3.9. ELEMENTARTEILER, DIE RATIONALE NORMALFORM 147 3.9 Elementarteiler, die rationale Normalform Wir suchen nach einem weiteren am Minimalpolynom ablesbaren Kriterium für die Isomorphie von V f und V g. Als ein Hilfsmittel verwenden wir eine Verallgemeinerung des Begriffes direkter Summand, indem wir einen Untermodul U eines R-Linksmoduls M als rein bezeichnen, wenn für alle m M, r R gilt rm U = u U: rm = ru. 3.9.1 Hilfssatz Sei R ein euklidischer Bereich, M ein R-Linksmodul mit Untermoduln U und V, mit U V. Dann gilt: Ist U direkter Summand, etwa M = U W, dann sind U und W reine Untermoduln von M. Ist U rein in M, V/U rein in M/U, dann ist V ebenfalls reiner Untermodul von M. Ist Ann(M) {0}, sowie u M mit Ord(u) = Ann(M), dann ist Ru reiner Untermodul von M. Ist U rein, m M mit Ord(m+U) = (r), dann gibt es u U mit rm = ru, und Ord(m u) = (r) sowie U + Rm = U R(m u). Beweis: i) M = U W impliziert, für jedes m M die Existenz von u U und w W mit m = u + w. Es folgt rm = ru + rw und damit, falls rm U, rw = rm ru U W = {0}, also rm = ru. ii) rm V impliziert, wegen der Reinheit von V/U in M/U, für die Nebenklasse von U : rm + U V/U, also rm + U = r(m + U) = r(v + U), für geeignete v V. Hierfür gilt aber r(m v) = rm rv U, also r(m v) = ru, für geeignete u U. Diese Elemente haben die gewünschte Eigenschaft: denn u + v V. rm = rv + ru = r(v + u), iii) Ist rm Ru, so gibt es s R mit rm = su. Ist jetzt Ann(M) = Ord(u) = (x), dann gilt x 0, und wir erhalten, wenn y ggt (r, u), x y su = x y rm = x r y m = 0, also x y s Ord(u) = (x), etwa x y s = zx.
148 Dies impliziert s = zy, also s z ggt (r, x) und damit s = z(rα + xβ), für geeignete α, β. Es folgt rm = su = z(rαu + xβu) = r(zαu). Ru ist also tatsächlich ein reiner Untermodul. iv) Sei m M mit Ord(m + U) = (r), wir betrachten rm. Die Reinheit von U liefert die Existenz von u U mit rm = ru. Hierfür gilt Ord(m u) = (r) : Jedes s Ord(m u) erfüllt s(m u) = 0, also sm = su U, so daß auch s Ord(m + U) = (r). Die Umkehrung (r) Ord(m u) ist trivial, wegen rm = ru. Jetzt beweisen wir, daß die Summe U + (m u) direkt ist: Sei x U (m u), etwa x = s[m u] = ũ. Wegen sm su U folgt sm U, also s Ord(m+U) = Ord(m u). Es folgt ũ = 0 und damit x = 0. Der Schnitt ist tatsächlich {0}. Die Gleichheit U + Rm = U R(m u) ist leicht einzusehen, womit alles bewiesen ist. Nach diesen Vorbemerkungen über die Reinheit von Untermoduln kommen wir jetzt zu den Elementarteilern: 3.9.2 Satz Sei R weiterhin ein euklidischer Bereich, M ein R-Linksmodul, mit Ann(M) {0}, und, für m 1,..., m s M, U 0 := {0}, U i := i j=1 Rm j, i > 0. Es gelte Ann(M/U i 1 ) = Ord(m i ) = Ord(m i + U i 1 ). Dann sind die U i, i = 1,..., s, reine Untermoduln und U s = s j=1 Rm j. Darüberhinaus teilen die normierten Erzeuger r i der Ordnungsideale der m i einander: Beweis: (r i ) = Ord(m i ) = r i+1 r i. Zunächst zur Teilbarkeitsrelation zwischen den r i. Wegen r i Ord(m i ) = Ann(M/U i 1 ) gilt r i M U i 1 U i und damit r i Ann(M/U i ) = Ord(m i+1 ) = (r i+1 ), was r i+1 als Teiler von r i ausweist. Die Reinheit der U i, i = 1,..., U s und die Behauptung, daß U s direkte Summe der Rm i sei, zeigen wir per Induktion nach s : Für s = 1 ist die Summe natürlich direkt, U 1 = Rm 1. Die Reinheit von U 1 ergibt sich aus dem dritten Punkt von 3.9.1: impliziert die Reinheit von Rm 1 = U 1. 0 Ann(M) = Ann(M/U 0 ) = Ord(m 1 ) Sei jetzt s > 1, die Untermoduln U 1,..., U s 1 seien rein, und U s 1 = s 1 i=1 Rm i. Die Reinheit von ergibt sich wie folgt: Wegen U s /U s 1 = Rm s + U s 1 ist Ann(U s /U s 1 ) = Ord(m s + U s 1 ) = Ord(m s ) = (r s ) 0,
3.9. ELEMENTARTEILER, DIE RATIONALE NORMALFORM 149 was, nach dem dritten Item von 3.9.1, die Reinheit von R(m s +U s 1 ) impliziert. U s /U s 1 ist demnach rein in M/U s 1. Der zweite Punkt aus 3.9.1 ergibt daraus die behauptete Reinheit von U s. Um schließlich zu zeigen, daß U s wie angegeben direkte Summe ist, verwenden wir die Reinheit von U s 1 und Ord(m s + U s 1 ) = Ord(m s ) = (r s ). Dies impliziert nämlich, nach dem vierten Punkt von 3.9.1, die Existenz von u U s 1 mit U s 1 R(m s u), und diese direkte Summe gleicht U s 1 Rm s. Damit ist alles bewiesen. Tatsächlich kann man zeigen, daß endlich erzeugbare Torsionsmoduln Erzeugende diser Form besitzen. Die entscheidende Überlegung zu einer sukzessiven Berechnung solcher Elemente ist 3.9.3 Hilfssatz Ist unter den Voraussetzungen des letzten Satzes, d.h. nach Ermittlung von m 1,..., m s m M ein weiteres Element, und gilt Ord(m + U s ) = (r), dann teilt r alle r i und rm = i s im i, für geeignete s i R. r teilt diese Koeffizienten, und u := s i r m i i genügt den Gleichungen Ord(m u) = (r), U s + Rm = U s R(m u). Beweis: Wegen Ord(m + U s ) = (r) gilt rm U s, also rm = s j=1 s jm j, mit geeigneten s j R. Die Teilbarkeit von r i durch r folgt so: Weil r s r i, etwa r s t i = r i, gilt r i m = t i r s m U s, so daß r i Ord(m + U s ) = (r), also r r i. Dies liefert uns r i m = r i r r m = j Mit r i r s jm j. U s = U i 1 Rm i... Rm s, r i Ord(m + U i 1 ) ist r i m U i 1, also ri r s jm j = 0, für j = i,..., s, woraus wir auf r i r s i Ord(m i ) = (r i ) schließen können, was die Teilbarkeit von s i durch r ergibt. Wir können demnach folgendes Element definieren: u := j s j r m j.
150 Es gilt hierfür rm = ru, und die letzte Behauptung über die Direktheit der Summe folgt mit Punkt iv) aus 3.9.1. Man kann hiermit und einigen weiteren Überlegungen (vgl. Lüneburg) das folgende Resultat beweisen: 3.9.4 Satz Ist M ein endlich erzeugbarer R-Modul über einem euklidischen Bereich R mit Ann(M) (0), so gibt es m 1,..., m s M mit M = s i=1rm i, und die Erzeugenden r i der Ordnungsideale R Ord(m i ) = (r i ) 0 genügen den Teilbarkeitsbedingungen r i+1 r i, i = 1,..., s 1. Diese r i sind, bis auf Assoziiertheit, eindeutig bestimmt, sie heißen die Elementarteiler von M (bzw. von f, wenn M = V f ) und bestimmen M bis auf R-Isomorphie. Für unser Beispiel V f bedeutet dies die Existenz einer Basisfolge B, bezüglich der f durch eine Matrix dargestellt wird, die, bis auf Nullen, aus den Begleitmatrizen 0 0... 0 κ 0 1 0... 0 κ 1 C(r i ) :=......., wenn r i = 0 0... 0 κ m 2 0 0... 1 κ m 1 der Elementarteiler besteht: C(r 1 )... 0 M(B, f, B) =...... 0... C(r s ) m 1 j=0 κ i x i, Diese Matrix heißt die rationale Normalform der f darstellenden Matrizen. 3.9.5 Beispiel Betrachten wir das Beispiel aus Lüneburgs Vorlesung: f: K 4 K 4, e i e 0 +... + e 3, also M(E, f, E) =.
3.9. ELEMENTARTEILER, DIE RATIONALE NORMALFORM 151 Wegen der linearen Unabhängigkeit von e i und f(e i ) sowie f 2 (e i ) = 4f(e i ) gilt Ord(e i ) = (x 2 4x) und damit m f = r 1 = x 2 4x. Als Vektor m 1 können wir deshalb e 0 wählen, und der erzeugte Unterraum ist U 1 = K[x]m 1 = K[x]e 0 = Ke 0 + K(e 0 +... + e 3 ). In diesem Unterraum liegen weder e 1, noch e 2, noch e 3. Nehmen wir etwa m := e 1 zu m 1 hinzu und wenden wir darauf 3.9.3 an. Wegen f(e 1 ) U 1 ist Ord(e 1 + U 1 ) = (x) = (r 2 ). Wir erhalten also (vgl. 3.9.3) rm = xm 1, so daß sich u = m 1 und damit m u = e 0 e 1 ergibt, also m 2 = e 0 e 1 und U 2 = U 1 + K[x](e 0 e 1 ) = Ke 0 + K(e 0 + e 1 + e 2 + e 3 ) + K(e 0 e 1 ). Nehmen wir schließlich zu m 1, m 2 noch m := e 3 hinzu. Wir erhalten ganz analog m 3 = e3 e 1, so daß sich U 3 = Ke 0 + K(e 0 +... + e 3 ) + K(e 3 e 1 ) als Zerlegung von V f ergibt, mit den Elementarteilern Die Begleitmatrizen sind C(r 1 ) = r 1 = x 2 4x, r 2 = x, r 3 = x. ( 0 0 1 4 ), C(r 2 ) = C(r 3 ) = ( 0 ). Insgesamt ergibt sich also, daß bezüglich der Basisfolge B := (e 0, e 0 + e 1 + e 2 + e 3, e 1 e 0, e 2 e 1 ) wird f also durch die folgende Matrix dargestellt: 0 0 0 0 M(B, f, B) = 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0