2.3 Theorie linearer Syseme
2.3.1 Grundsäzliche Mehode
Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. y() = y 1 ()+y 2 ()+y 3 ()+.. zerlegen x? y überlagern einzeln berechnen
Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. y() = y 1 ()+y 2 ()+y 3 ()+.. zerlegen x? y überlagern Definiion: Elemenarsignal Uner einem Elemenarsignal verseh man eine Klasse von Zeifunkionen, aus denen jeder beliebige Signalverlauf zusammensezbar is. einzeln berechnen
Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. zerlegen x? y x 1 () x 2 () x 3 ()..
Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. zerlegen x? y x 1 () y 1 () x 2 () x 3 ().. einzeln berechnen
Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. zerlegen x? y x 1 () x 2 () y 1 () y 2 () x 3 ().. einzeln berechnen
Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. zerlegen x? y x 1 () x 2 () y 1 () y 2 () x 3 ().... y 3 () einzeln berechnen
Mehode: Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposiion) x() = x 1 ()+x 2 ()+x 3 ()+.. y() = y 1 ()+y 2 ()+y 3 ()+.. zerlegen x? y überlagern x 1 () y 1 () x 2 () y 2 () x 3 ().... y 3 () einzeln berechnen
2.3.2 Güligkeisvoraussezungen
Drei Forderungen an Elemenarsignale: 1. Jedes vernünfige Eingangssignal muss sich aus ihnen zusammensezen lassen Für Recheck-Impulse erfüll y y(- ) y() 2. Sie müssen mahemaisch einfach behandelbar sein Für Recheck-Impulse erfüll 3. Sie müssen experimenell leich nachgebilde werden können Für Recheck-Impulse erfüll
Drei Forderungen an die Syseme: 1. Kausaliä in naürlichen Sysemen immer erfüll 2. Zeiinvarianz Alerung, Drif, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein 3. Lineariä Nichlineariäen müssen vernachlässigbar sein
Definiion: Kausaliä Ein Sysem wird kausal genann, wenn jedes Ausgangssignal y() bis zu irgendeinem Zeipunk 1 ausschließlich vom Verlauf des zugehörigen Eingangssignals x() bis zu diesem Zeipunk abhäng
Drei Forderungen an die Syseme: 1. Kausaliä in naürlichen Sysemen immer erfüll 2. Zeiinvarianz Alerung, Drif, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein 3. Lineariä Nichlineariäen müssen vernachlässigbar sein
Zeiinvarianz: x 1 () f(x 1 ()) x 2 () f(x 2 ())
Drei Forderungen an die Syseme: 1. Kausaliä in naürlichen Sysemen immer erfüll 2. Zeiinvarianz Alerung, Drif, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein 3. Lineariä Nichlineariäen müssen vernachlässigbar sein
Wiederholung: SYSTEM nichlinear Das Superposiionsprinzip gil nich : y 1 = f( x 1 ()) y 2 = f( x 2 ()) y y 1 + y 2 = f( x 1 ()) + f( x 2 ()) linear Es gil das Superposiionsprinzip: y 1 = f( x 1 ()) y 2 = f( x 2 ()) y = y 1 + y 2 = f( x 1 ()) + f( x 2 ()) y() f( x 1 () + x 2 ()) y() = f( x 1 () + x 2 () ) Lineare Syseme werden durch linerae Differenialgleichungen mi konsanen Koeffizienen beschrieben
Wiederholung: Beispiel saisches Sysem Eingabe-Peripherie (z.b. Tasaur) I-Eingabe Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildsc hirm ) I-Ausgabe PS SYSTEM VS I-Nuzung Rechner Informaions-Verarbeiung I-Gewinnung VS / % Sell-Peripherie (z.b. Akoren) A öffnen Elekromoor M Z sc hließen Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Foozelle) 100 100 % La m p e 0 100 PS / % 0 % Sc hie b e r- posiion Flüg elrad Durchfluß Srömungsgeschwindigkei VS
Wiederholung: Saisches Sysemmodell dieser Maschine x? y saische Kennlinie y=f(x) Approximaionsfehler
Wiederholung: x 1 () f(x 1 ()) x 2 () f(x 2 ()) x 1 () + x 2 () f(x 1 () + x 2 ()) Verhalen eines linearen Sysems (Superposiion)
2.3.3 Falungsinegral
() Sysem g() () g() Einheisimpuls (): Anwor g() auf den Einheisimpuls Höhe=1/, Breie= Fläche=1 () () falls Breie gegen Null 0 wird Höhe=1/ unendlich Einheisimpuls enare zum Dirac-Soß (),
() Sysem g() () g() normierer Einheisimpuls () : Anwor g() auf den normieren Impuls Höhe=1, Breie= Fläche=
für zeiinvariane Syseme gil: () Sysem g() WENN () g() DANN (- ) g(- ) Sobald man den Eingangsimpuls um nach rechs verschieb
für lineare Syseme gil außerdem: () Sysem g() WENN () g() UND x (- ) x( )g(- ) UND x (- ) x( )g(- ) x (- ) x( )g(- ) DANN Sobald man die Summe aller Signale bilde
x() x (- ) Sysem y() x( )g(- ) x() ~ x( ) (- ) y() ~ x( )g(- ) Funkionen von zwei Variablen: von und. Hier ineressier aber nur der Wer bei einem =cons: mi f 1 ( ) = x( ) (- ) für =cons mi f 2 ( ) = x( )g(- ) für =cons x() ~ f 1 ( ) ~ Fläche uner f 1 ( ) für 0 = f 1 ( )d x() = x( ) (- )d y() ~ f 2 ( ) ~ Fläche uner f 2 ( ) für 0 = f 2 ( )d y() = x( )g(- )d
2.3.4 Sabiliä
Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg y() harmlose Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke
Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg y() gefährliche Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: Schwingungen
Definiion der Sabiliä
Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf B x x() Weg B y y() harmlose Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: BIBO-sabil
Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg B x B y? y() gefährliche Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: BIBO-insabil
Tacoma Narrows Bridge (Washingon, 7. November 1940)