Simulating Physics with Computers Richard P. Feynman Streckenzugverfahren nach Euler
Feynman will über Computer nachdenken, die die Natur nicht nur imitieren sondern sie exakt nachahmen/emulieren. Da die Welt quantenmechanisch ist geht es ihm um die Simulation/Emulation von Quantenphysik Bedingungen Damit so eine Simulation möglich ist: muss alles in einem begrenzten Raum stattfinden Zeit sollte begrenzt sein mit endlicher Anzahl logischer Operationen analysierbar sein Momentane Theorie ist allerdings nicht so, da: - Raum unendlich klein werden kann - Wellenlängen unendlich groß - Zeit kontinuierlich usw.
Wenn es eine solche Simulation gibt, dann müssen die physikalischen Gesetze in ihrer jetzigen Form falsch sein. Haben aber schon ein paar Anhaltspunkte wie wir sie modifizieren könnten: Diskretheit des Raumes Könnten annehmen, dass der Raum nicht kontinuierlich sondern ein Gitter (also diskret) ist. Probleme: Es würden Anisotropien auftreten, z.b. würde Lichtgeschwindigkeit leicht von der Richtung abhängen.
Diskretheit der Zeit Man kann ohne Probleme annehmen, dass die Zeit diskret ist auf einer Skala von mindestens 10-7 s, da wir keine unendliche Genauigkeit der Zeitmessung haben. Es muss mindestens diskret auf Skala von 10-7 s sein, da man sonst in Konflikt mit Experimenten gerät. Diffusionsgleichung P( x, t) = P( x, t) t Lösungsweg: Mithilfe eines Algorithmus (numerisches Lösungsverfahren) wobei x und t diskret und dadurch auch P(x,t) diskret gemacht wird. Problem: Wenn man nur k Stellen nimmt vernachlässigt man Wahrscheinlichkeiten k die kleiner sind wie
Hauptproblem Bei vielen Teilchen (z.b. größeren quantenmechanische Systeme) steigt der Rechenaufwand exponentiell an. Beispiel: N Punkte im Raum und R Teilchen es gibt N R verschiedene Anordnungsmöglichkeiten. Rechenaufwand α N R Quantencomputer Wenn man den Raum diskret macht, dann findet man heraus, dass man die Quantenfeldtheorie sehr gut mit Mitteln der Festkörperphysik (Gitter usw.) wiedergegeben werden kann. Deswegen glaubt Feynman, dass man mit einer geeigneten Klasse von Quantensystemen, jedes andere Quantensystem, sowie alles andere simulieren kann.
Quantencomputer Was ist nun der universelle Quanten System Simulator? Feynman weiß die Antwort darauf nicht, glaubt aber, dass es ein System sein könnte, was an jedem Punkt der Raum- Zeit genau Basiszustände hat Qubits (quantum bits) Qubits - Hat wie Bit auch messbare Zustände ( 0 und 1 ) - Im Gegensatz zum Bit kann Qubit aber in Zuständen Ψ =α 0 + β 1 sein, die Superposition der beiden messbaren Zustände ist. - α bzw.β sind die Wahrscheinlichkeiten Zustand 0 bzw. 1 zu messen - 0, 1 bilden eine Orthonormalbasis
Physikalische Realisierungsmöglichkeiten für Qubits Photon mit möglichen Polarisationszuständen Spin ½ Teilchen Elektron was auf möglichen Bahnen einen Kern umkreist Multiple Qubits Bsp: Qubits, daraus folgen (analog wie für Bits) die 4 messbaren Zustände 00, 01, 10, 11 Qubits können in Superposition dieser 4 Zustände existieren: Ψ = α 00 00 + α01 01 + α10 10 + α11 11 Messung des 1. Qubits im Zustand 0 mit Wahrscheinlichkeit α 00 + α 01 Danach befindet sich das System im Zustand: α Ψ = 00 00 + α01 01 α 00 + α 01
Bell state/epr pair Wichtiger Qubit Zustand: 00 + Verantwortlich für viele Überraschungen in der Quantenverarbeitung Wahrscheinlichkeit für 1. Qubit 0 oder 1 zu messen ist jeweils ½ Danach ist System im Zustand 11 oder 00 Messung des. Qubits gibt also immer den Zustand des 1. Qubits 11 Bell state/epr pair Messungen sind korreliert Korrelation bleibt auch erhalten, wenn man irgendwelche Operationen auf das erste oder zweite Qubit anwendet Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon
Single qubit gates Quanten NOT Gate: In Matrizenform: α 0 + β 1 Gate β 0 + α 1 X 0 = 1 1 0 Für einzelne Qubits sind Gates also x Matrizen Unitäre Matrizen U*U=I (wegen Normierungsbedingung) Z-gate: Weitere Gates 1 0 Z = 0 1 Hadamard Gate: H = 1 1 1 1 1 Wirkungsweise: H =I 1 1 0 ( 0 + 1 )// 1 ( 0 1 )
Multiple qubit gates Controlled-NOT oder CNOT Gate - hat Inputs, 1. den control qubit und. den target qubit - Wirkungsweise des Gates: Wenn der control qubit 0 ist passiert nichts mit dem target qubit, wenn der control qubit 1 ist, dann wird der target qubit umgedreht - 00 00 ; 01 01 ; 10 11 ; 11 10 CNOT Gate Jedes multiple qubit gate kann aus CNOT gates und single qubit gates aufgebaut werden
Qubit copying circuit Wollen Zustand Ψ = a 0 + b 1 kopieren Verwenden dazu CNOT Gate (analog zu XOR Gate bei Bit) Als Speicherqubit nehmen wir eins im Zustand Eingangszustand: [ a 0 + b 1 ] 0 = a 00 + b 10 Daraus folgt dann: a 00 + b 10 CNOT a 00 + b 11 Haben wir nun den Zustand kopiert? Nein, da allgemein: Ψ Ψ = a 00 + ab 01 + ab 10 + b 11 0 Bit and Qubit copying circuit
No cloning Theorem Qubits können nicht kopiert werden Erklärung: Wenn wir den Zustand eines der beiden Qubits im Zustand: Ψ = a 00 + b 11 (nach Kopie ) messen so erhalten wir entweder 0 oder 1. Wenn nun ein Qubit gemessen wird so ist der Zustand des anderen komplett festgelegt, aber das andere sollte, wenn es eine Kopie des anderen wäre, noch die versteckten Informationen des ersten, vor der Messung, enthalten. Deshalb wurde keine Kopie erstellt! Quantum parallelism Quantum parallelism ist eine fundamentale Besonderheit vieler Quanten Algorithmen Einfach ausgedrückt: Quantum parallelism erlaubt Quantencomputern eine Funktion f(x) für viele verschiedene Werte gleichzeitig auszuwerten
Beispiel: - Funktion: { 0,1} { 0 1, } f ( x): -Die Transformation: U f = x, y x, y f ( x) best. Anordnung von Gates realisiert werden kann mit einer - wenn y=0 ist, wie in obiger Zeichnung, dann ist der Endzustand des y-qubits gerade der Funktionswert f(x) Wenn nun das Input-qubit x in einem Mischzustand: 0 + 1 Ψ = vorliegt (hergestellt mit Hadamard gate), so ergibt die Anwendung von U f : 0, f (0) + 1, f (1) Beispiel: Bemerkenswerter Zustand, da die beiden Terme Informationen über f(0) als auch f(1) enthalten, die in nur einem Schritt ausgewertet wurden.
Ganze kann man auch für Funktionen mit n Qubits anwenden Dazu braucht man dann n Hadamard gates die parallel auf die n qubits, im Zustand 0, wirken Hadamard gates erzeugen n Zustände Nach Anwendung von U f liegt dann der Zustand: 1 n x x f ( x) vor (x sind alle mögliche n Zustände) Problem: Messung ergibt nur einen der vielen Zustände. Quantencomputer brauchen also mehr als quantum parallelism um nützlich zu sein Man braucht also irgendeine Möglichkeit um mehr, als nur eine oder die interessierende Information, aus den Superpositionszuständen herauszuholen. Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon Photon geht durch Kristall Abhängig von seiner Polarisation ist es, nach Durchgang, entweder im Ordinary Strahl (O) oder Extraordinary Strahl (E) zu finden sein. Photon Kristall O Strahl E Strahl Detektoren
Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon Φ Φ 1 Detektoren O E Kristall H Atom Kristall O E Detektoren Quantentheorie und Experiment stimmen darin überein, dass die Wahrscheinlichkeit beide Photonen im gleichen Zustand (OO/EE) zu messen: 1 P OO = P EE = cos ( Φ ), Φ1 1 P OE = P EO = sin ( Φ sowie die Wahrscheinlichkeit OE/EO zu messen: ist. Φ ) 1 Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon Wenn man nun den Winkel Φ 1 = Φ wählt, so kann man aufgrund einer Messung sagen was die andere ergeben wird Wie kann man das nun in Formeln fassen: Wenn sich Photon 1 in einem Zustand α mit Wahrscheinlichkeit f α (Φ 1 ) befindet so geht es als O Strahl durch. Wahrscheinlichkeit als E Strahl durchzugehen ist dann 1- f α (Φ 1 ) Analog für Photon (Zustand β mit Wahrscheinlichkeit g β (Φ 1 ))
Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon P OO ( Φ1) = pαβ fα ( Φ1) g β ( Φ1) αβ p = αβ 1 αβ P EO ( Φ1) = pαβ (1 fα ( Φ1)) gβ ( Φ1) αβ Da für Φ 1 = Φ P OE = P EO =0 ist, können diese Formeln die Ergebnisse dieses Experimentes nicht beschreiben, außer wenn man negative Wahrscheinlichkeiten zulässt Es ist also nicht mögliche mit einem lokalen klassischem probabilistischem Computer die Quantenmechanik zu simulieren. Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon Wenn nun ein Photon (in best. Zustand) auf Kristall trifft, so ist durch diesen Zustand schon vorherbestimmt als was es (O,E), unter verschiedenen Winkeln, den Kristall wieder verlassen wird. Das andere Photon zeigt das gleiche Verhalten, da sie ja miteinander korreliert sind.
Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Photon und sein rechter Nachbar (Abstand 30 ) im gleichen Zustand. Da die Vorkommnisse sich komplementär verhalten, das heißt 90 weiter ist es immer das Gegenteil, findet man für 6 Winkel immer genau 3 im O und 3 im E Zustand. Diese Zustände können aber verschieden angeordnet sein. Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon Maximale Wahrscheinlichkeit, dass der Nachbar den gleichen Zustand hat ist /3. Aber die quantenmechanische Formel sagt: 3 P cos OO + P EE = (30 ) = vorher 4
Zusammenfassung Quantencomputer bieten einen enormen Vorteil gegenüber klassischen Computern Im besonderen bei der Simulation von Quantensystemen wo der Rechenaufwand R: n R k (klassischer Computer) R qn ( Quantencomputer)