Optimierungsprobleme auf Graphen

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1 21. April 2009

2 1 Routenplanung TSP Chinesisches Postbotenproblem 2 Stabile Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckungen 3 Färbungsprobleme 4 Schnitt-Probleme 5 Standortprobleme 6 Lineare Anordnungen und azyklische Subdigraphen 7 Entwurf kostengünstiger und ausfallsicherer Telekommunikationsnetzw

3 TSP Das Problem Definition Gegeben ein vollständiger Graph G = (V,E) mit Kantengewichten c e R, e E, finde eine Tour (einen Kreis durch alle Knoten) minimalen Gewichts.

4 TSP Beispiele: D15112

5 TSP Beispiele: PCB3038

6 TSP Beispiele: TSP und Kunst

7 TSP TSP Weltrekorde

8 TSP Daten und Fakten zum TSP Es gibt (n 1)!/2 Touren in einem vollständigen Graphen mit n Knoten zum Enumerieren in der Regel viel zu viele

9 TSP Daten und Fakten zum TSP Es gibt (n 1)!/2 Touren in einem vollständigen Graphen mit n Knoten zum Enumerieren in der Regel viel zu viele Das TSP ist schwierig ( NP-schwer ) schwierig kein polynomialer (bzgl. n) Algorithmus bekannt

10 TSP Daten und Fakten zum TSP Es gibt (n 1)!/2 Touren in einem vollständigen Graphen mit n Knoten zum Enumerieren in der Regel viel zu viele Das TSP ist schwierig ( NP-schwer ) schwierig kein polynomialer (bzgl. n) Algorithmus bekannt Man kann heute relativ große TSP-Instanzen optimal lösen

11 Chinesisches Postbotenproblem Chinesisches Postbotenproblem Gegeben ein Graph G = (V,E) mit Kantengewichten c e, finde eine Kette minimalen Gewichts, die jede Kante mindestens einmal enthält. Gerichtete Version: Gegeben ein Digraph D = (V,A) mit Bogengewichten c ij,finde eine gerichtete Kette minimalen Gewichts, die jeden Bogen mindestens einmal enthält.

12 Stabile Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckungen Definition Sei G = (V,E) ein Graph. Eine Knotenteilmenge S V heißt stabile Menge, falls je zwei Knoten in S nicht benachbart sind. Eine Knotenteilmenge Q V heißt Clique, falls je zwei Knoten in Q benachbart sind. Eine Knotenteilmenge K V heißt Knotenüberdeckung, falls jede Kante e E mit mindestens einem Knoten aus K inzidiert.

13 Stabile Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckungen Sei G = (V,E) ein Graph mit Knotengewichten c v R, v V. Das Stabile-Mengen-Problem ist die Aufgabe, eine stabile Menge S V zu finden, so dass c(s) maximal ist. Das Cliquenproblem ist die Aufgabe, eine Clique Q V zu finden, so dass c(q) maximal ist. Das Knotenüberdeckungsroblem ist die Aufgabe, eine Knotenüberdeckung K V zu finden, so dass c(k) minimal ist.

14 Stabile Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckungen Probleme sind leicht ineinander transformierbar. S (maximale) stabile Menge in G S (maximale) Clique im Komplementärgraphen Ḡ V \ S (minimale) Knotenüberdeckung in G

15 Stabile Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckungen Anwendungen in... Einsatzplanung von Flugzeugbesatzungen Busfahrereinsatzplanung Tourenplanung von Behindertentransport Entwurf von optimalen fehlerkorrigierenden Codes Standortplanung...

16 Färbungsprobleme Sei G = (V,E) ein Graph mit Knotengewichten b v Z +. Die Aufgabe eine Folge von (nicht notwendigertweise verschiedenen) stabilen Mengen S 1,...,S t zu finden, so dass jeder Knoten in mindestens b v dieser stabilen Mengen enthalten ist und t minimal ist, heißt Knotenfärbungsproblem bzw. Färbungsproblem. Sei G = (V,E) ein Graph mit Kantengewichten c e Z +. Die Aufgabe eine Folge von (nicht notwendigertweise verschiedenen) Matchings M 1,...,M s zu finden, so dass jede Kante in mindestens c e dieser Matchings enthalten ist und s minimal ist, heißt Kantenfärbungsproblem.

17 Färbungsprobleme Anwendungsbereich: Zuweisung von Sendefrequenzen von Rundfunksendern (oder Mobifunkantennen), so dass Störungen (Interferenz) möglcihst gering

18 Schnitt-Probleme Definition Sei G = (V,E) ein Graph. Eine Kantenmenge C E heißt Schnitt, falls eine Knotenmenge W V existiert mit C = δ(w). Hierbei ist δ(w) := {uv E : u W,v V \ W }. Jede Knotenmenge W V induziert also einen Schnitt. Die Aufgabe in einem Graphen G = (V,E) mit Kantengewichten c e R für alle e E einen Schnitt maximalen Gewichts zu finden, heißt Max-Cut-Problem. Sind alle Kantengewichte nichtnegativ, so nennt man das Problem einen minimalen Schnitt zu finden, Min-Cut-Problem.

19 Anwendung von Schnitt-Problemen: Das Ising-Modell Spinglas: nichtmagnetischer Körper, der an einigen Stellen durch magnetsiche Atome verunreinigt ist. Aufgabe: Beschreibung des Energiezustandes und Orientierung der Atome (Verunreinigungen) bei 0 Kelvin.

20 Anwendung von Schnitt-Problemen: Das Ising-Modell Beschreibung der magnetischen Interaktion von zwei Verunreinigungen i, j in Spingläsern: wobei H ij = J(r ij ) S i, S j, r ij Distanz zwischen i und j ist, S i R 3 (bzw. S j R 3 ) die Orientierung des Atoms i (bzw. j) beschreibt,, das Standarskalarprodukt ist, J eine vom Abstand r ij abhängende Funktion, z.b. J(r ij ) := cos(kr ij )/rij 3, wobei K materialabhängende Konstante.

21 Anwendung von Schnitt-Problemen: Das Ising-Modell Beschreibung der Gesamtenergie einer Spinkonfiguration: H = i,j J(r ij ) S i, S j + i F, S j, wobei F äußeres magnetisches Feld. Wir nehmen in unserem Modell F = 0 an. Ein Zustand minimaler Energie ist also dadurch charakterisiert, dass i,j J(r ij) S i, S j maximal ist.

22 Anwendung von Schnitt-Problemen: Das Ising-Modell Vereinfachung von Ising: Ersetze die dreidimensionalen Vektoren S i durch Variablen s i mit Werten in {1, 1}. : max J(r ij )s i s j : s i { 1, 1}. i,j (ISING)

23 Anwendung von Schnitt-Problemen: Das Ising-Modell Beschreibung von (ISING) als Max-Cut-Problem: Definiere Graphen G = (V,E), wobei jeder Knoten eine Verunreinung repräsentiert; je zwei Knoten i, j sind durch eine Kante verbunden, die das Gewicht c ij = J(r ij ) trägt. max J(r ij )s i s j s.t. s i { 1, 1} i V max c ij c ij c ij i V 1,j V 2 i,j V 1 i,j V 2 s.t. V 1, V 2 Partition von V max C + c ij c ij c ij i V 1,j V 2 i,j V 1 i,j V 2 s.t. V 1, V 2 Partition von V, wobei C := i,j V c ij max i V 1,j V 2 c ij s.t. V 1, V 2 Partition von V

24 Standortprobleme Subsumierung von Problemen, die häufig von folgendem Typ sind: Gegeben ist ein Graph mit Kantengewichten c e, dessen Knoten Städte, Wohnbezirke, etc. darstellen, dessen Kanten Verkehrsanbindungen, Straßen, Transportmöglichkeiten, etc. und deren Gewichte z.b. Entfernungen darstellen. Wo sollen ein Krankenhaus, Polizeidienststellen, Feuerdepots, Warenhäuser, etc. hingebaut werden, damit ein Optimalitätskriterium erfüllt ist? Die auftretenden Zielfunktionen sind dabei häufig nicht linear.

25 Lineare Anordnungen und azyklische Subdigraphen Definition Ein Digraph heißt azyklisch, wenn er keine gerichteten Kreise enthält. Sei D n = (V,A) der vollständige Digraph über die Knotenmenge V = {1,...,n} mit Bogengewichten c((i, j)) für alle (i, j) A. Die Aufgabe, eine Permutation π der Knotenmenge V zu finden, so dass n 1 n i=1 j=i+1 c((π(i), π(j))) maximal ist, heißt Linear-Ordering-Problem.

26 Lineare Anordnungen und azyklische Subdigraphen Das AzyklischeSubdigraphen-Problem ist die Aufgabe, in einem Digraphen D = (V,A) mit Bogengewichten eine Bogenmenge B A zu finden, die keinen gerichteten Kreis entält und deren Gewicht maximal ist. Das Feedback-Arc-Set-Problem ist die Aufgabe, in einem Digraphen D = (V,A) mit Bogengewichten eine Bogenmenge minimalen Gewichts zu finden, deren Entfernung aus dem Digraphen alle gerichteten Kreise zerstört.

27 Entwurf kostengünstiger und ausfallsicherer Telekommunikationsnetzwerke

28 Entwurf kostengünstiger und ausfallsicherer Telekommunikationsnetzwerke Definition Sei G = (V,E) ein Graph. Eine Knotenmenge W V heißt trennend, falls G W unszusammenhängend ist. Die Zusammanhangszahl ist definiert durch κ(g) := min{ W : W V trennend}, falls G keinen vollständigen Untergraphen der Ordnung V enthält, andernfalls κ(g) := V 1. Falls κ(g) k, so nennen wir G k-fach knotenzusammenhängend bzw. k-zusammenhängend.

29 Entwurf kostengünstiger und ausfallsicherer Telekommunikationsnetzwerke Definition Sei G = (V,E) ein Graph. Eine Kantenmenge F E heißt trennend, falls G F unszusammenhängend ist. Die Kantenzusammanhangszahl λ(g) ist definiert durch λ(g) := min{ F : F E trennend}, falls G mindestens einen Knoten enthält, andernfalls λ(g) := 0. G heißt k-fach kantenzusammenhängend, falls λ(g) k.