4. rmisc igscaft vo Kristall - spzifisc Wärm f.: spz. Wärm bi ost. olum: S tropi, ir rgi, mpratur S primtll: - bi Zimmrtmpratur ist N M bi fast all Fstörpr (ulog-ptitsc Rgl), N Azal dr Atom, M Mass ds Körprs - bi tif mpratur immt ab, bi Isolator mit, bi Mtall mit (adrs bi Supralitr ud magtisc Fstörpr) 4.. Poosptr scribug dr Gittrscwigug durc ictgopplt armoisc Oszillator rgi is armo. Oszillators: stzugszal,,,... 65
66 Gsamtrgi vo N Oszillator: mittlr rgi is Oszillators: N mittlr stzugszal <> durc os-isti rtilug ggb: Grzfäll: - o : > lassiscs ralt, jdr Oszillator at rgi - tif : < > übr all möglic Frquz (bzw. q) aufsummir (q) q Gsamtrgi:
4.. isti-modll Aam: ur i Frquz (istifrquz) im Gittr N Oszillator drslb Rsoazfrquz bsitz di rgi: > spzifisc Wärm: N ( ) N N Friitsgrad Grzfäll: udlic: N : (primtll:!) primtll bstimmt Molwärm vo iamat ud isti-modll (isti, A. Pysi, 8, 97) 67
4.. Abzäl dr möglic Frquz - Zustadsdict r für scwirig, dar vo q ausg, q (q,q,q ) - fst Radbdigug (std Wll): Ktt aus N Atom dr Läg L > igscwigug sid std i(q)t Wll us u si(sqa) mit d Wllläg bzw. q: λ L L L... LN q πl πl πl... πa y z π π pro q : > olum pro q-wrtc i : qq yqz π Na L L Zal dr möglic q-wrt pro iitsvolum im q-raum (): L (q) π für q πa, für q πa (Zustadsdict) () i Radbdigug sid ur für Obrfläcfft wictig, sost vraclässigbar, da N sr groß. 68
- priodisc Radbdigug i(sqa t) Mdium wird ir als ubgrzt btractt, di Lösug (laufd Wll u u ) widrol sic ac Läg L, so dass rlaubt q-wrt: π q, ±, L π q L 4π ±, L u (sa) u(sa L) 6π ±, L... Nπ ± L π i : i q-wrt pro L i : i q-wrt pro π L odr L r (q) q-wrt pro iitsvolum π 8π im q-raum Häufig Aam: otiuirlic ict, da q-wrt sr dict lig. Oft wird ictfutio im Frquzraum, (), bötigt > () d Azal dr Zustäd im Frquzitrvall d bi durc (q) ausdrüc: s ( ) d (q)dq dq (q) d d (q) d d dq () ddq Gruppgscwidigit 69
4.4. by-modll Aam: vq, d.. ddq v v Scallgscwidigit cost. - i : (q) Lπ > () Lπv für vπ a (ac Glg () ud ()) () für all adr Wrt > das Sptrum wird bi vπ a abgbroc, um d rictig Wrt N für di Gsamtzal dr Normalscwigug zu ralt. - i : r L (q) (priod. R, j Polarisatiosrictug) π rcug vo () für i isotrop Fstörpr (Scallgscwidigit ict vo Ausbritugsrictug abägig): dq tsprict i olum ir Kuglscal im q-raum L L > ( ) d 4πq d q d 8π π v L ( ) für π v 6 N i Grzfrquz brct sic aus: N π d ( ) v L Zal dr Friitsgrad (pro Polarisatio) Zal dr Scwigugszustäd 7 ()
N by-sptrum: ( ) für < gilt für d itrag dr Scwigug ir Polarisatiosrictug. Abr: utrscidlic Scallgscwidigit für logitudial ud trasvrsal Poo > ifürug ir mittlr Scallgscwidigit v v v sp.: v 5 ms N Atomcm > 4 s -, tsprict ir Grzwllzal vo q 8 cm - Å - L Spzifisc Wärm ds Kristallgittrs Gittrscwigug rgb tmpraturabägig itrag zur ir rgi is Kristalls ud damit zur spzifisc Wärm: cost primtll zugäglic ist P, Kristall dt sic aus. Abr: P 9α κ P α liarr trm. Ausdugsoffizit, κ Komprssibilität, Molvolum 4 P 7
7 rgi: Nullputsrgi, tmpraturuabägig (für spz. Wärm ur () itrssat) spzifisc Wärm: mit Glg () rält ma ) ( d ) ( d ) ( d q q q ) ( d ( ) ) ( d ( ),, mit d 9N 4 θ θ by-futio (tabllirt) by-mpratur Grzwrt: o mpratur > θ: N tif mpratur < θ: (θ) für << θ gut Närug, da ur austisc Poo agrgt ( vq gut Närug)
7
4.5. Aarmoisc fft bis jtzt: armoisc Närug > Pottial (r) (r ) A(r- r ) > wictig igscaft ds Fstörprs wrd ict bscrib! Aarmoisc: (r) (r ) A(r- r ) (r- r )... rmöglict scribug folgdr fft: - trmisc Ausdug - mpratur- ud rucabägigit dr lastisc Kostat - ulog-ptit gilt ict strg (grigfügig Astig dr spz. Wärm obralb vo θ) - Poo wcslwir, ab dlic Lbsdaur, sid gdämpft - trmiscs Glicgwict stllt sic i - Kristall at dlic Wärmlitfäigit 74
- trmisc Ausdug: : r - r, () c g g g << > 4c g α 4c α d d () () liarr trmiscr Ausdugsoffizit Allgmi: g f () > α f () Ausdug: L L ( α) 75
- Wärmlitfäigit vo Isolator mittlr stzugszal <> utrscidlic bi ud > rgifluss Q Q λ d d λ grad Wärmlitzal > Wärmtrasport ist statistiscr Prozss (iffusio) > Gradit! Aalog Wärmlitfäigit vo Gas: λ v l spz. Wärmapazität, v mittlr Poogscwidigit, l mittlr fri Wgläg dr Poo v τ τ mittlr Zit zwisc Zusammstöß Folg dr Aarmoizität ist, dass di Scwigug ict mr ugstört übrlagr, sodr dass astatt ifacr Suprpositio WW auftrt > iflussug dr ir rgi, Poo-Poo-Struug (last. Kostat ds Gittrs wrd durc i Poo priodisc modulirt, i adrs Poo spürt dis Modulatio ud a gstrut wrd), istllug ds trmisc Glicgwicts. 76
Zusammfassug - scribug dr Gittrscwigug durc ictgopplt armoisc Oszillator mit Gsamtrgi (q) q - di mittlr stzugszal <> durc os-isti rtilug ggb: - isti-modll dr spzifisc Wärm: ur i Frquz - by-modll dr spzifisc Wärm: vq, (v Scallgscwidigit cost.) rcug vo v aus rgi: q q d q ( ) q - Zustadsdict () durc Abzäl dr möglic q-wrt utr rücsictigug dr Radbdigug (fst odr priodisc) - rlärug dr trmisc Ausdug, Wärmlitfäigit, Poo-Poo-WW durc aarmoisc fft 77