5. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am 15.06.2015 Aufgabe J Betrachten Sie die LP-Relaxierung max c T x a T x b 0 x i 1 des 0/1-Knapsack-Problems mit n Gegenständen, c 0 und a > 0. Wie erhält man die Optimallösung dieser Relaxierung in O(n log n)? Aufgabe K Das Target-Visitation-Problem (TVP) ist eine Kombination aus Linear-Ordering-Problem und asymmetrischem Traveling-Salesman-Problem. Es ist wie folgt definiert: Gegeben sei der vollständige Digraph K n = (V n, A n ) auf n Knoten mit Kantengewichten d ij > 0 (Distanzen) und p ij 0 (Präferenzen) für alle 1 i, j n, i j. Eine TVP-Tour ist ein gerichteter Hamiltonscher Kreis, der an Knoten 1 beginnt. Der Wert einer solchen Tour T ergibt sich als LOP(T ) ATSP(T ), wobei LOP(T ) die Summe aller Präferenzen p ij für Knotenpaare i, j {1,..., n} ist, so dass i früher als j besucht wird (dabei wird angenommen, dass Knoten 1 als erster und nicht als letzter besucht wird), ATSP(T ) die Summe der Distanzen d ij für Tourkanten ist. Gesucht ist eine TVP-Tour mit maximalem Wert. a) Formulieren Sie das Target-Visitation-Problem als ganzzahliges lineares Programm. Verwenden Sie darin beide der folgenden Typen von Binärvariablen: { 1, falls (i, j) in der TVP-Tour enthalten ist, x ij = 0, sonst. { 1, falls i früher als j besucht wird, w ij = 0, sonst. b) Nehmen Sie an, Ihnen stünden separate exakte Löser für das asymmetrische Traveling-Salesman- Problem und das Linear-Ordering-Problem zur Verfügung. Entwerfen Sie ein Subgradienten-Verfahren, das die Löser verwendet und eine Schranke für das TVP mittels Lagrange-Relaxierung berechnet.
4. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am 01.06.2015 Aufgabe I Betrachten Sie das Knapsackpolytop P = conv(v ) mit V = {x n i=1 a ix i b} {0, 1} n für gegebenes b und a i 0 (insbesondere ist a i > b möglich). a) Welche Dimension hat P? b) Untersuchen Sie, in welchen Fällen die Ungleichungen x i 0 bzw. x i 1 eine Facette von P definieren.
3. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am 18.05.2015 Aufgabe G Beweisen Sie das Max-Flow-Min-Cut-Theorem: Sei f ein (s, t)-fluss in D = (V, A). Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) f ist maximaler Fluss. (ii) Das reduzierte Netzwerk enthält keinen augmentierenden Weg. (iii) Es gibt einen Schnitt (S : T ) mit c(s : T ) = f. Aufgabe H Sei S E ein minimaler Schnitt von G = (V, E). Dann liefert der Algorithmus von Karger das Ergebnis S mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 2 n(n 1). Korollar: Sei S minimaler Schnitt von G und k eine positive ganze Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus von Karger bei kn 2 Aufrufen nicht mindestens einmal S als Ausgabe liefert, ist höchstens e 2k.
2. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am 04.05.2015 Aufgabe F Beweisen Sie mithilfe total unimodularer Matrizen den Satz von König: In einem bipartiten Graphen G = (V, E) ist die Kardinalität eines maximalen Matchings gleich der Kardinalität einer minimalen Knoten-Überdeckung. Tipp: Formulieren Sie die Probleme als ganzzahlige lineare Programme und betrachten Sie die Koeffizientenmatrizen. Zeigen Sie deren totale Unimodularität und verwenden Sie den Dualitätssatz (Folie 1.12).
1. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am 27.04.2015 Formulieren Sie die folgenden Optimierungsprobleme als gemischt-ganzzahlige lineare Programme. Aufgabe A Das Traveling-Salesman-Problem ist wie folgt definiert: Gegeben ist der vollständige Graph K n = (V n, E n ) auf n Knoten mit positiven ganzzahligen Distanzen c uv für alle uv E n. Gesucht ist eine Rundreise, die jeden Knoten genau einmal besucht, zum Anfangsknoten zurückkehrt und so kurz wie möglich ist. Aufgabe B Im Coupled-Task-Scheduling-Problem sind n Jobs gegeben, die auf einer Maschine ausgeführt werden sollen. Dabei bestehen alle Jobs i {1,..., n} aus zwei Teilen. Der erste Teil hat die Ausführungsdauer a i, der zweite b i. Zwischen diesen beiden Teiljobs muss eine Pause der Länge l i genau eingehalten werden. All diese Input-Daten sind ganzzahlig und nichtnegativ. Gesucht ist ein Bearbeitungsplan minimaler Gesamtdauer. Aufgabe C Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c uv für alle uv E. Das Linear-Arrangement- Problem (LAP) besteht darin, den Knoten v V eines Graphen so paarweise verschiedene Zahlen π(v) aus 1, 2,..., V zuzuordnen, dass die Summe der gewichteten Abstände c uv π(v) π(u) über alle Kanten minimiert wird. Aufgabe D Das Betweeness-Problem (BWP) ist wie folgt definiert: Gegeben seien n Objekte und je ein Gewicht c ijk für jedes geordnete Tripel von Objekten (i, j, k). Gesucht ist eine lineare Anordnung der Objekte, so dass die Summe aller c ijk mit der Eigenschaft, dass j in dieser Anordnung zwischen i und k liegt, so groß wie möglich ist. Aufgabe E Modellieren Sie folgenden Aussagen. Dabei verwenden Sie für die ersten drei Teile binäre Entscheidungsvariablen x A,... x H, die angeben, ob die Projekte A,..., H ausgeführt werden oder nicht. a) Wenn Projekt B oder C ausgeführt wird, so muss auch Projekt A ausgewählt werden. b) Es sind genau k der Projekte {A,..., H} auszuführen. c) Wenn m oder mehr Projekte aus einer Menge von n Projekten {1,..., n} ausgeführt werden, dann muss auch Projekt A gewählt werden. d) Eine der beiden (aber nicht beide!) Ungleichungen a T x a 0 oder b T x b 0 können erfüllt werden. e) Die Variable x {0, 1} ist das Produkt von n Binärvariablen x 1... x n, d. h. x = x 1... x n.