Inhalt A Natürliche Zahlen 1 Anzahlen 6 2 Große Zahlen 7 3 Besondere natürliche Zahlen 9 4 Potenzen 10 5 Teiler und Vielfache 11 6 Primzahlen 13 7 Runden 14 8 Die römische Zahlschreibweise 15 9 Natürliche Zahlen im Zweiersystem 16 10 Wahr oder falsch? Wo steckt der Fehler? 17 B Rechnen mit natürlichen Zahlen 1 Addieren und Subtrahieren 18 2 Multiplizieren und Dividieren 21 3 Rechenregeln 23 4 Rechenausdrücke und Variablen 25 5 Einfache Gleichungen und Ungleichungen 26 6 Keine Angst vor Textaufgaben 27 Probe-Klassenarbeit: Natürliche Zahlen 29 C Bruchteile und Bruchzahlen 1 Bruchteile 30 2 Bruchteile von Größen 33 3 Kürzen und Erweitern von Brüchen 37 4 Bruchzahlen 38 5 Brüche mit den Nennern 10, 100 und 1000 39 6 Die Anordnung der Bruchzahlen 40 7 Einfache Rechnungen mit Brüchen 41
D Sachrechnen 1 Messen von Größen 42 2 Größen addieren und subtrahieren 45 3 Größen multiplizieren und dividieren 46 4 Zuordnungen Einfache Dreisatzaufgaben 48 5 Vermischte Übungen 49 E Geometrie 1 Räumliche Grundformen Körper 50 2 Ebene Grundformen Vielecke und Kreise 52 3 Geometrische Grundbegriffe 53 4 Abstände 55 5 Darstellungen Modelle Netze 56 6 Punkte und Figuren im Koordinatensystem 59 7 Winkel 60 Probe-Klassenarbeit: Geometrie 62 F Flächen- und Ruminhalte 1 Einheiten des Flächeninhalts 63 2 Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken 64 3 Einheiten des Rauminhalts 66 4 Rauminhalt und Oberfläche von Quadern 67 Probe-Klassenarbeit: Flächen- und Rauminhalte 69 G Symmetrie Spiegelung und Parallelverschiebung 1 Achsensymmetrie 70 2 Punktsymmetrie 71 3 Spiegelung 72 4 Parallelverschiebung 73 H Statistisches 1 Urlisten und Häufigkeitstabellen 74 2 Diagramme 76 Lösungen 78
A Natürliche Zahlen 1 Anzahlen Beim Zählen will man eine Anzahl feststellen. Man zählt eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben,..., benutzt also zum Zählen die natürlichen Zahlen. Der Zählvorgang wird erleichtert, IIIIIIIIIIIIIIIIII indem man Strichlisten anlegt. IIII IIII IIII III Diese sind leichter auszuwerten, wenn man die Striche als 5er-Bündel hinschreibt. Beispiel Die Kinder der Klasse 5 a wurden gefragt, wie sie täglich zur Schule kommen. Mit dem Bus: IIII IIII III Mit dem Auto der Eltern: III Mit dem Fahrrad: IIII IIII I Zu Fuß: IIII I Darstellung der Umfrage in einer Tabelle. Art Bus Fahrrad Auto zu Fuß insgesamt Anzahl 13 11 3 6 33 1. Die letzte Mathearbeit in der Klasse 5c fiel so aus: Note 1: IIII Note 2: IIII IIII Note 3: IIII II Note 4: IIII Note 5: I a) Lege eine Tabelle an. b) Wie viele Kinder schrieben mit? c) Wie viele Kinder hatten eine 3 oder eine bessere Note? 2. In der Klasse 5b wurde nach den Lieblingssportarten gefragt. Das Umfrageergebnis wurde als Balkendiagramm dargestellt. a) Lege eine Tabelle an und trage die Anzahlen ein, auch die der insgesamt befragten Kinder. b) Wie viele Kinder haben eine Ballsportart am liebsten? Fußball Schwimmen Reiten Tennis Inliner fahren Anzahl 2 4 6 8 6
2 Große Zahlen 2 Große Zahlen Die natürlichen Zahlen stellen wir im Zehnersystem dar. Besonders übersichtlich ist die Schreibweise in einer Stellenwerttafel. Im Zehnersystem werden immer 1 Z = 10 E = 10 1 E 10 Zahlen einer Einheit zu einer 1 H = 10 Z = 10 10 E = 10 2 E Zahl der nächstgrößeren Einheit 1 T = 10 H = 10 10 10 E = 10 3 E gebündelt. 1 ZT = 10 T = B HMrd ZMrd Mrd HM ZM M HT ZT T H Z E 10 12 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Eingetragen sind die Zahlen 111 000 111 000 (einhundertelf Milliarden einhundertelftausend) und 1 000 001 000 000 (eine Billion eine Million). 1. Schreibe die Zahl drei Milliarden einundfünfzig Millionen in Ziffern. 3 051 000 000 2. Wie viele Nullen hat die Zahl fünfhundert Milliarden? Die Zahl 500 000 000 000 hat 11 Nullen. Beispiele 3. Schreibe die Zahl mit Ziffern. a) 135 Millionen b) 4 Milliarden 206 Millionen c) 10 9 d) 7 Billionen 38 Tausend Merke dir: 1 Million = 1 Mio. = 10 6 = eine 1 mit 6 Nullen 1 Milliarde = 1 Mrd. = 10 9 = eine 1 mit 9 Nullen 1 Billion = 1 Bio. = 10 12 = eine 1 mit 12 Nullen Tipp 4. Lies die Zahl. a) 4 565 800 100 b) 10 001 001 001 c) 1 090 555 234 000 d) 999 999 999 5. Schreibe die Zahl mit Ziffern. a) neunhundertfünftausenddreihundertvier b) drei Millionen vierhundert c) vierzig Milliarden elftausendachthundert d) vier Billionen drei Milliarden fünf Millionen sechshunderttausend 7
A Natürliche Zahlen Auch große Zahlen kann man am Zahlenstrahl markieren, man muss nur die entsprechende Größenordnung beachten. 0 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 6. Welche Zahlen wurden durch Buchstaben auf dem Zahlenstrahl markiert? a) C A B D 0 500 000 1 000 000 b) C A B D 0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 7. Welche Zahl ist hier gemeint? Schreibe sie mit Ziffern und lies sie. a) Die größte fünfstellige Zahl. b) Die kleinste Zahl mit 9 Ziffern. c) Die größte fünfstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern. d) Der Nachfolger der gesuchten Zahl lautet 10 8. 8. Stelle die Zahlen an einem Zahlenstrahl dar. a) 3500000, 6700500, 1000000 und 900000 b) 61000, 76000, 100000, 120000 und 50000 9. Ordne die Zahlen 750 000, 25 000 000, 5 500 000, 1 010 000 und 900 000 der Größe nach. 10. Schreibe in Ziffern und ordne der Größe nach: 10 6 ; einhundert Milliarden; Null; 10 10 ; eine Billion einhunderttausendeinhundert. 11. Wie heißen jeweils die Vorgänger und Nachfolger? a) 10 6 b) 10 9 c) 10 10 d) 10 12 12. Addiere zur kleinsten sechsstelligen Zahl die größte siebenstellige Zahl. 13. Subtrahiere von der größten sechsstelligen Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern die kleinste sechsstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern. 8
3 Besondere natürliche Zahlen 3 Besondere natürliche Zahlen Die Zahlen 0, 2, 4, 6, 8, 10,... nennt man gerade Zahlen. Die Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11,... nennt man ungerade Zahlen. Alle natürlichen Zahlen fasst man zur Menge N zusammen: N = {0, 1, 2, 3, 4,...} In der Menge der natürlichen Zahlen hat jede Zahl einen Nachfolger und einen Vorgänger, Ausnahme: Die Zahl 0 besitzt keinen Vorgänger. Die Zahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25,... heißen Quadratzahlen. Die Zahlen 0, 1, 8, 27, 64, 125,... heißen Kubikzahlen. 1. Die Quadratzahl 100 ist eine gerade Zahl. Ihr Vorgänger heißt 99 und ihr Nachfolger heißt 101. 2. Die Kubikzahl 27 ist ungerade. Es gilt: 26 < 27 < 28. Beispiele 14. Zeichne einen Zahlenstrahl mit Marken für die Zahlen von 0 bis 20. Markiere die geraden und die ungeraden Zahlen in diesem Bereich mit zwei verschiedenen Farben. 15. Wie viele gerade und wie viele ungerade Zahlen gibt es a) im Bereich von 0 bis 100, b) im Bereich von 0 bis 1000? 16. Welche Zahlen sollen hier dargestellt sein? a) b)...... 17. Setze die fehlenden Zahlen ein. a) 34 < < < 40 b) 101 > > > 95 > c) 36 < 49 < < 81 d) 400 > > 324 > 289 > 18. Wie heißen die Quadratzahlen und wie die Kubikzahlen a) von 100, b) von 1000, c) von 1 000 000? 19. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Stimmt das? 9
A Natürliche Zahlen 4 Potenzen Für 3 3 3 3 schreibt man kürzer 3 4 und liest dann 3 hoch 4. Man nennt 3 4 eine Potenz mit der Grundzahl 3 und der Hochzahl 4. Es ist: 3 4 = 3 3 3 3 = 81 Zusätzlich wird festgelegt: 3 1 = 3 und 3 0 = 1. Potenzrechnungen gehen vor Punktrechnungen. Grundzahl Hochzahl 3 4 Potenz Beispiele 1. 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32 2. 8 2 = 8 8 = 64 3. 13 1 = 13 4. 1000 = 10 10 10 = 10 3 5. 5 5 5 = 5 3 = 125 6. 7 0 = 1 Tipp Eine Potenz gibt an, welche Zahl (= Grundzahl) wie oft (= Hochzahl) als Faktor in einem reinen Produkt vorkommt. 20. Berechne die folgenden Potenzen im Kopf. a) 2 3 b) 2 6 c) 4 3 d) 11 2 e) 335 1 f) 3 5 g) 37 1 h) 8 0 21. Rechne schriftlich. a) 35 2 b) 39 2 c) 15 3 d) 8 4 22. Die ersten Quadratzahlen lauten 1 2 = 1; 2 2 = 4; 3 2 = 9; a) Setze die Aufzählung der Quadratzahlen bis 10 2 fort. b) Berechne die Quadratzahlen von: 15, 20 und 1000. Beginne so: 15 2 = c) Schreibe als Quadratzahl: 49, 64, 900, 196. Beginne so: 49 = 7 7 = 23. a) Schreibe die Kubikzahlen von 1 3 bis 10 3 auf. b) Ordne der Größe nach: 10 2, 10 5, 100 2 und 100 3. 24. Es ist 5 4 2 = 5 16 = 80. Berechne entsprechend. a) 4 3 2 b) 6 5 2 c) 3 3 2 d) 5 10 3 25. Es ist 3 4 3 4 3 3 = 3 3 3 3 4 4 = 3 4 4 2. Vereinfache ebenso. a) 2 5 2 5 2 b) 3 7 8 7 3 c) 4 4 3 8 4 4 3 8 10
5 Teiler und Vielfache 5 Teiler und Vielfache Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 10, wenn sie auf 0 endet; teilbar durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet; teilbar durch 2, wenn sie auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet; teilbar durch 4, wenn ihr zweistelliges Ende durch 4 teilbar ist; teilbar durch 8, wenn ihr dreistelliges Ende durch 8 teilbar ist; teilbar durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist; teilbar durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Durch welche der Zahlen 2, 3, 4, 5, 8, 9 und 10 ist 1140 teilbar? Beispiel Da 1140 auf 0 endet, ist 1140 durch 2, 5 und 10 teilbar. Da 40 (zweistelliges Ende) durch 4 teilbar ist, ist 1140 auch durch 4 teilbar. Da 140 (dreistelliges Ende) nicht durch 8 teilbar ist, ist 1140 nicht durch 8 teilbar. Die Quersumme von 1140 ist 1 + 1 + 4 + 0 = 6. Die Quersumme 6 ist zwar durch 3, aber nicht durch 9 teilbar. Also ist 1140 durch 3 teilbar, aber nicht durch 9. 26. Prüfe, ob die folgenden Zahlen durch 2, 3, 4, 5, 8, 9 oder 10 teilbar sind. a) 1680 b) 255 c) 5 424 d) 6122 e) 96 f) 117 g) 269 h) 304578 27. Prüfe, ob die folgenden Zahlen ein Vielfaches von 2, 3, 4, 5, 8 oder 9 sind. a) 135 b) 5064 c) 8505 d) 654 387 912 28. Finde je eine dreistellige Zahl, die teilbar ist durch a) 2 und 3 b) 3 und 4 c) 5 und 9 d) 3 und 8. 29. Woran erkennt man, ob eine Zahl durch 6 (durch 100) teilbar ist? 30. Anna kauft an einem Kiosk eine Zeitschrift für 3 Euro sowie drei Päckchen Kaugummi derselben Sorte. Der Verkäufer verlangt von ihr dafür 4,94 1. Das kann nicht stimmen, sagt Anna daraufhin. Wie kommt sie darauf? 31. Als Peter an der Tafel die Aufgabe 3827 : 4 = liest, sagt er sofort Da bleibt Rest 3 übrig. Wieso ist Peter hier so sicher? Begründe. 11
A Natürliche Zahlen 32. Bestimme die gemeinsamen Teiler von a) 6 und 12 b) 8 und 16 c) 10 und 15 d) 20 und 30 e) 12 und 30 f) 16 und 30 g) 20 und 36 h) 24 und 36 Tipp: Schreibe die Teiler der ersten Zahl hin und darunter übersichtlich die Teiler der zweiten Zahl. 33. Bestimme die ersten drei gemeinsamen Vielfachen von a) 4 und 6 b) 6 und 12 c) 10 und 15 d) 20 und 30 Tipp: Verfahre ähnlich wie bei Aufgabe 32. 34. Wenn eine Zahl durch 24 teilbar ist, dann ist sie auch durch 1, 2, 3, 4, 6, 8 und 12 teilbar. Wieso? 35. Eine bestimmte natürliche Zahl ist durch 40 teilbar. a) Durch welche Zahlen ist sie dann auch teilbar? b) Nenne drei aufeinander folgende Zahlen, die durch 40 teilbar sind. c) Unter diesen drei Zahlen ist mindestens eine auch durch 80 teilbar. Wieso? 36. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggt) von a) 8 und 12 b) 24 und 36 c) 14 und 42 d) 15 und 32 37. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) von a) 8 und 12 b) 24 und 36 c) 14 und 42 d) 15 und 32 38. Eva möchte ein Kartenspiel erfinden, das zwei, drei, vier oder sechs Spieler spielen können. Dabei sollen stets alle Karten gleichmäßig an die Spieler verteilt werden. a) Wie viele Karten muss das Kartenspiel mindestens haben? b) Wie viele Karten sind mindestens nötig, damit auch fünf Spieler das Kartenspiel spielen können? 39. Der kleine Felix hat sehr viele Holzbausteine, die jeweils 2 cm lang, 2 cm breit und 3 cm hoch sind. Wie viele dieser Steine muss er mindestens nehmen, wenn er daraus einen Würfel bauen will? 40. Peters Schlange bekommt alle 8 Tage Futter. Alle 3 Tage erhält sie zudem frisches Wasser. Am Montag gab es Futter und frisches Wasser für die Schlange. An welchem Wochentag wird Peters Schlange das nächste Mal zugleich Futter und frisches Wasser bekommen? 12
6 Primzahlen 6 Primzahlen Eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nennt man eine Primzahl. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Die ersten Primzahlen lauten 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 1. Die Primzahlen zwischen 20 und 40 lauten 23, 29, 31 und 37. 2. 82 ist außer durch 1 und durch 82 auch noch durch 2 und durch 41 teilbar. Also ist 82 keine Primzahl, denn 82 hat mehr als zwei Teiler 3. 117 ist ebenso keine Primzahl, denn auch 117 hat mehr als zwei Teiler, z. B. ist 117 außer durch 1 und durch 117 auch noch durch 3 teilbar. 4. 1 ist keine Primzahl, denn 1 hat nur einen einzigen Teiler, nämlich die 1. Beispiele 41. Entscheide, ob die folgenden Zahlen Primzahlen sind. Gib für alle Zahlen, die keine Primzahlen sind, alle Teiler an. a) 29 b) 47 c) 51 d) 53 e) 77 f) 119 42. Begründe, dass die folgenden Zahlen keine Primzahlen sind. a) 3285 b) 777 c) 8752 d) 0 e) 10 5 f) 37 2 43. Zwei Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt, heißen Primzahlzwillinge. Nenne vier Primzahlzwillinge. 44. Zerlege in ein Produkt aus lauter Primzahlen (= Primfaktordarstellung). a) 12 = 2 2 b) 210 = 2 45. Verfahre wie bei der vorherigen Aufgabe. a) 40 b) 65 c) 78 d) 360 e) 59 f) 143 46. Entscheide, welche der Aussagen wahr und welche falsch sind. Gib zu den falschen Aussagen je ein Gegenbeispiel an. a) Primzahlen sind stets ungerade. b) Die Summe aus zwei Primzahlen ist nie eine Primzahl. c) Das Produkt aus zwei Primzahlen ist nie eine Primzahl. d) Wenn eine Zahl durch 12 teilbar ist, dann ist sie auch durch 4 teilbar. 47. Welche Primzahlen zwischen 1 und 30 sind gemeint? Vertausche die beiden Ziffern und es entsteht wieder eine Primzahl. 13
A Natürliche Zahlen 7 Runden Beim Runden gilt: Steht rechts von der Rundungsstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet; steht dort eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet. Überlege immer zuerst, an welcher Stelle du nachschauen musst. Beispiel 1 Beispiel 2 Runde 37 499 und 21 500 jeweils auf Tausender. Um auf Tausender zu runden, musst du die Hunderterstelle überprüfen. 37 499 37 000 (abgerundet, da an der Hunderterstelle eine 4 stand) 21 500 22 000 (aufgerundet, da an der Hunderterstelle eine 5 stand) Runde 3 446 278 und 3 877 jeweils auf Zehntausender. 3 446 278 3 450 000 (aufgerundet, da an der Tausenderstelle eine 6 stand) 3 877 0 (abgerundet, da an der Tausenderstelle eine 3 stand) 48. a) Runde auf Hunderter: 366; 51; 5700; 32; 12345; 3408702. b) Runde auf Millionen: 4567981; 2345999; 687932; 59999. c) Runde auf ganze Euro: 13,66 1; 47,49 1; 0,55 1; 999,99 1; 200,00 1. 49. Runde die Zahlen auf Hundertausender und trage sie auf einem Zahlenstrahl ein: 3 467 137; 669 405; 1 089 800; 2 300 999; 1 555 555. 50. In einem Zeitungsartikel ist zu lesen: Rund 10 000 Personen nahmen an der Befragung teil. Wie viele Personen waren es mindestens und wie viele höchstens, wenn hier auf Tausender gerundet wurde? 51. Runde die Berghöhen auf 100 m genau und fertige ein Diagramm an. Brocken: 1142 m; Zugspitze: 2962 m; Feldberg: 1493 m; Säuling: 2047 m. 52. In einem Kaufhaus wurde eine Woche lang täglich gezählt, wie viele Leute etwas gekauft haben. Runde die Ergebnisse auf Hunderter und zeichne ein Bilddiagramm. Zeichne dabei für je 100 Käufer ein Männchen. Wochentag Mo Di Mi Do Fr Sa Käufer 743 679 1063 938 811 1297 Weshalb hat das Kaufhaus diese Zählung wohl durchgeführt? 14
8 Die römische Zahlschreibweise 8 Die römische Zahlschreibweise Die Römer benutzten kein Stellenwertsystem. Sie verwendeten stattdessen diese Zahlzeichen. Zahlzeichen I V X L C D M Wert 1 5 10 50 100 500 1000 Für die römische Zahlschreibweise gelten folgende Regeln: Die Zeichen V, L und D dürfen in einer Zahl nur einmal vorkommen. Jedes der Zeichen I, X, C und M soll höchstens dreimal hintereinander vorkommen. Die Zeichen werden der Größe nach geordnet. Man beginnt mit dem größten Zeichen und addiert die Werte. Es gibt jedoch Ausnahmen: IV = 5 1 = 4; IX = 10 1 = 9; XL = 50 10 = 40; XC = 100 10 = 90; CD = 500 100 = 400; CM = 1000 100 = 900. 1. XXIII = 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23 2. CXL = 100 + 40 = 140 3. CLXIV = 100 + 50 + 10 + 4 = 164 4. DCCXCIX = 500 + 100 + 100 + 90 + 9 = 799 5. MCMXCVIII = 1000 + 900 + 90 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998 Beispiele 53. Schreibe mit römischen Zahlzeichen. a) 17 b) 25 c) 43 d) 88 e) 256 f) 439 g) 2624 h) 2999 54. Übersetze in unsere Zahlschreibweise. a) XIV b) XXXIX c) LXII d) XLIV e) XCIX f) CLXXXVII g) MMMCCLV h) CMXLIX 55. In einer Kloster-Bibliothek findet Anna einige ganz alte Bücher. In welchem Jahr und wo wurden sie gedruckt? a) VENETIIS, MDCCLXI b) FRIBURG BRISG., MDCCLXXIII c) VIENNAE, MDCXXXIX 15
A Natürliche Zahlen 9 Natürliche Zahlen im Zweiersystem Im Zweiersystem (Dualsystem) können wir alle Zahlen durch die beiden Ziffern 0 und 1 ausdrücken. Die letzte Ziffer einer Zahl steht für die Einer. 2 Einer werden zu einem 2er zusammengefasst, 2 2er zu einem 4er usw. Immer, wenn man eine Stelle weiter nach links rückt, verdoppelt sich der Wert der Ziffer. Zahlen aus dem Zweiersystem nennt man Dualzahlen oder auch Binärzahlen. Um sie von Zahlen aus dem Zehnersystem zu unterscheiden, setzen wir sie in Klammern und benutzen eine kleine 2 als Index. Stellenwerttafel des Zweiersystems 64er 32er 16er 8er 4er 2er 1er 1 0 0 1 0 1 1 (1001011) 2 = 1 64 + 0 32 + 0 16 + 1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 64 + 8 + 2 + 1 = 75 Die Dualzahl (1001011) 2 ist gleich der Zahl 75 im Zehnersystem. Beispiele 1. (1101) 2 = 1 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1 = 8 + 4 + 1 = 13 2. 13 = 8 + 4 + 1 = 1 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1 = (1101) 2 3. Der Nachfolger von (1001) 2 heißt (1010) 2, der Vorgänger (1000) 2. 56. Schreibe die Zahl im Zehnersystem. a) (1010) 2 b) (1111) 2 c) (10 100) 2 d) (1 100 110) 2 57. Vervollständige die Tabelle. Vorgänger Dualzahl Nachfolger (101) 2 (1001) 2 (1101) 2 (100) 2 58. Schreibe im Zweiersystem. a) 7 b) 11 c) 25 d) 49 e) 63 f) 64 g) 100 h) 111 59. Woran erkennt man an einer im Zweiersystem geschriebenen Zahl a) ob sie gerade oder ungerade ist, b) ob sie durch 4 teilbar ist? 16
10 Wahr oder falsch? Wo steckt der Fehler? 10 Wahr oder falsch? Wo steckt der Fehler? 60. a) Jede Quadratzahl ist durch 2 teilbar. b) Jede Zahl, die durch 20 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar. c) Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 20 teilbar. d) Wenn eine Zahl durch 100 teilbar ist, dann ist sie auch durch 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25 und 50 teilbar. 61. Isabell hat die Zahlenfolgen durch die jeweils fett gedruckte Zahl fortgesetzt. a) 1; 3; 5; 7; 9 b) 1; 4; 9; 16; 20 c) 100; 90; 80; 70; 60 d) 1000; 990; 970; 940; 910 e) 22; 33; 44; 55; 77 62. Hannes rundet 145 so: 145 150 und 150 200. 63. Hier hat einer versucht, Jahreszahlen mit römischen Ziffern zu schreiben. a) 1061 = MLXI b) 1074 = MLXXIIII c) 1088 = MLXXXVIII d) 1099 = MLXXXXIX e) 2001 = MMI 64. Johannes behauptet: Bei der Aufgabe 3999 : 5 bleibt der Rest 4. 65. Eine Aufgabe lautet 587 + 649 + 179 =. Veronika macht folgenden Überschlag: 600 + 700 + 200 = 1500. 66. Frank hat für die Aufgabe 2 30² das Ergebnis 3600 gefunden. 67. Anna kauft an einem Kiosk eine Zeitschrift für 5 Euro sowie drei Päckchen Kaugummi einer bestimmten Sorte. Sie soll 6,94 Euro bezahlen. Das kann nicht stimmen, sagt Anna daraufhin. Wie kommt sie darauf? 17
B Rechnen mit natürlichen Zahlen 1 Addieren und Subtrahieren Begriffe, die du kennen solltest: Summand + Summand Minuend Subtrahend 246 + 753 = 999 357 246 = 111 Summe Wert der Differenz Wert der Summe Differenz Schriftliche Rechenverfahren Denke an die Stellenwerttafel des Zehnersystems. Schreibe also Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, Hunderter unter Hunderter usw. ZT T H Z E Sprich: neun plus null plus drei gleich zwölf. 3 4 5 3 3 + 1 3 1 8 0 + 5 8 9 1 2 1 4 8 3 0 2 Schreibe die Ziffer 2 in die Einerstelle der Antwort und den Übertrag 1 in die nächste Spalte links. Sprich: neun (8+1) plus acht plus drei gleich zwanzig. Schreibe die Ziffer 0 in die Zehnerstelle und den Übertrag 2 in die nächste Spalte links usw. 3 4 5 1 3 Sprich: drei plus eins plus zwei gleich sechs, 1 0 2 0 2 5 4 1 8 4 8 3 1 1 2 1 1 5 2 8 7 plus sieben gleich dreizehn. Schreibe die Ziffer 7 in die Einerstelle der Antwort und den Übertrag 1 in die nächste Spalte links. Sprich: neun (8+1) plus vier plus null gleich dreizehn, plus acht gleich einundzwanzig. Schreibe die Ziffer 8 in die Zehnerstelle und den Übertrag 2 in die nächste Spalte links. usw. 1. Rechne im Kopf. a) 100 000 + 1000 + 1 = b) 1 000 000 + 1000 + 10 = c) 100 000 10 000 1000 = d) 1 000 000 100 000 1000 = 18
1 Addieren und Subtrahieren 2. Rechne im Kopf. a) 100 + 200 + 300 + 400 b) 200 + 400 + 600 + 800 c) 1000 100 200 100 d) 1000 900 90 9 e) 60 + 35 + 25 + 30 f) 225 175 25 24 g) 3 + 7 + 11 + 9 h) 100 10 30 50 3. Kannst du auch dies im Kopf rechnen? a) 1 + 10 + 100 + 1000 b) 1000 100 10 1 c) 10 000 + 20 000 + 50 000 + 30 000 + 70 000 + 20 000 4. Bestimme einen Näherungswert durch eine Überschlagsrechnung. a) 517 + 382 + 97 b) 687 293 112 c) 3204 + 2987 + 987 d) 4896 3109 1978 e) 10321 + 25019 + 48765 f) 100000 89765 1067 Tipp zu a): Rechne so: 500 + 400 + 100 =... 5. Rechne schriftlich. a) 2 4 6 8 1 3 5 b) 1 0 0 0 0 0 0 0 c) 7 4 1 2 3 5 6 + 9 8 7 6 7 8 8 4 3 5 6 1 8 9 1 4 7 d) 3 4 5 4 3 2 e) 1 0 0 0 0 0 0 f) 2 2 2 0 0 0 0 + 5 6 7 8 7 6 8 7 6 5 4 3 1 0 0 1 0 0 0 + 1 0 1 0 1 1 9 9 7 7 5 9 0 8 2 0 0 + 9 9 8 8 7 7 8 0 8 0 1 0 0 0 0 6. Schreibe untereinander und addiere bzw. subtrahiere. a) 4356798 + 33444 + 287365 + 1722849 b) 52300000 + 4850000 + 88500 + 9200600 c) 77100000 3270000 89700 9890000 d) 88234513 5577810 98900 7605065 7. Rechne aus. Prüfe dein Ergebnis durch eine Überschlagsrechnung. a) 77 867 + 88 120 + 101 306 + 6780 80 150 b) 999 888 777 010 101 104 + 3683 + 587 c) 1 307 850 + 2 460 780 1 101 202 876 500 Tipp: Bilde zunächst eine Zwischensumme aus den Summanden. Schreibe dann die Subtraktion auf. 19
B Rechnen mit natürlichen Zahlen 8. Setze das richtige Zeichen ein. a) 100 + 250 400 160 b) 200 150 300 270 c) 1000 + 300 2000 700 d) 500 + 700 1000 70 e) 4000 2500 2600 500 f) 3600 + 450 4020 9. Wie viel fehlt an einer Million? a) 999 999 b) 999000 c) 900000 d) 100000 e) 99000 f) 90000 g) 1000 h) 100 i) 10 10. Alexander jobbt 6 Tage lang und erhält Montag 32,60 1, Dienstag 28,70 1, Mittwoch 43,20 1, Donnerstag 22,90 1, Freitag 44,40 1 und Sonnabend 18,00 1. Wie viel Euro hat er in dieser Woche verdient? 11. Alexa macht Kassensturz. Sie verdient monatlich netto 1650 Euro und noch 320 Euro durch einen Nebenjob. Ihre monatliche Miete beträgt 480 Euro, für Strom, Gas und Wasser bezahlt sie im Durchschnitt monatlich 260 Euro und für Gebühren und Versicherungen 340 Euro. Für Essen und Trinken kalkuliert sie 600 Euro pro Monat. Wie viel Euro bleiben übrig? 12. In der Zeitung ist ein Bild mit 6 älteren Damen. Darunter steht: 3 mal Zwillinge und zusammen 510 Jahre alt. Die Geschwister Schneider sind jeweils 80 Jahre alt, die beiden Schwestern Matra jeweils 85 Jahre. Wie alt ist Luise Mairhofer? 13. Wie heißen die fehlenden Ziffern? a) 3 4 5 8 7 6 0 b) 2 0 5 6 8 9 c) 3 6 5 0 8 6 0 + + 2 7 4 0 4 3 4 8 8 6 0 1 1 9 0 5 1 8 1 d) 3 4 0 5 6 0 e) 1 0 0 0 0 0 0 f) 8 8 8 7 7 7 + 2 8 0 6 3 9 0 0 0 0 0 + 4 0 8 5 1 9 0 0 6 6 6 5 5 5 + 1 0 1 2 6 0 0 1 1 1 1 1 1 1 3 1 0 5 0 7 9 8 0 8 7 6 5 5 20
2 Multiplizieren und Dividieren 2 Multiplizieren und Dividieren Begriffe, die du kennen solltest: Faktor Faktor Dividend : Divisor 120 30 = 3600 4800000 : 1200 = 4000 Produkt Wert des Quotient Wert des Produkts Quotienten Schriftliche Rechenverfahren 3 4 9 1 8 4 2 Man fasst den zweiten Faktor als Multiplikator auf 2 7 9 2 8 und berechnet Teilprodukte. 1 3 9 6 4 Du beginnst mit der höchsten Stelle des 6 9 8 2 Multiplikators, im Beispiel links multiplizierst du 1 1 2 1 also mit 8 Hundertern. 2 9 3 9 4 2 2 Beim nächsten Teilprodukt rückst du eine Stelle nach rechts und multiplizierst mit 4 Zehnern, danach dann noch mit 2 Einern. Als letztes addierst du die (drei) Teilprodukte. Überschlag: 3000 1000 = 3 000 000 1 0 2 4 : 6 4 = 1 6 Du zerlegst den Dividenden zunächst von vorn 6 4 in eine Zifferngruppe, die bei der Division eine 3 8 4 1 oder eine größere Zahl ergibt. Im Beispiel: 102 3 8 4 dividiert durch 64 gleich 1, Rest 38 (Zehner). 0 Danach addierst du zum Divisionsrest (38 Zehner) den Wert der nächsten Stelle (4) und erhältst 384 (Einer) und setzt die Division fort: 384 : 64 = 6. Überschlag: 1020 : 60 = 102 : 6 = 17 Mögliche Kontrolle: Die Gegenoperation durchführen. 1 6 6 4 9 6 6 4 1 0 2 4 14. Rechne im Kopf. a) 100 100 b) 1000 1000 c) 1000 100 d) 200 100 e) 3000 1000 f) 50000 100 15. a) 23 100 b) 340 1000 c) 8900 1000 d) 444 1000000 e) 301 2000 f) 1010 3000 21
B Rechnen mit natürlichen Zahlen 16. a) 360 : 10 b) 36000 : 100 c) 36000000 : 1000 d) 360 : 30 e) 360000 : 60 f) 36000000 : 120 17. Bestimme einen Näherungswert durch eine Überschlagsrechnung. a) 5 24 32 b) 18 22 51 c) 108 9898 d) 39672 : 4006 e) 4000765 : 2012 f) 98000000 : 107 18. Rechne schriftlich. Führe eine geeignete Kontrolle durch. a) 3 4 6 5 7 6 1 2 b) 2 1 4 5 0 9 6 1 c) 4 3 2 0 9 4 8 7 2 2 4 2 5 5 0 5 0 Tipp zur Kontrolle für a): Durch Überschlag: 3000 8000 = 24 000 000; mithilfe von Teilbarkeitsregeln: Der erste Faktor (3465) ist durch 9 teilbar (Quersumme 18). Das Produkt muss also auch durch 9 teilbar sein. 19. a) 1 401 712 : 92 b) 5 248 871 : 191 c) 214 840 : 22 Tipp: Die letzte Aufgabe geht nicht auf. Schreibe auch den Rest hin. Bei einer Kontrolle mithilfe der Gegenoperation musst du zum Produkt den Rest addieren. Hilfe findest du auch im Lösungsteil. 20. Die Klasse 5e (31 Kinder) spart für einen Schullandheimaufenthalt. Dreimal schon hat jedes Kind 3 1 eingezahlt. Wie viele Euro sind in der Klassenkasse? 21. Frau Fanning hat für Ihren zweiwöchigen Urlaub 1260 1 zur Verfügung. Das Hotel kostet 504 1, für die An- und Abreise rechnet sie mit 280 Euro. a) Wie viel kostet eine Übernachtung? b) Wie viele Euro kann sie jeden Tag ausgeben. Rechne auf einen Euro genau. 22. Eine unbekannte Zahl wird durch 97 dividiert. Das Ergebnis lautet a) 36 852, b) 896 451. Wie heißt die Zahl? 22
3 Rechenregeln 3 Rechenregeln (1) Was in Klammern steht, das muss man zuerst berechnen. (2) Punktrechnungen ( und :) gehen vor Strichrechnungen (+ und ). (3) In allen anderen Fällen rechnet man von links nach rechts. 60 (3 7 + 6) 2 In der Klammer: Punktrechnung vor Strichrechnung, = 60 (21 + 6) 2 dann die Klammer berechnen, = 60 27 2 dann Punktrechnung vor Strichrechnung. = 60 54 = 6 Zum Schluss die Differenz berechnen. [40:(8 3) + 4] 5 Zuerst die innere Klammer berechnen, = [40: 5 + 4] 5 dann in der Klammer: Punkt- vor Strichrechnung. = [8 + 4] 5 Die äußere Klammer berechnen. = 12 5 = 60 Zum Schluss das Produkt berechnen. Beispiel 1 Beispiel 2 So heißen die Ergebnisse: Summe (+), Differenz ( ), Produkt ( ), Quotient (:) Tipp 23. Rechne im Kopf und schreibe nur das Ergebnis auf. a) (32 25) 8 b) 9 (7 + 5) c) (6 + 5) (27 12) d) 16 + 48 : 12 e) 43 5 7 f) 13 5 4 9 24. Rechne schrittweise, so wie in den Beispielen oben. a) 100 (20 3 + 30) b) (20 + 10 4) : 6 c) [(30 4 5) : 2] 5 d) 94 (13 4 + 14) e) (18 + 6 7) : 5 7 f) [(7 + 7 4) : 5] 16 25. Rechne die ersten drei im Kopf, die anderen schriftlich. a) 40 20 + 200 b) 1000 (800 100) c) (50 20 500) : 5 d) 35 25 567 e) 845 (735 598) f) (23 18 262) : 4 26. Wie lautet die fehlende Zahl? Bilde eine Umkehraufgabe und rechne. a) 37 + = 113 b) 84 = 29 c) 224 : = 28 d) 17 = 221 e) : 12 = 23 f) 946 = 457 27. Setze Klammern so, dass die Rechnung richtig wird. a) 5 5 4 3 = 15 b) 7 + 3 4 2 = 13 c) 250 5 30 2 =200 23