustand besteht nun aus zwei Teilen, die beide einen Impuls in z-richtung besitzen. Wirkt der Impulsoperator in Ortsdarstellung p z = i z auf diesen Zustand, so ergibt sich für den mit up bezeichneten Teil ein Impulseigenwert αγt αγt p z = und für den anderen (down) einen negativen Impuls p z = : p z χ ± χ(t) = i z ( up down ) = ( αγt / αγt / ) (8.30) Dies entspricht der Aufspaltung in zwei Teilstrahlen, wie man bei zusätzlicher Berücksichtigung eines kinetischen Terms im Hamiltonoperator finden würde. Bemerkung 8.5 (Klassische Interpretation) Auch klassisch erhält man diese Werte für den Impuls. Die Kraft durch das Magnetfeld auf ein Teilchen mit s = / ist F = (µ B) =»γ (B0 + αz)ez = γ αez (8.3) Diese Kraft wirkt während der Zeit T, wobei das Feld den Impuls p z überträgt: p z = F zt = αγ T (8.3) T: Quantenmechanik 7 LMU München

137 Kapitel 9 Addition von Drehimpulsen Drehimpulsoperatoren in zwei versch. Systemen Gegeben seien zwei Quantensysteme H und H mit Drehimpulsoperatoren J und J, die der Drehimpulsalgebra [J i, J j ] = i ɛ ijk J k [J i, J j ] = i ɛ ijk J k genügen. In jedem System sei eine vollständige Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren von J i und J iz bekannt: J j, m = j (j + ) j, m J z j, m = m j, m J j, m = j (j + ) j, m J z j, m = m j, m Mögliche Basis von H mit m i = j i, j i +,...,j i. Eine mögliche Basis des Gesamthilbertraums H = H H besteht dann aus den Zustandsvektoren j, j ; m, m := j, m j, m (9.) Interessiert man sich konkret für die Eigenzustände eines Hamiltonoperators H (Quantenzahl n), so sind die gemeinsamen Eigenzustände n i, j i, m i leicht aus den j i, m i ableitbar, wenn die Drehimpulsoperatoren J i und J iz mit H vertauschen. Oft ist man aber mit Systemen konfrontiert, in denen dieses nicht erfüllt ist, wie zum Beispiel beim Wasserstoffatom mit Spin-Bahn-Kopplung (siehe Kap. 4.). 8

138 9 Addition von Drehimpulsen Ausweichen auf den Gesamtdrehimpuls J Seien nun J, J keine Erhaltungsgrößen mehr (d.h. sie kommutieren nicht mit H), wohl aber J,J und der Gesamtdrehimpuls J: J = J + J ( = J + J ) (9.) Man kann nun immer eine gemeinsame Eigenbasis von J, J, J, J z finden. Beispiel: Addition von Spinoperatoren mit Spin / Beispiel 9. (Addition von zwei Spinoperatoren aus H / H / ) Dieses Beispiel wird in Aufgabe 30 behandelt. Gesucht sind die Eigenzustände des Gesamtspinoperators S := S + S bzw. seines Betragsquadrats und der Projektion in z-richtung: S S, M = S(S + ) S, M S z S, M = M S, M Mithilfe der Paulimatrizen stellt man S in der Eigenbasis der Operatoren S z, S z dar und diagonalisiert die entsprechende Matrix. Das Ergebnis sind die Vektoren S = 0 : S = 0, M = 0 = ( +,, + ) S = : S =, M = = +, + S =, M = 0 = ( +, +, + ) S =, M = =, Allgemein: Eigenzustände von J Satz 9. (Eigenzustände von J) Die Eigenzustände des Gesamtdrehimpulsoperators J gemäß (9.) haben die Quantenzahlen J = j j, j j +,...,j + j (9.3) M = J,...,+J (9.4) und sind gegeben durch J, M = j m = j j m = j j, j ; m, m j, j ; m, m J, M (9.5) mit den Clebsch-Gordan Koeffizienten j, j ; m, m J, M. J erfüllt die Drehimpulsalgebra [J j, J k ] = i ɛ ijk J i, wie man leicht nachprüft. Das heißt, J ist ein üblicher Drehimpuls im Sinne von Kap. 8.. Insbesondere besitzt J das Eigenwertspektrum J(J + ). T: Quantenmechanik 9 LMU München

139 9 Addition von Drehimpulsen Die Eigenzustände erfüllen die gewünschten Eigenschaften: J, J, M = j, (j, + ) J, M (9.6) J J, M = J(J + ) J, M (9.7) J z J, M = M J, M (9.8) Der Beweis ist langwierig und umständlich, weshalb wir auf ihn verzichten. Bemerkung 9. (i) Es gilt immer: M = m + m. (ii) Konvention: j, j ; j, j j + j, m + m = T: Quantenmechanik 30 LMU München

140 Teil IV Quantensysteme mit mehreren Teilchen 3

141 Kapitel 0 Unterscheidbare Teilchen und verschränkte Zustände Achtes Postulat Zunächst wollen wir uns mit Systemen von mehreren unterscheidbaren Teilchen beschäftigen. Dazu benötigen wir ein Postulat über die quantenmechanische Beschreibung solcher Systeme. 0. Postulat 8 Gesamthilbertraum zweier Teilchen Der Gesamthilbertraum zweier Teilchen ( und ) ist das Tensorprodukt ihrer Hilberträume H = H H. 0. Postulat 8 0. Verschränkte Zustände 0.3 Vielteilchen- Wellenfunktion Basis im Mehrteilchensystem Bemerkung 0. (i) Die Verallgemeinerung auf N Teilchen ist offensichtlich: H = H H N. (ii) Die Orthonormalbasis in H erhalten wir aus den Tensorprodukten der Orthonormalbasiselemente der Einzelräume. Sei H = span{ n } und H = span{ m }, dann ist H = span{ n m } (0.) Man schreibt auch n m, : n, : m oder n, m für diese Basiselemente. Jeder Vektor ψ H lässt sich also folgendermassen zerlegen: ψ = X n,m a nm n m (0.) Skalarprodukt in H mit komplexen Koeffizienten a nm. (iii) Das Skalarprodukt in H ergibt sich zu ψ ψ = X a n m anm n m n m = X a nma nm (0.3) {z } n,m,n,m m,n δ nn δ mm Was ununterscheidbare Teilchen sind, wird im nächsten Kapitel klar werden. 3

142 0 Unterscheidbare Teilchen und verschränkte Zustände Beispiel 0. Der Spinzustandsraum für zwei Spin-/ Teilchen (vgl. mit Aufgabe 39) ist H = H H = C 4 (0.4) Die Basenelemente in den beiden Einzelräumen seien die Eigenzustände +, des Spinoperators S z. Die Basis in H besteht damit aus den Elementen +, +, +,,,,, + (0.5) Wir schreiben S z, wenn wir den Operator S z meinen, der im Raum H lebt. Damit ist z.b. S z +, = S z + = +,. 0. Verschränkte Zustände Def.: Verschränkte Zustände Definition 0. (Verschränkte Zustände). Zustände ψ H = H H, die nicht in der Form ψ = φ χ (0.6) mit φ H, χ H geschrieben werden können, nennt man verschränkt. Beispiel 0. Der Zustandsvektor ψ = ( +,, + ) (0.7) mit der Basis aus Beispiel 0. lässt sich nicht als Tensorprodukt aus zwei Vektoren aus H und H schreiben. 0.. EPR-Argument Einstein, Podolsky, Rosen Ein verschränkter Zustand kann also nicht als einfache Kombination zweier Einzelzustände interpretiert werden. In der klassischen Physik kann man ein System in mehrere lokale Einzelsysteme mit bestimmten Eigenschaften zerlegen, die sich gegenseitig beeinflussen. Deshalb hat das quantenmechanische Konzept verschränkter Zustände kein klassisches Analogon. Diese Tatsache führte A. Einstein, B. Podolsky und N. Rosen 935 dazu, die Vollständigkeit der Quantenmechanik in Frage zu stellen. Sie formulierten einen Artikel in der Fachzeitschrift Physical Review, vol. 47, p. 777 mit dem Titel Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?. Hier klicken um zum Artikel zu gelangen. T: Quantenmechanik 33 LMU München

143 0 Unterscheidbare Teilchen und verschränkte Zustände Wir wollen die darin beschriebene Problematik mithilfe eines Gedankenexperiments verdeutlichen: Wir betrachten den Zerfall eines Spin-0 Teilchens 3 in zwei unterscheidbare Spin-/ Teilchen e +, e. Da der Gesamtspin S ψ = 0 erhalten bleibt, muss sich das System nach dem Zerfall in dem verschränkten Zustand Gedankenexperiment ψ = ( +,, + ) (0.8) befinden 4. Nun werden die Spin-/ Teilchen in zwei Stern-Gerlach-Apparaturen gemessen, die beliebig weit voneinander entfernt sein können 5. (i) Als erstes messen Alice und Bob beide in z-richtung: (S z S z ) ψ = 4 ( +, +, + ) = ψ (0.9) 4 Also liefert eine gleichzeitige Messung von S z der beiden Spin-/ Teilchen einen negativen Eigenwert, weshalb die Ablenkungen jeweils in verschiedene z-richtungen erfolgen müssen. (ii) Nun messen Alice und Bob beide in x-richtung. Dabei gilt Somit ist S x + = σ x + =, S x = + (S x S x ) ψ = 4 (, + +, ) = ψ (0.0) 4 Also erfolgt die Ablenkung ebenfalls in verschiedene x-richtungen. Diskussion über die Vollständigkeit der Quantenmechanik Einstein, Podolsky und Rosen schlussfolgerten aus einer ähnlichen Überlegung: Teilchen und Teilchen können beliebig weit voneinander entfernt sein. Damit kann die Messung von S x oder S z Teilchen nicht beeinflussen. Deshalb sollte die Information über S x und S z in einer lokalen Umgebung von gespeichert sein. Die Quantenmechanik erlaubt aber keine Zustände mit simultan perfekter Kenntnis von S x und S z. Deshalb muss die Quantenmechanik unvollständig sein. Gegenantwort: 3 Das π-meson π 0 hat zum Beispiel den Spin 0. 4 Um dies nachzuprüfen, schreibe man S = (S + S ), was soviel bedeutet wie (S + S ). 5 Die ausführenden Experimentatoren heißen Alice und Bob. Eine Begründung dieser Benennung findet man hier. T: Quantenmechanik 34 LMU München

144 0 Unterscheidbare Teilchen und verschränkte Zustände Die Quantenmechanik erlaubt eine korrekte Vorhersage aller Messungen. Die korrekte Frage lautet: Kann es im Sinne von Einstein, Podolsky und Rosen eine vollständige d.h. lokale klassische Theorie mit verborgenen Freiheitsgraden 6 geben? Die experimentelle Antwort (Bellsche Ungleichungen) auf diese Frage ist: NEIN. 0.3 Vielteilchen-Wellenfunktion Wellenfunktion für Systeme mit mehrern Teilchen Ein Zustand ψ H = H H kann wegen der Vollständigkeit der Orthonormalbasis { r r } zerlegt 7 werden in ψ = dr dr ( r r r r ) ψ = dr dr r, r ψ(r, r ) ψ(r, r ) gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, Teilchen am Ort r und Teilchen gleichzeitig am Ort r zu finden. Für n Teilchen mit Spin erhält man r, s ; r, s ;... ; r n, s n ψ = ψ(r, r,...,r n )χ(s, s,...,s n ) (0.) mit der Ortswellenfunktion ψ und der Spinwellenfunktion χ. 6 Man denke dabei z.b. an die Brownsche Bewegung, die ein von Molekülen umgebenes makroskopisches Objekt (z.b. in einer Flussigkeit) zu einer scheinbaren Eigenbewegung anregt. Dabei kann man entweder die Bahn des Moleküls mithilfe der statistischen Physik untersuchen oder die einzelnen Stöße der Moleküle betrachten, die die Bahn des Objekts verursachen. Die Bewegung wird hier also auf lokale Wechselwirkungen mit zusätzlichen Freiheitsgraden zurückgeführt. 7 r, r sind die Eigenvektoren der Ortsoperatoren in den jeweiligen Räumen. T: Quantenmechanik 35 LMU München

145 Kapitel Ununterscheidbare Teilchen Nun wollen wir uns mit Systemen ununterscheidbarer Teilchen beschäftigen. Dabei werden wir feststellen, dass wir Postulat 8 erweitern müssen, um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten.. Gedankenexperiment. Erweiterung von Postulat 8 Beispiel. (Elektronen) Elektronen sind ein Beispiel für ununterscheidbare Teilchen. Alle physikalischen Eigenschaften von Elektronen sind identisch, wodurch es keine Möglichkeit gibt, diese zu unterscheiden.. Gedankenexperiment Messung eines Systems aus zwei identischen Teilchen Wir betrachten zwei identische Spin-/ Teilchen, deren Spinzustände zu + und präpariert wurden. Das heißt, eine Messung von S z liefert für ein Teilchen + und für das andere Teilchen. Das eine Teilchen wird mit, das zweite Teilchen mit bezeichnet. Dann entsprechen die Kets : +, : und :, : + (.) den möglichen Zuständen des Systems, da wir die Teilchen nicht unterscheiden können. Allgemein sind so alle Zustände der Form ψ = α +, + β, +, mit α + β = (.) äquivalent. Wir interessieren uns nun für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir für den Spin in x-richtung für beide Teilchen + erhalten. Dafür benötigen wir den Eigenzustand zum Messergebnis. 36

146 Ununterscheidbare Teilchen Der Eigenzustand von S x = σ x zum Eigenwert + ist ( + + ). Daraus erhalten wir σ = ( : + + : ) ( : + + : ) = ( +, + + +, +, + +, ) (.3) als Eigenzustand zum Messergebnis. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nach der Bornschen Regel gegeben durch p = σ ψ = (α + β) (.4) Dieses Ergebnis ist überraschend, da der physikalische Zustand laut unseren obigen Überlegungen nicht von α und β abhängen sollte. Um diesen Widerspruch zu beseitigen, bedarf es einer Erweiterung von Postulat 8. Erweiterung von Postulat 8. Erweiterung von Postulat 8 Für ununterscheidbare Teilchen sind nur bestimmte Kets in H erlaubt. Diese Kets sind entweder symmetrisch unter Vertauschung der ununterscheidbaren Teilchen (Bosonen) oder antisymmetrisch (Fermionen). Eine intuitive Erklärung des Postulats können wir nicht geben. Die Natur scheint sich einfachste Möglichkeit auszusuchen, die zur Verfügung steht. Zu diesem Postulat gehört das folgende fundamentale Theorem, das aus der Quantenfeldtheorie unter recht allgemeinen Bedingungen abgeleitet werden kann. Spin-Statistik- Theorem Auflösung des Widerspruchs im Gedankenexp. Satz. (Spin-Statistik-Theorem) Teilchen mit ganzzahligem Spin (z.b. Photonen) sind Bosonen und Teilchen mit gebrochenzahligem Spin (z.b. Elektronen) sind Fermionen. Bemerkung. (i) Mit Satz. und der Erweiterung von Postulat 8 sehen wir, dass der Gesamtzustand der beiden Spin-/ Teilchen im Gedankenexperiment ψ = ( +,,+ ) (.5) sein muss. Es ist also β = α = und damit p = 0. T: Quantenmechanik 37 LMU München

147 Ununterscheidbare Teilchen Allgemeine Form (ii) Allgemein gilt für zwei ununterscheidbare Teilchen mit den Quantenzahlen q, q der Zustände (z.b. Spinquantenzahlen der Projektion in z-richtung +, ): für Bosonen: ψ = ( : q, : q + : q, : q ); für Fermionen: ψ = ( : q, : q : q, : q ). Pauli-Prinzip Pauli-Ausschlussprinzip Zwei identische Fermionen können nicht im gleichen Zustand sein (q = q ), denn sonst wäre ψ = 0, was nicht erlaubt ist. Dieses Prinzip ist fundamental für die ganze Struktur der Materie, Atomschalen, etc. Hamiltonoperator zweier Teilchen im harmonischen Oszillator Beispiel. (Zwei Teilchen im harmonischen Oszillator) Seien nun zwei Teilchen (Orte x und x ) gemeinsam in einem harmonischen Oszillator mit dem Hamiltonoperator H = H() + H() = m x + m ω x m x + m ω x (.6) Wir wollen nun drei verschiedene Möglichkeiten untersuchen: zwei beliebige unterscheidbare Teilchen, zwei identische Bosonen, zwei identische Fermionen. Um die Ergebnisse bündig zusammenfassen zu können, benutzen wir die Schreibweise n, n (für spinlose Teilchen) und n, n ; S (für Teilchen mit Spin) mit den Energiequantenzahlen n und n der Teilchen. S steht für den Gesamtspin des Systems aus den beiden Teilchen.. unterscheidbar (i) Unterscheidbare Teilchen: Die Wellenfunktion ist gegeben durch x, x n, n = ψ n n(x, x ) = φ n (x )φ n (x ), (.7) mit Energiespektrum E n n = ω(n + n + ) (.8) wobei φ n (x) die Eigenfunkion eines Teilchens im Oszillator mit Eigenenergie E n = ω ( n + ) mit n = 0,,, 3,... darstellt. Beweis: Es ist Hψ n n = (H()φ n )φ n + φ n (H()φ n) = ω n + «ψ n n + ω n + «ψ n n = E n nψ n n T: Quantenmechanik 38 LMU München

148 Ununterscheidbare Teilchen. identisch (s = 0) (ii) Identische Bosonen mit Spin-0: Es sind nur symmetrische Wellenfunktionen zulässig: ψ n n(x, x ) = (φ n (x )φ n (x ) + φ n (x )φ n (x )) (.9) (iii) Identische Fermionen mit Spin-/: 3. identisch Die Wellenfunktion zweier Teilchen mit Spinfreiheitsgrad ist gegeben (s = /) durch r, s ; r, s Ψ = Ψ(r, s ; r, s ) = ψ(r, r ) χ(s, s ) (.0) Für Fermionen muss diese antisymmetrisch unter Vertauschung der identischen Teilchen sein: Ψ(r, s ; r, s ) = Ψ(r, s ; r, s ) (.) Das heißt, Ψ muss der Form sein Ψ(r, s ; r, s ) = (ψ(r, r ) χ(s, s ) ψ(r, r ) χ(s, s )) = 8 [(ψ(r, r ) + ψ(r, r )) (χ(s, s ) χ(s, s )) +(ψ(r, r ) ψ(r, r )) (χ(s, s ) + χ(s, s ))] Somit gibt es zwei Möglichkeiten für χ und ψ, um (.0) und (.) zu erfüllen: Entweder ist die Spinwellenfunktion χ symmetrisch und die Ortswellenfunktion ψ antisymmetrisch (I), oder umgekehrt (II). Für den harmonischen Oszillator erhalten wir somit: Möglichkeit I: (χ antisymmetrisch, φ symmetrisch, vgl. Aufgabe 39) ψ n n(r, r ) = [φ n (r )φ n (r ) + φ n (r )φ n (r )] (.) χ(s, s ) = [χ(+, ) χ(, +)] (.3) Der Gesamtspin ist hier immer S = 0. Möglichkeit II: (χ symmetrisch, φ antisymmetrisch) ψ(r, r ) = [φ n (r )φ n (r ) φ n (r )φ n (r )] (.4) χ(s, s ) : χ(+, +), [χ(+, ) + χ(, +)], χ(, )(.5) Hier ist der Gesamtspin also immer S =. Hier ist zu beachten, dass für n = n die Wellenfunktion verschwindet (wie schon das Pauli-Prinzip vorhersagt). T: Quantenmechanik 39 LMU München

149 Ununterscheidbare Teilchen Mögliche Eigenzustände zweier Teilchen im harmonischen Oszillator Zusammenfassung: Mögliche Zustände im harmonischen Oszillator Energieniveau Unterscheidbar Identisch, Spin-0 Identisch, Spin-/ Grundzustand 0, 0 (#) 0, 0 (#) 0, 0, S = 0 (# ). angeregter, 0, 0,, 0 = 0,, 0, S = 0 (# ) Zustand (# ) (# ), 0, S = (# 3) T: Quantenmechanik 40 LMU München

150 Kapitel Mehrelektronenatome. Heliumatom Das Heliumatom besitzt zwei Elektronen. Damit hat der Hamiltonoperator die Form. Heliumatom. Grundzustände von Mehrelektronenatomen H = m + 4πε 0 e r m + 4πε 0 e r + 4πε 0 e r r (.) Vernachlässigung der Elektronenabstoßung Der letzte Term berücksichtigt die gegenseitige Abstoßung der Elektronen. In dieser Form des Hamiltonoperators ist die Schrödinger-Gleichung nicht geschlossen lösbar. Aus diesem Grund wählen wir hier eine starke Näherung und vernachlässigen die Elektronenabstoßung. Wir erinnern uns zurück an die Eigenzustände des Wasserstoffatoms, die wir mit n, l, m bzw. in Ortsdarstellung mit φ nlm (r) bezeichnen mit dem Energiespektrum E n = EB n Energiespektrum. Nach (6.5) ergibt sich für das Energiespektrum der des Heliumatoms Elektronen des Heliumatoms (Kernladungszahl Z = ) E nn = 4(E n + E n ) (.) Wir wollen die ersten Zustände betrachten: Grundzustand (i) Die Grundzustandswellenfunktion im Ortsraum muss symmetrisch sein (unsymmetrische würden verschwinden) und damit die Spinwellenfunktion unsymmetrisch: ψ(r, r ) = φ 00 (r )φ 00 (r ), S = 0 (.3). angeregter Zustand (ii) Im ersten angeregten Zustand des Heliumatoms muss eines der beiden Elektronen im Grundzustand bleiben und eines in den ersten angeregten 4

151 Mehrelektronenatome E (s)(p) (s)(p) (s)(s) (s)(s) (s) Parahelium s=0 Orthohelium s= Abbildung.: Energieniveaus beim Heliumatom (nicht maßstabstreu!) Zustand übergehen. Das heißt, es gibt für ein Elektron nur, 0, 0 und für das andere die Möglichkeiten, 0, 0,,, 0,,, und,,. Für das (s)(s) Orbital gibt es also für die möglichen Werte des Gesamtspins S = 0 und S = wieder je eine mögliche Ortswellenfunktion: ψ(r, r ) = [φ 00 (r )φ 00 (r ) + φ 00 (r )φ 00 (r )], S = 0 (.4) ψ(r, r ) = [φ 00 (r )φ 00 (r ) φ 00 (r )φ 00 (r )], S = (.5) Der Zustand mit Gesamtspin S = 0 wird Parahelium, der mit S = Orthohelium genannt. Abweichungen vom realen Spektrum In der hier betrachteten Näherung sind die. angeregten Zustände (die Orbitale (s)(s) mit S = 0, (s)(s) mit S = und (s)(p)) alle auf dem gleichen Energieniveau. Tatsächlich verursacht die gegenseitige Abstoßung der Elektronen aber ein anderes Verhalten (siehe Abb..). So hat das Orbital (s)(p) eine kleinere Bindungsenergie als (s)(s), da der vorhandene Drehimpuls des einen Elektrons für größere Abstände vom Kern sorgt und dabei durch die Abschirmung des (s)-elektrons weniger Kernanziehung erfährt. Außerdem hat das Orbital (s)(s) mit S = eine kleinere Energie als (s)(s) mit S = 0, denn das letztere besitzt eine symmetrische Ortswellenfunktion, womit es möglich ist, dass die beiden Elektronen am selben Ort sind. Die Abstoßung e / r r trägt dann größere Beiträge zur Gesamtenergie bei, als für die Zustände mit S =, denn diese dürfen nach dem Pauli-Prinzip niemals am selben Ort sein. T: Quantenmechanik 4 LMU München

152 Mehrelektronenatome. Grundzustände von Mehrelektronenatomen Um die Eigenzustände und Eigenenergien von Mehrelektronenatomen mit Kernladungszahl Z zu finden, muss die Schrödingergleichung für den Hamiltonoperator H = Z i= p Z i m i= Ze r i + Z i,j=,i<j e r i r j (.6) Zentralfeldnäherung Konstruktion der Elektronenkonfigurationen in den Grundzuständen gelöst werden. Der letzte Term, der die Wechselwirkung der Elektronen untereinander berücksichtigt, führt im Allgemeinen zu Problemen, die nicht mehr analytisch geschlossen lösbar sind. Man kann diesen Term in grober Näherung vernachlässigen wie wir es beim Heliumatom getan haben oder auch die sogenannte Zentralfeldnäherung anwenden. Dabei führt man in einem zentralsymmetrischen Potential zusätzliche Terme ein, welche die Abschirmung des Kerns teilweise berücksichtigen, die durch unterschiedliche Abstände der Elektronen zum Kern zustande kommt. H = Z i= ( ) p i m + V c(r i ) (.7) Wie man im Allgemeinen solche Probleme behandelt, werden wir im nächsten Kapitel kennenlernen. Zunächst wollen wir ganz ohne analytische Methoden nur durch die Anwendung des Pauli-Ausschlussprinzips die möglichen Konfigurationen der Grundzustände von Mehrelektronenatomen konstruieren: Z Element Konfiguration des Grundzustands H (s) He (s) 3 Li (s) (s) 4 Be (s) (s) 5 B (s) (s) (p) 6 C (s) (s) (p) 7 N (s) (s) (p) 3 8 O (s) (s) (p) 4 9 F (s) (s) (p) 5 0 Ne (s) (s) (p) T: Quantenmechanik 43 LMU München

153 Mehrelektronenatome Erläuterung der Konstruktion Der Zustand eines Elektrons ist durch die vier Quantenzahlen n, l, m l, m s festgelegt. Bei der Besetzung der Schalenkonfigurationen müssen wir unter Berücksichtigung des Pauli-Prinzips nur darauf achten, dass sich nie zwei Elektronen im selben Zustand n, l, m l, m s befinden. Da in der Notation für die Orbitale nur die Werte von n und l erfasst sind, gibt es für einen Eigenwert E nl eine [(l + )]-fache Entartung. m l ist die magnetische Quantenzahl im Orbitalraum, bestimmt also die Eigenwerte des Drehimpulsoperators L z, wohingegen m s die magnetische Quantenzahl im Spinzustandsraum darstellt, also die Eigenwerte von S z festlegt. Zur Erinnerung: m l = l, l +,..., l, l und m s = ±/. T: Quantenmechanik 44 LMU München

154 Teil V Störungstheorie 45

155 Kapitel 3 Zeitunabhängige (stationäre) Störungstheorie Störungstheorie: Strategie zur Lösung komplizierter Probleme Im Folgenden werden wir uns mit Hamiltonoperatoren befassen, die nicht analytisch geschlossen lösbar sind (z.b. das Heliumatom). Dafür werden wir Strategien und Methoden kennenlernen, die für die heutige theoretische Physik von größter praktischer Bedeutung sind. Beispiel 3. (Geladenes Teilchen in Potentialtopf) Wollen wir das Verhalten eines geladenen Teilchens in einem unendlich tiefen Potentialtopf mit elektrischem Feld beschreiben, so tritt im Hamiltonoperator der zusätzliche Term W = qex auf. Die Schrödingergleichung ist dann nicht mehr wie bisher einfach analytisch lösbar. 3. Allgemeine Strategie 3. Störungstheorie. Ordnung (nicht-entartet) 3.3 Störungstheorie. Ordnung (nicht-entartet) 3.4 Entartete Störungstheorie (. Ordnung) 3. Allgemeine Strategie. Aufstellen des Wie schreiben für den Hamiltonoperator des Systems Hamiltonoperators mit Störterm H λ = H (0) + λw (3.) Dabei beschreibt H (0) den Hamiltonoperator für das geschlossen lösbare Problem (in Beispiel 3.: der Potentialkasten ohne elektrisches Feld). Die Eigenvektoren ψ n (0), die Lösungen von H (0) ψ n (0) = E n (0) ψ n (0) sind, seien orthonormiert gewählt. W sei ein kleiner Störterm (in Beispiel 3.: W = qex), der mit λ [0, ] parametrisiert wird. Welche genauen Anforderungen sich hinter kleiner Störterm 46

156 3 Zeitunabhängige (stationäre) Störungstheorie E nd λ Abbildung 3.: Spektrum von H λ.. Entwicklung um λ = 0 3. Einsetzen in die Eigenwertgleichung verbergen, soll uns zunächst noch nicht interessieren. Der wesentliche Schritt ist die Entwicklung des Energiespektrums E n (λ) und der Eigenzustände ψ n,λ um λ = 0 und das Einsetzen von λ =. Der Grad m dieser Entwicklung betitelt die jeweilige Störungstheorie: Störungstheorie m-ter Ordnung. Schließlich können wir die Entwicklungen in die zu lösende Eigenwertgleichung H λ ψ n,λ = E n (λ) ψ n,λ (3.) einsetzen und per Koeffizientenvergleich das gesuchte Spektrum und die Eigenzustände bestimmen. Bemerkung 3. In Abb. 3. ist die Idee hinter den Überlegungen skizziert. Wir suchen das Spektrum von H λ für λ =, das wir mit E n bezeichnen wollen (analog ψ n := ψ n,λ= ). Dieses erhalten wir in guter Näherung aus einer Entwicklung von E n(λ), solange E n(λ) im Bereich 0 λ nicht übermäßig stark variiert, was von der Größe des Störterms W abhängt. Wie man ein Energieniveau, wie das mit nd bezeichnete behandelt, werden wir kennenlernen, wenn wir uns mit entarteter Störungstheorie beschäftigen. Allgemein: Entwicklung zur Eigenwertgleichung der Störungstheorie Schreiten wir nun zur Tat und führen die ersten Schritte durch: Entwicklung um λ = 0 E n(λ) = E (0) n + λe () n + λ E () n +... ψ n,λ = ψ (0) n + λ ψ () n + λ ψ () n +... Einsetzen in (3.) (H (0) + λw)( ψ (0) n + λ ψ () n +...) = (E (0) n + λe () n +...)( ψ (0) n + λ ψ () n +...) T: Quantenmechanik 47 LMU München

157 3 Zeitunabhängige (stationäre) Störungstheorie Sortieren wir die Terme nach Ordnungen von λ, so ergibt sich folgende Gleichung: H (0) ψ n (0) + λ W ψ n (0) + H (0) ψ n () = E (0) n ψ (0) n + λ + λ W ψ () n + H (0) ψ () n E (0) n ψ () n + E () n ψ (0) n λ E (0) n ψ () n + E () n ψ () n + E () n ψ (0) n +... (3.3) Ausgehend von dieser Gleichung können wir nun verschiedene Ordnungen der Störungstheorie entwickeln, in Abhängigkeit von der berücksichtigten Ordnung von λ. 3. Störungstheorie. Ordnung (nicht-entartet) 3.. Energiespektrum Damit Gl. (3.3) bis zur ersten Ordnung in λ erfüllt wird, müssen wir die entsprechenden Koeffizienten vergleichen: Koeffizientenvergleich bis zur ersten Ordnung O(λ 0 ) : H (0) ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n (3.4) O(λ) : H (0) ψ () n + W ψ(0) n! = E (0) n ψ() n + E() n ψ(0) n (3.5) Gl. (3.4) ist laut Voraussetzung erfüllt. Um Gl. (3.5) nach E n () aufzulösen, wenden wir von links den Bra ψ n (0) auf beide Seiten der Gleichung an: ψ n (0) H (0) ψ n () + ψ n (0) W ψ n (0) =! E n (0) ψ n (0) ψ () {z } =E (0) n ψ (0) n ψ () n n + E () n ψ n (0) ψ n (0) {z } = Energiespektrum in Störungstheorie. Ordnung Damit ergibt sich als Ergebnis Störungstheorie. Ordnung: Energiespektrum In der Störungstheorie erster Ordnung für einen nicht-entarteten Zustand ist die Eigenenergie des Zustands um den Erwartungswert des Störterms verschoben. E n = E (0) n + ψ (0) n W ψ (0) n (3.6) T: Quantenmechanik 48 LMU München

158 3 Zeitunabhängige (stationäre) Störungstheorie 3.. Eigenzustand Den Eigenzustand ψ n können wir ebenfalls mit Gl. (3.5) bestimmen, die umgeschrieben werden kann zu ( ) ( ) H (0) E n (0) ψ n () =! W E n () ψ n (0) (3.7) Darstellung in der Basis { ψ (0) m } Berechnung der c nm Eigenzustand in Störungstheorie. Ordnung ψ () n lässt sich in den Eigenzuständen von H (0) entwickeln: ψ n () = c nm ψ m (0) m n ( Die Summation über m n genügt, da diesen Ausdruck nun in Gl. (3.7) ein: ( ) E m (0) E(0) n c nm ψ m (0) =! m n Anwendung von ψ (0) l ) ( E (0) l E n (0) ( H (0) E (0) n W E () n ) ) ψ (0) n = 0 ist. Setzen wir ψ (0) n mit l n von links auf beide Seiten ergibt c nl! = ψ (0) l W ψ (0) n + E() n ψ(0) l ψ n (0) } {{ } =0 Damit kennen wir die Koeffizienten c nl und können das Ergebnis zusammenfassen: Störungstheorie. Ordnung: Eigenzustand In der Störungstheorie erster Ordnung ist der Eigenzustand von H = H (0) +W gegeben durch. ψ n = ψ n (0) + ψ m (0) W ψ (0) m n E n (0) E m (0) n ψ (0) m (3.8) Bemerkung 3. (i) ψ n aus Gl. (3.8) ist noch nicht normiert. (ii) Da E n (0) E m (0) in Gl. (3.8) nicht verschwinden darf, dürfen die Energien für zwei verschiedene Zustände nicht übereinstimmen, d.h. es darf keine Energieentartung auftreten. Einzige Ausnahme sind entartete Niveaus, für die das Matrixelement des Störoperators verschwindet; dazu später mehr im Kapitel über entartete Störungstheorie. Im Folgenden beschränken wir uns zunächst auf Systeme mit nicht-entarteten Zuständen. T: Quantenmechanik 49 LMU München

159 3 Zeitunabhängige (stationäre) Störungstheorie Beispiel 3. (Geladenes Teilchen im Potentialtopf) Nun wollen wir Beispiel 3. fortführen, indem wir die durch den Störterm W = qex veränderte Grundzustandsenergie mit Störungstheorie erster Ordnung berechnen. Die Grundzustandswellenfunktion des unendlich tiefen Potentialtopfes ohne elektrisches Feld ist im Bereich 0 x a gegeben durch ψ (0) ( n= (x) = a sin π x ) a Der Erwartungswert des Störterms ist dann gegeben durch ψ (0) W ψ(0) = a dx (qex)sin ( π x a Damit ist die verschobene Grundzustandsenergie ) =... = qea E n= = π ma qea + O(E ) (3.9) 3.3 Störungstheorie. Ordnung (nicht-entartet) In der Praxis ist man oft mit Systemen konfrontiert, für die W (0) ψ verschwindet, womit Störungstheorie erster Ordnung keinen Beitrag liefert. In solchen n Systemen ist deshalb die Störungstheorie zweiter Ordnung von besonderer Bedeutung. Koeffizientenvergleich bis zur 3.3. Energiespektrum Vergleichen wir nun die Koeffizienten von λ in Gl. (3.3): zweiten Ordnung O(λ ) : W ψ () n + H (0) ψ () n! = E (0) n ψ () n + E () n ψ () n + E () n ψ (0) n Wiederum wenden wir ψ (0) n von links auf beide Seiten an: ψ n (0) W ψ() n = E() n ψ(0) n ψ() n } {{ } =0 +E () n ψ(0) n ψ(0) n } {{ } = Dabei haben wir verwendet, dass ψ n () laut Gl. (3.8) als Linearkombination der ψ m (0) mit m n geschrieben werden kann. Somit ergibt sich E () n = ψ(0) n W ψ() n (3.8) = ψ m (0) W ψ (0) m n E n (0) E m (0) n ψ n (0) W ψ(0) m T: Quantenmechanik 50 LMU München

160 3 Zeitunabhängige (stationäre) Störungstheorie Energiespektrum in Störungstheorie. Ordnung Störungstheorie. Ordnung: Energiespektrum In der Störungstheorie zweiter Ordnung ist das Energiespektrum gegeben durch ψ m (0) W ψ n (0) E n = E (0) n + ψ(0) n W ψ(0) n + m n E (0) n E (0) m (3.0) Bemerkung 3.3 (Absenkung der Grundzustandsenergie) Der zusätzliche Beitrag in der Störungstheorie zweiter Ordnung kann die Energie des Grundzustands nur absenken, denn der Term E n (0) E m (0) ist immer negativ, wenn E n (0) der Grundzustand ist. 3.4 Entartete Störungstheorie (. Ordnung) Grundproblem bei Entartung Nun wollen wir den Fall eines entarteten Eigenwerts E n (0) betrachten, auf den die bisher entwickelte Störungstheorie nicht angewendet werden kann. Dies haben wir bereits in Gl. (3.8) festgestellt, da für E n (0) = E m (0) der Nenner verschwinden würde. Die Strategie, das bekannte Eigenspektrum E n (0) und die Eigenvektoren ψ n (0) in einem zusätzlichen Parameter λ zu entwickeln, stößt bei entarteten Spektren auf ein Grundproblem: Aufgrund des zusätzlichen Störterms im Hamiltonoperator für λ 0 kann ein ursprünglich entarteter Eigenwert bei der Entwicklung in λ in mehrere nicht-entartete Eigenwerte übergehen. Dadurch gibt es in der Regel bei λ = eindeutige orthogonale Eigenvektoren zu den nicht-entarteten Eigenwerten, die für λ 0 gegen die ursprünglichen Eigenvektoren im Unterraum des entarteten Eigenwerts konvergieren. Für λ = 0 ist die Wahl der Eigenbasis in diesem Unterraum aber völlig beliebig, wodurch in der Regel keine konvergente Potenzreihenentwicklung in λ möglich ist, wenn von den falschen Eigenvektoren ausgegangen wird Zweifache Entartung Spezialfall: Sei zunächst eine zweifache Entartung der Energie E (0) gegeben: zweifache Entartung H (0) ψ a (0) = E(0) ψ a (0) H (0) ψ (0) b = E (0) ψ (0) b T: Quantenmechanik 5 LMU München

161 3 Zeitunabhängige (stationäre) Störungstheorie Dabei können die Eigenvektoren orthogonal gewählt werden: ψ (0) a ψ (0) b = 0. Es werden also nur bestimmte Linearkombinationen ψ (0) = α ψ (0) a + β ψ(0) b (3.) eine konvergente Reihenentwicklung zulassen. In erster Ordnung Störungstheorie muss Gl. (3.5) H (0) ψ () + W ψ (0) = E (0) ψ () + E () ψ (0) erfüllt werden. Wenden wir zuerst ψ a (0), dann ψ (0) b von links darauf an und setzen beide Male die Linearkombination (3.) ein: ψ (0) a,b W ψ(0) = E () ψ (0) a,b ψ(0) α ψ (0) a W ψ (0) a + β ψ (0) a W ψ (0) b = E () α (3.) α ψ (0) b W ψ (0) a + β ψ (0) b W ψ (0) b = E () β (3.3) Diese beiden Gleichungen bilden in Matrizenschreibweise ein Eigenwertproblem mit einer hermiteschen Matrix: ( ) (α ψ a (0) W ψ a (0) ψ a (0) W ψ (0) ) ( ) b α ψ (0) b W ψ a (0) ψ (0) b W ψ (0) = E () (3.4) b β β Für ein solches Problem kennen wir die Lösungsstrategie N-fache Entartung Verschiebung der Energie in Störungstheorie. Ordnung (entartet) Entartete Störungstheorie. Ordnung: Energiespektrum In der entarteten Störungstheorie. Ordnung ist die Verschiebung der Energieeigenwerte in O(λ) durch die Diagonalisierung der Störmatrix ψ (0) i W ψ (0) j (3.5) im entarteten Unterraum gegeben. Die ψ (0) i sind dabei die Energieeigenzustände in O(λ 0 ). T: Quantenmechanik 5 LMU München

162 Kapitel 4 Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms Semiklassisches Modell Korrekturterm der Spin-Bahn- Kopplung 4. Spin-Bahn-Kopplung Unter der Spin-Bahn-Kopplung versteht man die Wechselwirkung des Bahndrehimpulses eines Elektrons in einem Atom mit dem Spin des Elektrons. Diese zusätzliche Wechselwirkung trägt neben einer rein relativistischen Korrektur zur Feinstruktur der Atomspektren bei. Dazu wird der Hamiltonoperator mit zusätzlichen Korrekturtermen ergänzt (hier H SO ). Man kann die Spin-Bahn-Kopplung mit einem Modell anschaulich begründen. Eine strenge Herleitung ist nur im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik (Dirac-Theorie) möglich. Begibt man sich in das Ruhesystem eines Elektrons im Atom, dann bewegt sich das Proton auf einer Kreisbahn um das Elektron. Aufgrund der bewegten Protonenladung entsteht ein Kreisstrom, der zu einem Magnetfeld B am Ort des Elektrons führt, welches proportional zum Drehimpuls L des Protons ist. Da das Elektron aber aufgrund seines Spins ein magnetisches Moment besitzt, kommt es zu einer Wechselwirkungsenergie H SO = µ B S L Damit wird die Energie für die eine Spinrichtung erhöht und für die andere verringert. Die korrekte Rechnung liefert ( ) e H SO = 8πε 0 m c r 3 S L (4.) 4. Spin-Bahn- Kopplung 4. Relativistische Korrektur 4.3 Vollständige Feinstrukturaufspaltung 53

163 4 Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms Der Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms ist dann gegeben durch H = p m e 4πε 0 r + H SO (4.) 4.. Konsequenz der Korrektur S k und L k sind nicht mehr kompatibel mit H Wir müssen feststellen, dass nun gilt [H, S k ] = [H SO, S k ] j [S j L j, S k ] = i ij ɛ ijk S i L j 0 [H, L k ] 0 Gesamtdrehimpuls Die Operatoren L und S vertauschen weiterhin mit H, sind also noch gute Quantenzahlen. Es gibt aber keine gemeinsame Eigenbasis von S k, L k und H mehr. Das bedeutet, dass L und S für sich genommen keine Erhaltungsgrößen mehr sind. Stattdessen betrachtet man den Gesamtdrehimpuls J := L + S, (4.3) dessen Komponenten mit H kommutieren: [H, J k ] = [H SO, J k ] X j ([S jl j, L k ] + [S jl j, S k ]) = i X ij ɛ ijk (S jl i + S il j) = 0 Praktische Vereinfachung zur Umgehung der entarteten Störungstheorie Bemerkung 4. (Allgemeine Vorgehensweise bei entartetem Niveau) Ist man mit einem entarteten Niveau E (0) konfrontiert und möchte den Einfluss eines Störterms W auf dieses Energieniveau berechnen, so muss man nach der entarteten Störungstheorie (in. Ordnung) die Matrix ψ (0) i W ψ (0) j diagonalisieren, wobei die ψ (0) i orthogonale Basisvektoren des entarteten Eigenraums sind. Die erhaltenen Eigenwerte sind dann die Korrekturen E () für die jeweiligen Eigenzustände ψ (). Umso höher die Entartung, desto aufwendiger ist natürlich die Berechnung und Diagonalisierung der Störmatrix. Es wäre deshalb von Vorteil, eine Methode zu finden, die dies zumindest teilweise erleichtert. Tatsächlich erreicht man eine Vereinfachung, indem man einen hermiteschen Operator B findet, der mit H (0) und W vertauscht. Die gemeinsamen Eigenzustände ψ (0) b von B mit H (0) zu unterschiedlichen Eigenwerten von B sind dann die richtigen Zustände für die Entwicklung in nicht-entarteter Störungstheorie. Das heißt, man berechnet lediglich die Matrixelemente ψ (0) b W ψ (0) b um die Korrekturen in. Ordnung Störungstheorie des entarteten Niveaus zu erhalten, da die Matrixelemente jenseits der Diagonalen ψ (0) W ψ (0) b b ( für b b ) verschwinden: 0 = ψ (0) b [B, W] ψ (0) b = ψ (0) b BW ψ (0) b ψ (0) b WB ψ (0) b = (b b)w b b Da b b muss W b b = ψ (0) W ψ (0) b b = 0 sein. Die Störmatrix ist also in der Basis { ψ (0) b } diagonal. Dies ist eigentlich von vornherein klar, da W mit B laut Annahme vertauscht und somit simultane Eigenfunktionen existieren. T: Quantenmechanik 54 LMU München

164 4 Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms 4.. Spin-Bahn-Energieverschiebung Anwendung der Störungstheorie auf die Spin-Bahn- Kopplung Wir wollen nun für den Hamiltonoperator H = H (0) + H SO = H (0) + u r 3 S L (4.4) die Korrektur des Energiespektrums in. Ordnung Störungstheorie berechnen. Da die Energieniveaus E n (0) = EB n mit zunehmendem n immer stärker entartet sind, lohnt es sich, die Eigenzustände in einem entarteten Eigenraum umzu- sortieren, sodass die Störmatrix einfach wird, nämlich Diagonalform annimmt. Laut Bemerkung 4. müssen wir zu diesem Zweck einen hermiteschen Operator suchen, der mit H (0) und H SO vertauscht. Einen Solchen haben wir bereits : J = L + S Dass die Eigenzustände J, M = J, M; l, s von J aus Gl. (9.5) auch Eigenzustände von S L sind, also die Störmatrix in der Basis aus den Vektoren J, M; l, s diagonal wird, sieht man auch wie folgt: J = (S + L) = S + L + S L S L = J, M; l, s (J L S ) J, M ; l, s = (J(J + ) l(l + ) s(s + )) Eigenwerte von S L Für Elektronen ist s = und laut Gl. (9.3) ist somit J = l + oder J = l. Damit hat S L die Eigenwerte ( J ) (, J + 3 ) (4.5) Um die gesamte Korrektur H SO zu erhalten, benötigen wir noch den Erwartungswert r 3 = l(l + )(l + )n3 a 3 (4.6) Energieverschiebung durch die Spin- Bahn-Kopplung Diesen erhält man aus einer längeren Rechnung, die in der Literatur zu finden ist. Das neue Niveau E n () ist also nur noch bezüglich M entartet. Insgesamt erhalten wir die Spin-Bahn-Energieverschiebung für die (J + ) Eigenzustände mit Gesamtdrehimpuls J H SO = n; J, M; l, s = / H SO n; J, M; l, s = / ( ) E n (0) ( ) n J(J + ) l(l + ) 3 4 = mc l(l + )(l + ) (4.7) Wir halten nochmals fest: L, S, J, J z, H sind kompatibel. Zum Beispiel in Introduction to Quantum Mechanics von David J. Griffiths. T: Quantenmechanik 55 LMU München

165 4 Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms 4. Relativistische Korrektur Relativistischer Korrekturterm Energieverschiebung durch die relativistische Korrektur In Aufgabe 43 wird die Korrektur der relativistischen kinetischen Energie berechnet. Der Hamiltonoperator muss mit p4 H r = 8m 3 c (4.8) korrigiert werden, was in. Ordnung Störungstheorie eine Verschiebung des Energieniveaus um E () r = H r = (E(0) n ) ( 4n mc l + ) 3 (4.9) bewirkt. 4.3 Vollständige Feinstrukturaufspaltung Die beiden Korrekturen fassen wir als sogenannte Feinstrukturaufspaltung zusammen: Energieverschiebung der vollständigen Feinstrukturaufspaltung Wasserstoffspektrum mit Feinstruktur E fs = E () r + E () SO =... = ( E (0) n mc ) ( 3 4n ) J + (4.0) Die Abhängigkeit von der Drehimpulsquantenzahl l verschwindet zufällig bei Addition dieser Terme. Notieren wir noch das gesamte Wasserstoffspektrum mit Feinstruktur 3, 6 ev E nj = n ( [ + α n n J )] (4.) mit der Entartung (J+) der Quantenzahl M. α ist die Feinstrukturkonstante 3 α = e 4πε 0 c 37 (4.) 3 Sie wurde 96 von Arnold Sommerfeld eingeführt und wird deshalb auch oft Sommerfeldkonstante oder Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante genannt. Diese dimensionslose Zahl ist von großer Bedeutung in der modernen Theoretischen Physik, da sie die Stärke eine der fundamentalen Wechselwirkungen (nämlich der elektromagnetischen Wechselwirkung) angibt. Ein Zitat von R. P. Feynman: It has been a mystery ever since it was discovered more than fifty years ago, and all good theoretical physicists put this number up on their wall and worry about it. (QED The strange theory of light and matter, Princeton University Press 985, p. 9). T: Quantenmechanik 56 LMU München

166 4 Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms n = 4 E (0) 4 j = 3 j = 5 j = 7 j = 3 j = 5 j = j = n = 3 E (0) 3 j = 3 j = 5 j = 3 j = j = n = E (0) j = 3 j = j = n = E (0) j = l = 0 l = l = l = 3 S P D F Abbildung 4.: Energiespektrum des Wasserstoffatoms mit Feinstruktur (nicht maßstabstreu). T: Quantenmechanik 57 LMU München

167 Kapitel 5 Zeeman-Effekt Als Zeeman-Effekt bezeichnet man das Aufspalten des Energiespektrums eines Atoms, das auftritt, wenn sich dieses in einem externen Magnetfeld B befindet. Das Phänomen wurde erstmals 896 von Pieter Zeeman beschrieben, wofür er 90 den Nobelpreis für Physik erhielt. Der Störterm für ein einzelnes Elektron (z.b. im Wasserstoffatom) in einem Magnetfeld B ist gegeben durch H z = (µ l + µ s ) B (5.) 5. Problematik und allgemeiner Ansatz 5. Zeeman-Effekt bei schwachem Magnetfeld 5.3 Zeeman-Effekt bei starkem Magnetfeld Drehimpulse und magnetische Momente Exakter Hamiltonoperator mit allen Störtermen Dabei sind die magnetischen Dipolmomente über folgende Gleichungen mit dem Spin S und dem Drehimpuls L verknüpft: µ s = e m S, µ l = e m L (5.) Der gesamte Hamiltonoperator für das Wasserstoffatom hat dann die Form H = p m e 4πε 0 r p4 8m 3 c + e S L 8πε 0 m c r }{{ 3 + e (L + S)B m }}{{} H fs H z (5.3) 5. Problematik und allgemeiner Ansatz Problematik Wir müssen nun zwei Störterme betrachten, für die wir aber keine Observable finden können, die gleichzeitig mit beiden kommutiert. D.h. wir können mit den gleichen Tricks wie bei Bemerkung 4. die Verwendung von entarteter Störungstheorie vermeiden. Der Hamiltonoperator kommutiert z.b. nicht mehr mit J, da [H, J] = [H z, J] [S B, J] 0 58

168 5 Zeeman-Effekt Allgemeiner Ansatz Wir untersuchen deshalb zwei Grenzfälle, nämlich wenn einer der beiden problematischen Störterme viel größer ist als der andere, das heißt, wenn die Beiträge zur Energieverschiebung sich sehr unterscheiden. In solchen Fällen führt man die Störungstheorie in zwei Schritten durch: (i) Berechnung der Energieverschiebung und der gestörten Eigenzustände für den größeren Störterm; (ii) Berechnung der Energieverschiebung des kleinen Störterms mit den Eigenzuständen aus (i). 5. Zeeman-Effekt bei schwachem Magnetfeld O.B.d.A. können wir B = Be z annehmen. Ist das Magnetfeld so schwach, dass H fs dominiert, so haben wir Schritt (i) bereits erledigt und können für (ii) das bekannte Ergebnis aus dem Abschnitt über die Spin-Bahn-Kopplung verwenden. Wir benötigen lediglich eine Darstellung für die Eigenzustände n; J, M; l, die laut (9.5) eine Linearkombination der bekannten Zustände n; l, m l ; s = /, m s mit den Clebsch-Gordan Koeffizienten l, m l ; /, m s J, M Berechnung der Clebsch-Gordan Koeffizienten Durchführung von Schritt (ii) ist. Diese werden in Aufgabe 45 berechnet. J kann die Werte l + und l annehmen. Im Falle J = l + erhält man l, m l ;, l +, m l + = r l + ml + l + l, m l ;, l +, m l = r l ml + l + Damit können wir den gewünschten Störterm in. Ordnung Störungstheorie berechnen: L z + S z = n; J, M; l L z + S z n; J, M; l = (m l + m s ) l, m l ; /, m s J, M =... = J + J M m l,m s Zeeman-Effekt bei schwachem Magnetfeld für J = l + Das heißt, für ein kleines Magnetfeld spalten die Zustände mit J = l + folgen- dermaßen auf: E n,j,m (B) = E n,j + µ B gbm (5.4) mit dem Bohrschen Magneton µ B = e J+ m und dem Landé-Faktor g = J. Für J = l / erhält man dasselbe Ergebnis mit g = + (J+). T: Quantenmechanik 59 LMU München

169 5 Zeeman-Effekt 5.3 Zeeman-Effekt bei starkem Magnetfeld Jetzt betrachten wir zuerst H = H (0) + H z (i) Energieverschiebung durch Da S z und L z mit H z vertauschen, sind die Eigenzustände die bekannten Kets n; l, m l ;, m s. Die Energieverschiebung berechnet sich dann zu größeren Störterm E n,ml,m s = E (0) n + H z = E (0) n + µ B B(m l + m s ) (5.5) Im zweiten Schritt können wir auf den Störterm H fs die nicht-entartete Störungstheorie anwenden: S L = S x L x + S y L y + S z L z = m l m s (5.6) (ii) Energieverschiebung durch kleineren Störterm Die Erwartungswerte S x, S y, L x, L y verschwinden in Eigenzuständen von L z, S z. Fügt man die relativistische Korrektur hinzu, so erhält man insgesamt für die Energieverschiebung in Schritt (ii) E () fs [ 3, 6eV 3 = n 3 α 4n ( )] l(l + ) ml m s l(l + /)(l + ) (5.7) T: Quantenmechanik 60 LMU München

170 Kapitel 6 Zeitabhängige Störungstheorie Zeitabhängiges Störproblem Mit der zeitabhängigen Störungstheorie kann man Probleme untersuchen, die durch einen zeitabhängigen Hamiltonoperator beschrieben werden, der die Form H(t) = H (0) + W(t) (6.) annimmt, also einen zeitabhängigen Störterm W(t) besitzt. Wie wir mit solchen Problemstellungen umgehen sollten, können wir am einfachsten herleiten, indem wir uns das sog. Wechselwirkungsbild der Quantenmechanik zunutze machen. 6. Wechselwirkungsbild 6. Zeitabhängige Störungstheorie. Ordnung 6.3 Übergangswahrscheinlichkeit 6. Wechselwirkungsbild Neben dem Schrödinger- und Heisenbergbild gibt es ein weiteres Bild, das Wechselwirkungsbild der Quantenmechanik (auch Dirac-Bild genannt). Anwendung findet diese Darstellung vor allem in Systemen, in denen der Hamiltonoperator die Form aus Gl. (6.) annimmt. Der gesamte Hamiltonoperator wirkt dabei auf die zeitliche Entwicklung von Observablen und Zuständen: Die Zeitentwicklung, die H (0) verursacht, wird der zeitlichen Abhängigkeit der Operatoren zugeschrieben, während die von W verursachte Zeitabhängigkeit in die Entwicklung des Zustandes eingeht. Definition 6.. Aufspaltung der Wir definieren den Zeitentwicklungsoperator für Zustände im Wechselwirkungs- Zeitentwicklung bild U I (t, t 0 ) über die Aufspaltung des gesamten Zeitentwicklungsoperators U(t, t 0 ): U(t, t 0 ) = U (0) (t, t 0 )U I (t, t 0 ) (6.) mit U (0) (t, t 0 ) = e ih(0) (t t 0)/. 6

171 6 Zeitabhängige Störungstheorie Für den Operator U I (t, t 0 ) können wir mit der Schrödinger-Gleichung für den Zeitentwicklungsoperator eine Operatorgleichung entwickeln: i t U(t, t0) = H(0) U(t, t 0) + U (0) (t,t 0)i UI(t, t0) t (6.3)! = HU(t,t 0) = H (0) U(t, t 0) + W(t)U(t,t 0) (6.4) Bewegungsgleichung für U I (t, t 0 ) Satz 6. (Dynamik von U I (t, t 0 )) U I (t, t 0 ) erfüllt die Gleichung i t U I(t, t 0 ) = W I (t, t 0 )U I (t, t 0 ) (6.5) mit W I (t, t 0 ) := [U (0) (t, t 0 )] W(t)U (0) (t, t 0 ). Observablen im Wechselwirkungsbild Definition 6. (Operatoren im Wechselwirkungsbild). Eine Observable O s (t) aus dem Schrödinger-Bild (mit womöglicher expliziter Zeitabhängigkeit) wird im Wechselwirkungsbild zu einem zeitabhängigen Operator O I (t, t 0 ), wobei seine neue zeitliche Abhängigkeit nur durch den Hamiltonoperator H (0) bestimmt wird: O I (t, t 0 ) := [U (0) (t, t 0 )] O s (t)u (0) (t, t 0 ) = e ih(0) (t t 0)/ O s (t)e ih(0) (t t 0)/ (6.6) Wie die Zeitabhängigkeit der Zustände zustande kommt wird klar, wenn wir den zeitabhängigen Erwartungswert einer Observablen aus dem Blickwinkel des Wechselwirkungsbildes betrachten: O (t) = ψ 0 U (t, t 0 )O s (t)u(t, t 0 ) ψ 0 = ψ(t 0 ) U I (t, t 0)O I (t, t 0 )U I (t, t 0 ) ψ(t 0 ) = ψ I (t) O I (t, t 0 ) ψ I (t) Zustände im Wechselwirkungsbild mit ψ I (t)! = U I (t, t 0 ) ψ(t 0 ) (6.7) Satz 6. (Zustände im Wechselwirkungsbild) Mithilfe von Gl. (6.5) sieht man, dass ψ I (t) die Differentialgleichung erfüllt. i t ψ I(t) = W I (t, t 0 ) ψ I (t) (6.8) T: Quantenmechanik 6 LMU München

172 6 Zeitabhängige Störungstheorie Bemerkung 6. (Integralgleichung) Die zu Gl. (6.5) äquivalente Integralgleichung lautet U I(t, t 0) = i Z t t 0 W I(τ, t 0)U I(τ, t 0)dτ (6.9) 6. Zeitabh. Störungstheorie. Ordnung Für kleine Störungen W können wir ausgehend von Gl. (6.9) eine iterative Lösung für den Zeitentwicklungsoperator U I (t, t 0 ) entwickeln: U I (t, t 0 ) = i = i t t 0 dτ W I (τ, t 0 ) t t t 0 dτ W I (τ, t 0 ) t 0 dτ W I (τ, t 0 ) ( i τ ) dτ W I (τ, t 0 )U I (τ, t 0 ) t 0 τ t 0 dτ W I (τ, t 0 ) + O(W 3 I ) (6.0) Zeitentwicklungsoperator in zeitabhängiger Störungstheorie. Ordnung Zeitabhängige Störungstheorie. Ordnung: In zeitabhängiger Störungstheorie erster Ordnung ist der Zeitentwicklungsoperator U I (t, t 0 ) gegeben durch U I (t, t 0 ) = i t t 0 dτ W I (τ, t 0 ) (6.) 6.3 Übergangswahrscheinlichkeit Fragestellung Übergangswahrscheinlichkeit Für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren bleiben Eigenzustände in der Zeitentwicklung unverändert (stationäre Zustände). Zeitabhängige Störungen verursachen allerdings Übergänge zwischen verschiedenen Eigenzuständen. Solche Übergänge bezeichnet man auch als Quantensprünge. Dies ist der wesentliche neue Effekt zeitabhängiger Störterme. Das System sei nun zur Zeit t = 0 im Eigenzustand i des Hamiltonoperators H (0). Wir schalten dann eine zeitabhängige Störung an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man das System zur Zeit t im Eigenzustand f von H (0) (o.b.d.a. können wir von i f = 0 ausgehen)? p i f (t) = f i(t) = f U(t) i = f U I (t) i T: Quantenmechanik 63 LMU München

173 6 Zeitabhängige Störungstheorie = t dτ f e ih(0) τ/ W(τ)e ih(0) τ/ i 0 = t dτ e iωfiτ W fi (τ) 0 (6.) mit folgenden Definitionen für ω fi und W fi : Def.: Übergangsfrequenz, Übergangsmatrix Definition 6.3 (Übergangsfrequenz und Übergangsmatrixelement). Wir definieren die Übergangsfrequenz ω fi zu ω fi = E(0) f E (0) i (6.3) und das Übergangsmatrixelement W fi (τ) = f W(τ) i (6.4) 6.3. Spezialfall: Periodische Störungen Periodische Störung Sei nun speziell W(t) = W cos(ωt) (6.5) damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit p i f (t): p i f (t) = W fi t = W fi 4 0 dτ e iω fiτ eiωτ + e iωτ e i(ω fi+ω)t ω fi + ω + ei(ω fi ω)t ω fi ω (6.6) Im Folgenden wollen wir nur den Fall betrachten, dass die externe Frequenz in der Nähe der Übergangsfrequenz ist, das heißt ω fi + ω >> ω fi ω (6.7) T: Quantenmechanik 64 LMU München

174 6 Zeitabhängige Störungstheorie p i f (t) ω fi h (ω fi ω) π ω fi ω 4π ω fi ω 6π ω fi ω t Abbildung 6.: Periodische Übergangswahrscheinlichkeit bei periodischen Störungen Dann erhalten wir p i f (t) = W fi 4 e i(ωfi ω)t (ω fi ω) = W fi sin ((ω fi ω)t/) (ω fi ω) (6.8) Bemerkung 6. (Beobachtungen) (i) Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind nur zu bestimmten Zeiten maximal (Rabi- Oszillationen). (ii) Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind in der Nähe der Resonanz (d.h. bei ω ω fi ) am größten. W (iii) Die hier behandelte Störungstheorie. Ordnung bricht zusammen, wenn fi (ω fi ω) nicht mehr klein ist (insbesondere wenn das Maximum der Wahrscheinlichkeit größer wird). 6.4 Emission und Absorption von Strahlen 6.4. Elektromagnetische Wellen Bei der Wechselwirkung von elektromagnetischen Strahlen und Atomen, erfahren Elektronen ein zeitabhängiges elektrisches Feld E(t). Hier wollen wir speziell eine linear polarisierte monochromatische elektromagnetische Welle betrachten, die am Ort eines Elektrons das E-Feld E(t) = E 0 cos(ωt)e z (6.9) bewirkt. Dies können wir mittels zeitabhängiger Störungstheorie behandeln, indem wir den entsprechenden Störterm W(t) = q z E 0 cos(ωt) (6.0) T: Quantenmechanik 65 LMU München

175 6 Zeitabhängige Störungstheorie b b hf hf a b a hf a hf hf Abbildung 6.: Absorption, stimulierte Emission und spontane Emission von Photonen. Übergangswahrscheinlichkeit einführen. Die Wahrscheinlichkeit, um von einem niedrigeren Zustand ψ a in einen höheren Zustand ψ b überzugehen, ergibt sich aus (6.8) zu ( ) P E0 sin [(ω 0 ω)t/] p a b = (ω 0 ω) (6.) Def.: elektrisches Dipolmoment Absorption und Emission im Teilchenbild mit dem elektrischen Dipolmoment P = q ψ b z ψ a und der Übergangsfrequenz ω 0 = E b E a. Bemerkung 6.3 (Absorption und Emission) Bei einem solchen Übergang spricht man im Teilchenbild von der Absorption eines Photons (vgl. Abb. 6.). Der umgekehrte Prozess die stimulierte Emission besitzt dieselbe Übergangswahrscheinlichkeit p b a = p a b. Dabei wird durch ein einlaufendes Photon die Emission eines zusätzlichen Photons stimuliert. Allerdings gibt es einen zusätzlichen Übergang: Die spontane Emission. Dieser Prozess findet strenggenommen im Rahmen der Quantenmechanik keine Erklärung und erfordert die Quantisierung des Strahlungsfeldes (Quantenfeldtheorie) Auswahlregeln Für kugelsymmetrische Hamiltonoperatoren haben die Eigenfunktionen folgende Struktur: ψ(x) = R n,l (r)y m l (θ, φ) (6.) T: Quantenmechanik 66 LMU München

176 6 Zeitabhängige Störungstheorie n = 3 n = n = l = 0 l = l = Abbildung 6.3: Mögliche Übergänge im Wasserstoffspektrum. Damit lässt sich schreiben: P dω [ Y m b l b (θ, φ) ] Y 0 (θ, φ)y ma l a (θ, φ) (6.3) Auswahlregel 4π da z = r cosθ = 3 ry 0 (θ), wobei der Proportionalitätsfaktor in (6.3) noch das Integral über den Radialanteil der Wellenfunktion enthält. Aus der Theorie über die Addition von Drehimpulsen wissen wir, dass Y 0 (θ)y ma l a (θ, φ) in Kugelflächenfunktionen mit l = l a +, l a, l a zerlegt werden kann. Das Integral (6.3) ergibt aber nur für l b = l a ± und m b = m a einen von Null verschiedenen Wert. Damit erhalten wir Auswahlregel l = l b l a = ± (6.4) Das bedeutet: Es gibt keine einfachen Übergänge innerhalb zwischen Orbitalen mit gleicher Drehimpulsquantenzahl (vgl. Abb. 6.3). Betrachtet man weiterhin ein elektrisches Feld in beliebiger Richtung, findet man zusätzlich noch folgende Auswahlregel für die magnetische Quantenzahl m = m b m a =, 0, (6.5) Inkohärente Störungen Die Energiedichte einer monochromatischen elektromagnetischen Welle im Vakuum ist gegeben durch u = ε0 E 0. Damit können wir die Übergangswahrscheinlichkeit schreiben als p a b = u ε 0 P sin [(ω 0 ω)t/] (ω 0 ω) (6.6) T: Quantenmechanik 67 LMU München

177 6 Zeitabhängige Störungstheorie Rabi-Oszillationen sind in der Regel nicht beobachtbar, weil Licht normalerweise nicht streng monochromatisch ist. Das heißt, die Energiedichte geht über in u ρ(ω)dω (6.7) Übergangswahrscheinlichkeit für polychromatische Wellen Übergangsrate Nehmen wir zusätzlich an, dass sich ρ(ω) bei Variation von ω im Vergleich zum restlichen Integrand wenig ändert, dann erhalten wir für die Übergangswahrscheinlichkeit p a b = ρ(ω 0) ε 0 P Die Übergangsrate w a b = ṗ a b ist also konstant: 0 dω sin [(ω 0 ω)t/] (ω 0 ω) = πρ(ω 0) ε 0 P t (6.8) w a b = πρ(ω 0) ε 0 P (6.9) 6.5 Fermis Goldene Regel Wir interessieren uns im Folgenden für den Übergang zwischen einem diskreten Niveau ψ i und einem Zustand E f aus dem kontinuierlichen Spektrum Konstante Störung Zunächst schalten wir zur Zeit t = 0 eine konstante Störung W ein (d.h. ω = 0): p i [f] W fi 4 sin (ω fi t/) ωfi ρ(e f )de f Dabei ist mit [f] die Menge aller Zustände im Energieintervall [E f E/, E f + E/] gemeint und ρ(e) ist die zugehörige Zustandsdichte. Im Grenzübergang für sehr lange Zeiten (t ) können wir schreiben p i [f] = Ef + E/ E f E/ W fi ( E ) f E i πt δ ρ(e π f)de f = π t W fi ρ(e f ) (Für E f E i ist p i [f] = 0) (6.30) Fermis Goldene Regel und für die Übergangsrate in einen Zustand gleicher Energie im Kontinuum ergibt sich damit w i f = π W fi ρ(e f ) (6.3) Das Integral R E f + E/ ρ(e)de gibt damit die Anzahl der Eigenzustände in diesem Intervall E f E/ an. T: Quantenmechanik 68 LMU München

178 6 Zeitabhängige Störungstheorie 6.5. Periodische Störung Für eine periodische Störung W(t) = W cos(ωt) ist w i f = π W fi ρ(e f ) mit E f = E i ± ω (6.3) T: Quantenmechanik 69 LMU München

179 Kapitel 7 Variationsrechnung Wollen wir die Grundzustandsenergie E g eines Systems berechnen, das durch den Hamiltonoperators H beschrieben wird, können aber die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung nicht analytisch lösen, so ist folgende Abschätzung oft hilfreich: Grundidee der Variationsrechnung Satz 7. (Obere Schranke der Grundzustandsenergie) Für alle normierten Zustandsvektoren ψ H gilt ψ H ψ E g (7.) Beweis: Wir können jeden Zustand ψ H in die Eigenzustände φ n von H zerlegen: ψ = X n c n φ n Damit ist ψ H ψ = X E mc n cm φn φm = X n,m n X c n E n E g c n = E g n Beispiel 7. (Grundzustandsenergie des Heliumatoms) Der Hamiltonoperator des Heliumatoms ist nach (.) gegeben durch ( H = m ( + ) + e + ) 4πε 0 r r r r = H (0) + H (0) + V ee Die separierten Hamiltonoperatoren H (0) und H (0) sind Hamiltonoperatoren eines Problems analog zum Wasserstoffatom mit Kernladungszahl Z =. Wie 70

180 7 Variationsrechnung Experimenteller Wert in Abschnitt (.) bereits erwähnt, ist die Schrödinger-Gleichung aufgrund er Elektron-Elektron-Wechselwirkung nicht analytisch geschlossen lösbar. Wir suchen nun eine geeignete Variationswellenfunktion, um mit der oberen Grenze für die Grundzustandsenergie möglichst nahe an den experimentell gemessenen Wert von E He gs ev (7.) heranzukommen.. Versuch: Variation mit bekannter Wellenfunktion. Versuch: Für den Hamiltonoperator H (0) + H (0) kennen wir die Grundzustandswellenfunktion bereits. Die beiden ununterscheidbaren Fermionen müssen eine antisymmetrische Gesamtwellenfunktion besitzen, die aus der Spin- und Ortswellenfunktion besteht. Die Ortswellenfunktion im Grundzustand ψ g muss um normierbar zu bleiben symmetrisch sein: ψ g (r, r ) = ψ 00 (r )ψ 00 (r ) (6.3) = 8 πa 3 0 e (r+r)/a (7.3) mit Bohrschem Radius a 0 und Kernladungszahl Z =. Wenden wir nun diese Variationswellenfunktion an: ψ g H ψ g = ψ g H (0) + H (0) + V ee ψ g = 8E + ψ V ee ψ (7.4) Obere Grenze im. Versuch Dabei wurde verwendet: H (0) i ψ 00 (r i ) = Z E = 4E (i =, ) mit der Grundzustandsenergie E des Wasserstoffatoms. Die Berechnung des Erwartungswerts ψ g V ee ψ g = 5 E ist sehr mühsam, weshalb wir die Lösung ohne Rechnung angeben. Insgesamt erhalten wir als obere Grenze E gs E 75 ev (7.5) Diese Abschätzung ist zwar nicht weit vom richtigen Wert entfernt, doch wollen wir uns noch nicht damit zufrieden geben.. Versuch: Variation mit Parameter Z eff. Versuch: Oft kann man mit ein wenig physikalischer Intuition einen Ansatz für eine Variationswellenfunktion machen, die dem wirklichen Grundzustand sehr nahe kommt. Im vorliegenden Problem bewirkt die zusätzliche Elektron-Elektron- Wechselwirkung eine teilweise Abschirmung der Kernladung Z für eines der Gl.(7.4) kann auch als Anwendung der Störungstheorie erster Ordnung für die Energieverschiebung im Grundzustand mit Störterm V ee interpretiert werden. Eine Rechnung ist z.b. in Introduction to Quantum Mechanics von David J. Griffiths ab Seite 6 zu finden. T: Quantenmechanik 7 LMU München

181 7 Variationsrechnung Variationswellenfunktion mit Parameter Berechnung mithilfe eines analytischen Tricks Elektronen. Deshalb wählen wir eine wasserstoffartige Wellenfunktion mit einer zunächst beliebigen Kernladungszahl Z eff als Variationsparameter. Die symmetrische Ortswellenfunktion der beiden Elektronen im Grundzustand ist für beliebige Kernladungszahlen gegeben durch ψ Z eff 0 (r, r ) = Z3 eff πa 3 e Z eff(r +r )/a 0 (7.6) In der Praxis würde man nun eine numerische Berechnung des Erwartungswerts H durchführen. Im vorliegenden Fall kann allerdings eine analytische Methode angewandt werden was normalerweise eher selten der Fall ist. Zunächst zerlegen wir den Hamiltonoperator des Heliumatoms (.) in zwei Terme (eine Art Teleskopsumme): H = ( m + e ) ( Zeff + Z ) eff (=: H Zeff ) 4πε 0 r r + e 4πε 0 ( Zeff r + Z eff r + r r ) Für die Berechnung von ψ Z eff 0 H ψ Z eff 0 benötigen wir folgende Ausdrücke 3 H Zeff ψ Z eff 0 (r, r ) = Z eff E ψ Z eff 0 (r, r ) ψ Z eff 0 r ψz eff 0 =... = Z eff a 0 ψ Z eff 0 V ee ψ Z eff 0 =... = 5 4 Z effe Damit ergibt sich ( ψ Z eff 0 H ψ Z eff 0 = Zeff 4Z eff(z eff ) 5 ) Z eff E (7.7) }{{} =:f(z eff ) Wir suchen eine möglichst kleine obere Schranke, also wählen wir Z eff so, dass dieser Erwartungswert minimal wird: Obere Grenze im. Versuch f (Z eff ) = 4Z eff + 7 4! = 0 Z eff = Als Ergebnis der Abschätzung erhalten wir also E gs f(z eff = 7/6)E 77.5 ev, (7.8) womit wir schon näher an das experimentelle Ergebnis herangekommen sind. 3 Die letzten beiden Rechnungen werden nicht ausgeführt. Das Ergebnis übernehmen wir aus der Literatur. T: Quantenmechanik 7 LMU München

182 Teil VI Streutheorie 73

183 Kapitel 8 Grundlagen Klassische Streutheorie In Abb. (8.) ist skizziert, wie die klassische Streutheorie den Fall axialsymmetrischer Potentiale behandelt. Man sucht dabei den Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter b und Ablenkwinkel θ. Wichtige Größen sind dabei der differentielle Streuquerschnitt dσ dω und der totale Streuquerschnitt dσ σ = dω dω Quantenmechanisches Streuproblem Letzterer gibt die Fläche des einfallenden Strahls an, die gestreut wird. Einen Einblick darüber, wie man in der Quantenmechanik mit Streuproblemen umgeht, haben wir bereits in Kapitel kennengelernt. Die Streulösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein Deltapotential in einer Dimension ist gegeben durch φ + k (x) = { e ikx + r(k)e ikx für x < 0 t(k)e ikx für x < 0 Dreidimensionales Streuproblem für große Abstände vom Streuzentrum Die Superposition dieser Lösungen erlaubt die Beschreibung eines von links einlaufenden Teilchens. Im Folgenden suchen wir Eigenzustände im kontinuierlichen Spektrum von dreidimensionalen Systemen. Dazu betrachten wir eine von links einlaufende ebene Welle e ikz (vgl. Abb. 8.). Für große Abstände vom Streuzentrum können wir mit der Wellenfunktion ψ(r, θ) = e ikz + f(θ) eikr r (8.) 74

184 8 Grundlagen Abbildung 8.: Klassische Streutheorie ansetzen. Dies ist eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators für große Abstände r, wie wir sehen, wenn wir sie in die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung einsetzen: Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten ist gegeben durch = ( r r ) + r r r sin θ ( sinθ ) + θ θ Angewandt auf die obige Wellenfunktion erhalten wir m ψ(r, θ) = k m eikz m r = k m r sin θ φ [f(θ) k r eikr + O ) (e ikz + f(θ) eikr r ( )] r 3 (8.) Streuwellenfunktion und Eigenenergie Also ist für große r ψ(r, θ) = e ikz + f(θ) eikr r (8.3) eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators des dreidimensionalen Streuproblems mit Eigenenergie E k = k m (8.4) T: Quantenmechanik 75 LMU München

185 8 Grundlagen ebene Welle Kugelwelle θ e ikr e ikx Abbildung 8.: Dreidimensionales quantenmechanisches Streuproblem Bemerkung 8. (i) f(θ) wird als Streuamplitude bezeichnet, wobei f(θ) den differentiellen Streuquerschnitt dσ dω angibt. (ii) Wegen des Faktors /r bleibt die Gesamtwahrscheinlichkeit auch nach der Streuung erhalten. (iii) Man kann eine Abbildung von den einfallenden Zuständen ψ in auf die ausfallenden Zustände ψ out einführen: S : ψ in ψ out := S ψ in (8.5) Diese sog. S-Matrix ist linear und unitär (Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit). T: Quantenmechanik 76 LMU München

186 Kapitel 9 Bornsche Näherung Integralform der Schrödinger- Gleichung 9. Integralform der zeitunabh. Schrödinger- Gleichung Satz 9. (Integralform der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung) Die Integralgleichung ψ(r) = ψ 0 (r) m π dr e ik r r r r V (r )ψ(r ) (9.) 9. Integralform der zeitunabh. Schrödinger- Gleichung 9. Erste Bornsche Näherung mit k = me/ ist äquivalent zur zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung. ψ 0 (r) ist dabei eine beliebige Lösung der freien Schrödinger-Gleichung m ψ 0 = Eψ 0 Beweis: Folgender Ausdruck soll verschwinden (H E)ψ(r) = «m + V E ψ(r) = V (r)ψ 0 (r) m ( + k ) V (r) m π Z «Z m π dr e ik r r r r V (r )ψ(r ) dr e ik r r r r V (r )ψ(r ) (9.) Hierfür stellen wir zunächst fest, dass gilt: ( + k ) eikr 4πr = δ(r) (9.3) 77

187 9 Bornsche Näherung Beweis: Für r 0 ist die Gleichung erfüllt. Um dies auch für r = 0 zu zeigen, integrieren wir über eine kleine Kugel K mit Radius R am Ursprung: Z K d 3 r ( + k ) eikr 4πr = k Z = 4π d 3 r eikr K 4πr {z } 0,R 0 I ds K r Z e ikr {z } d 3 r K 4πr Da die Projektion von ds auf die Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten nur in Richtung e r einen Wert ungleich 0 ergibt, erhalten wir I ds 4π K r Somit hat ( + k ) eikr 4πr δ(r). = I ds e r 4π K r r Z = 4πR ds e r (9.4) K Z = 4πR R sinθdθdφ = K die selben Eigenschaften wie die Delta-Distribution Mithilfe dieses Ergebnisses erhalten wir für Gl. (9.): Z (H E)ψ(r) = V (r)ψ 0 (r) dr δ(r r )V (r )ψ(r ) V (r) m Z π dr e ik r r r r V (r )ψ(r ) " = V (r) ψ 0 (r) m Z # π dr e ik r r r r V (r )ψ(r ) ψ(r) = 0 Anwendung auf das Streuproblem Anwendung der Integralform: Streuproblem Wenden wir uns nun dem Streuproblem (Kap. 8) zu. Dazu sei die einlaufende Wellenfunktion gegeben durch ψ 0 (r) = e ikz. Wir suchen nun das Verhalten von ψ(r) für große Abstände vom Streuzentrum r. Da V (r ) immer nur in der Nähe des Steuzentrum r = 0 nicht vernachlässigbare Werte annimmt, können wir r r um r entwickeln: ( r r r + r r r r r ) r r r r r e r r (9.5) Wir wählen k := ke r, d.h. k zeigt in Streurichtung. Für große Abstände r r T: Quantenmechanik 78 LMU München

188 9 Bornsche Näherung vom Streuzentrum gilt dann e ik r r r r eikr r e ik r (9.6) Streulösung Die Wellenfunktion ψ(r) ist dann gegeben durch ψ(r) = e ikz + eikr r m π dr e ik r V (r )ψ(r ) }{{} =f(θ,φ) (Streuamplitude) (9.7) 9. Erste Bornsche Näherung Erste Bornsche Näherung In der ersten Bornschen Näherung interessiert man sich für schwache Potentiale V im Vergleich zur Energie E. Das heißt die Wellenfunktion eines einlaufenden Teilchens wird durch das Potential nicht stark verändert und wir ersetzen ψ(r ) im Integranden (9.7) durch e ikz (d.h. effektiv vernachlässigen wir Terme in Ordnung V ). Die Streuamplitude nimmt dann folgende Form an: f(θ, φ) = m π dr e i(k k)r V (r ) (9.8) mit k = ke r (Streurichtung) und k := ke z (Richtung des einlaufenden Strahls). Durch k k =: κ, also κ = k sin(θ/) (θ: von k und k eingeschlossener Winkel) ist der Impulsübertrag durch die Streuung gegeben. Die Streuamplitude kann also als Fouriertransformierte des Potentials beim Impulsübetrag κ interpretiert werden. 9.. Langwellige Streuung Spezialfall: geringe Energien Bei großen Wellenlängen, also kleinen Energien E, variiert e i(k k)r wenig in der Nähe des Streuzentrums: f(θ, φ) = m π V (r )dr (9.9) Die Streuung ist also richtungsunabhängig (sogenannte s-wellen-streuung). 9.. Sphärisch symmetrisches Potential Spezialfall: kugelsymmetrisches Potential Ist V (r) = V (r), so können wir die Koordinatenachsen für das Integral über r T: Quantenmechanik 79 LMU München

189 9 Bornsche Näherung so wählen, dass κ r = κr cos(θ ). Damit ist f(θ) = m π = m 0 0 π dr r dθ sinθ e iκr cos θ V (r ) dr r sin(κr ) κr V (r ) 0 π 0 dφ Die erste Bornsche Näherung führt also im Falle von kugelsymmetrischen Potentialen zum Ausdruck für die Streuamplitude f(θ) = m κ 0 r V (r )sin(κr )dr (9.0) Insbesondere ist die Streuamplitude unabhängig von φ Rutherford-Streuung Wir wollen nun konkret die Streuamplitude und den Streuquerschnitt im Coulomb- Potential bestimmen. Dazu benutzen wir zunächst das Yukawa-Potential Rutherford- Streuung V (r) = β e µr, (9.) r welches für µ = 0, β = qq 4πε 0 in das Coulomb-Potential übergeht. f(θ) = mβ κ 0 dr e µr sin(κr) = mβ κ κ µ + κ (9.) Damit erhalten wir im Coulomb-Potential für die Streuamplitude f(θ) = mq q 4πε 0 κ (9.3) und für den differenziellen Streuquerschnitt [ ] dσ dω = q q 6πε 0 E sin (9.4) (θ/) Wir erhalten damit bemerkenswerterweise dasselbe Ergebnis wie in der klassischen Streutheorie. Partialwellenzerlegung Bemerkung 9. (Partialwellenzerlegung) Die Streuamplitude kann in Legendre-Polynome zerlegt werden: f(θ) = X (l + )a l P l (cos θ) (9.5) l=0 T: Quantenmechanik 80 LMU München

190 9 Bornsche Näherung mit der sogenannten Partialwellenamplitude a l. Der differenzielle Streuquerschnitt nimmt dann die Form an dσ dω = f(θ) = X l,l (l + )(l + )a l a lp l (cos θ)p l (cos θ) (9.6) Damit erhält man den totalen Wirkungsquerschnitt zu Z σ = dω dσ dω = X (l + )4πδ l,l a l a l = 4π X (l + ) a l (9.7) l=0 T: Quantenmechanik 8 LMU München

191 Teil VII Anhang 8

192 Anhang A Übungsaufgaben 83

193 A Übungsaufgaben A. Blatt 0: Präsenzübung A.. Aufgabe A: Dirac Notation Wir betrachten einen dreidimensionalen komplexen Vektorraum, der von der Orthonormalbasis,, 3 aufgespannt wird. Wir definieren zwei Kets α = i 4 i 3, β = i Geben Sie α und β an.. Berechnen Sie α α, α β und β α. Verifizieren Sie β α = α β. 3. Geben Sie die Matrixelemente des Operators A = α β in der obigen Basis an. Ist die zugehörige Matrix hermitesch? A.. Aufgabe B: Operatoreigenschaften. Zeigen Sie, dass die Summe zweier hermitescher Operatoren wieder hermitesch ist.. Der Operator A ist hermitesch und α eine komplexe Zahl. Wann ist α A hermitesch? 3. Zeigen Sie, dass für beliebige Operatoren A, B Folgendes gilt: (AB) = B A. 4. Wann ist das Produkt zweier hermitescher Operatoren wieder hermitesch? 5. Zeigen Sie, dass für beliebige Operatoren A, B, C Folgendes gilt: [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 (Jacobi-Identität) 6. Zeigen Sie, dass allgemein Tr(AB) = Tr(BA) gilt und folgern Sie daraus, dass die Spur basisunabhängig ist. 7. P und P seien zwei Projektoren auf Unterräume H und H des Hilbertraums H. Zeigen Sie, dass P P genau dann ein Projektor ist, wenn [P, P ] = 0 gilt. Zeigen Sie, dass P P dann auf die Schnittmenge H H projeziert. 8. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte λ eines unitären Operators betragsmässig gleich sind, λ =. T: Quantenmechanik 84 LMU München

194 A Übungsaufgaben A..3 Aufgabe C: Exponentialfunktion von Operatoren Wir betrachten die hermitesche Matrix H = i 0 i Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von H.. Unter Verwendung dieser Ergebnisse berechnen Sie nun explizit e iht, wobei t eine reelle Zahl ist. T: Quantenmechanik 85 LMU München

195 A Übungsaufgaben A. Blatt A.. Aufgabe : Pauli-Matrizen Wir betrachten die drei Pauli-Matrizen ( ) ( 0 0 i σ x =, σ 0 y = i 0 ), σ z = ( 0 0 ),. Zeigen Sie, dass die Pauli-Matrizen hermitesch sind und geben Sie die Spur und die Eigenwerte an. Zeigen Sie, dass σi = I gilt, wobei I die x Einheitsmatrix ist.. Zeigen Sie, dass sich jede x Matrix M in der Form M = m 0 I + m i σ i i=x,y,z ausdrücken lässt. Wie kann man die Koeffizienten m i direkt bestimmen? A.. Aufgabe : Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung Sei ( ɛ g H = g ɛ ) mit reellen Konstanten ɛ, g. Lösen Sie die folgende Gleichung (die sog. zeitabhängige Schrödinger-Gleichung, beispielsweise zur Beschreibung von Neutrino-Oszillationen): i d ψ(t) = H ψ(t) dt mit ψ(t) = a(t) + b(t), wobei ( ) ( ) 0 =, = 0. Dabei sei die Anfangsbedingung ψ(0) =. Geben Sie ψ(t) explizit an und zeigen Sie damit auch, dass die Norm von ψ(t) erhalten bleibt. Hinweis: Analog zur Aufgabe C der Präsenzübung sollten Sie zunächst die Eigenwerte und Eigenvektoren von H bestimmen. T: Quantenmechanik 86 LMU München

196 A Übungsaufgaben A..3 Aufgabe 3: Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel Einen historisch wichtigen Schritt in der Entwicklung der Quantenmechanik stellt die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel dar, die es für einfache Atome erlaubt, die diskreten Spektrallinien zu erklären. Diese Regel ist anwendbar für klassische periodische Systeme mit f Freiheitsgraden, d.h. jeder konjugierte Impuls p i, i =,...,f, macht eine periodische Bewegung mit einer Frequenz ω i. Weiterhin muss sich jeder Impuls ausschliesslich als Funktion der zugehörigen Koordinate und der anderen Impulse schreiben lassen: p i = p i (q i ; p, p i, p i+, p f ). Dann besagt die Quantisierungsregel: C p i dq i = h n i, (A.) wobei die Integration über eine volle Periode C geht und n i eine positive ganze Zahl oder Null ist. h ist das Plancksche Wirkungsquantum.. Wenden Sie die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel auf den eindimensionalen harmonischen Oszillator an. Welche Energien als Funktion von n x sind erlaubt?. Wenden Sie die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel auf das Wasserstoffatom (Kepler-Problem) an. Dabei können Sie Ergebnisse aus der Klassischen Mechanik zitieren und die Bewegung des Elektrons von vorneherein auf eine Ebene einschränken. Welche Energien als Funktion von n r und n φ sind erlaubt? Drücken Sie diese Energien auch in ev aus. Hinweis: Folgende Integrale sind nützlich: r+ r a a a x = πa a r + r dr = π ( a) mit r ± = ± 4a fuer 0 a / Bemerkung: Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel erklärt zwar das Wasserstoffspektrum korrekt, aber beispielsweise nicht die Grundzustandsenergie des harmonischen Oszillators. Weiterhin ist die Quantisierungsregel (A.) so nur anwendbar auf integrable Systeme, d.h. z.b. nicht für das Heliumatom. Wir werden später in der Vorlesung sehen, dass die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel in ihrem eingeschränkten Anwendungsbereich konsistent mit der modernen Formulierung der Quantenmechanik ist. T: Quantenmechanik 87 LMU München

197 A Übungsaufgaben A..4 Aufgabe 4: Dreidimensionaler Zustandsraum Wir betrachten einen dreidimensionalen Hilbertraum mit der Orthonormalbasis u, u, u 3. Betrachten Sie lineare Operatoren L z und S, die folgendermassen definiert sind: L z u = u, L z u = 0, L z u 3 = u 3 S u = u 3, S u = u, S u 3 = u.. Geben Sie in der obigen Basis die Matrizen an, welche die Operatoren L z, L z, S, S repräsentieren. Sind diese Operatoren hermitesch?. Geben Sie die allgemeinste hermitesche Matrix an, welche mit L z kommutiert. Analog für L z und S. 3. Bilden L z und S einen vollständigen Satz von kommutierenden hermiteschen Operatoren? Geben Sie die gemeinsame Eigenbasis an. Analog für das Paar L z und S. T: Quantenmechanik 88 LMU München

198 A Übungsaufgaben A.3 Blatt A.3. Aufgabe 5: Messungen ( ) Wir betrachten den zweidimensionalen Hilbertraum mit der Basis + =, ( ) 0 0 = und dem üblichen Skalarprodukt (siehe Vorlesung). Die Pauli- Matrizen aus Aufgabe sind hermitesch und damit Observable ( in diesem ) Hilbertraum. Das Quantensystem sei in dem Zustand ψ = + +, bevor wir nun eine Reihe von Messungen durchführen.. In einer ersten Messung messen wir σ z. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man welchen Messwert? Was ist der Erwartungswert der Messung?. Die erste Messung hat nun konkret den Messwert + geliefert. Wir messen danach in einer zweiten Messung die Observable A = σ x + σ y + σ z. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man welchen Messwert? Was ist der Erwartungswert der Messung? 3. Die erste Messung (σ z ) habe nun den Messwert + geliefert und die zweite Messung (von A) den Messwert 3. Wir messen jetzt in einer dritten Messung wieder σ z. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man welchen Messwert? Was ist der Erwartungswert der Messung? 4. Wir messen jetzt in einer vierten Messung nochmals σ z. Was können Sie über das Messergebnis sagen, wenn Sie das Messergebnis der dritten Messung kennen? In welchem Zustand ist dann jeweils das Quantensystem nach der vierten Messung? A.3. Aufgabe 6: Unschärferelation Als Varianz der Messung einer Observablen A bezeichnet man den Erwartungswert von ( A) def = ( A A ), wobei A den Erwartungswert von A bezeichnet (d.h. ausführlicher: A def = ψ A ψ, wenn sich das Quantensystem in dem Zustand ψ befindet).. Zeigen Sie zunächst folgende Beziehung: ( A) = A A Wie gross ist die Varianz, wenn sich das Quantensystem in einem Eigenzustand der Observable A befindet? T: Quantenmechanik 89 LMU München

199 A Übungsaufgaben. Beweisen Sie nun die folgende fundamentale Beziehung, die man als verallgemeinerte Unschärferelation bezeichnet: ( A) ( B) 4 [A, B] A und B sind hier beliebige Observable und die Ungleichung gilt für jeden beliebigen Quantenzustand. Zum Beweis zeigen Sie zunächst die sogenannte Schwarzsche Ungleichung α α β β α β, wobei α, β beliebige Vektoren des Hilbertraums sind (Tip: Analog zur Vorlesung können Sie von α + λβ 0 für beliebige komplexe Zahlen λ ausgehen, um die Schwarzsche Ungleichung zu beweisen.) Verwenden Sie dann die Schwarzsche Ungleichung mit α def = (A A ) ψ, β def = (B B ) ψ, wenn sich das Quantensystem in dem Zustand ψ befindet. 3. Wir wählen nun A = σ x und B = σ y mit den Pauli-Matrizen und dem Hilbertraum aus Aufgabe 5. Was besagt die Unschärferelation dann explizit? Konstruieren Sie explizit die Zustände, für die das Produkt der Unschärfen ( A) ( B) maximal bzw. minimal wird. A.3.3 Aufgabe 7: Exponentialfunktion von Operatoren Das Rechnen mit Exponentialfunktionen von Operatoren spielt in der Quantenmechanik eine grosse Rolle. Zeigen Sie folgende Aussagen:. Für kommutierende Operatoren (d.h. [A, B] = 0) gilt e A e B = e B e A = e A+B.. Für die Exponentialfunktion der Pauli-Matrix σ x gilt e iασx = I cosα + iσ x sinα, wobei α eine beliebige reelle Zahl ist. 3. Zeigen Sie eine ähnliche Aussage für die Exponentialfunktion e iασy. 4. Verallgemeinern Sie für Ω = λσ x + µσ y mit λ + µ =, λ, µ R: Was ist e iαω? 5. Berechnen Sie explizit e iσx und (e iσx ). Sind diese beiden Matrizen identisch? Warum? Berechnen Sie nun explizit e i(σx+σy) und e iσx e iσy. Sind diese beiden Matrizen identisch? Warum ist die Antwort offensichtlich? T: Quantenmechanik 90 LMU München

200 A Übungsaufgaben A.4 Blatt 3 A.4. Aufgabe 8: Sequenz von Stern-Gerlach Experimenten Wir betrachten eine Sequenz von drei Stern-Gerlach Experimenten mit Silberatomen wie in der Vorlesung, wobei die Flugrichtung der Atome in y-richtung ist. Die erste Messung hat ein inhomogenes Magnetfeld in z-richtung und akzeptiert nur Atome mit Messergebnis σ z = + (Notation wie in der Vorlesung). Das Magnetfeld der zweiten Stern-Gerlach Apparatur ist in Richtung ˆn orientiert, wobei ˆn ein Einheitsvektor in der xz-ebene ist, der den Winkel β mit der z-achse bildet. Diese zweite Messung akzeptiert nur die Eigenwerte + des Operators ˆn σ = ˆn x σ x + ˆn z σ z. In der dritten Messung ist das Magnetfeld wieder in z-richtung orientiert und wir akzeptieren nur die Messergebnisse σ z =. Was ist die Intensität des Strahls nach der dritten Messung, wenn wir die Intensität nach der ersten Messung auf normieren? Wie muss das Magnetfeld in der zweiten Messung orientiert sein, damit diese Intensität maximiert wird? A.4. Aufgabe 9: Zeitentwicklung im dreidimensionalen Zustandsraum Wir betrachten ein physikalisches System mit einem dreidimensionalen Zustandsraum, der von den Vektoren u, u, u 3 aufgespannt wird. In dieser Basis hat der Hamiltonoperator folgende Form H = ω Zwei Observable A und B sind gegeben durch A = a , B = b ω, a, b sind positive reelle Konstante. Das System sei zur Zeit t = 0 in folgendem Zustand präpariert: ψ(t = 0) = u + u + u 3. Wir messen zur Zeit t = 0 die Energie des Systems. Welche Werte kann man mit welchen Wahrscheinlichkeiten finden? Berechnen Sie auch den Erwartungswert der Energie und die Varianz. T: Quantenmechanik 9 LMU München

201 A Übungsaufgaben. Anstatt der Messung der Energie messen wir jetzt den Operator A zur Zeit t = 0. Welche Messergebnisse kann man mit welchen Wahrscheinlichkeiten finden? Was ist der Zustand des Systems unmittelbar nach der Messung? 3. Wir führen nun keine Messungen durch sondern betrachten die Zeitentwicklung mit der Schrödinger-Gleichung: Geben Sie den Zustand ψ(t) zur Zeit t an. 4. Berechnen Sie die Erwartungswerte von A und B zur Zeit t. Beobachtungen? 5. Welche Messergebnisse mit welchen Wahrscheinlichkeiten findet man, wenn man die Observable A zur Zeit t misst? Analog für B. Interpretation. A.4.3 Aufgabe 0: Zwei-Zustandssystem Ein Teilchen befindet sich in einer Box, die durch eine dünne Trennwand geteilt wird. Wenn wir mit Sicherheit wissen, dass das Teilchen in der linken Hälfte ist, wird sein Zustand durch den Ket L beschrieben. Analog für die rechte Hälfte mit R. Der allgemeinste Quantenzustand ist eine lineare Superposition von L und R. Die Dynamik wird durch den Hamiltonoperator H = ( L R + R L ) beschrieben, wobei eine positive Energie ist.. Finden Sie die normierten Eigenzustände und Energie-Eigenwerte des Hamiltonoperators.. Lösen Sie die Schrödinger-Gleichung für einen beliebigen Anfangszustand ψ(t = 0) zur Zeit t = 0, d.h. geben Sie ψ(t) in der Basis L, R an. 3. Das Teilchen sei zur Zeit t = 0 mit Sicherheit in der linken Hälfte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man es dann zur Zeit t in der linken bzw. rechten Hälfte? Bemerkung: Der Hamiltonoperator beschreibt eine häufige physikalische Situation, in der ein Teilchen zwischen zwei Zuständen tunnelt. Ein Beispiel ist das H + -Ion, wobei sich das Elektron in nullter Näherung entweder beim linken oder rechten Kern aufhalten kann (inbesondere wird die weitere räumliche Struktur in dieser Näherung ausser Acht gelassen). Tatsächlich gibt es aber eine Kopplung der beiden Zustände durch einen Hamiltonoperator vom Typ wie oben. Die Oszillationen in 3. bezeichnet man als Rabi-Oszillationen, die sich im Absorbtionsund Emissionsspektrum bemerkbar machen. Viel mehr dazu später in der Vorlesung... T: Quantenmechanik 9 LMU München

202 A Übungsaufgaben A.4.4 Aufgabe : δ-funktion Die von Dirac eingeführte δ-funktion hat die Eigenschaft, eine Funktion f(x) auf einen bestimmten Funktionswert f(x 0 ) abzubilden. Mathematisch gesehen ist die δ-funktion eigentlich eine sog. Distribution, d.h. ein lineares Funktional auf einem geeigneten Raum von Funktionen. Verzichtet man auf mathematische Strenge, kann man die δ-funktion definieren durch f(x)δ(x x 0 )dx = f(x 0 ) für eine bei x 0 stetige Funktion f(x).. Die δ-funktion lässt sich durch geeignete Funktionenfolgen δ n (x) mit den Eigenschaften δ n (x)dx =, lim f(x)δ n (x)dx = f(0) n darstellen. Zeigen Sie diese Eigenschaften für die beiden Funktionenfolgen 0 x /n (A) δ n (x) = n /n < x < /n 0 x /n. Zeigen Sie δ(a(x x 0 )) = a δ(x x 0). 3. Zeigen Sie für f(x) mit f (x) stetig bei x = 0: f(x)δ (x)dx = f (0) 4. Zeigen Sie mit Hilfe der Funktionenfolgen, dass x lim δ n (x)dx = Θ(x), n und wobei Θ(x) die Heaviside-Sprungfunktion ist; es gilt also Θ (x) = δ(x). (B) δ n (x) = n π e n x T: Quantenmechanik 93 LMU München

203 A Übungsaufgaben A.5 Blatt 4 A.5. Aufgabe : Wellenfunktion Die Wellenfunktion eines Teilchens in einem eindimensionalen Problem sei ψ(r) = N eip0r/ a + r a, p 0 sind reelle Parameter und N die reelle Normierungskonstante.. Bestimmen Sie die Normierungskonstante N.. Der Ort des Teilchens wird gemessen. ] Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man es im Intervall [ 3 a a, 3? 3. Berechnen Sie die Erwartungswerte für Ort und Impuls des Teilchens. A.5. Aufgabe 3 Ehrenfest Theorem. Orts- und Impulsoperator erfüllen die kanonische Vertauschungsrelation [r, p] = i. Beweisen Sie damit die folgenden Relationen: [r, p n ] = i n p n für jede natürliche Zahl n [p, f(r)] = i f (r) für eine beliebige Funktion f(r). Der Hamiltonoperator eines eindimensionalen Problems sei gegeben durch H = p m + V (r) Beweisen Sie das sogenannte Ehrenfest Theorem: d dt r = m p d dt p = V (r) Bemerkung: Das Ehrenfest Theorem kann leicht auf Probleme in beliebigen Raumdimensionen verallgemeinert werden. 3. Diskutieren Sie die folgende Fragestellung: Erfüllt der Erwartungswert des Ortes die klassische Bewegungsgleichung? Begründen Sie, warum dies für i) ein freies Teilchen, ii) ein Teilchen mit konstanter Kraft und iii) den harmonischen Oszillator wahr ist, im allgemeinen Fall aber nicht. T: Quantenmechanik 94 LMU München

204 A Übungsaufgaben A.5.3 Aufgabe 4: Virialsatz. Sei H der Hamiltonoperator und φ n eine normierte Eigenfunktion zum Energieeigenwert E n. Zeigen Sie, dass für jeden beliebigen Operator A Folgendes gilt: φ n [A, H] φ n = 0. Betrachten wir für den Rest der Aufgabe nun konkret ein eindimensionales Problem mit H = p m + V (r) Berechnen Sie die Kommutatoren [H, p], [H, r] und [H, r p]. 3. Zeigen Sie, dass der Impulserwartungswert in einem Eigenzustand φ n verschwindet. 4. Stellen Sie eine Beziehung zwischen dem Erwartungswert der kinetischen Energie und dem Erwartungswert φ n r V (r) φ n her. Leiten Sie daraus den Virialsatz der Quantenmechanik für Potentiale V (r) = V 0 r n ab, wobei n eine natürliche Zahl ist. A.5.4 Aufgabe 5: Wellenpakete mit minimaler Unschärfe Die verallgemeinerte Unschärferelation aus Aufgabe 6 impliziert für Impuls- und Ortsoperator die bekannte Heisenbergsche Unschärferelation für einen beliebigen Zustand wobei r p, r def = ( r) und p def = ( p). Konstruieren Sie die eindimensionalen Wellenpakete mit minimaler Unschärfe, d.h. die Wellenpakte, für welche r p = / gilt. Sie sollten das folgende Ergebnis finden: [ ( ) ] r r ψ(r) = N e i p r/ exp r Dabei ist die Normierungskonstante N gegeben durch N = ( π( r) ) /4 T: Quantenmechanik 95 LMU München

205 A Übungsaufgaben Hinweis: Überlegen Sie sich allgemein, für welche Zustände die Schwarzsche Ungleichung als Gleichung erfüllt ist. Leiten Sie daraus eine Differentialgleichung für die Wellenfunktionen mit minimaler Unschärfe ab. T: Quantenmechanik 96 LMU München

206 A Übungsaufgaben A.6 Blatt 5 A.6. Aufgabe 6: Freies Teilchen in einer Dimension Die Wellenfunktion eines freien Teilchens in einer Dimension sei zur Zeit t = 0 gegeben durch ψ(x, t = 0) = N dk e k /k0 e ikx mit reellen positiven Konstanten k 0 und N.. Was ist die Wahrscheinlicheit P(p, t = 0), dass eine Impulsmessung zur Zeit t = 0 ein Messergebnis im Intervall [ p, p ] liefert? Skizzieren Sie die Funktion P(p, t = 0).. Was ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit P(p, t) zur Zeit t? Interpretieren Sie das Ergebnis. 3. Was ist die Form des Wellenpakets zur Zeit t = 0? Berechnen Sie das Produkt von Orts- und Impulsunschärfe x p und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Beschreiben Sie qualitativ die weitere zeitliche Entwicklung des Wellenpakets. A.6. Aufgabe 7: Zeitentwicklung eines Gaußschen Wellenpakets Die Wellenfunktion eines freien Teilchens in einer Dimension sei zur Zeit t = 0 durch ein Gaußsches Wellenpaket gegeben ψ(x, t = 0) = N e ax e ikx mit reellen positiven Konstanten a, k und N.. Normieren Sie die Wellenfunktion.. Berechnen Sie die Wellenfunktion ψ(x, t) zur Zeit t. 3. Berechnen Sie das Betragsquadrat der Wellenfunktion und drücken Sie das Ergebnis mit Hilfe folgender Größe aus: w(t) def a = + ( at/m) Skizzieren Sie ψ(x, t) zur Zeit t = 0 und für eine große Zeit t. Interpretieren Sie das Verhalten. T: Quantenmechanik 97 LMU München

207 A Übungsaufgaben 4. Berechnen Sie x, p, x, p, x und p als Funktionen der Zeit. 5. Gilt die Heisenbersche Unschärferelation? Zu welcher Zeit ist das Produkt der Unschärfen minimal? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Aufgabe 5. A.6.3 Aufgabe 8: Teilchen mit konstanter Kraft Wir betrachten ein eindimensionales Problem mit einem Teilchen in einem Potential V (x) = f x mit einer Konstanten f > 0. Dies beschreibt beispielsweise ein geladenes Teilchen in einem homogenen elektrischen Feld.. Was folgt aus dem Ehrenfest Theorem für die Erwartungswerte von Ort und Impuls des Teilchens? Lösen Sie diese Gleichungen und vergleichen Sie mit der klassischen Bewegung.. Berechnen Sie die Impulsunschärfe p als Funktion der Zeit. 3. Betrachten Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in der Impulsdarstellung. Leiten Sie eine Beziehung zwischen t p ψ(t) und p p ψ(t) her. Finden Sie die allgemeinste Lösung dieser Gleichung und interpretieren Sie das Ergebnis. A.6.4 Aufgabe 9: Translationsoperator. Berechnen Sie den Kommutator [x, T a ] mit ( ) def ipx a T a = exp, wobei a eine reelle Größe mit der Dimension einer Länge ist.. Zeigen Sie, dass T a x wieder ein Eigenzustand des Ortsoperators ist. Was ist der dazugehörige Eigenwert? Bemerkung: Dieser sogenannte Translationsoperator T a wird später in der Vorlesung noch eine wichtige Rolle spielen. T: Quantenmechanik 98 LMU München

208 A Übungsaufgaben A.7 Blatt 6 A.7. Aufgabe 0: Unendlich tiefer Potentialtopf: Stationäre Zustände Berechnen Sie x, x, p, p, x und p für den n-ten stationären Zustand im unendlich tiefen Potentialtopf mit Breite a (n = sei der Grundzustand). Verifizieren Sie die Gültigkeit der Heisenbergschen Unschärferelation. Für welchen Zustand ist das Produkt der Unschärfen minimal? Aufgabe : Unendlich tiefer Potentialtopf: Dynamik Wir betrachten wieder den unendlich tiefen Potentialtopf { 0 für 0 < x < a V (x) = sonst Die Wellenfunktion des Teilchens zur Zeit t = 0 sei eine Superposition der beiden ersten stationären Zustände: ψ(x, t = 0) = N (φ (x) + φ (x)). Normieren Sie die Wellenfunktion.. Berechnen Sie die Wellenfunktion ψ(x, t) und ihr Betragsquadrat zur Zeit t. Drücken Sie dabei ψ(x, t) unter Verwendung der Frequenz ω = π /ma aus. 3. Berechnen Sie den Erwartungswert des Ortes als Funktion der Zeit. Mit welcher Frequenz oszilliert dieser und mit welcher Amplitude? Vergleichen Sie mit der Amplitude eines klassischen Teilchens in einem Potentialkasten - Interpretation? 4. Was ist der Erwartungswert des Impulses? 5. Wir messen die Energie des Teilchens. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man welchen Wert? Was ist der Erwartungswert der Energie? A.7. Aufgabe : Endlich tiefer Potentialkasten: Gebundene Zustände Wir betrachten den endlich tiefen Potentialkasten { V0 für x < a V (x) = 0 sonst T: Quantenmechanik 99 LMU München

209 A Übungsaufgaben mit V 0 > 0. Im Folgenden interessieren wir uns für die gebundenen Zustände, d.h. die stationären Zustände mit Eigenenergie E < 0.. In der Vorlesung wurden die Anschlussbedingungen für die symmetrischen Wellenfunktionen diskutiert. Zeigen Sie, dass sich damit die folgende Bedingung für die Eigenenergie E ergibt: mit (z0 ) tanz = (A.) z z z 0 def m(e + V0 ) = a def mv0 = a Zeigen Sie, wie man Gleichung (A.) durch eine graphische Konstruktion lösen kann, wenn man die linke und rechte Seite der Gleichung als Funktion von z aufträgt.. Betrachten Sie den Limes eines sehr tiefen Potentialkastens, V 0. Diskutieren Sie, wie das Energiespektrum aus der graphischen Lösung mit dem bekannten Energiespektrum des unendlich tiefen Potentialtopfs übereinstimmt. 3. Betrachten Sie nun einen sehr flachen Potentialtopf. Gibt es immer einen gebundenen symmetrischen Zustand? 4. Leiten Sie eine analoge Gleichung zu (A.) für die antisymmetrischen Wellenfunktionen her. 5. Diskutieren Sie anhand der graphischen Lösung dieser Gleichung, ob es immer einen gebundenen antisymmetrischen Zustand gibt. 6. Wie kann man durch einen geeigneten Grenzprozess aus dieser Aufgabe die gebundenen Zustände im δ-potential V (x) = α δ(x), α > 0 bestimmen? Welche gebundenen Zustände und Eigenenergien finden Sie? A.7.3 Aufgabe 3: Halbunendlicher Potentialtopf Ein Teilchen bewegt sich im Potential für x 0 V (x) = V 0 für 0 < x < a 0 für x a T: Quantenmechanik 00 LMU München

210 A Übungsaufgaben mit V 0 > 0. Zeigen Sie, dass die stationären Zustände dieses Problems durch die stationären antisymmetrischen Wellenfunktionen des endlich tiefen Potentialkastens aus Aufgabe gegeben sind, wenn man diese auf den Bereich x 0 einschränkt. Gibt es immer einen gebundenen Zustand im obigen Potential? T: Quantenmechanik 0 LMU München

211 A Übungsaufgaben A.8 Blatt 7 A.8. Aufgabe 4: Eindimensionaler harmonischer Oszillator: Eigenschaften der stationären Zustände Berechnen Sie x, x, p, p, x, p und die Erwartungswerte von potentieller und kinetischer Energie für den n-ten stationären Zustand des eindimensionalen harmonischen Oszillators. Verwenden Sie dabei die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und die Darstellung der stationären Zustände durch diese laut Vorlesung. Verifizieren Sie die Gültigkeit der Heisenbergschen Unschärferelation. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit den Überlegungen aus Aufgabe 4. A.8. Aufgabe 5: Eindimensionaler harmonischer Oszillator: Dynamik Wir betrachten den eindimensionalen harmonischen Oszillator.. Die Wellenfunktion des Teilchens zur Zeit t = 0 sei folgende Superposition der beiden ersten (normierten) stationären Zustände: ψ(x, t = 0) = N (4ψ 0 (x) + 3ψ (x)) Normieren Sie die Wellenfunktion.. Berechnen Sie die Wellenfunktion ψ(x, t) und ihr Betragsquadrat zur Zeit t. Skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens zur Zeit t = Berechnen Sie die Erwartungswerte von Ort und Impuls als Funktion der Zeit. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Ehrenfest Theorem laut Aufgabe Die Energie des Teilchens wird gemessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man welche Ergebnisse? 5. Wiederholen Sie die obigen Aufgabenteile für die Anfangsbedingung ψ(x, t = 0) = N (4ψ 0 (x) + 3ψ (x)) T: Quantenmechanik 0 LMU München

212 A Übungsaufgaben A.8.3 Aufgabe 6: Eindimensionaler harmonischer Oszillator: Klassisch verbotener Bereich Betrachten Sie den Grundzustand des eindimensionalen harmonischen Oszillators. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man bei einer Messung das Teilchen im klassisch verbotenen Bereich? (Sprich: In dem Bereich, wo sich ein klassisches Teilchen mit der Grundzustandsenergie des quantenmechanischen harmonischen Oszillators nicht aufhalten kann.) A.8.4 Aufgabe 7: Dreidimensionaler isotroper harmonischer Oszillator Wir betrachten einen dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillator. Konstruieren Sie analog zur Vorlesung die Eigenfunktionen und Energieeigenwerte durch Einführung von geeigneten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Was ist die Entartung des Grundzustandes, des ersten angeregten Zustands und des zweiten angeregten Zustands? A.8.5 Aufgabe 8: Verschobener harmonischer Oszillator Wir betrachten ein Teilchen mit Ladung q in einer Dimension in der Nähe einer Gleichgewichtslage (o.b.d.a. bei x = 0). Wir schalten nun zusätzlich ein schwaches elektrisches Feld E an.. Begründen Sie, warum der Hamiltonoperator H = p m + mω x q E x das Teilchen beschreibt.. Bestimmen Sie die Eigenenergien und drücken Sie die Eigenfunktionen durch die des unverschobenen harmonischen Oszillators (sprich: des harmonischen Oszillators mit E = 0) aus. 3. Definieren Sie Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a def = mω (i p + mω x) + γ a def = mω ( i p + mω x) + γ mit einer geeigneten reellen Konstante γ, so dass sich die Eigenwerte des Hamiltonoperators direkt ablesen lassen. T: Quantenmechanik 03 LMU München

213 A Übungsaufgaben 4. Berechnen Sie das elektrische Dipolmoment, sprich den Erwartungswert des Dipoloperators D = q x, als Funktion des elektrischen Feldes. T: Quantenmechanik 04 LMU München

214 A Übungsaufgaben A.9 Blatt 8 A.9. Aufgabe 9: Endlich tiefer Potentialkasten: Streuzustände Wir betrachten wieder den endlich tiefen Potentialkasten aus Aufgabe : { V0 für x < a V (x) = 0 sonst mit V 0 > 0. Im Folgenden interessieren wir uns für die Streuzustände, d.h. die stationären Zustände mit Energie E > 0.. Konstruieren Sie analog zur Vorlesung den Streuzustand zur Eigenenergie E > 0, den wir zur Beschreibung von von links einlaufenden Teilchen benötigen.. Berechnen Sie Transmissions- und Reflektionskoeffizient als Funktion der Energie. Sie sollten als Ergebnis finden: T(E) = + V0 4E(E + V 0 ) sin ( a ) m(e + V0 ) 3. Skizzieren Sie T(E) und interpretieren Sie die Energien, wo der Potentialkasten vollständig transparent wird, indem Sie mit den Eigenenergien eines unendlich tiefen Potentialkastens der Breite a vergleichen. A.9. Aufgabe 30: Potentialbarriere: Tunneleffekt Wir betrachten nun eine Potentialbarriere { +V0 für x < a V (x) = 0 sonst mit V 0 > 0. Berechnen Sie die Streuzustände für dieses Problem und geben Sie Transmissions- und Reflektionskoeffizienten als Funktion der Energie an. Für 0 < E < V 0 sollten Sie beispielsweise finden: T(E) = + V0 4E(V 0 E) sinh ( ) a m(v0 E) Bemerkung: Die Beobachtung, dass auch für E < V 0 für die Transmissionswahrscheinlichkeit T(E) > 0 gilt, bezeichnet man als Tunneleffekt. In der klassischen Physik wäre die entsprechende Wahrscheinlichkeit gleich Null. T: Quantenmechanik 05 LMU München

215 A Übungsaufgaben A.9.3 Aufgabe 3: Potentialstufe Wir betrachten nun die Streuung an einer Potentialstufe V (x) = mit V 0 > 0. { 0 für x 0 +V 0 für x > 0. Berechnen Sie den Reflektionskoeffizienten für Energien E < V 0 und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.. Berechnen Sie den Reflektionskoeffizienten für Energien E > V Für dieses Potential gilt V (x = ) V (x = + ) und daher ist die Geschwindigkeit des Teilchens links und rechts der Stufe unterschiedlich. Die Transmissionswahrscheinlichkeit ist deshalb nicht F / A (Notation wie in der Vorlesung). Zeigen Sie, dass für E > V 0 tatsächlich Folgendes gilt: T = E V0 E F A Sie können dabei analog zur Vorlesung vorgehen oder mit der Wahrscheinlichkeitsstromdichte argumentieren. 4. Verifizieren Sie die Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit T(E)+R(E) = für E > V 0. T: Quantenmechanik 06 LMU München

216 A Übungsaufgaben A.0 Blatt 9 A.0. Aufgabe 3: Potential aus zwei δ-funktionen Wir betrachten ein eindimensionales Problem mit zwei attraktiven δ-potentialen im Abstand l: V (x) = αδ(x + l/) αδ(x l/) Aus der Vorlesung kennen wir die Bindungsenergie eines einzelnen δ-potentials mit Stärke α: E B = mα.. Wir definieren ρ = me/, wobei E die Eigenenergie eines gebundenen Zustands im obigen Potential aus zwei δ-funktionen ist. Zeigen Sie, dass die Eigenenergien durch die Lösungen der Gleichung ( e ρl = ± ρ ) µ mit µ def = mα/ gegeben sind. Wie kann man diese Gleichung graphisch lösen?. Zeigen Sie, dass der Grundzustand gerade Parität hat und seine Bindungsenergie E S kleiner als E B ist. Interpretation? Zeichnen Sie die Wellenfunktion. 3. Zeigen Sie, dass für l größer ein bestimmtes l c ein weiterer Eigenzustand existiert. Was passiert im Limes l 0? Wie groß ist l c? Zeigen Sie, dass dieser erste angeregte Zustand ungerade Parität hat mit einer Eigenenergie E A > E B. Zeichnen Sie seine Wellenfunktion. Bemerkung: Man kann dies als sehr vereinfachtes Modell des H + -Moleküls betrachten, wobei das Coulomb-Potential der beiden Kerne durch die δ-potentiale ersetzt wurde und das Problem auf eine Dimension eingeschränkt ist. Man sieht, dass es immer einen Bindungszustand gibt mit einer Energie kleiner als die des dissoziierten Moleküls, E S < E B (für eine korrekte Behandlung müssten wir hier zusätzlich noch die Coulomb-Abstossung der Kerne berücksichtigen). Man bezeichnet den entsprechenden Eigenzustand in der Molekülphysik als bonding state, obigen ersten angeregten Zustand als antibonding state. A.0. Aufgabe 33: Unendlich tiefe Potentialmulde Wir betrachten die Potentialmulde { 0 für r < a V ( r) = für r a T: Quantenmechanik 07 LMU München

217 A Übungsaufgaben im dreidimensionalen Raum.. Berechnen Sie die erlaubten Energieeigenwerte und dazugehörigen Eigenfunktionen für Drehimpulsquantenzahl l = 0.. Leiten Sie für allgemeine Drehimpulsquantenzahlen l folgende Radialgleichung ab (Notation wie in der Vorlesung): d ( ) u l(l + ) dr = r k u(r) mit k def = me/. Lösungen dieser Differentialgleichung sind beliebige Superpositionen u(r) = c r j l (kr) + c r n l (kr), wobei j l (x) eine sphärische Bessel-Funktion vom Grad l und n l (x) eine sphärische Neumann-Funktion vom Grad l ist. Schlagen Sie in einer geeigneten mathematischen Formelsammlung die Eigenschaften dieser Funktionen nach und zeigen Sie damit, dass die Eigenenergien allgemein durch E nl = ma β nl gegeben sind, wobei β nl die n-te Nullstelle von j l (x) ist. A.0.3 Aufgabe 34: Endlich tiefe Potentialmulde Wir betrachten nun die endlich tiefe Potentialmulde { V0 für r < a V ( r) = 0 für r a mit V 0 > 0 im dreidimensionalen Raum. Finden Sie den Grundzustand durch Lösung der Radialgleichung für Drehimpulsquantenzahl l = 0. Unter welcher Bedingung gibt es keinen gebundenen Zustand mehr? Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis für den attraktiven Potentialkasten in einer Dimension. Bemerkung: Man kann diese Potentialmulde als vereinfachtes Modell der Wechselwirkung von Proton und Neutron betrachten. Der entsprechende Bindungszustand mit l = 0 ist das Deuteron. T: Quantenmechanik 08 LMU München

218 A Übungsaufgaben A.0.4 Aufgabe 35: Eigenschaften der Legendre-Polynome sowie der Kugelflächenfunktionen In der Vorlesung wurden die Legendre-Polynome P l (x) sowie die Kugelflächenfunktionen als vollständige Systeme orthonormierter Funktionen eingeführt. Erstere lassen sich nach der Formel von Rodriguez () darstellen und erfüllen die Orthogonalitätsrelation () d l P l (x) = ( x l l! dx l ) l () P m (x)p n (x)dx = n + δ mn () Kugelflächenfunktionen Yl m (θ, φ) = Cl m Pl m (cosθ)e imφ werden konstruiert aus den assoziierten Legendre-Polynomen (3) und erfüllen ebenfalls eine Orthogonalitätsbeziehung (4): Pn m (x) = ( x m/ dm ) dx m P n(x) (3) Pl m (x)pl m (x)dx = l + (l + m)! (l m)! δ ll δ mm (4). Jede im Intervall [, ] stetige und beschränkte Funktion f(x) kann nach Legendre-Polynomen entwickelt werden. Berechnen sie allgemein die Koeffizienten c n einer solchen Entwicklung f(x) = n=0 c np n (x) und stellen Sie g(x) = 5x 3 + 6x 3x + 5 explizit in dieser Basis dar.. Berechnen Sie allgemein den Koeffizienten C m l, so dass die Kugelflächenfunktionen normiert sind. 3. Jede auf der Kugelfläche beschränkte Funktion kann in eine Reihe nach den Yl m (θ, φ) entwickelt werden. Führen Sie dies explizit für die Funktion h(θ, φ) = ( sin(θ)e iφ + ) durch. T: Quantenmechanik 09 LMU München

219 A Übungsaufgaben A. Blatt 0 A.. Aufgabe 36: Eigenschaften des Wasserstoffatoms und der Kugelflächenfunktionen. Berechnen Sie r und r für den Grundzustand des Wasserstoffatoms (r ist der Radius). Was ist der wahrscheinlichste Wert von r im Grundzustand? Drücken Sie die Ergebnisse in Einheiten des Bohrschen Radius aus.. Berechnen Sie x und x für den Grundzustand des Wasserstoffatoms (Symmetrien ausnutzen und nicht blind losrechnen!). 3. Berechnen Sie x für den Zustand n =, l =, m =. A.. Aufgabe 37: Dichteoperator für Spin-/ Systeme. Zeigen Sie, dass man die Dichtematrix eines Spin-/ Systems in der folgenden Form schreiben kann: ρ = I + S σ Dabei ist I die x-einheitsmatrix, σ i sind die Pauli-Matrizen und S ist der Erwartungswert des Spins.. Zeigen Sie, dass nur für einen maximal polarisierten Spin ein reiner Zustand vorliegt. Eines der zentralen Ergebnisse der statistischen Physik ist die Aussage, dass ein Quantensystem im Kontakt mit einem Wärmebad der Temperatur T im Gleichgewicht durch den folgenden Dichteoperator beschrieben wird: ρ = Z e H/kBT (A.3) mit der sogenannten Zustandssumme Z def = Tr ( e H/kBT). Betrachten Sie den Fall eines Spin-/ Teilchens mit gyromagnetischem Verhältnis γ, das sich in einem statischen Magnetfeld B in z-richtung befindet. Geben Sie die Dichtematrix für das System bei Temperatur T laut (A.3) explizit an.. Berechnen Sie die Spinerwartungswerte in x, y und z-richtung und weiterhin die magnetische Suszeptibilität in z-richtung (Brillouin Formel). T: Quantenmechanik 0 LMU München

220 A Übungsaufgaben A..3 Aufgabe 38: Identische Teilchen im Potentialkasten Wir betrachten einen unendlich hohen Potentialkasten der Breite a, in dem sich zwei nicht miteinander wechselwirkende Teilchen befinden. Den Spin der Teilchen können Sie in dieser Aufgabe ignorieren. Geben Sie jeweils die Gesamtwellenfunktion, die Energie und die Entartung für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand an falls. die beiden Teilchen unterscheidbar sind.. die beiden Teilchen ununterscheidbare Bosonen sind. 3. die beiden Teilchen ununterscheidbare Fermionen sind. Aufgabe 39: Addition von zwei Spin-/ Wir betrachten zwei unterscheidbare Spin-/ Teilchen mit den Spinoperatoren S und S. Die Operatoren S, S, S z und S z bilden einen vollständigen Satz von kommutierenden Observablen mit den Eigenvektoren +, +, +,,, +,, (A.4) Dabei bezieht sich der erste Eintrag auf die magnetische Quantenzahl von Teilchen, der zweite Eintrag auf die magnetische Quantenzahl von Teilchen. Der Gesamtspinoperator des Systems ist definiert als S def = S + S. Zeigen Sie, dass S, S, S und S z auch einen vollständigen Satz von kommutierenden Observablen bilden, indem Sie die entsprechenden Eigenvektoren explizit konstruieren, S S, M = S S, M = 3 4 S, M S S, M = S(S + ) S, M S z S, M = M S, M, mit Quantenzahlen S, M, die Sie ausrechnen sollen. Was ist die Symmetrie dieser Zustände bei Vertauschung der beiden Teilchen? Hinweis: Berechnen Sie explizit die Matrixdarstellung von S in der Basis (A.4). T: Quantenmechanik LMU München

221 A Übungsaufgaben A. Blatt A.. Aufgabe 40: Zwei Teilchen im unendlich tiefen Potentialkasten Betrachten Sie zwei Teilchen der Masse m im unendlich tiefen Potentialkasten. Berechnen Sie den Erwartungswert (x x ) als Funktion der Hauptquantenzahlen für folgende drei Fälle:. Die Teilchen sind unterscheidbar.. Die Teilchen sind ununterscheidbare Bosonen mit Spin Die Teilchen sind ununterscheidbare Fermionen mit Spin /. Hinweis: Folgende Integrale sind nützlich (n, m N): a 0 a 0 a 0 xsin ( πn a x)dx = a 4 x sin ( πn a x)dx = a3 ( 3 + π n ) π n xsin( πn a x)sin(πm a x)dx = a nm( + ( ) +m+n ) π (n m ) für n m Bemerkung: Sie werden sehen, dass allein aufgrund der Symmetrieüberlegungen (und ohne jede Wechselwirkung der Teilchen miteinander) die Teilchen für eine symmetrische Ortswellenfunktion im Mittel näher zusammen sind als für eine antisymmetrische Ortswellenfunktion. Im Wasserstoffmolekül H sind die Elektronen im Gundzustand beispielsweise in einem Singulett-Zustand, weil dann die symmetrische Ortswellenfunktion der Elektronen zwischen den beiden Kernen über die Coulomb-Wechselwirkung die Kerne aneinanderrückt. A.. Aufgabe 4: Zwei wechselwirkende Teilchen im unendlich tiefen Potentialkasten Wir betrachten das gleiche Problem wie in Aufgabe 40 mit einer zusätzlichen Wechselwirkung der beiden Teilchen miteinander mit dem Potential V (x, x ) = g δ(x x ). Berechnen Sie den Effekt der Wechselwirkung auf die Energie des Grundzustands und ersten angeregten Zustands (für die drei Fälle in Aufgabe 40) mittels Störungstheorie erster Ordnung. T: Quantenmechanik LMU München

222 A Übungsaufgaben A..3 Aufgabe 4: Anharmonischer Oszillator Wir betrachten einen eindimensionalen harmonischen Oszillator mit einer kleinen anharmonischen Störung: H = p m + mω x + g ω x 3, Berechnen Sie in erster und zweiter Ordnung Störungstheorie in g den Einfluss des anharmonischen Terms auf die Eigenenergien. Geben Sie insbesondere explizit die Energiedifferenz benachbarter Energieniveaus an. Hinweis: Die Rechnung machen Sie am einfachsten durch Verwendung der Erzeungsund Vernichtungsoperatoren. A..4 Aufgabe 43: Feinstruktur des Wasserstoffatoms Die Entartung der Energieniveaus mit gleicher Hauptquantenzahl aber unterschiedlicher Drehimpulsquantenzahl im Wasserstoffatom wird durch die sogenannte Feinstruktur (teilweise) aufgehoben. Der erste Beitrag zur Feinstruktur ist eine relativistische Korrektur. Zeigen Sie, dass die Entwicklung des relativistischen Ausdrucks für die kinetische Energie zu folgendem zusätzlichen Term im Hamiltonoperator führt: p4 H rel = 8m 3 c Berechnen Sie damit in erster Ordnung Störungstheorie die relativistische Verschiebung der Energieniveaus. Dabei dürfen Sie folgendes Ergebnis unbewiesen verwenden: nlm r nlm = (l + /)n 3 a mit dem Bohrschen Radius a. Bemerkung: Der zweite Beitrag zur Feinstruktur ist die sogenannte Spin-Bahn Kopplung, die bemerkenswerterweise zu einer ähnlichen Verschiebung der Energieniveaus wie die relativistische Korrektur führt. Das Gesamtergebnis ist dann )] [ + α E nj = 3.6eV n n ( n j + / 3 4 mit dem Gesamtdrehimpuls J = L+ S und der Sommerfeld-Feinstrukturkonstante α = e 4πɛ 0 c 37. T: Quantenmechanik 3 LMU München

223 A Übungsaufgaben A..5 Aufgabe 44: Dreidimensionaler harmonischer Oszillator mit Störung Wir betrachten einen dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillator mit dem Störterm H anh = g x yz. Berechnen Sie die Korrekturen in Ordnung g zur Grundzustandsenergie und zur Energie des ersten angeregten Zustands. T: Quantenmechanik 4 LMU München

224 A Übungsaufgaben A.3 Blatt A.3. Aufgabe 45: Drehimpulsalgebra und Clebsch-Gordan Koeffizienten. Der Vektoroperator J sei eine Darstellung der Drehimpulsalgebra mit der üblichen Basis J, M laut Vorlesung. Zeigen Sie, dass für die Auf- und def Absteigeoperatoren J ± = J x ± ij y Folgendes gilt: J ± J, M = J(J + ) M(M ± ) J, M ±. Betrachten Sie die Addition zweier Drehimpulse J und J. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Eigenvektoren J, M des Gesamtdrehimpuloperators gleich der Dimension des Tensorproduktes der Hilberträume H und H ist (Notation wie in Vorlesung). 3. Betrachten Sie explizit die Addition eines ganzzahligen Bahndrehimpulses l und des Elektonenspins (wie im Wasserstoffatom). Berechnen Sie explizit die Clebsch-Gordan Koeffizienten für J = l + /, M = l / und für J = l /, M = l /. A.3. Aufgabe 46: Yukawa Potential Unter anderem in der Kernphysik spielt das Yukawa Potential eine wichtige Rolle: V ( r) = g e µr r Geben Sie durch Wahl einer geeigneten Variationswellenfunktion eine obere Schranke für die Bindungsenergie des Grundzustands an. Bei der Wahl der Variationsfunktion sollten Sie sich davon leiten lassen, dass Sie die Grundzustandsenergie des Wasserstoffatoms exakt reproduzieren (wobei es mehrere Möglichkeiten gibt, diese Randbedingung zu erfüllen: wählen Sie irgendeine aus). Hinweis: Das Yukawa Potential wird auch als abgeschirmtes Coulomb Potential bezeichnet, wobei µ = m ex c/ und m ex die Masse des Austauschteilchens ist. A.3.3 Aufgabe 47: Zweizustandssystem Betrachten Sie ein Zweizustandssystem mit einem Hamiltonoperator H 0, der die normierten Eigenzustände ψ a (mit Energie E a ) und ψ b (mit Energie E b ) T: Quantenmechanik 5 LMU München

225 A Übungsaufgaben hat. O.B.d.A. sei E a = E b (lässt sich durch Verschiebung des Energienullpunkts immer erreichen). Wir schalten nun eine Störung W mit den folgenden Matrixelementen an: ψ a W ψ a = ψ b W ψ b = 0 ψ a W ψ b = ψ b W ψ a = g. Geben Sie die exakten Eigenenergien des gestörten Hamiltonoperators an.. Berechnen Sie die Eigenenergien des gestörten Systems in Störungstheorie zweiter Ordnung. 3. Geben Sie eine Schranke für die Grundzustandsenergie an, indem Sie die Variationswellenfunktion ψ = (cosφ) ψ a + (sin φ) ψ b mit dem freien Parameter φ verwenden. 4. Vergleichen Sie die obigen Ergebnisse. Warum funktioniert die Variationsmethode hier so gut? Was passiert im Limes E b E a mit Ihrem störungstheoretischen Ergebnis und warum? A.3.4 Aufgabe 48: WKB Approximation Eine wichtige Näherungsmethode bei der Behandlung eindimensionaler Probleme ist die WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) Approximation. Die Grundannahme dieser Approximation ist, dass sich das Potential V (x) nur langsam auf der Skala der Wellenlänge des Teilchens verändert.. Machen Sie den folgenden Ansatz für die eindimensionale Wellenfunktion: ψ(x) = A(x)e iφ(x) mit zwei reellen Funktionen A(x) und φ(x). Leiten Sie dann aus der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung mit einem Potential V (x) durch Betrachtung von Real- und Imaginärteil zwei Differentialgleichungen für A(x) und φ(x) ab. Machen Sie die Annahme, dass A (x) vernachlässigbar ist (gleichbedeutend mit einem langsam veränderlichen Potential) und zeigen Sie, dass die Lösung dieser Differentialgleichungen in einem klassisch erlaubten Bereich auf ψ(x) A p(x) e ±i R p(x)dx/ T: Quantenmechanik 6 LMU München

226 A Übungsaufgaben führt und in einem klassisch verbotenen Bereich auf ψ(x) A p(x) e ± R p(x) dx/. p(x) def = m(e V (x)) ist hier der klassische Impuls (im erlaubten Bereich) und A eine Proportionalitätskonstante.. Betrachten Sie nun das Tunneln eines von links einlaufenden Teilchens mit Energie E durch eine Barriere V (x): 0 für x < 0 V (x) = v(x) > E für 0 x a 0 für x > a Leiten Sie für die Transmissionswahrscheinlichkeit T durch eine hinreichend breite oder hohe Barriere Folgendes ab: T e R a 0 p(x) dx/ (A.5) Dabei hängt die Proportionalitätskonstante nur schwach von den Parametern des Streuproblems ab. In der Berechnung von (A.5) dürfen Sie die Ableitung von p(x) im Inneren des Intervalls (0, a) vernachlässigen (konsistent mit der Bedingung langsam veränderliches Potential). Anwendungen dieser Art sind typisch für die WKB Näherung. T: Quantenmechanik 7 LMU München

227 A Übungsaufgaben A.4 Probeklausur A.4. Aufgabe : [3 Punkte] Die Wellenfunktion eines Teilchens in einer Dimension sei ) ψ(x) = exp ( x (πa ) /4 a Dabei ist a eine reelle positive Konstante. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung den Impuls im Intervall [ (k k/), (k + k/) ] zu finden? k kann als klein angenommen werden. Hinweis: dxe λx = π λ für λ > 0 A.4. Aufgabe : [4 Punkte] Von einem Teilchen mit Masse m in einer Dimension sei die Grundzustandswellenfunktion α ψ 0 (x) =, α > 0 π e αx und die Grundzustandsenergie E 0 = 0 bekannt. In welchem Potential bewegt sich das Teilchen? A.4.3 Aufgabe 3: [4 Punkte] T: Quantenmechanik 8 LMU München

228 A Übungsaufgaben ( ) Wir betrachten den zweidimensionalen Hilbertraum mit der Basis + =, 0 ( ) 0 ( ) =. Das Quantensystem sei in dem Zustand ψ = + +, bevor wir nun eine Reihe von Messungen durchführen.. In einer ersten Messung messen wir σ z. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man welchen Messwert? Was ist der Erwartungswert der Messung?. Die erste Messung hat nun konkret den Messwert - geliefert. Wir messen danach in einer zweiten Messung die Observable A = σ x + σ y + σ z. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man welchen Messwert? Was ist der Erwartungswert der Messung? Hinweis: Die Pauli-Matrizen sind folgendermassen definiert: σ x = ( 0 0 ), σ y = ( 0 i i 0 ), σ z = ( 0 0 ) T: Quantenmechanik 9 LMU München

229 A Übungsaufgaben A.4.4 Aufgabe 4: [5 Punkte] Wir betrachten ein Teilchen in einer Dimension in einem unendlich tiefen Potentialtopf: { 0 für 0 < x < a V (x) = sonst. Berechnen Sie die stationären Eigenzustände und Eigenenergien.. Zur Zeit t = 0 habe das Teilchen die Wellenfunktion ψ(x, t = 0) = { / a für 0 < x < a 0 sonst, d.h. man findet es zur Zeit t = 0 an jedem Ort im Potentialkasten mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten findet man bei einer Energiemessung dieses Teilchen in welchem Eigenzustand? 3. Geben Sie die Wellenfunktion für Zeiten t > 0 an. A.4.5 Aufgabe 5: [5 Punkte] Wir betrachten die eindimensionale Streuung an einem repulsiven δ-potential: V (x) = α δ(x) mit α > 0. Geben Sie die Anschlussbedingung der Wellenfunktion bei x = 0 an und leiten Sie die Anschlussbedingung der Ableitung bei x = 0 ab.. Konstruieren Sie die Streulösung für ein von links einlaufendes Teilchen mit Energie E. 3. Bestimmen Sie daraus die Transmissionswahrscheinlichkeit T(E). T: Quantenmechanik 0 LMU München

230 A Übungsaufgaben A.4.6 Aufgabe 6: [4 Punkte] Wir betrachten den quantenmechanischen starren Rotator in einem Magnetfeld: H = L Θ + γ B L L ist der quantenmechanische Drehimpulsoperator und Θ, γ sind systemspezifische Konstanten (Θ =Trägheitsmoment, γ =gyromagnetisches Verhältnis).. Geben Sie die möglichen Energieeigenwerte für ein Magnetfeld in z-richtung an, B = (0, 0, b).. Geben Sie die möglichen Energieeigenwerte für das Magnetfeld B = (b, 0, b) an. Hinweis: Sie sollen sich in dieser Aufgabe auf ganzzahlige Darstellungen der Drehimpulsalgebra beschränken. T: Quantenmechanik LMU München

231 A Übungsaufgaben A.5 Probeklausur A.5. Aufgabe : [5 Punkte] Betrachten Sie zwei Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen harmonischen Oszillator. Geben Sie explizit die Gesamtwellenfunktion für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand für folgende Fälle an:. Die Teilchen sind unterscheidbar.. Die Teilchen sind ununterscheidbare Bosonen mit Spin Die Teilchen sind ununterscheidbare Fermionen mit Spin /. (Vergessen Sie hier nicht, die Spinwellenfunktion mit anzugeben!) Bei Entartung eines Zustands sollen Sie insbesondere alle möglichen Gesamtwellenfunktionen zu dieser Eigenenergie angeben. Normierungsfaktoren der Wellenfunktion dürfen Sie ignorieren. Hinweis: Die (nicht normierte) Grundzustandswellenfunktion eines Teilchens im obigen harmonischen Oszillator lautet (l def = /mω) ψ 0 (x) = e x /l Eigenenergie: E 0 = ω und für den ersten angeregten Zustand ψ (x) = x l e x /l Eigenenergie: E = 3 ω A.5. Aufgabe : [7 Punkte] Betrachten Sie einen Spin-/ Freiheitsgrad, der mit einem Störterm an einen harmonischen Oszillator gekoppelt ist: H = σ x + ω ( a a + ) + λσ z (a + a ) T: Quantenmechanik LMU München

232 A Übungsaufgaben Dabei sind, ω > 0 und a, a die Auf- und Absteigeoperatoren des harmonischen Oszillators. Die Pauli-Matrizen sind folgendermassen definiert: σ x = ( 0 0 ), σ z = ( 0 0 Berechnen Sie die Grundzustandsenergie für λ = 0, in erster Ordnung Störungstheorie in λ und in zweiter Ordnung Störungstheorie in λ. ) A.5.3 Aufgabe 3: [ Punkte] Wir betrachten ein eindimensionales Problem mit einem Teilchen der Masse m in einem Potential V (x) = f x mit f > 0. Lösen Sie die Bewegungsgleichung für den Impulsoperator im Heisenberg-Bild. Was ist die Zeitabhängigkeit des Impulserwartungswertes eines beliebigen Anfangszustandes? A.5.4 Aufgabe 4: [4 Punkte] Wir betrachten ein freies Teilchen der Masse m in einer Dimension mit einem attraktiven δ-potential am Ursprung: V (x) = α δ(x), α > 0 Finden Sie eine obere Schranke für die Bindungsenergie des gebundenen Zustands, indem Sie das Variationsverfahren mit den Variationswellenfunktionen ψ(x) = ( ) /4 b e bx π verwenden. Diese Wellenfunktionen sind bereits normiert und b > 0 ist Ihr Variationsparameter. Hinweis: x e bx dx = π 8 b 3/ T: Quantenmechanik 3 LMU München

233 A Übungsaufgaben A.5.5 Aufgabe 5: [4 Punkte]. Die Dichtematrix eines Spin-/ Systems sei in der Eigenbasis von σ z durch ( ) 3/4 i/4 ρ = i/4 /4 gegeben. Was sind die Erwartungswerte bei der Messung von S x = σ x bzw. S z = σ z? (Die Definitionen der Pauli-Matrizen finden Sie in Aufgabe ). Liegt ein reiner Zustand vor?. Die Zeitentwicklung eines Dichteoperators ist im Schrödinger-Bild durch ρ(t) = U(t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) gegeben, wobei U(t, t 0 ) der Zeitentwicklungsoperator ist. Zeigen Sie damit, dass aus einem gemischten Zustand niemals ein reiner Zustand werden kann. A.5.6 Aufgabe 6: [3 Punkte] Betrachten Sie zwei unterscheidbare Teilchen mit Spin s und Spin s (o.b.d.a. s s ). Die Wechselwirkung dieser beiden Teilchen wird durch den Hamiltonoperator H = J S S, J > 0 beschrieben, wobei S, S die Spinoperatoren der beiden Teilchen sind. Was ist die kleinste bzw. größte Eigenenergie dieses Hamiltonoperators? Was ist jeweils die Entartung dieser Zustände? T: Quantenmechanik 4 LMU München

234 Anhang B Lösungen zu den Übungsaufgaben 5

235 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B. Blatt 0 Präsenzübung B.. Aufgabe A Sei K ein komplexer 3-dimensionaler VR, Ket i K sind dessen Elemente Bra j werden definiert als lineare Funktionale K C j [ i ] = j i Skalarprodukt Die Menge der Bras j bildet den Dualraum K D zu K, beide sind zueinander isomorph. Insbesondere induziert eine ONB in K eine in K D. Die lineare Abbildung α wird durch ihre Werte auf Basiselementen bestimmt. α [ ] }{{} = α }{{} = α }{{} = (i) = i Abbildung an- Skalarprodukt der Eigenschaft des gewendet auf Elemente α, aus K SKP analog α, α 3. Entsprechend stellt man α in der induzierten Basis {,, 3 } dar.. α = i 4 +i 3 β = i + 3. α α = = α β = + 4i β α = 4i = α β 3. A = α β = +i 3 +8i i 3 3, i A j ij = 0 i 8i i B.. Aufgabe B Wir betrachten nur endlich dimensionale Operatoren, die sich durch Matrizen darstellen lassen. A = (a ij ) i,j, A = (a ji ), hermitescher Operator: A = A. (A+B) = (a ij +b ij ) = ((a ji ) +(b ji ) ) = (a ij ) +(b ij ) = A + B für A,B hermitesch. (αa) = (αa ij ) = α (a ji ) = α A! = αa mit A hermitesch (A = A) α = α reell T: Quantenmechanik 6 LMU München

236 B Lösungen zu den Übungsaufgaben 3. (AB) = (a ij b jk ) ik = (a kj b ji ) = (a T jk b T ij ) = (b T ij a T jk ) = B A N.B. Einstein-Notation, d.h. es wird über j summiert! 4. (AB) 3. = B A! = (AB) Produkt soll hermitesch sein [A,B] = 0 kommutieren 5. Durch explizietes Anschreiben B[A,C] + [A,B]C = BAC - BCA + ABC - BAC = ABC - BCA = [A,BC] (ABC - ACB - BCA + CBA) + (BCA - BAC - CAB + ACB) + (CAB - CBA - ABC + BAC) = 0 6. Tr(AB) = (a ij b ji ) = (b ji a ij ) = Tr(BA) (Vertauschung von äußerem ij ij Spur- und innerem Index der Matrixmultiplikation) 7. Es gelte P = P, P = P, [P, P ] = 0 (P P ) = P P P P = P P = P P P = P, P = P, (P P ) = P P und (P P ) = (P P ) Wir verwenden: Ein Projektor ist immer hermitesch: [P P ] = P P P P = P P P P = P P (P P ) = P P P P = 0 [P, P ] = 0 Mit x H P (x) H und P (y) H für y H H P P (x) = P (P (x)) H H 8. Darstellung in der Diagonalbasis, U = U unitär λ 0 λ 0 λ =.....! = λ n 0 λ n 0 λ n λ i λ i =, λ i = i = λ λ n B..3 Aufgabe C ( λ) i 0. i ( λ) (4 λ) = ( λ) (4 λ) (4 λ) = (4 λ)(λ λ)! = 0 EW λ = 0, λ = und λ 3 = 4 EV: λ = 0 λ = λ 3 = 4 0 = x + iy 0 = -x + iy 0 = -ix + y 0 = -ix - y T: Quantenmechanik 7 LMU München

237 B Lösungen zu den Übungsaufgaben 0 = 4z 0 = z v = µ iµ 0 bzw. ˆv = i 0. e iht := n = U n = U n v = n! (iht)n µ iµ 0 v 3 = 0 0 µ bzw. ˆv = i bzw. ˆv 3 = n! (it)n (H diag ) n U diagonalisierende Matrix ergänzt = UU n! (it)n λn λ n 0 U 0 0 λ n 3 = U eiλt e iλt e iλ3t U Setze a j = e iλjt Bilde diagonalisierende Matrix aus den EV, beachte det U =! 0 i 0 U = i i 0, U = (U ) = i e iht = = = 0 i i i(a a ) (a + a ) 0 a + a i(a a ) a 3 a a a 3 i(e it e 4it ) ( + e it ) 0 + eit i(e it ) e 4it i 0 i mit a =, a = e it und a 3 = e 4it T: Quantenmechanik 8 LMU München

238 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B. Blatt B.. Aufgabe : Pauli-Matrizen σ i = σ i, Tr(σ i) = 0, λ / = ± sind Eigenwerte (durch Nachrechnen) Ansatz: ( ) ( ) ( α β m0 0 0 mx = + γ δ 0 m 0 m x 0 ( ) m0 + m = z m x im y m x + im y m 0 m z ) ( 0 imy + im y 0 ) ( ) mz m z aus m 0 + m z = α und m 0 m z = δ folgt m 0 = α+δ und m z = α δ aus m x im y = β und m x + im y = γ folgt m x = β+δ und m y = γ β i B.. Aufgabe : Zeitabhängige SGL i d dt ψ(t) = H ψ(t) mit ( ) ( ) 0 ψ(t) = a(t) + b(t) = 0 ( a(t) b(t) ( Diagonalisierung: 0 =! ɛ λ g det g ɛ + λ = ɛ ± g sind Eigenwerte Eigenvektoren: ) ( ) und ψ(0) = 0 ) = λ λɛ+(ɛ g ) λ / λ = ɛ + g ( g ) ( x y ) λ = ɛ g ( = 0 g ) ( x y ) = 0 x = y ( ) x = -y ( v + = v = ( Diagonalisierende Transformation: U = U ) ), U = (U ) = Lösung der SGL in der Eigenbasis: i d dt U U ψ(t) = U } UHU {{ } U ψ(t) ( ) c(t) mit U ψ(t) =, Multiplik. U von links d(t) T: Quantenmechanik 9 LMU München

239 B Lösungen zu den Übungsaufgaben V (x) E x x + x Abbildung B.: Potential des harmonischen Oszillators i ( c(t) d(t) ) = ( ɛ + g 0 0 ɛ g ) ( c(t) d(t) ) ( ɛ + g c(t) = ɛ g d(t) (Bewegungsgleichungen für c(t) und d(t) entkoppeln) ) I: dc(t) c(t) = i Analog d(t) = Ce ɛ+g (ɛ + g)dt c(t) = Ce i (t t0) ɛ g i (t t0) ( c(t) Lösung in ursprünglicher Basis: ψ(t) = U ( ) d(t) = C e i ɛ (t t0) e ig (t t 0 ) + e ig (t t 0 ) e ig (t t 0 ) e ig (t t 0 ) = C ( ) e i ɛ (t t0) cos( g(t t0) ) i sin( g(t t0) ) ( ) Mit Randbedingungen ψ(0) = 0 ( t 0 = 0, C = und ψ(t) = e i ɛ t cos( gt ) i sin( gt ) ) = ( ) ) ( c(t) d(t) ) B..3 Aufgabe 3: Bohr-Sommerfeld-Quantisierung. Harmonischer Oszillator: T: Quantenmechanik 30 LMU München

240 B Lösungen zu den Übungsaufgaben H = p m + mω x = E klassische Hamiltonfunktion klassische Umkehrpunkte: p = 0 x = E E mω, x ± = ± mω =: ±x 0 Quantisierungsregel: pdx =! hn x Wegintegral über eine volle Periode C C = Darstellung von p: p = ± m(e mω x ) (p > 0 auf dem gewählten Weg x x + ) x + x m(e mω x )dx = mit E mω = x 0 E = ωn x, n x N 0 +x 0 mω x 0 x + x E mω x dx = π E ω! = hn x (Quantisierende Energien des H.O. ohne Grundzustandsenergie; damit wird das Spektrum allerdings korrekt beschrieben). Klassische Mechanik (Kepler-Problem) für das Wasserstoffatom Idee: Die Bohr-Sommerfeld-Regel wählt aus allen möglichen Lösungen des klassischen Zentralkraftproblems die (im Sinne einer Quantentheorie) zulässigen Lösungen aus. H = m (p r + L r }{{} Zentrifugalterm ) e r }{{} Coulombpotential = E klassische Hamitonfunktion, L > 0 Drehimpuls, E < 0 gebundene Zust. Sommerfeldbedingungen (a) C Ldϕ! = lh, da ϕ zyklische Variable L = l (Drehimpulsquantisierung) (b) p r dr =! n r C klassische Umkehrpunkte (p r = 0): r / = me ± 4m e 4 +8mEL 4mE = e E ( ± + EL me 4 ) T: Quantenmechanik 3 LMU München

241 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Darstellung von p r (r): p r(r) = me + me r r r p r dr = m E ( + e r r Substitution: L r = me( + e Er E r L m E r ) dr L mer ) r = e E r, dr = e E dr, r / = E e r / = 4a mit a = E L me 4 me = 4 E r r me = π 4 E π L = (n r + n φ ) = + r a r dr = me 4 E }{{} L = n r n φ me 4 E Energieniveaus im H-Atom: E n = me4 n mit n = (n r + n φ ) me 4 E π ( E L me ) =! n 4 r B..4 Aufgabe 4: 3D Zustandsraum. L z = , L z = , S = , S = Da σ = σ Hermitesche Matrizen. [M, L z ] =! 0 M = m m m 33 [N, L z ] =! 0 N = n 0 n 3 0 n 0 n 3 0 n 33 [σ, S ]! = 0 offensichtlich für alle P (da S = ) 3. Ein Satz von Operatoren heißt vollständig, wenn eine gemeinsame Basis von Eigenvektoren existiert, auf der die Tupel der Eigenwerte (λ i, µ j ) nicht entarten. T: Quantenmechanik 3 LMU München

242 B Lösungen zu den Übungsaufgaben L z, S : Gemeinsamer EV v =: q Im verbleibenden Unterraum { v, v 3 } }{{} U Diagonalisierung von S q = ( v + v 3 ) und q 3 = ( v v 3 ) gemeinsame Eigenbasis QZ von L z, S q 0 + q + ent- + aufge- q 3 + artet hoben L z, S : Da S = sind im Unterraum U die EV von L z, S gleichermaßen entartet, d.h. L z, S nicht vollständig T: Quantenmechanik 33 LMU München

243 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.3 Blatt B.3. Aufgabe 5 ψ = ( + + ) = ( σ x = ( 0 0 ) ( 0 i, σ y = i 0 ) ) ( 0, σ z = 0 ) Axiome der QM: (Sketch). Zustand einer QSystems beschreiben Kets ψ H (Hilbertraum). Messbare Größen werden durch hermitesche Operatoren auf H (Observable) dargestellt 3. Messwerte können nur Eigenwerte λ i der Observablen sein 4. Wahrscheinlichkeit für Messung des EW λ i eines normierten Zustandes ψ folgt aus der Projektion auf den zugehörigen Eigenraum P(λ i ) = v(λ i ) ψ (diskret, nicht entartet) dp(α) = v(α) ψ dα (kontinuierlich) P(λ i ) = j v j(λ i ) ψ (entartet, v j sind z.b. ONB im Eigenraum zu λ i ) 5. Messung impliziert Projektoren auf EZ der Observable: ψ Pn ψ ψ Pn ψ (Kollaps der WF) Lösung der Aufgabe:. Messung = Projektion von ψ auf EV von σ z ( ) ( ) 0 λ =, v =, λ 0 =, v =, P σz (λ = ) = ψ v ( =, P ) σ z ( (λ = ) ) =, 0 ψ σ z ψ = ( ) = 0 = 0 i λ ip(λ i ) ( ).. Messung = Präparation im EZ ψ = ( ) 0 i A = Diagonalisierung + i T: Quantenmechanik 34 LMU München

244 B Lösungen zu den Übungsaufgaben ( λ)( λ) ( + i)( i) = λ =! 0 λ / = ± 3, y λ = ( λ)( + i)x λ ( ) EV: (3 λ) ( λ)( + i) = a λ P A (λ = 3) = ψ a 3 = 3 3 P A (λ = 3) = ψ a 3 = 3+ 3 P A = Erwartungswert: = 3( ) 3 6 = = ψ A ψ 3. Die zweite ( Messung initiiert das ) System in ψ 3 = ( + 3)( + i) 3+ 3 P σz (λ = ) = ψ 3 v = 3+, ψ 3 3 v P σz (λ = ) = ψ 3 v = 3+ 3 ( 3)(+i) = ( ψ 3 v EW: ψ 3 σ z ψ 3 = 3 3 (3+ 3) 3 ) (3+ = 3+ 3) 3+3, 4. Durch die Messung in 3. ist das System in einem EZ von σ z übergegangen. Die 4. Messung liefert also das selbe Ergebnis wie die dritte, λ / = ±, ψ 4 = v / B.3. Aufgabe 6. ( A) = (A A ) = A A A + A }{{} = A A. ist linear, ziehe A heraus Sei A α = λ α, α EZ von A α ( A) α = α A α α A α = λ (λ) = 0 N.B. A ist hermitescher Operator. z.z. ( A) ( B) 4 [A, B] Schwarzsche Ungleichung (sei λ C) 0 α+λβ = α+λβ α+λβ = α α +λ β α +λ α β + λ β β Wähle λ = β α β β, 0 α α β β α β β α + α β β α α α β β α β (S) T: Quantenmechanik 35 LMU München

245 B Lösungen zu den Übungsaufgaben einsetzen in (S) α = (A A ) ψ und β = (B B ) ψ ψ ( A) ψ ψ ( B) ψ ψ A B ψ = ψ [ A, B] + { A, B} ψ [ A, B] = [A, B] = AB BA = mit A,B hermitsch = A B B A = (BA AB) = [A, B] d.h. Kommutator hermitescher Operatoren ist anti-hermitesch, d.h. der Erwartungswert [A, B] rein imaginär analog A, B reell = 4 ψ [A, B] ψ }{{} rein imaginär + ψ {A, B} ψ }{{} rein reell 4 ψ [A, B] ψ N.B. C z = a + ib z = a + b b 3. [σ x, σ y ] = iσ z, nutze σi = für i = x, y, z ( σ x ) ( σ y ) σ x 0 ( ) α Ansatz: ψ =, α β + β = (N) Extremale Unschärfe: ( ( ) ( )) 0 α ( σ x ) = (α, β) = 4(αβ) 0 β ( ( ) ( )) 0 i α ( σ y ) = (α, β) = 0 = i 0 β ( σ x ) ( σ y ) (N) = 4α ( α )( ) d dα ( )! = 0 8α + 6α 3 = 0 α = 0 (Maximun), α /3 = ± (Minimum) weiteres Maximum für α = am Rand des Intervalls α [0; ] Zustände maximaler Unschärfe ψ max = ( 0 ), ψ max = ( 0 ) sind EZ von σ z ) vgl. Teilaufga- ( Zustände minimaler Unschärfe ψ/ min = ± be. T: Quantenmechanik 36 LMU München

246 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.3.3 Aufgabe 7: Exponentialoperatoren. e A+B = i i! (A + B)i = i i j=0 i! j!(i j)! Aj B (i j) (Binominalentwicklung, verlangt [A, B] = 0) Vergleich mit Cauchy-Produkt-Darstellung e A e B = ( i i! Ai )( i i! Bj ) = i=0 = e A+B = e B+A = e B e A i j=0 Aj j! B i j (i j)! = i=0 i! i j=0 i! j!(i j)! Aj B i j } {{ } (A+B) i Cauchy-Produkt-Formel: (vgl. Analysis I) Es seien a n, b n absolut konvergente Reihen. Dann gilt:. Mit σ x = ( 0 a n)( 0 b n) = 0 ( n i=0 a ib n i ) Binominalentwicklung: (für [A, B] = 0) (A + B) n = n k=0 ( n k ) A k B n k e iασx = n n! (iα)n σ n x = Aufspalten in gerade und ungerade Potenzen = n=k n! (iα)n + n=k+ n! (iα)n σ x = cos(α) + i sin(α)σ x (Reihendarstellung von sinx, cosx) ( cosα sinα 3. e iασy =... cos(α) + i sin(α)σ y = sinα cosα ) 4. [σ x, σ y ] 0, d.h. keine ( triviale Zerlegung ) des Exponentialoperators 0 λ iµ Ω = λσ x + µσ y = λ + iµ 0 ( ) λ Ω = + µ 0 0 λ + µ =, da λ + µ = n.v. e iαω = cos(α) + i sin(α)ω 5. (a) e iσx = n n! (i)n σ n x = n=k+ n! (i)n σ x + n=k n! (i)n = i sin()σ x + cos() e iσx =...i sin()σ x + cos() analog ( ) ( cos() i sin() cos() i sin() (e iσx ) = i sin() cos() i sin() cos() ) T: Quantenmechanik 37 LMU München

247 B Lösungen zu den Übungsaufgaben ( ) cos = () sin () i sin()cos() i sin()cos() sin () + cos = (Additionstheoreme) () ( ) cos() i sin() = = e i sin() cos() iσx (offensichtlich, da σ x mit sich selbst vertauscht!) (b) Ω = σ x + σ y = λ =, µ = in (4.) Ω = ( 0 + i i 0 ) = e iω = n=k n! (i)n + n=k+ (i)n Ω = cos() + i sin()ω Vergleich mit e iσx e iσy = [i sin()σ x + cos()] + [i sin()σ y + cos()] = sin ()iσ z + i sin()cos()(σ x + σ y ) }{{} Ω + cos () = [cos () i sin ()σ z ] + i sin()ω Die beiden Matrizen sind nicht identisch, da [σ x, σ y ] 0 und die Operatorzerlegung aus. somit nicht gilt. T: Quantenmechanik 38 LMU München

248 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.4 Blatt 3 B.4. Aufgabe 8: Sequenz von Stern-Gerlach Experimenten ( ) ( ) σzi +. Messung: Nur Atome im Zustand = werden σ zi 0 ( ) durchgelassen ψ = 0 ( ) nz n. Messung: ˆn σ = x ist zu diagonalisieren n x n z (n z λ)(n z + λ) n x = λ (n z + n x) = λ! = 0 wobei (n z + n x) =, da n Einheitsvektor λ, = ± ( ) x EV zum EW λ = + sei v + = y ( x y ) ( nz n x n x n z ) = 0, (n z )x + n x y = 0 und n x x (n z + )y = 0 x = nz+ n x ) v + = (nz+) ( ) ( ) ( nz + nx sin β mit n = = n x n z cosβ y dies ist der Systemzustand nach der.messung ψ = v + P( λ = + gemessen in. Messung )=:P = ψ v + = nz+ ( ) 0 3. Messung: Es wird σ z = gemessen 0 ( ) 0 im EW λ σz =, v σz = P( λ σz = in der 3. Messung )=:P 3 = ψ v σz = n x Transmittierte Intensität: I = I 0 }{{} = P P 3 = nz+ I = 4 sin β maximal für β = ± π ( n x nx (n z+) n = n y ) = (nz+) ( sin β cosβ ) T: Quantenmechanik 39 LMU München

249 B Lösungen zu den Übungsaufgaben maximale Transmission, falls die. Messung ausschließlich σ x misst. B.4. Aufgabe 9: Zeitentwicklung im dreidimensionalen Zustandsraum. t = 0 : E( u ) = ω und E( u ) = E( u 3 ) = ω P(E = ω) = v ψ(t = 0) = und P(E = ω) = ( u + u 3 ) ψ(t = 0) = mit ( u + u 3 ) = Einheitsvektor im UVR zu E = ω E = ω( + ) = 3 ω und VarE= E E = [ ( ω) ( + 4) 9 4 ω ] = ( ω) 4 N.B. Völlig identisch: Matrix-Formalismus E = (,, ) = 3, etc.. Diagonalisiere A/α (sonst: Achte auf Faktoren a) ( λ)λ ( λ) = ( λ)(λ ) = ( λ) ( + λ)! = 0 λ, = + (entarteter EW) und λ 3 = EV zum EW λ 3 = : x y z = 0 x = 0 y + z = 0, v = 0 P( λ 3 = gemessen ) = v ψ(t = 0) = = 0 = 0 T: Quantenmechanik 40 LMU München

250 B Lösungen zu den Übungsaufgaben P( λ, = + ) = P( Wert + a gemessen ) = Da ψ(t = 0) ein Zustand aus dem Untervektorraum zum Eigenwert λ = + ist, ist der Zustand nach der Messung unverändert. 3. Zeitentwicklung für den Zustand ψ(t) = u (t) u (t) u 3 (t) SGL: i d dt ψ(t) = H ψ(t) i d u (t) u dt (t) = ω u (t) u (t) u 3 (t) u 3 (t) 3 DGL s entkoppeln (H diagonal) du u = iωdt u (t) = e iωt Randbedingung aus ψ(t = 0) analog u,3 (t) = e iωt 4. ψ(t) = u (t) u (t) = u 3 (t) e iωt e iωt e iωt a A = ψ(t) A ψ(t) = (u (t), u (t), u 3(t)) u (t) u (t) 0 0 u 3 (t) = u (t) + u (t)u 3(t) + u 3 (t)u (t) = = (zeitunabhängig) b B = ψ(t) B ψ(t) = (u (t), u (t), u 3(t)) u (t) u (t) 0 0 u 3 (t) = u (t)u (t) + u (t)u (t) + u 3 (t) = e iωt + eiωt + 4 = cos(ωt) + 4 (oszillierend) 5. Messung von A: ergibt stets die Eigenwerte von A, ± P( Messung von A ergibt a ) = v ψ(t) T: Quantenmechanik 4 LMU München

251 B Lösungen zu den Übungsaufgaben = 0 u (t) u (t) u 3 (t) = 0 P( Messung von A ergibt + a ) =, d.h. ψ(t) ist aus dem Eigenvektorraum (UVR) von A zum EW + zu allen Zeiten Messung von B: λ ( λ) ( λ) = ( λ)(λ + )(λ )! = 0 λ, =, λ 3 = Eigenvektor zum Eigenwert λ = : x y z = 0 x = y v = 0 P( Messung von B ergibt b ) = v ψ(t) = = e iωt e iωt = (e iωt + e iωt ) = cos(ωt) P( Messung von B ergibt + b ) = cos(ωt) Interpolation: Da [A, H] = 0 sind die Erwartungswerte von A zeitunabhängig; dieses gilt nicht für [B, H] 0. B.4.3 Aufgabe 0: Zwei-Zustands-System ( ) ( ) 0 L = : Teilchen sicher links, R = : Teilchen sicher rechts 0 H = ( L R + R L ), > 0 ( 0. H = 0 v + = ( ), EW: λ = ±, Eigenenergien ± ), v = ( ) sind EV T: Quantenmechanik 4 LMU München

252 B Lösungen zu den Übungsaufgaben ψ(t) = ( c (t) c (t) ) sei zeitabh. Zustand Lösung der SGL in der Diagonalbasis ψ(t) = ( c (t) c (t) U + = ( SGL: i t ( c (t) c (t) ) = U + ψ(t) ) ist diagonalisierende Tranformation (hier U = U + ) ) ( 0 = 0 ) ( c (t) c (t) ) ( c (t) = c (t) ) c (t) = e i (t t0) c (t 0 ) und c (t) = e i (t t0) c (t 0 ) ψ(t) = U ψ(t) = ( ) ( e i (t t0) c (t 0 ) e i (t t0) c (t 0 ) ) = ( e i (t t0) c (t 0 ) + e i (t t0) c (t 0 ) e i (t t0) c (t 0 ) e i (t t0) c (t 0 ) ) ( ). Randbedingung ψ(t = 0) =! erfüllt, falls t 0 0 = 0, ( c (0) = c (0) = cos(, damit ψ(t) = t) ) i sin( t) P( Teilchen links ) = L ψ(t) = cos ( t) P( Teilchen rechts ) = R ψ(t) = sin ( t) Das Teilchen oszilliert zwischen den beiden Zuständen L und R ; dabei beobachtet man die Oszillation in der Besetzungszahl ( ˆ= hier Wahrscheinlichkeit) (Rabi-Oszillation) B.4.4 Aufgabe : δ-funktion. A) T: Quantenmechanik 43 LMU München

253 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B) n δ n (x)dx = n ndx = n n + n = lim f(x)δn (x)dx = lim n n = lim n n( n n n n )f(ξ) = f(0), f(x)ndx ξ [ n, n ] Mittelwertsatz (verlangt f(x) stetige Testfunktion) δ n (x)dx = n π vgl. Bronstein 0 e n x dx = n π π n = e a x dx = π a Am einfachsten ist der Rückgriff auf die Eigenschaften der Normalverteilung P NV (x) = σ π e x σ (Wahrscheinlichkeitsverteilung) Φ(x) = x P NV (x )dx (Kumulative Verteilungsfunktion) Erwartungswert einer beliebig scharf um 0 konzentrierten Normalverteilung Mit σ = n ergibt sich die Aufgabe lim f(x)p(x; σ = n n )dx f(x)p(x; σ 0)dx = f(0) (Theorie der Normalverteilung). Integriere gegen eine Testfunktion: Substitution: y = ax und y 0 = ax 0 f(x)δ(a(x x0 ))dx = A k = lim a f( y k k a )δ(y y 0) dy a a Fallunterscheidung in den Integrationsgrenzen: a>0 = f( y a )δ(y y 0) dy a = a f(x 0) T: Quantenmechanik 44 LMU München

254 B Lösungen zu den Übungsaufgaben a<0 = = a f( y a )δ(y y 0) dy a = a f(x 0) f(x)δ(x x0 )dx 3. Partielle Integration für Funktionenfolge f(x)δ n (x)f (x)δ n(x) f(x)δ (x)dx = lim = lim n [ 4. lim x n n f(x)δ (x)dx f(x)δ n(x) }{{} Randterme verschwinden δ n (x )dx = A lim n Fallunterscheidung: f (x)δ n (x)dx]. = f (0) ], x] [ n, n ] ndx }{{} Ω x < n : 0 und x > + n : x [ n, n ] (n ) x = 0 = Θ(x) Ω ndx = n( n n ) =, Ω ndx = n(0 n ) = (B) Hier kann man beispielweise weitere Eigenschaften der Normalverteilung benutzen: Kumulative Verteilungsfunktion Φ(x) = x P NV σ (x )dx = x ( + erf σ ) mit erf(x) := π x 0 e t dt Gauß sche Fehlerfunktion lim erf(x) = ±, erf(0) = 0, setze σ = x ± n B = lim n x n π e n x dx = lim n ( + erf(n x)) = = x > 0 für x = 0 0 x < 0 = Θ(x) T: Quantenmechanik 45 LMU München

255 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Eine diskrete Berechnung funktioniert genauso: Substitution: y = nx B = lim x n n π e n x dx = = lim nx n π e y dy Es verbleibt nur eine Diskussion der Grenzen: = x > 0 für x = 0 s.o. 0 x < 0 = Θ(x) T: Quantenmechanik 46 LMU München

256 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.5 Blatt 4 B.5. Aufgabe : Wellenfunktion.! = N = a π ψ(r) dr = N a +r dr r r a = N a. P( Aufenthalt im Ortsintervall [ a 3, 3 ] ) = ψ(r) dr = a 3 = a π a arctan(r ) 3 = 3 3 a 3 +r dr = N a arctan(r ) }{{} π 3. r = r ψ(r) dr = 0 p = ψ i x ψ = N r dr e ip0 (Antisymmetrie) [ i p 0 a + r ( i ) e +ip0 r a + r r eip0 B.5. Aufgabe 3: Ehrenfest Theorem. Durch Induktion: (a) [r, p ] = i (b) Annahme: [r, p n ] = i np n (c) Induktionsschluss [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] r a + r 3 ] = p = p 0 [r, p n+ ] = [r, p n ]p+p n [r, p] = i np n +i p n = i (n+)p (n+) Analog für [p, r n ] = i nr n Beweis für Taylor-entwickelbare Funktionen f(r) = n f (r) = n n! f(n) (0)r n n! (nf(n) (r)r n ) T: Quantenmechanik 47 LMU München

257 B Lösungen zu den Übungsaufgaben [p, f(r)] = n = n n! f(n) (0)[p, r n ] = n! f(n) (0)( i nr n ) = i f (r) Analog für [r, f(p)] = i f (p) Allgemeiner gilt auch Testfunktionen ψ(r): [ i d dr, f(r)]ψ(r) = i ( r (f(r)ψ(r)) f(r) r ψ(r)) = = i ( df dr ψ + f ψ r f ψ r ) = i f ψ. Im Schrödingerbild: ψ SGL: i ψ(t) = H ψ(t) ψ(t) = i H ψ(t) (herm. Konj.) d dt ψ(t) r ψ(t) = ψ(t) r ψ(t) + ψ(t) r ψ(t) = i ψ(t) Hr rh ψ(t) = = i ψ(t) [H, r] ψ(t) = i ψ(t) m [p, r] + 0 ψ(t) = m p wobei [p, r] = i p nach 3.() analog: d dt p = d dt ψ(t) i r ψ(t) = i ψ(t) [H, r ] ψ(t) = = ψ(t) r V (r) ψ(t) = V (r) wegen Kettenregel für Operatoren : [H, r ] = H r r (H...) = H r H r H H r... = r = V (r) r N.B.: Folgt aus Definition der Operatorableitung über beliebige Testfunktionen, vgl. 3..() 3. Ehrenfest: Die Mittelwerte von Ort- und Impulsunschärfe scheinen klassischen Bewegungsgleichungen zu genügen Vorsicht: Mittelwertbildung! T: Quantenmechanik 48 LMU München

258 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Quasiklassische Trajektorie eines Wellenpaketes sinnvoll beschreiben durch Mittelwert des Ortsoperators r klassisch = ˆr F klassisch = [ V (r)] r= ˆr Quasiklassische Kraft (ausgewertet für quasiklassische Bahn) i. allg. V (ˆr) }{{} Operator }{{} qm Mittelwert [ V (r)] }{{} r = ˆr }{{} Kraft auf klass. Bahn Mittelwert b= klassische Bahn Vergleich der Mittelwertbildungen: Sei V (r) = λr n, V ( r ) = λ r n, [ dv dr ] r= r = λn r n, i. allg. r n r n Gleichheit gilt nur für die Fälle n = 0 (freies Teilchen) n = (uniformes Kraftfeld) n = (H.O.) B.5.3 Aufgabe 4: Virialsatz. H Φ n = E n Φ n Φ n Eigenfunktion Φ n AH Φ n }{{} Φ n H }{{} A Φ n = E n Φ n A Φ n E n Φ n A Φ n = 0 (0) da Hamiltonoperatoren hermitesche Operatoren mit reellen Eigenwerten sind.. [H, p] = [V (r), p] = i V (r) (3..) [H, r] = [ p m, r] = m ( i )p () [H, rp] = [ p p m, r]p + r[v (r), p] = i m + i rv (r) () 3. Φ n p Φ n () = i m Φ n [H, r] Φ n (0) = 0 T: Quantenmechanik 49 LMU München

259 B Lösungen zu den Übungsaufgaben 4. p m () = i [H, rp] i rv (r) (0) = rv (r) Für V (r) = V 0 r n, V (r) = nv 0 r n p m = n V 0r n = n V (r), d.h. E KIN = n E POT B.5.4 Aufgabe 5: Wellenpakete mit minimaler Unschärfe Schwarz: Φ Φ ψ ψ Φ ψ Aufg. 6, Blatt : Darstellung durch Kommutator ψ ( A) ψ ψ ( B) ψ ψ [ A, B] + { A, B} ψ Für den Otrs- und Impulsoperator gilt mit [r, p] = i : r p Definition: Φ = (ˆx x ) Φ Φ Φ = ( x) ψ = (ˆp p ) ψ ψ ψ = ( p) Ansatz für ein minimales Wellenpaket: Wähle ξ = Φ x + i ψ p Motivation für diese Wahl: 0 ξ ξ = ( Φ x i ψ p )( Φ x +i ψ p ψ Φ Φ ψ ) = i p x +i p x = +i x p Ω [x, p] Ω = = ψ Φ x p (vgl. Blatt, Aufg. 6 mit {A, B} = 0) Falls ξ = 0 gilt diese Ungleichung scharf. Dann gilt aber auch die Schwarz sche Ungleichung scharf: x p = ψ Φ D.h. wir konstruieren das Wellenpaket mit minimaler Unschärfe aus ξ = 0 Die Ortsdarstellung von ξ führt zu einer DGL für das Matrixelement r ξ : r ˆx x x Ω + i r ( i r p ) p Ω = 0 r x x r Ω + d dr r Ω i p r Ω = 0 p T: Quantenmechanik 50 LMU München

260 B Lösungen zu den Übungsaufgaben r x d r Ω r Ω = x +i p p! dr ln r Ω = p x ( r r x ) + i p r Für minimales WP: x p = r Ω = e (r x ) ( x) +i p r + x ( x) d.h. das Gauß sche Wellenpaket hat minimale Unschärfe Normierung führt zum angegebenen Ergebnis T: Quantenmechanik 5 LMU München

261 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.6 Blatt 5 B.6. Aufgabe 6: Freies Teilchen in einer Dimension Darstellungen qm Zustände: ψ allg. Vektor im Hilbertraum ψ = ψ = dx x ψ x, ψ(x) = x ψ Ortsdarstellung dp π dx p ψ p, ψ(p) = p ψ Impulsdarstellung durch Einfügen von = dµ i i i in der jeweils gewählten Basis. Übergang durch Fouriertransformation: x ψ = dp }{{} π Ortsdarstellung von ψ x p }{{} Ortsdarstellung der p -Basis=e ipx p ψ }{{} Impulsdarstellung von ψ. Ablesen der Impulsdarstellung von ψ aus der Angabe (p = k): ψ(x, t = 0) = dk π eikx [N π e k k 0 ] }{{} ψ(k,t=0) P(k [ p, p ], t = 0) = p p dk ψ(k, t = 0) π p 0 k k 0 = πn dk e p p 0 = πn dk e k k 0 + dk e p = πn k 0 [ = πn k 0 e p k k 0 ] [ e p k e p k 0 k 0 ]. Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen T: Quantenmechanik 5 LMU München

262 B Lösungen zu den Übungsaufgaben i t ψ(x, t) = Ĥψ(x, t) mit Ĥfreie Teilchen = ˆp m Lösungen haben die Form ebener Wellen: Et i(k x ψ(x, t) = e ) Einfache Zeitentwicklung der Basiselemente einer Fourierzerlegung ψ(x, t) = P(p, t) = p p dk iet e ψ(k, t = 0) π }{{} ψ(k,t) dk π ψ(k, t) = p p dk π ψ(k, 0) ist zeitunabhängig! 3. ψ(x, t = 0) = N 0 dk e ( k 0 +ix)k + 0 ( ) 0 = N k 0 + ix + k 0 + ix k = N 0 + ix + k 0 ix ( ) k 0 + x = N k 0 ( k 0 ) + x dk e ( k 0 +ix)k Lorentzkurve x = = N 4 k 0 = N 4 k 0 = 0 ψ(x) x dx dx x ( ( k 0 ) + x ( ( ) ) k 0 + x ) T: Quantenmechanik 53 LMU München

263 B Lösungen zu den Übungsaufgaben x =... 4N k 0 = N k 0 π x ( ) + k 0 + x k arctan(k 0x) 0 Mit Normierung im Ortsraum = dx ψ (x, t = 0) ψ(x, t = 0) = dx N dk e k k 0 e ikx = N dk dk e ( k + k ) k 0 = πn 0 dke k k 0 dk e k k 0 e ik x dx e i(k k )x } {{ } πδ(k k ) = πn k 0 N = πk0 Weitere Erwartungswerte: x = p = π x x = N = k 0 k 0 ψ(p) p p = 4πN p = k 0 0 dp π = πn e k k 0 k dk = k 0 x p = k k e 0 k dk = 0 ( ) 3 = k 0 4 k 0 Heisenbergungleichung gilt scharf! B.6. Aufgabe 7: Zeitentwicklung eines Gaußsches Wellenpakets.! = N ψ(x, t = 0) dx = N. Zeitentwicklung: Berechnung in Impulsdarstellung e ax dx = N π a N = 4 a π x ψ(x, t) = dk }{{} π x k }{{} ψ(x,t) Ortsd. e ik x e i E }{{} t Zeitentw. für ebene Wellen k ψ(0) }{{} ψ(k,0) ( ) T: Quantenmechanik 54 LMU München

264 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Impusldarstellung von ψ(t = 0) : ψ(k, 0) = k ψ(0) = dx k x x ψ(0) = dx e ik x Ne ax +ikx = N dx (I) = π (k k N ) a e 4a es gilt: e a(x i(k k ) a x (k k ) 4a (Fouriertransformation des Wellenpakets) e a(x i(k k ) a x (k k ) 4a + (k k ) 4a ) )...Gauß sches Integral = π a Einfache Zeitabhängigkeit in der Impulsdarstellung (Propagation ebener Wellen) ψ(k, t) = e i E t ψ(k, 0) = e i k t m ψ(k, 0) mit E = p m = k m für freie Teilchen Rücktransformation in die Ortsdarstellung: ψ(x, t) = x ψ(x, t) nach( ) π dk = N a π dk = N a Setzte b = ( 4a + i t m π dk = N a ( π π = N a π b π eik x e i k t m e (k k ) 4a π e ( 4a + i t m )k +(ix+ a k)k ), 4ab = + i a m t und c = (ix + a k) π e b[k c b k + c 4b c k 4b ] 4a ) e c 4b k 4a wobei e b[k c b k + c 4b ]...Gauß sches Integral und e k 4a 4b (c k a b) = 4b ( x + k aikx+ 4a k 4a i k t ma ) = 4ab ( ax +ikx i k t m ) ψ(x, t) = 4 a π a b e a( x +ik x a i k t ma ) +i a m t T: Quantenmechanik 55 LMU München

265 B Lösungen zu den Übungsaufgaben 3. ψ(x, t) = a π 4a a +( a m t) e a(x m ktx+ k ) m t +( m at) = aπ ω(t) e ω (t)(x kt m ) 4. Die gesuchten Erwartungswerte lassen durch Vergleich mit der allg. Gauß verteilung e (x x ) ( x) ( x) ablesen: x = k m t = vt (v: Geschwindigkeit des Gauß-Wellenpakets) ( x) = ω(t) x = ( x) + x = 4ω (t) + v t Analog aus ψ(k, t) = ψ(k, 0) = a π π a (k k ) e a ( p) = ( k) = a, p = k p = ( p) + p = a + k 5. ( p)( x) = a ω(t) = + ( at m ) minimale Unschärfe ( p)( x) für t=0 t = 0 : ( p)( x) = gilt exakt WP minimaler Unschärfe, vgl. Aufgabe 5 t > 0 : ( p)( x) > (t >> 0 : Dispersion des Wellenpakets!) B.6.3 Aufgabe 8: Teilchen mit konstanter Kraft. Ehrenfest: d dt x = m p und d dt p = V (x) Mit V (x) = x ( fx) = f = const x, p genügen den klassischen Bewegungsgleichungen: T: Quantenmechanik 56 LMU München

266 B Lösungen zu den Übungsaufgaben p = ft + p 0, x x 0 = f m t + p0 m t (vgl. Newton: v = at + v 0, x = at + vt + x 0 ). p = m(h V ) = me + mf x = me + f t + p 0 ft + mf x 0 ( p) = p p = me + mf x 0 p 0 = p p 0 0 mf x 0 m( }{{} m f x 0 ) Energieerhalt: E=E 0 = ( p 0 ) }{{} Varianz zeitunabhängig, d.h. t( p)(t)=( p)(0) (B.) 3. SGL: i p tψ(p, t) = [ m + V (i p )]ψ(p, t) t p ψ(t) ψ(t) p = p ψ(t) ψ(t) p + p ψ(t) ψ(t) p = ([ p i m fi ] ) ψ(p, t) p ( ) = f ψ(p, t) p = f ψ(p, t) p = f p p ψ(t) ( ) ψ (p, t) fψ(p, t) ψ (p, t) i ([ p ψ(p, t) ) ( p ψ (p, t) m + fi p ] ) ψ (p, t) Allgemeine Lösung: für beliebige Funktion g(x) ψ(p, t) = g(ft p)e iφ p (g (ft p)) = g g x x p = gg ( ) t (g (ft p)) = g g x x t = gg f ( ) Eine beliebige Wellenfunktion ψ(p, t) propagiert im Impulsraum linear in der Zeit (vgl. allg. Lösung z.b. zur Wellengleichung) T: Quantenmechanik 57 LMU München

267 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.6.4 Aufgabe 9: Translationsoperator. [ˆx, e ipx ˆ a ( ] = i a n [x, pˆ x n! ) n ] }{{} n = a n = ae i px ˆ (n )! i npˆ n x (vgl. Blatt 4) ( i ) a n px ˆ n = a ˆT a. Sei ˆx x = x x, d.h. x EZ mit EW x ˆx[ ˆT a x ] = ( ˆT aˆx + [ˆx, ˆT a ]) x = ( ˆT aˆx a ˆT a ) x = ˆT a (x a) x da x EZ zu ˆx = (x a)[ ˆT a x ] d.h. [ ˆT a x ] ist Eigenzustand von ˆx T: Quantenmechanik 58 LMU München

268 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.7 Blatt 6 B.7. Aufgabe 0: Unendlich tiefer Potentialtopf: Stationäre Zustände Stetigkeitsbedingungen der Wellenfunktion: ψ(0) = ψ(a) = 0 Sinusfunktionen ψ sin(k n x) Impulsquantisierung: k n = n π a = n π a Energie: E = p m = k m, E n = n 8ma Normierung: a a sin (k n x) dx = a 4k n sin(k n x) 0 0 { Wellenfunktion: ψ n (x) = a sin(k nx) für x [0, a] 0 sonst x n = a 0 a ψ n (x) x dx = x a sin (n π a x ) dx }{{} 0 z = ( a ) nπ z sin (z) dz a nπ = a = a = a 0 ( a ) [ nπ 4 (z + sin (z)) z ] nπ sin z cosz a 4 unabhängig von n 0 x n = a 0 ψ n (x) x dx T: Quantenmechanik 59 LMU München

269 B Lösungen zu den Übungsaufgaben = ( a ) 3 nπ z sin (z) dz a nπ 0 = ( a ) [ 3 n π 3 + nπ a nπ 6 4 nπ ] cos (nπ) ( a ) [ n π = ] nπ 3 ( x) n = x n + x n a = 3 a n π a 4 = a n π p n = a a 0 = i a k n = i a k n = 0 sin(k n x)( i x )sin(k nx) dx a 0 sin(k n x)cos(k n x) dx k n sin (k n x) a 0 p p n = m m = me n = h n 4a n ( p) n = hn a ( x) n = a n π ( x) n ( p) n = n π minimal für n= T: Quantenmechanik 60 LMU München

270 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.7. Aufgabe : Unendlich tiefer Potentialtopf: Dynamik (vgl. Aufgabe 0). φ (x) = φ (x) = (da a sin( π a x) a sin(π a x) ψ(x, t = 0) = (φ (x) + φ (x)) a sin( π a x)sin(π a x) dx = 0 wegen Symmetrie) 0 ψ(x, t = 0) = [ sin( π a x) + sin(π a x)]. SGL für Eigenmoden: i d dt φ n(t) = E n φ n (t) Ansatz: φ n (t) = sin(k n x)e iωnt mit ω n = π ma n =: ωn, ω = π ma x ψ(x,t) = a = a ψ(x, t) = (φ (x)e iωt + φ (x)e 4iωt ) ψ(x, t) = a a 4 + a = a 6a 9π cos(3ωt) = [ sin( π a a x)e iωt + sin( π ] a x)e 4iωt a dx xsin ( π a x) + a 0 ( a 4 + a cos(3ωt) [ ( sin π ) ( ) π ( π ) ( ) ] π a x + sin a x + sin a x sin a x cos(3ωt) a 0 ) 8a 9π Vergleich mit klass. Teilchen der Energie E: aus E = mv v = E m, T = a v (Periode) (bei konstanter Reflexion an Wänden) ω kl. = π T = π E a m, lineare Bahn des kl. Teilchens: { x(t) = vt für t [0, T ] (a vt) t [ T, T] ω QM = En dx xsin ( π a x) + a cos(3ωt) a Oszillation des qm. Ortserwartungswertes ( = Mittelpunkt des Wellenpakets ) 0 dx xsin ( π a x) sin ( π a x) x T: Quantenmechanik 6 LMU München

271 B Lösungen zu den Übungsaufgaben x (t) = a 3 ( }{{} 9π cos(3ωt)) A x oszilliert NICHT im gesamten Kasten, A <! p ψ(x,t) = a = i π a a = i π a 0 dx ψ (x)( i x ψ(x)) = a dx [ sin( π a x)eiωt + sin( π a x)e4iωt][ cos( π a x)e iωt + cos( π a x)e 4iωt] 0 a dx [ sin( π a x)cos(π a x)e 3iωt + sin( π a x) cos( π a x)e3iωt] 0 (wegen Orthogonalität von sinx und cosx) = i π a [ ( a 3π = 8 3a sin(3ωt) ) e 3iωt + ( ) ] 4a 3π e 3iωt 3. φ, φ sind Energieeigenfunktionen P( E gemessen ) = φ ψ(x, t) = P( E gemessen ) = φ ψ(x, t) = E = ( ω + 4 ω) = 5 ω = 5 h 8ma B.7.3 Aufgabe : Endlich tiefer Potentialkasten: Gebundene Zustände Sei E < 0 (gebundene Zustände) stationäre Zustände, d.h. zeitunabhängige SGL Außen ( x > a) : d ψ(x) m dx = Eψ(x) d ψ(x) dx = κ ψ(x), κ = me Innen ( x < a) : Lösung: ψ(x) = Be κ x d ψ(x) m dx V 0 ψ(x) = Eψ(x) d ψ(x) dx = l ψ(x), l = m(e+v0) T: Quantenmechanik 6 LMU München

272 B Lösungen zu den Übungsaufgaben z z 3 O z 5 π 3π z 0 5π π π z Abbildung B.: Graphische Lösung der transzendenten Gleichung (symetrisch) Anschlussbedingungen: Lösung: ψ(x) = C sin(lx) + D cos(lx) Stetig- und Differenzierbarkeit von ψ(x) an x = ±a Legen die Koeffizienten B, C, D fest. Symmetrische Lösungen: C=0: (I) ψ(a) innen! = ψ(a) außen : D cos(la) = Be κa (II) ψ (a) innen! = ψ (a) außen : ld sin(la) = κbe κa II I : l tan(la) = κ Def.: z=la, z 0 = a mv0, damit tan(z) = κ l = me m(e+v 0) = ( z0 z ). Grenzfall V 0 z 0 ( damit wird z0 ) z groß und schneidet den Tangens nahe an den Polen: z n n π, n ungerade ( n π ) = ( ( z0 z ) ) (nur ungerade Lösungen diskutiert) T: Quantenmechanik 63 LMU München

273 B Lösungen zu den Übungsaufgaben z z 4 O z 0 z 0 π 3π 5π π π z Abbildung B.3: Graphische Lösung der tranzendenten Gleichung (antisymetrisch) E n + V }{{ 0 = } n π m(a) Energie über Boden des Pot.-Topfes 3. Es gehe nun V 0 0 z 0 0 ( aus dem Verlauf der Kurven von tan(z), z0 ) z sieht man: es gibt immer mindestens eine symmetrische Lösung! 4. Antisymmetrische Lösungen: D=0 (I) ψ(a) innen! = ψ(a) außen : C sin(la) = Be κa (II) ψ (a) innen! = ψ (a) außen : lc cos(la) = κbe κa ( cot(la) = κ l und cot(z) = z0 ) z Für sehr flache Potentialtöpfe mit z 0 < π antisymmetrischen Zustand. gibt es keinen gebundenen 5. Delta-Potential: V (x) = αδ(x) Darstellung der δ-funktion mit Rechtecksfolge δ n (x) Flächeninhalt: a n V n = const = α Grenzprozeß a 0 V 0 } wobei av 0 = α = const T: Quantenmechanik 64 LMU München

274 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Diskussion von z und z 0 im Grenzfall ( z0 z ) = V 0 E+V 0 = E V 0 für V 0 d.h. das δ-potential entspricht (trotz seiner hohen Potentialwand) nur einem schwachen Potentialtopf. Es hat daher nur einen gebundenen symmetrischen Zustand (n=) ψ(x) = Be κ x Aus Normierung! = B 0 e κx dx B = κ (hier gelten andere Anschlussbedingungen für die Wellenfunktionen!) ( Die Energie des gebundenen Zustands ergibt sich aus tan(z) = z0 ) z Da z 0, z klein Linearisierung: tan(z) z, z = ( z 0 z ), z 4 + z z 0 = 0, z, = ± +4z 0 z 0 z 4 0 a (m(e + V 0 )) = a (mv 0 ) me = a (m) V 0, ( a ) (m) V 0, E = (av0) m = α m mit α = (a) }{{} V 0 Potentialtopf B.7.4 Aufgabe 3: Halbunendlicher Potentialtopf Randbedingungen: () Stetigkeit von ψ(x), ψ (x) an x = a (vgl. Aufgabe ) () ψ(0) = 0 Die Rechnung aus Aufgabe ) kann identisch übernommen werden. Mit der Randbedingung () sind jedoch nur die antisymmetrischen Lösungen verträglich. Für flache Potentialtöpfe gibt es also keinen gebunden Zustand. T: Quantenmechanik 65 LMU München

275 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.8 Blatt 7 B.8. Aufgabe 4: Eindimensionaler harmonischer Oszillator: Eigenschaften der stationären Zustände Darstellung durch Erzeuger und Vernichter x = mω (a + a) p ψ n = mω = i (a a) n! (a ) n ψ 0 x n = ψ n x ψ n = ψ 0 a n n! mω (a + a)a n ψ 0 = mω n + [ ψn ψ n+ + ψ n+ ψ n ] = 0 wg. Orthogonalität der stationären Zustände x n = mω n! ψ 0 a n (a + a a + aa + a )a n ψ 0 mit [a, a ] = aa a a = a a + aa = a a + = ˆn + und ψ 0 a n (a ) n+ ψ 0 = ψ 0 a n+ (a ) n ψ 0 = 0 = = mω ψ n ˆn + ψ n (n + ) mω p n = 0 analog p n = mω = mω (n + ) n! ψ 0 a n (a a a aa + a )a n ψ 0 ( x) n = x n x n = mω n + T: Quantenmechanik 66 LMU München

276 B Lösungen zu den Übungsaufgaben ( p) n = mω n + Gilt scharf für GZ (n=0), dieser ist Gaußförmig ( x) n ( p) n = (n + ) Für Potentiale V (r) = V 0 r k gilt nach Aufgabe 4 (Virialsatz der QM): E KIN = p m = n E POT = k V (r) Im harmonischen Oszillator: V (x) = mω x (k = ) p m n = ω 4 (n + )? = k mω mω (n + ) ist erfüllt B.8. Aufgabe 5: Eindimensionaler harmonischer Oszillator: Dynamik. ψ ψ = N (6 ψ 0 ψ 0 +9 ψ ψ ) N = 5 ( ψ i ψ j = δ ij, orthonormal). ψ(x, t) = 4 E 5 e i 0 t ψ E 5 e i t ψ E n = ω(n + ) ψ(x, t) = = [ 4 5 e iωt ψ0 (x) + 3 ] [ 5 e 3 4 iωt ψ (x) 5 e iωt ψ 0 (x) + 3 ] 5 e 3 iωt ψ (x) ( ) ( ) 4 3 ψ 0 (x) + ψ (x) ψ 0(x)ψ (x) cos(ωt) da ψ n (x) reell 3. Berechnung der Ortsdarstellungen: ( mω ) 4 ψ 0 (x) = e mω x π ψ (x) = x a ψ 0 = x = = ( mω mω π mω ( mω π ) 4 ( iˆp + mωˆx) mω ψ 0 ( mωx d ) e mω x dx ) 4 x e mω x T: Quantenmechanik 67 LMU München

277 B Lösungen zu den Übungsaufgaben ψ(x, t = 0) = ψ(x, t = 0) = ( mω ) ( 4 e mω 4 x π ) mω 5 x ( mω ) ( 4 e x x 4 0 π x ) x 0 4. x(t) ψ = ψ(t) mω (a + a) ψ(t) ( 4 = ψ 0 5 e iωt + 3 ) ( 5 e 3 4 iωt a mω (a + a) 5 e iωt + 3 ) 5 e 3 iωt a ψ 0 mω = ψ 0 5 e iωt aa + 5 eiωt aa ψ 0 mω = 4 5 cos(ωt) ψ 0 a a + ψ 0 mω = 4 5 cos(ωt) mω mω p(t) ψ = ψ(t) i (a a) ψ(t) mω = i 5 ψ 0 e iωt aa + e iωt aa ψ 0 = 4 mω sin(ωt) (analoge Schritte) 5 5. Ehrenfest: d dt x = p wird erfüllt m d p = V (x) = dt mω (x) = mω x wird erfüllt P(E = ω ) = ( ) 4 5 P(E = 3 ω ) = ( ) 3 5 E = ω 6. Analoge Rechnung für ψ(x, t) = 5 (4ψ 0(x) + 3ψ (x)) (3) ψ(x, t) = 4 5 e iωt ψ 0 (x) e 5 iωt ψ (x) T: Quantenmechanik 68 LMU München

278 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Konstruktion von ψ (x): ψ (x) = x a ψ 0 = mω x ( iˆp + mωˆx) ψ 0 ( mω ) ( = 4 mωx d ) e mω x mω π dx = mω ( mω ) ( 4 4x ) e mω x π mω ψ 0 (x) = ψ(x, t = 0) = ψ(x, t = 0) = ( mω ) 4 e mω x π ( mω π ( mω π ) 4 e mω x ( ) e mω x ( ( mω x ( mω x )) mω )) mω (5) P(E = 5 ω ) = ( ) 3, 5 P(E = ω ) = ( ) 4 5 E ψ = 6 50 ω (4) x(t) ψ = = ψ(t) mω (a + a) ψ(t) ( 4 ψ 0 5 e iωt + 3 ) ( 4 5 e 3 iωt a mω (a + a) 5 e iωt + 3 ) 5 e 3 iωt a ψ 0 = 0 p(t) ψ = 0 keine nichtverschwindenden Operatorprodukte der Form (a a) l... N.B. Orts- und Impulsoperator koppeln nur Zustände ψ n und ψ n± B.8.3 Aufgabe 6: Eindimensionaler harmonischer Oszillator: Klassisch verbotener Bereich E 0 = ω Grundzustandsenergie Umkehrpunkte einer klassischen Bewegung mit derselben Energie: T: Quantenmechanik 69 LMU München

279 B Lösungen zu den Übungsaufgaben E POT = mω x q E0! m = E 0 x = ± ω Die qm Grundzustands-Wellenfunktion erstreckt sich auch außerhalb dieses Bereichs: ψ 0 (x) = ( ) mω 4 π e mω x Aufenthaltswahrscheinlichkeit im klassisch verbotenen Bereich: (symmetrisch für x 0) P = = wobei y = mω x ψ(x) dx = mω π x e mω x dx e y dy = erf() 5, 7% > 0 π ω x und y = mω mω bzw. Ablesen aus tabellierter Verteilungsfunktion der Normalverteilung B.8.4 Aufgabe 7: Dreidimensionaler isotroper harmonischer Oszillator H = p m mω x = i=x,y,z p i m mωx i d.h. 3-D Oszillator zerfällt in die Summe aus 3 unabhängigen -dim. Oszillatoren. H = ω (a i a i + ) E 0 = 3 ω i mit a i, a i definiert wie in Aufgabe 4. aus ( ) a i ψ 0 = 0 i folgt analog zur Vorlesung 0 = x a x ψ0 x = m ω x iˆp }{{} x +mωˆx ψ 0 x dψ0(x) dx = mω x ψ 0(x) T: Quantenmechanik 70 LMU München

280 B Lösungen zu den Übungsaufgaben ψ0 x mω (x) = Ne x, N = ( ) mω 4 π Um ( ) für alle i zu erfüllen muss als Produkt darstellbar sein. ψ 0 (x, y, z) = ψ x 0(x)ψ y 0 (y)ψz 0(z) ψ 0 ( x) = ( ) 3 mω 4 π e mω x x Grundzustand Allgemeine Wellenfunktion: ψ (nx,n y,n z)( x) = (a nx!n x y!n z! )nx (a y )ny (a z )nz ψ 0 ( x) Quantenzahlen: (n x, n y, n z ) Energie Entartung 3 ω Grundzustand (0, 0, 0) keine (, 0, 0) 5 ω. Anregung (0,, 0) (0, 0, ) 7 ω. Anregung (,, 0)... (, 0, 0)... 3-fach entartet 6-fach entartet B.8.5 Aufgabe 8: Verschobener harmonischer Oszillator. klassische Elektrodynamik: F el = qe = grad V (x) V (x) = qe V (x) ist zusätzliches Potential im Hamiltonoperator.. H = ( p m + mω x qe ( qe mω x + mω ( = p m + mω ) x qe mω }{{ } y q E mω }{{} E ) ( ) ) qe mω T: Quantenmechanik 7 LMU München

281 B Lösungen zu den Übungsaufgaben dies ist ein harmonischer Oszillator mit E 0 = ω + E = ω q E mω Verschobenem Potential um x min = qe mω derselben Frequenz ω Eigenfunktionen ψn V 0 (x) des verschobenen Oszillators ( ) ψn V 0 (x) = ψ n (y) = ψ n x qe mω wobei ψ n (x): Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators 3. Bestimmung von γ: Schreibe H für die neuen Erzeuger-/Vernichteroperatoren und vergleiche mit H H = ω(a a + ) = ω ([ ip + mωx mω ] [ ] ip + mωx + γ + γ + ) mω = p m + mω x + i ( mω [x, p] + γ ωx + ω γ + ) Vergleich mit Angabe wird γ bestimmt: mω H ωγ = H = p m + mω x + γ ω x }{{} =: qe γ = qe ω mω, ωγ = q E mω ist Energieverschiebung Alternativer Lösungsweg: Einsetzen in H und Auflösen nach x, p: x = mω (a + a γ) mω p = i (a a) in H H V 0 = ω (a a + ) ωγ(a + a) qe mω (a + a) + γqe γ = qe ω mω läßt Terme (a + a) verschwinden H V O = H HO q E mω mω T: Quantenmechanik 7 LMU München

282 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Die Eigenfunktionen des verschobenen Oszillators sind gleich denen des harmonischen Oszillators, die Eigenenergien sind verschoben um E. 4. qx = ( ) q y + qe mω = q E mω 0 (resultierendes Dipolmoment) da y = 0 im harmonischen Oszillator T: Quantenmechanik 73 LMU München

283 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.9 Blatt 9 B.9. Aufgabe 3: Potential aus zwei δ-funktionen V (x) = α[δ(x + l ) + δ(x l )] Einzelnes δ-potential: E B = mα Bindungszustand. Ansatz für die Wellenfunktion: Ae +(x+ l )ρ x < l (= I) ψ(x) = Be (x+ l )ρ + Ce (x l ρ) x [ l, l ] (= II) De (x l )ρ x > l (= III) () Stetigkeitsbedingung der Wellenfunktion an x = ± l : x = l : A = B + Ce lρ () x = + l : D = Be lρ + C () () Unstetigkeitsbedingungen der Ableitung: folgen aus Integration der SGL in einer Umgebung um ± l d m dx ψ(x) α[δ(x + l ) + δ(x l )]ψ(x) = Eψ(x) x = ± l : m (ψ (± l +ɛ) ψ (± l ɛ)) αψ(± l ) = ɛeψ(± l ) ɛ 0 0 Unstetigkeitsbedingung: ψ (± l ) = ψ (± l ) + + mα ψ(± l ) Unstetigkeitsbedingungen: x = l : x = + l : Aρ = Bρ + Cρe lρ + mα A ρ (3) Bρe lρ + Cρ = Dρ + mα D ρ (4) Lösung des Gleichungssystems ()-(4): () + (3) ( µ ρ )A Ce lρ = 0 C = ( µ ρ )elρ A (3) () µ ρ A + B = 0 B = µ ρ A (4) () Be lρ + ( µ ρ )D = 0 D = B ( µ ρ )e lρ = µ ρ ( µ ρ )e lρ A T: Quantenmechanik 74 LMU München

284 B Lösungen zu den Übungsaufgaben (A verbleibt als allg. Konstante der Wellenfunktion) Einsetzen der Lösung in () gibt die gesuchte Beziehung µ ρ ( µ ρ )e lρ + µ ρ e lρ + ( µ ρ )elρ = 0 e lρ ( µ ρ + ( µ ρ ) µ ρ ) + ( µ ρ ) e lρ = 0 e lρ ( µ ρ) e lρ = ( ρ µ ) bzw. e lρ = ±( ρ µ ) Tranzendente Gleichung für die Eigenenergien. Graphische Lösung: ρ 0 : Schnittpunkt von y + = µ ρ und y = µ ρ ρ 0 = µ E 0 = mα = E B Da E = ρ m entspricht ρ der (kleinstmöglichen) Energie des Grundzustandes E S = ρ m < E B. Diskussion der graphischen Lösung: (a) Parität des GZ E GZ = ρ m und e lρ = ( ρ µ ) einsetzen in die Lösungen für B, C und D C GZ = µ ρ A = µ ρ ρ A µ B GZ = µ ρ A D GZ = ( ρ µ ) ( ρ µ ) A = A (b) ψ GZ (x) = A e (x+ l )ρ µ ρ e l ρ cosh(ρx) e (x l )ρ ( µ ρ ) = 4m α ( me S) = 4 EB E S > ψ GZ (x) =...ψ GZ ( x), d.h. gerade Parität 3. Aus der graphischen Lösung sieht man, dass y + nur dann einen nichttrivialen Schnittpunkt mit e lρ hat, wenn es eine Sekante dieser Kurve über T: Quantenmechanik 75 LMU München

285 B Lösungen zu den Übungsaufgaben [0, [ ist. Der Grenzfall liegt also vor, wenn y + Tangente an e lρ in ρ = 0 ist: µ = l c, l c = µ l > l c : Weiterer EZ mit Energie E A = ρ m > E B mit e lρ = +( ρ µ ) zeigt man analog zu oben die Antisymmetrie der Wellenfunktion: C A = C GZ, D A = D GZ e (x+ l )ρ ψ A (x) = A µ ρ ie l ρ sin(ρx) e (x l )ρ Grenzfall l 0: e lρ, ρ = ρ 0, E S = 4 ρ 0 m = 4E B = m(α), d.h. es existiert nur der einzige gebundene Zustand in einem δ-potential der Stärke (α). B.9. Aufgabe 33: Unendlich tiefe Potentialmulde Thema: Zentralpotentiale in der QM: V (x, y, z) = V (r) (vgl. Kepler-Problem) Koordinatensystem: Polar- bzw. sphärische Koordinaten Konzept: Seperation der Winkelvariablen aus der SGL durch Darstellung des Laplace- Operators: ψ = ψ r (r r r ) + }{{} r (sin ϑ ψ sin(ϑ) ϑ ϑ ) + ψ r sin (ϑ) ϕ ) }{{} radialer Winkelanteil Mit Definition: L = ( r x f) (Drehimpuls-Vektoroperator) und p r = i r r r (Radialimpuls) Operatoridentität: m (r, ϑ, ϕ) = p (r, ϑ, ϕ) = p r (r) + L b (ϑ,ϕ) r SGL: T: Quantenmechanik 76 LMU München

286 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Hψ(r, ϑ, ϕ) = p r (r) + V (r) + L (ϑ, ϕ) } r {{ ψ(r, ϑ, ϕ) } winkelabh. Problem unabhängig vom genauen Potentialverlauf Lösung des winkelabhängigen Problems: Seperationsansatz: ψ(r, ϑ, ϕ) = R l (r)y m l (ϑ, ϕ) Eigenfunktionenen des Drehimpulsoperators: L Y m l (ϑ, ϕ) = l(l + ) Y m (ϑ, ϕ) Kugelflächenfunktionen l Einsetzen in die SGL und Herauskürzen von Y m l (ϑ, ϕ) (auf dieses wirken nun keine Operatoren mehr) führt zur radialen SGL Lösung der radialen SGL: ( ) bp r m + l(l+) mr + V (r) E R l (r) = 0 (rsgl) mit p r = r d dr r (einziger Differentialoperator) Idee: Multipliziere (rsgl) von links mit r m d dr + l(l + ) mr + V (r) E r Rl (r) = 0 (I) }{{}}{{} V eff v (r) l (r) d.h. für die Größe v l (r) = r R l (r) ergibt sich die bekannte -dim SGL in einem effektiven, um einen Zentrifugalterm ergänzten Potential Einsicht: Die einfachsten Lösungen der rsgl sind die für l = 0 (kein Zentrifugalterm). Diese Lösungen R 0 (r) = v0(r) r ähneln denen für die -dim SGL, haben aber eine zusätzliche r -Abhängigkeit! Ausblick: Dies führt zur Struktur der allg. Besselfunktion Teilaufgabe ): Sei l = 0 T: Quantenmechanik 77 LMU München

287 B Lösungen zu den Übungsaufgaben RB: ψ(0) = ψ(a) = 0 (Stetigkeit der WF) ( p r ist ein komplizierter Operator mit vielen Feinheiten. Wenn man fordert, dass er hermitesch ist: 0! = ψ p r ψ ψ p r ψ muss er eingeschränkt werden auf Funktionen ψ(r), für die gilt lim rψ(r) = 0 r (ggf. in Kugelkoordinaten die... ausintegrieren) Daraus folgt die Bedingung y(r = 0) = 0) für v 0 (r) ist dies das Problem des -dim -tiefen Potentialtopfes k n = π a n, v 0,n = sin(k n r), E n = k m = π n ma Rn 0 v0,n(r) (r) = r = sin(knr) r Teilaufgabe ): Im Inneren des Potentialtopfes ist V (r) = 0, somit wird (I) zu ( d dr l(l+) ) r + k v l (r) = 0, Lösungen: v l (r) = r [c j l (kr) + c n l (kr)] k = me Eigenschaften: sphärische Besselfunktion sphärische Neumannfunktion Definition j l (r) = ( r) l ( r ) d l sin r dr r n l (r) = ( r) l ( r d dr ) l cos r r Asymptotik lim j l (r) = r 0 r l 0 (l + )!! }{{} (l+) lim n l (r) = (l )!! r 0 r l+ Anwenden der Randbedingungen:. ) 0! = v l (r = 0) crl (l+)!! + (l+)!!c r l l 0 ist c l = 0 Fall l = 0 wurde bereits gelöst, c 0 = 0 c = 0. ) 0! = v l (r = a) = ac j l (ka) j l (ka)! = 0 Tranzendente Gleichung Es sei β l,n die n-te Nullstelle von j l (ka) T: Quantenmechanik 78 LMU München

288 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Zwei Quantenzahlen: ka = β l,n, E l,n = k l,n m k l,n = a β l,n = ma β l,n l: Drehimpulsquantenzahl n: radiale Quantenzahl B.9.3 Aufgabe 34: Endlich tiefe Potentialmulde Analoge Lösung zum -dim Potentialtopf, hier in etwas anderer Sprache: Es sei l = 0. in I: oszillierende Lösung (aus Besselfunktion) in II: exponentiell abfallende Lösung (Kombination von Bessel- und Neumannfunktion mit imaginärem Argument) [ d dr + r Bedingungen: ( )] d q dr + κ R(r) = 0 ( in I in II ) q = m(e + V0 ) κ = m( E). ) R(0) soll nicht divergieren: in I kein Anteil einer Neumannfunktion R I (r) = c j 0 (qr) = c sin(qr) qr. ) R(r) soll normierbar sein, d.h. in II nur exponentiell abfallende Lösung, diese sind gegeben durch Hankel-Funktionen h l ( r) = j l ( r) + in l ( r) sin er cos er h 0 ( r) = er i er = eier ier = e κr κr e R II (r) = c κr κr r = iκr 3. ) Stetigkeitsbedingungen an r = a: (a) R I (a) = R II (a) : c sin(qa) qa = c e κa κa (b) R I (a) = R II (a) : c q r cos(qr) q sin(qr) (qr) c Einsetzen von c c aus (a) und auflösen ergibt c = κ q sin(qa)eκa r=a = c e κr κ r κ r=a (κr) T: Quantenmechanik 79 LMU München

289 B Lösungen zu den Übungsaufgaben tan(qa) = q κ Transzendente Gleichung graphisch lösen tan(z) = q E E+V 0 = hat Polstelle bei z 0 = a mv0 q + V 0 E+V 0 = + ( z 0 ) z }{{} Eine Lösung gibt es immer dann, wenn z 0 > π vgl. Aufgabe ), Potentialkasten in -D: Der -dim Potentialkasten hat stets einen gebundenen Zustand (symmetrische Lösung). Für die asymmetrischen Lösungen gilt dieselbe transzendente Gleichung und dieselbe Bedingung (z 0 > π ) für die Existenz asymmetrischer Lösungen wie im Problem der radialsymmetrischen Potentialmulde. Wichtiger Unterschied: Hinreichend flache Potentialmulden haben keinen gebundenen Zustand! B.9.4 Aufgabe 35: Legendre-Polynome und Kugelflächenfunktionen. Darstellung: f(x) = c n P n (x) n=0 P m (x)f(x)dx = c n P m (x)p n (x)dx = c m = m+ n=0 P m (x)f(x)dx = m+ m P m c m (g(x)) m = 3 P 3 (x) = (5x3 3x) c 3 = m = P (x) = (3x ) c = 4 m = P (x) = x c = 0 m = 0 P 0 (x) = c 0 = 7 m m! n=0 c n n+ δn m = c m m+ [ d m dx m (x ) m] f(x)dx T: Quantenmechanik 80 LMU München

290 B Lösungen zu den Übungsaufgaben. Normierung der Y l,m (ϑ, ϕ) Ω dω Y l,m (ϑ, ϕ)y l,m(ϑ, ϕ) = c l,m π 0 dϕ e i(m m )ϕ } {{ } πδ mm Pl m (x)p m l (x)dx }{{} (l+m)! l+ (l m)! δ ll δ mm = c lm 4π (l + m)! l + (l m)! δ ll δ! mm = δ ll δ mm wegen Orthonormalität der beiden Funktionen Y l m c l,m = l+ (l m)! 4π (l+m)! und Y lm 3. Darstellung von h(ϑ, ϕ): h(ϑ, ϕ) = d m l l l=0 m= l d lm Y lm (ϑ, ϕ) = dω h(ϑ, ϕ)ylm Ω 5 Y (ϑ, ϕ) = 3π sin ϑe iϕ d = 5 3 Y (ϑ, ϕ) = 8π sin ϑeiϕ d = Y 00 (ϑ, ϕ) = d 00 = 4π alle anderen = 0 4π 3π 8π 3 T: Quantenmechanik 8 LMU München

291 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.0 Blatt 0 B.0. Aufgabe 36: H-Atom und Kugelflächenfunktionen. ) Radiale Wellenfunktion des Wasserstoffatoms im Grundzustand: R n=,l=0 (r) = a 3 e r a, a = me 0, m ( Bohr-Radius ) ψn= l=0 (r, ϑ, ϕ) = R n=,l=0(r)y m=0 (ϑ, ϕ) l=0 r = = dω r = 0 dr r ψ (r, ϑ, ϕ) r ψ(r, ϑ, ϕ) [ ] dω Yl=0 m=0 (ϑ, ϕ) dr 4a 3 r 3 e r a = 3 a }{{} 0 }{{} = da Yl=0 m=0= 4π = 4 a 3 3! ( a) 4 = 3 a 0 dr 4a 3 r 4 e r a = 4 4! a 3 ( ) 5 = 3a a wahrscheinlichster Wert (i.s.v. Ort mit der höchsten Wahrscheinlichkeitsdichte in einem kleinen Testvolumen 4πr r) max r [0, ] r ψ(r) = max{r 0 = 0, r = a} = {r = a} Nullstellen der Ableitung das Elektron hat seine größte Wahrscheinlichkeitsdichte auf der Bohr schen Bahn r = a. ) Wegen sphärischer Symmetrie des s-orbitals (n =, l = 0) x = 0, x = 3 x + y + z = 3 r = a 3. ) ψ l=,m= n= (r, ϑ, ϕ) = R n=,l= (r)y m= (ϑ, ϕ) mit l= T: Quantenmechanik 8 LMU München

292 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Rn=(r) l= = 4 a 5 re r a, Yl= m=(ϑ, ϕ) = 3 8π sinϑeiϕ und x = r sinϑcosϕ x = π 0 π sin ϑdϑ dϕ 3 8π sin ϑ sin ϑ cos ϕ = 3 π dϕ cos ϕ 8π 0 } {{ } π 0 π 0 } {{ } 6 5 = a (ausgedehntes p-orbital) dϑ(sin ϑ) 5 4a dr }{{} r 4 aus Diff. dr r 6 e r a } {{ } 6!a 7 a 5 }{{} r }{{} r e x ψ r a B.0. Aufgabe 37: Dichteoperator für Spin- Systeme. ) Darstellung einer x-matrix durch Pauli-Matrizen: (vgl. Blatt, Aufgabe ) M = ( ) m m m m = m + m = a 0 + a σ + m m wobei a 0 = Tr(M) und a = Tr(M σ) σ z + m + m σ x + i m m σ y Für M = ρ gilt Tr(ρ) =, S = σ, Tr(ρ σ) = Tr(ρ S) = S damit ρ = + S σ. ) Reiner Zustand: ρ = ρ ρ = 4 + S σ + S N.B. σ j σ k = i l ɛ jkl σ l + δ jk aus ρ = ρ S = 4 nur erfüllt für maximal polarisierten Spin: T: Quantenmechanik 83 LMU München

293 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Darstellung eines (beliebig im Raum) polarisierten Spins: ψ spinpolarized = cos ϑ e i ϕ + +sin ϑ e+i ϕ geschrieben in der Eigenbasis von S z : + =EW + und =EW ( cosϑ sinϑe iϕ ) S v = S x sin ϑ cosϕ+s y sin ϑ sinϕ+s z cosϑ = Spin-Observable in der { +, } Basis sin ϑe iϕ cosϑ Diagonalisierung gibt die Form der (in bel. Richtung) maximal spinpolarisierten Zustände in der { +, } Basis von S z : für EW + : EV x y = cos ϑ+ sin ϑe iϕ entspricht der oben angeg. Form ψ spinpolarized Dieser hat eine Dichtematrix der Form: ( cos ρ = ϑ sin ϑ cos ) ϑ e iϕ sin ϑ cos ϑ eiϕ sin ϑ Nachrechnen zeigt S = [Tr(ρ S)] = 4 Thermisches Quantensystem: H ρ = Z e k B T, Z = Tr[e H k B T ]. Hamilton-Operator H = M B = (γ µb S) B = γµb S z B da B Z ρ =... µ B = e m e 5, ev T Bohr sches Magneton γµ B B k. Z = Tr(e B T Sz γµ B B γµ B B k ) = e B T k + e B T = cosh( γµ B B k BT ) =: cosh(a) S x = Z Tr[ρ σ x] = 4 cosh(a) Tr[eaσz σ x ] [ ] = 4 cosh(a) Tr n! an σz n σ x T: Quantenmechanik 84 LMU München

294 B Lösungen zu den Übungsaufgaben [ = 4 cosh(a) Tr n! an σ x + n=l = 0 (da alle Pauli-Matrizen spurlos) n=l+ ] a n n! σ y x mag = S y = 0 (analog) [ S z = 4 cosh(a) Tr n! an σ z + n=l = sinh(a) cosh(a) = tanh(a) M(B) S H mag = µ 0 γ z µb B = µ 0γ µ B B 4k BT n=l+ cosh (a) ] a n n! B.0.3 Aufgabe 38: Identische Teilchen im Potentialkasten Einteilchenzustände ψ n (x) = a sin( nπ a x) Einteilchenenergien: E n = n π ma = n k. ) Unterscheidbare Teilchen (ohne weitere Einschränkung): Gesamtwellenfunktion ist Produkt der Einzelwellenfunktionen E nn = (n + n )k GZ: ψ = a sin ( πx a.az: ψ = a sin( πx a ψ = a sin( πx a. ) Bosonen: ψ nn (x, x ) = ψ n (x )ψ n (x ) ) ( sin πx ) a, E = k (keine Entartung des GZ) ) ( sin πx ) a ) ) sin ( πx a doppelt entartet, E = E = 5k T: Quantenmechanik 85 LMU München

295 B Lösungen zu den Übungsaufgaben der Zustand muss symmetrisch unter Vertauschung x x sein GZ: ψ B GZ = ψ ist symmetrisch, E B GZ = E = k.az: Symmetrische Kombination ψaz B = (ψ +ψ ), EAZ B = 5k (die Entartung aus () ist aufgehoben) 3. ) Fermionen: der Zustand muss antisymmetrisch unter Vertauschung x x sein Aus ψ ist ein solcher Zustand nicht zu konstruieren GZ: ψ F GZ = (ψ ψ ), E F GZ = 5k.AZ: ψaz F = (ψ 3 ψ 3 ), EAZ F = 0k (nicht entartet) B.0.4 Aufgabe 39: Drehimpulsaddition Basiswechsel zwischen vollständigen Sätzen kommutierender Observablen bzw. zwischen deren Eigenbasen O = { S, S z, S, S z} { S, S, S, S z } = O B = { ɛ, ɛ ɛ i = ±} { S, M } = B wobei S = S + S, S z = S z + S z. Nachweis, dass S ein Drehimpulsoperator ist (erfüllt die Drehimpulsalgebra) [S x, S y ] = [S x + S x, S y + S y ] = [S x, S y ] + [S x, S y ] (wegen O ) = i S z + i S z (da S, S Drehimp.) = i S z (andere analog) T: Quantenmechanik 86 LMU München

296 B Lösungen zu den Übungsaufgaben. Nachweis, dass die Observablen der neuen Basis kommutieren: [ S, S ] = [ S, S ] = 0 da [ S i, S j ] = 0 [S z, S ] = [S z, S ] = 0 Mit S = S + S + S S [ S, S z ] = [ S Sz, S z ] = [ S, S z ] damit ist [ S, S z ] = 0 = [S x S x + S y S y, S z ] = i ( S y S x + S x S y ) 3. Vollständigkeit des Satzes O : Wir konstruieren explizit die Eigenvektoren S, M als Linearkombinationen der Basisvektoren ɛ, ɛ ɛ=± (a) Da die Observablen S und S bezüglich aller Basisvektoren den Eigenwert 3 4 haben überträgt sich diese Eigenschaft auf deren Linearkombination S, M S ɛ, ɛ = S ɛ, ɛ = 3 4 ɛ, ɛ ɛ, S S, M = S S, M = 3 4 S, M (b) Da S z = S z + S z mit allen Observablen in O vertauscht, sind die Basisvektoren ɛ, ɛ auch Eigenzustände von S z ( ) S z ɛ, ɛ = (S z +S z ) ɛ, ɛ = (ɛ + ɛ ) ɛ, ɛ }{{} M (Magnetquantenzahl zu S) Zulässige Werte für M: aus ɛ i = ± M =, } 0, M = : EZ +, + nicht entartet M = : EZ, M = 0 : EZ, +, +, } fach entartet Darstellung von S z in der Basis B : S z = vgl. ( ), S z ist also bereits diagonal! (c) Darstellung und anschließende Diagonalisierung der Observable S : i. ) Darstellung von S durch Leiteroperatoren: Mit S = S + S + S S S i± = S ix ± is iy, S + + = S = 0 etc. S = S + S + S z S z + S + S + S S + T: Quantenmechanik 87 LMU München

297 B Lösungen zu den Übungsaufgaben S +, + = +, + ( 3 S +, = ) 4 +, +, +, + = [ +, +, + ] S, + =... = [, + + +, ] S, =... =, Matrixdarstellung in der ɛ, ɛ -Basis: ( S ) = nicht diagonal Diagonalisierung von ( S ) führt zur Eigenbasis B der S, M ii. ) Diagonalisierung der Untermatrix: ( ) ( ) ( S +, ) 0 = im Unterraum, + ( λ) = 0 λ = 0 und λ = EW: = EV [ +, +, + ] 0 = [ +,, + ] EV zu S, S z : S = : Triplet M =, = +, + M = 0, 0 = [ +, +, + ] M =, =, S = 0 : Singulett M = 0 0, 0 = [ +,, + ] T: Quantenmechanik 88 LMU München

298 B Lösungen zu den Übungsaufgaben V (x) a x Abbildung B.4: Potentialkasten B. Blatt B.. Aufgabe 40: Zwei Teilchen im unendlich tiefen Potentialkasten (vgl. Aufgabe 38) (x x ) = x + x x x Einteilchenzustände im -tiefen Potentialtopf: ψ n (x) = a sin( nπ a x). Unterscheidbare Teilchen: ψ nn (x, x ) = ψ n (x )ψ n (x ) a x = 0 = a x ψ n (x ) dx a 0 a x sin ( n π a x )dx = a π n ( 3πn + π 3 n 3 ) a 3 = a 3 a π n x =... = a 3 a π n x x = a 0 x ψ n (x ) dx 0 ψ n (x ) dx }{{} wegen Normierung a 0 x ψ n (x ) dx T: Quantenmechanik 89 LMU München

299 B Lösungen zu den Übungsaufgaben [ a a = = ] [ 4 (x x ) = a 3 π n π n ]. Ununterscheidbare Bosonen mit Spin 0: Gesamtwellenfunktion symmetrisch (+): symmetrischen (+) [Rechnung zugleich für antisymmetrischen ( ) Fall] ψ nn (x, x ) = (ψ n (x )ψ n (x ) ± ψ n (x )ψ n (x )) [ a a x = x ψ n (x ) dx + x ψ n (x ) dx ± 0 0 ] ± a a x ψ n (x )ψ n (x )dx ψn (x )ψ n (x )dx ± a a x ψ n (x )ψ n (x )dx ψn (x )ψ n (x )dx 0 = [ ] a 3 a + a π n 3 a ± 0 ± 0 π n 0 = x 0 0 [ a a x x = x ψ n (x ) dx x ψ n (x ) dx + a a x ψ n (x ) dx x ψ n (x ) dx ± ] a a a a ± x ψn (x )ψ n (x )dx x ψn (x )ψ n (x )dx ± x ψn (x )ψ n (x )dx x ψn (x )ψ n (x )dx 0 = [ [ a [ ] + a ] ( ± 4ann ) ( ( ) n+n ) ] π (n n ) 0 [ (x x ) = a 3 π n π n ( 4an n ) ( ( ) n+n ) ] π (n n ) 3. Ununterscheidbare Fermionen mit Spin : 0 0 Ψ nn (x, x, s, s ) = ψ nn (x, x )χ(s, s ) Gesamtwellenfunktion, muss für Fermionen antisymmetrisch sein Im Spinsektor: (a) Singulett: χ(s, s ) = ( ) ist antisymmetrisch ψ nn (x, x ) : symmetrisch (+) (b) Triplett: χ(s, s ) = ( + ) T: Quantenmechanik 90 LMU München

300 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Vergleich der beiden Zustände: ψ nn (x, x ) : antisymmetrisch (-) Symmetrische Orts-WF Antisymmetrische Orts-WF (x x ) sym < (x x ) antisym d.h. die Fermionen sind im Singulett-Zustand näher beieinander als im Triplett-Zustand Im H -Molekül beschreibt man so bindende und antibindende Singulett, Triplett Elektronenzustände. B.. Aufgabe 4: Zwei wechselwirkende Teilchen im unendlich tiefen Potentialkasten In Störungstheorie erster Ordnung gilt E = ψ nn (x, x ) V (x, x ) ψ nn (x, x ). ψ (x, x ) = a sin( π a x )sin( π a x ) (GZ) E GZ = g a. angeregter Zustand: 0 dx dx ψ (x, x ) δ(x x ) = g dx ψ (x, x ) = g 4 ( a dx sin 4 π ) a x = 3 g a ψ (x, x ) = a sin( π a x )sin( π a x ) = φ ψ (x, x ) = a sin(π a x )sin( π a x ) -fach entartet = φ Darstellung der WF im entarteten Unterraum T: Quantenmechanik 9 LMU München

301 B Lösungen zu den Übungsaufgaben ( φ V φ φ V φ φ V φ φ V φ I = 4g a sin ( π a x )sin ( π a x )dx Diagonalisierung von M ergibt ) ( ) = I }{{} M ê = (φ + φ ), ê = (φ φ ) In den Zuständen ê und ê wird nun Störungstheorie btrieben: ( ) Ebe.AZ = ê V (x, x ) ê = 4 I = g s, E.AZ be = 0 d.h. es findet eine Aufspaltung zuvor entarteter Niveaus statt.. Bosonen: ψb GZ(x, x ) = ψ (x, x ) E GZ = 3 a s.o. ψ AZ B (x, x ) = (ψ + ψ ) E AZ = g a s.o. g 3. Fermionen mit Spin : Ψ(x, x ) }{{} GesamtWF GZ: = ψ(x, x ) }{{} OrtsWF + χ(x, x ) muss antisym. unter sein. }{{} SpinWF χ S (s, s ) Singulett (antisymmetrisch) ψ GZ F (x, x ) = ψ (x, x ) }{{} symm.wf mit niedrigster Energie.AZ: E GZ = 3 g a s.o. ψf S(x, x ) = (ψ +ψ )χ S (s, s ) E S = g }{{} a s.o.(symm. OrtsWF) Singulett ψ F (x, x ) = (ψ ψ ) χ T (s, s ) }{{} E T = 0(antis. OrtsWF) Triplett (symm.) T: Quantenmechanik 9 LMU München

302 B Lösungen zu den Übungsaufgaben (,, + ) B..3 Aufgabe 4: Anharmonischer Oszillator Verwende Erzeuger-/Vernichteroperatoren des HO: a = mω ip m ω, a = mω + x = mω (a + a) [a, a ] = ip m ω x 3 = = = ( mω ( mω ( mω ) 3 (a + a) 3 ) 3 (a 3 + a aa + a a + a + a a + a a + a + a 3 ) ) 3 (a 3 + 3Na + a 3 + 3(N + )a) H int = g ωx 3, E n = En 0 + δe() n + δe n () +... Energieverschiebung in.ordnung: δe () = ψ n g ωx 3 ψ n = 0 da x 3 keine Anzahloperatoren enthält. Energieverschiebung in.ordnung: δe () = ψ n H int ψ n E 0 n =n n E0 n koppelnde Matrixelemente: En 0 E0 n ( ) 3 g ω ψ n+3 a 3 ψ n = C n + n + n ω mω }{{} C mit a ψ n = n + ψ n+, a ψ n = n ψ n Analog: ψ n 3 Ca 3 ψ n = C n n n 3 ω ψ n+ 3Na ψ n = 3C n + (n + ) ω ψ n 3(N + )a ψ n = 3C nn ω T: Quantenmechanik 93 LMU München

303 B Lösungen zu den Übungsaufgaben δe n () = [ 3 ω C (n + )(n + )(n + 3) + 3 ] n(n )(n ) (n + )3 + 3n 3 = [ ω C 3n 3n 7n 7n 9 ] = C ω 30(n + n + 4 ) C 7 ω Explizite Energiedifferenz zweier benachbarter Niveaus E n, E n+ : E n := E n+ E n = En+ 0 E0 n + δe() n+ δe() n = En 0 C ω30(n + ) B..4 Aufgabe 43: Feinstruktur des Wasserstoffatoms Entwicklung der kin. Energie in Potenzen des relativistischen Impulses p = mγv Relativistische Energie-Impuls-Beziehung: E = p c + E 0, T = E E 0 (kinetische Energie T) T = p c + E0 E 0 = E 0 + p c E E0 0 ) E 0 ( + p c p 4 c 4 E p E0 4 m 8 p 4 H rel = 8 m 3 c ist der erste Korrekturterm Störungstheorie in. Ordnung: E ().Ord rel = ψ H rel ψ = 8m 3 c ψ p p ψ p 4 m 3 c (da p Operator der kinetischen Energie (ohne rel. Korrekturen) ist läßt sich schreiben p = m(e V ), V (r) = 4πɛ 0 e r (H-Atom)) E () rel = mc (E V ) = mc (E E V + V ) Auswertung der Erwartungswerte in den ungestörten Eigenfunktionen nlm V = e 4πɛ 0 r = e 4πɛ 0 n a T: Quantenmechanik 94 LMU München

304 B Lösungen zu den Übungsaufgaben (Aus Virialsatz der QM: ( Sei H = p m + V ( r) mit V ( r) nur vom Ort abhängig. Dann [H, x p] = i p m x V ) ( x) ) Da für Eigenfunktionen ψ n von H ψ n [H, x p] ψ n = 0 ψ n p m ψ n ψ n x V ( x) ψ n = 0 (Virialsatz) für Coulomb-Potential: r = x r 3 nlm H nlm + nlm e 4πɛ 0 r nlm = 0 mit E n = e 4πɛ 0 an, a = 4πɛ 0 (Bohr-Radius) damit nlm r nlm = n a V me Angabe: nlm r nlm = (l+ )n 3 a V [ ( E () rel = mc E n + e E n 4πɛ 0 n a + ) ] [ e 4πɛ 0 = E n 4n (l+ )n 3 a mc l+ ] 3 B..5 Aufgabe 44: 3-dim HO mit Störung (vgl. Aufgabe 7). Störungstheorie für Grundzustand: (nicht entartet) E (0) GZ = ψ 0 H anh ψ 0 x = mω (a x + a x ), x = mω (a x + a xa x + + a x) y, z analog wegen der Terme y, z verschwinden alle GZ-Matrixelemente, E (0) GZ = 0. Störungstheorie für angeregten Zustand: (3-fach entartet) Darstellung von H anh im Unterraum der Zustände. Anregung: ψi.anr. = a i 0, i = x, y, z H anh = 0 a x 0 a y 0 a z a x 0 a y 0 a z ωg 0 0 T: Quantenmechanik 95 LMU München

305 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Vordiagonalisierung im yz-unterraum: ê = (a y + a z) 0 (λ = +) ê = (a y a z ) 0 Störungstheorie in. Ordnung bzgl. der Zustände ê und ê : E () be = g 4m ω 0 (a y + a z ) }{{}}{{} (a y + a y )(a z + a z )(a y + a z) 0 }{{} be Betrag aus x be E () = g 8m ( + ) = ω g 4m ω be = g 4m ω 0 (a y a z ) (a y }{{} + a y)(a z + a z)(a y a z }{{ ) 0 } be be = g 4m ω d.h. es findet eine Aufspaltung der Unterniveaus statt. T: Quantenmechanik 96 LMU München

306 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B. Blatt B.. Aufgabe 45: Drehimpulsalgebra und Clebsch-Gordan- Koeffizienten Wiederholung: Eigenschaften von Drehimpulsen: (allg) [J i, J j ] = i ɛ ijk J k mit J i Komponenten des Vektoroperators J [ J, J i ] = 0, i =,, 3 d.h. J und ein J i (z.b. J z ) sind gleichzeitig diagonalisierbar. In dieser Eigenbasis gilt J J, M = J(J ) J, M, J z J, M = M J, M wobei J: Drehimpulsquantenzahl und M: magnetische Quantenzahl Definition von Leiteroperatoren: J ± := J x ± ij y. Normierung des Zustandes J J, M : Es seien J, M normierte Eigenzustände (a) ψ = J J, M : Aussage J, M J + J J, M }{{} = J, M (J x + ij y )(J x ij y ) J, M = J, M Jx + i[j y, J x ] + Jy J, M = J, M J J z + J z J, M = (J M(M )) J, M J, M ) }{{} (b) ψ = J + J, M analog.. Addition von Drehimpulsen: VSKO: { J, J, J.z, J.z } VSKO: { J, J }{{}, J, J z }, J }{{} = J + J T: Quantenmechanik 97 LMU München

307 B Lösungen zu den Übungsaufgaben ) unveränderte QZ, werden i. allg. nicht notiert ) Charakerisierende QZ (in den Zuständen notiert) Abzählen der zulässigen Eigenvektoren: (I) Im VSKO: Teilchen : J habe QZ j : m = j...j = j + Teilchen : J habe QZ j : m = j...j = j + Anzahl der Produktzustände { j, m j, m } = (j +)(j +) (II) Im VSKO: Zulässige Werte für J, M: j j J j + j, J M J Abzählen aller möglichen Paare (J, M) J,Mzulaessig = = j +j J= j j (J + ) setze j j, J = j j + i j [(j j + i) + ] i=0 = [(j j ) + ](j + ) + j (j + ) = (j + )(j + ) 3. Addition: l,, m l, m s l,, J, M, m l = l...l, m s = ± (a) Für Zustand J = l +, M = l : Maximal ausgerichteter Zustand: ( ) J = l +, M = l = l,, l, Konstruktion der weiteren Zustände durch Anwenden von J }{{} = L s + l S }{{} auf linke Seite auf rechte Seite von ( ) T: Quantenmechanik 98 LMU München

308 B Lösungen zu den Übungsaufgaben j(j + ) m(m ) = (j + m)(j m + ) l + J = l +, M = l = l l,, l, + l,, l, J = l +, M = l = l l+ Clebsch-Gordan-Koeffizienten: l,, l, J = l +, M = l = l,, l, J = l +, M = l = l+ (b) Für den Zustand J = l, M = l : Ansatz für den maximalen Zustand: l,, l, + l, l+, l, l l+ und zu M = l korrespondieren die Zustände l,, l,, l,, l, Deren Linearkombinationen α l,, l, + β l,, l,, die normiert ( α + β = ) und orthogonal zu dem Zustand J = l +, M = l (s.o.) ist α l+ + β l! l+ = 0 (globale Phase irrelevant) ergibt den gesuchten Zustand J = l, M = l = l l+ l,, l, l+ l,, l, Die gesuchten Clebsch-Gordan-Koeffizienten können direkt abgelesen werden: l,, l, J = l, M = l = l l+ und l,, l, J = l, M = l = l+ B.. Aufgabe 46: Yukawa Potential Ansatz für eine mögliche Klasse von Funktionen ψ α (r), auf der durch Variation ein Minimum der Grundzustandsenergie gesucht wird T: Quantenmechanik 99 LMU München

309 B Lösungen zu den Übungsaufgaben Motivation: GZ-WF im H-Atom: R n=,l=0 (r) = a 3 e r a, a: Bohr-Radius ψ α (r) = N(α)a 3 e α r a (diese Variationsfunktion reproduziert also -für α = - im Wasserstoffatom die korrekte Grundzustandsenergie) Sie ist radialsymmetrisch (l = 0). Normierung:! = N (α)a 3 dr r 4πe α r a N = α 3 π Variationsverfahren: Das Minimum des Energiefunktionals ɛ[ψ α (r)] = ψ α H ψ α = ɛ(α) beschreibt eine obere Schranke an die Grundzustandsenergie Vgl. Konkurrenz von kinetischer Energie (stets > 0) und potentieller Energie (< 0 für bindende Potentiale) im Zustand ψ α mit dem Ziel einer Energieminimierung ψ α V ( r) ψ α = Energie der Wechselwirkung ( α ) 3 π = g 4 a π 0 ( α ) 3 = 4g a dr r e ( α a +µ)r r 0 dr ( α ) 3 = 4g ( a α a + µ) kinetische Energie (für Zustand mit l = 0) P.I. = ( α α a + a +µ)r µ)e ( p r ψ α m ψ α = m ( ψ α r r ) ψ α r r T: Quantenmechanik 300 LMU München

310 B Lösungen zu den Übungsaufgaben = m = 4π m = 4π m = α m a dr 4πr ψ(r) r ( α ) N a a 3 ( α ) ( α ) 3 a a π r ψ r }{{} ( α a)ψ(r) +r ψ r }{{} ( α a) ψ(r) ) ( dr e α a r r r α a [ ( ) α ] α a ( ) a α 3 a Mit 0 x n e ax = n! a n+ : Energiefunktional ɛ(α) = α m a 4g α3 a 3 ( α a +µ) Minimierung des Energiefunktionals: 0! = ɛ(α) α Diese Bedingung führt i.allg. auf eine aufwändig zu lösende algebraische Gleichung vom Grad 3 wir betrachten daher nur den Grenzfall Diskussion für µ = 0 (H-Potential): ɛ µ=0 (α) = α ma gα a, 0 =! ɛµ=0 α = α α a = gm ɛ(α ) = ( g g) gm = ma g a m g mit g = e 4πɛ 0 ist dies genau die Grundzustandsenergie des Wasserstoffatoms und ( α µ=0 = gm 4πɛ0 ) me }{{ = } Bohr-Radius d.h. ψ (r) ist -wie erwartet- die Wellenfunktion, für die die Gesamtenergie auf der Klasse der Funktionen ψ α (r) minimiert wird. B..3 Aufgabe 47: Zweizustandssystem ( ) ( ) Ea 0 0 g H = H 0 + W = + 0 E b g 0 T: Quantenmechanik 30 LMU München

311 B Lösungen zu den Übungsaufgaben (Dargestellt in der Eigenbasis von H 0, { ψ a, ψ b }). Exakte Lösung durch Diagonalisierung: ( Ea λ g det g E b λ )! = 0 λ, = (Ea+E b)± (E a E b ) +4g = E g, (exakte Energien). Störungstheorie in. Ordnung:. Ordnung verschwindet offensichtlich E () a = m=b ψ a W ψ m E a E m = g E a E b und E () b = g E b E a = E a () 3. Variationsverfahren: E a = E b ψ φ H ψ φ = E a cos φ + E b sin φ + g sin φcosφ = E a cos(φ) + g sin(φ) =: ɛ(φ) ɛ(φ) φ = E a sin(φ) + g cos(φ)! = 0, tan(φ 0 ) = g E a ɛ(φ 0 ) = E a r + g E a + g g r Ea + g E a = E a + g E a 4. Da die Schar von Zuständen ψ φ alle Zustände und damit auch den exakten Grundzustand beschreibt liefert das Variationsverfahren die exakte Grundzustandsenergie. Für E b E a sind beide Niveaus entartet, es ist dann entartete Störungstheorie anzuwenden und die Matrix W vorzudiagonalisieren. In diesem Fall erübrigt sich allerdings Störungstheorie im Unterraum der entarteten Energien E a = E b, da das Problem durch die Vordiagonalisierung schon exakt gelöst ist. B..4 Aufgabe 48: WKB Approximation ( = Trennung von zwei Ortsskalen) T: Quantenmechanik 30 LMU München

312 B Lösungen zu den Übungsaufgaben kleinräumige QM Oszillationen große Skala der Potentialschwankungen daher: Ansatz motiviert von Lösung im konstanten Potential + Einführung einer zusätzlichen schwachen Ortsabhängigkeit in Amplitude und Phase. Diese müssen konsistent mit der SGL berechnet werden.. Ansatz für WF: ψ(x) = A(x)e iφ(x) SGL: ( m ) x + V (x) ψ(x) = Eψ(x) Ortsabhängiger Impuls: p(x) = m[e V (x)] E V : klassisch erlaubt, p(x) > 0, reell E < V : klassisch verboten, p(x) = i p(x), rein imaginär Bestimmung von A(x), φ(x): ψ(x) in SGL: dψ dx = (A + iaφ )e iφ(x) d ψ dx = (A + ia φ + iaφ Aφ )e iφ(x) (A + ia φ + iaφ Aφ ) = Seperation von Real- und Imaginärteil: m(e V (x)) A R : A = A(φ p ) () I : A φ + Aφ = 0 (A φ ) = 0 () Aus () A φ = C, A = C φ ( ) Näherung in (): Schwache Veränderung von A(x) erlaubt A (x) 0, damit wird () zu φ p = 0 φ (x) ( ) = ± p(x) A0, ( )A(x) = ± p(x) T: Quantenmechanik 303 LMU München

313 B Lösungen zu den Übungsaufgaben φ(x) = ± dx p(x) Damit ergeben sich die beiden Lösungen ψ(x) = C e ±i R p(x) dx p(x) C e ± R p(x) dx p(x) für x : E V (x) für x : E < V (x). von links einlaufendes Teilchen: I : ψ I (x) = D e ip0 x + D e ip0 x x < 0 frei osz. II : ψ II (x) = C p(x) e + R x 0 p(ex) dex } {{ } ( ) + C e R x 0 p(ex) dex 0 x a exp. gedämpft p(x) III : ψ III (x) = D 3 e ip0 x x > a frei osz. ( ) kann für große (hoch oder weit) Barrieren vernachlässigt werden Anschlussbedingungen: Stetigkeit der WF: an x = 0 : D + D = C p(0 + ) (), p 0 = me an x = a : C e R a 0 p(ex) dex = D3 e ip0 a () p(a) Stetigkeit der Ableitung: ψ II (x) = Annahme: C p R (x) x ( p(x) 3 ) e 0 p(ex) dex C p(x) p(x) e R x 0 p(ex) dex Schwach veränderliches Potential bedeutet p (x) klein vernachlässigbar ψ II (0) = C p(0 + ) an x = 0: ip 0 (D D ) = C p(0+ ) (3) Aus () und () folgt T: Quantenmechanik 304 LMU München

314 B Lösungen zu den Übungsaufgaben C D =» p(0) p(0) ip 0 Transmissionskoeffizient t = D3 () D = C D e R a 0 p(ex) dex a e ip 0 =»q p(a) p(a) p(0) +i p(0) p(a) e R a 0 p(ex) dex a e ip 0 p 0 Damit T = t e R a 0 p(ex) dex T: Quantenmechanik 305 LMU München

315 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.3 Probeklausur B.3. Aufgabe : () P( Impuls im Intervall [ (k k k ), (k + Berechnung der Fouriertransformierten k (k+ )] ) = ) (k k ) ψ( k) d k ψ(k) = = = = π π 4 πa π a 4 e a π dx ψ(x)e ikx 4 πa e a k k dx e x ia k a 4 k +a 4 k a dx e (x ia k) a }{{} πa (,5) Ergebnis (0,5) P 3 P(p [ (k k k ), (k + )]) = a (k+ k ) π (k k ) e a e k d k a π e a e k k B.3. Aufgabe : () Idee: Einfaches Einsetzen in die SGL ( bp m + V 0 ) ψ 0 (x) = E 0 ψ 0 (x) = 0 Ausführung: V 0 ψ 0 = ψ(x) m x = m α π (α 4x α)e αx T: Quantenmechanik 306 LMU München

316 B Lösungen zu den Übungsaufgaben = m (α 4x α) ψ 0 (x) }{{} V 0 () P 4 N.B. Der Bepunktungsvorschlag ist natürlich unverbindlich, ggf. erweist sich bei der Korrektur eine andere Bepunktung als sinnvoller! B.3.3 Aufgabe 3:. ψ = ψ, σ z bereits diagonal () P( + ) = P( ) =, EW= 0 ( 0. ψ = ) ( i, A = + i ) Diagonalisierung von A: ( λ)( + λ) ( + i)( i) = λ! = 0 λ, = ± 3 EV: ( λ)x + ( i)y = 0 () () () y λ = λ i x = (λ )( + i) ( EV: e λ = λ λ+ 3 ) (λ )( + i) P( Messwert + 3 ) = e 3 ψ = ( 3 ) P( Messwert 3 ) = ( 3 ) EW: ( 3 ) (3 3) 3 ( 3+) (3+ 3) = 3 (4 3)(3+ 3) (4+ 3)(3 3) (9 3) = (Einfache Überprüfung: ψ A ψ = ψ σ x ψ + ψ σ y ψ + ψ σ z ψ }{{}}{{}}{{} 0 0 für EZ von σ z mit EW -) P 4 T: Quantenmechanik 307 LMU München

317 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.3.4 Aufgabe 4:. Quantisierung: λ = a n, n N () k n = π a n, E n = p m = k m = π ma n (freie SGL in [0, a]) Randbedingungen: Knoten bei x = 0, a ψ n (x) = Normierung: { N sin(kn x) x [0, a] 0 sonst () N a 0 sin (k n x)dx =! = N nπ 0 sin (y) dy k n = N nπ k n = N a N = a ψ n (x) = a sin(k nx), x [0, a]. P( Energie des Teilchens betraegt E n ) = ψ(x, t = 0) ψ n (x) a = a a sin(k nx)dx 0 = nπ a sin(y) dy k n = = 0 π n [ cos(y)] nπ 0 }{{} =4 falls n ungerade, sonst 0 { 8 π n falls n ungerade 0 sonst () () 3. ψ(x, t) = n 4 nπ a sin(k nx)e ien t (offensichtlich verifizierbar durch Einsetzen in SGL) P 5 T: Quantenmechanik 308 LMU München

318 B Lösungen zu den Übungsaufgaben B.3.5 Aufgabe 5:. Freie Lösungen für die WF für x 0 keine rücklaufende Welle in II k = me (freie SGL für x 0) Ansatz: ψ(x) = (a) Stetigkeit der WF an x = 0: { Ae ikx + Be ikx in I x < 0 Ce ikx in II x > 0 () A + B = C () (b) Unstetigkeit der Ableitung folgt aus der SGL: ψ(x) m x + αδ(x)ψ(x) = Eψ(x) Integration in Umgebung von 0 mit ɛ 0: ɛ ɛ dx m [ψ (ɛ) ψ ( ɛ)] + αψ(x) = 0 () ik[ Ae ikɛ +Be ikɛ +Ce ikɛ ] = mα C C ( mα ik ) = A B () () () P 5. () + (): C ( mα ik ) = A C = mα + ik B = C A = A ( mα ) ik 3. T(E) = C(k(E)) A = + m α A mα ik damit ist ψ(x) konstruiert = k 4 + mα E B.3.6 Aufgabe 6:. H = b L Θ + γb L z gemeinsame Eigenbasis von L und L z sind Kugelflächenfunktionen mit T: Quantenmechanik 309 LMU München

319 B Lösungen zu den Übungsaufgaben L ψ m l = (l + )lψ m l l 0 und L z ψ m l = mψ m l l m l () E m l = ψ m l H ψ m l = (l+)l Θ + γb m. Rotation der Quantisierungsachse: Normiere B = (b ) 0 Rotation so dass ẑ neu B (dies lässt L invariant) () P 4 E m l = l(l+) Θ + γb m T: Quantenmechanik 30 LMU München