Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil Einführung in die Grundbegriffe Sekundarstufe Datei Nr. 30 Stand 29. März 200 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Inhalt Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten. Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse Elementarereignis, sicheres und unmögliches Ereignis 3 Wie viele Ereignisse kann es geben? 7.2 Laplace-Experimente und ihre Wahrscheinlichkeit 9.3 Laplace-Experimente 2. Art 20.4 Experimente, bei denen die Elementarereignisse experimentell bestimmt werden. 22 Fortsetzung in der Datei 302
30 Stochastik Einführung Teil Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten. Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse Will man Vorhersagen über das Eintreten bestimmter Ereignisse (z. B. beim Würfeln) machen, dann muss auch sicher stehen, dass das Ergebnis nur durch den Zufall beeinflusst wird. Manipulationen (wie gezinkte Würfel) müssen ausgeschlossen sein. Thema dieses Heftes wird es sein, Vorhersagen über das Eintreten bestimmter Ergebnisse zu machen, die bei einem nur durch den Zufall gesteuerten Experiment, also einem Zufallsexperiment, eintreten können. Wir müssen die Fachsprache dazu beherrschen. Dies sind die wichtigsten Fachbegriffe: Zufallsexperimente sind beispielsweise a). Würfeln, 2. das Werfen einer Münze, 3. das Drehen eines Glücksrades, 4. das Ziehen einer Spielkarte, 5. das Entnehmen einer Kugel aus einem Topf. b) Führt man die in a) genannten Experimente mehrfach nacheinander aus, dann spricht man von mehrstufigen Zufallsexperimenten. Dabei muss man bisweilen auf folgendes achten:. Man kann einen Würfel dreimal nacheinander werfen oder aber mit drei Würfeln zugleich werfen. 2. Man kann eine gezogene Spielkarte vor dem nächsten Zug wieder zurücklegen, so dass sie beim nächsten Zug wieder zur Verfügung steht. 3. Analoges gilt für das Entnehmen einer Lottokugel aus einem Lostopf. c) Als Zufallsexperimente gelten auch Spiele, wenn man voraussetzt, dass der nächste Spielzug wirklich vom Zufall bestimmt ist und nicht wie beim Schach durch Überlegung geplant wird. Beim Ziehen einer Kugel aus einem Topf (man nennt sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft Urne) oder einer Spielkarte usw. muss blind gezogen werden, d.h. man darf weder durch Sehen noch durch Tasten erkennen, welches Objekt man zieht, sonst liegt kein Zufallsexperiment mehr vor. Umfragen (unter Personen) und Auswählen von Personen aus einer Gruppe usw. sind nur dann Zufallsexperimente, wenn diese auch wieder blind geschehen. Es gibt unzählige Arten von Zufallsexperimenten, die man sie nicht alle aufzählen kann. Diese Liste umfasst nur häufig vorkommende Zufallsexperimente. Im Laufe des Unterrichts werden weitere als Beispiele gestreift.
30 Stochastik Einführung Teil 2 An einem Zufallsexperiment interessiert uns stets ein Merkmal. Beim Würfeln sind es die oben gezeigten Zahlen (auch Augen genannt), beim Ziehen einer Spielkarte kann es der Spielkartenwert sein oder die Farbe der Karte, beim Auswählen von Personen kann man gar viele Dinge erfragen usw. Jedes Merkmal kann in verschiedenen Ausprägungen auftreten. Die Menge aller möglichen Ausprägungen bilden die Ergebnismenge oder den Ergebnisraum. Man bezeichnet diesen sehr oft mit S und bezeichnet diese Menge S auch als Grundmenge der Ergebnisse. Man liest dafür auch das Wort Stichprobenraum. a) Das Zufallsexperiment Würfeln hat bei einem normalen Würfel die Ergebnismenge S = { ;2;3;4;5,6}. In dieser Schreibweise liegt bewusst ein Fehler: Man trennt die einzelnen Ergebnisse durch Semikola. Zwischen 5 und 6 steht aber hier ein Komma. Schüler sind da oft weniger genau und akzeptieren dieses Komma auch als Trennungszeichen zwischen den Ergebnissen. Bei Zahl besteht jedoch die Verwechslungsgefahr mit Dezimalzahlen. Hier ist es zwar klar, dass es beim Würfeln nicht das Ergebnis 5,6 geben kann, weil die Dezimalzahl Fünf-Komma-Sechs auf keinem Würfel aufgedruckt steht. Also denken wir uns einen Würfel so beschriftet wie dieses Netz es zeigt, dann hat das Experiment einmal würfeln die Ergebnismenge 5,6 3 { } S = ; ; 2; 3,5;5,6 4 3 4 Die auf zwei Feldern stehende wird nur einmal in S aufgezählt (es sei denn, man hätte eine rote und eine 2 blaue aufgedruckt, dann wären dies unterscheidbare Ergebnisse. Und das Ergebnis 5,6 ist jetzt eine einzige Zahl und auch wegen der Unterscheidung zwischen Kommata und Semikolon klar als solche erkennbar. Übrigens eignen sich solche selbst erstellten Würfel gut zum Rechentraining mit rationalen Zahlen. Das Zufallsexperiment Summe der Augenzahlen bei zweimaligem Würfeln wiederholt dann etwas die Rechenfähigkeiten. Hier sind der Fantasie böser Lehrer keine Grenzen gesetzt. b) Die Ergebnismenge beim Werfen einer Münze kann so aussehen: S { B;Z} oder Zahl), oder S = { W ;Z} (Wappen oder Zahl). 3,5 = (Bild c) Das Drehen des abgebildeten Glücksrades usw. führt zur Ergebnismenge S = { ;2;3}. 2 3
30 Stochastik Einführung Teil 3 Man muss auch zwischen Ergebnis und Ereignis unterscheiden: a) Beim Würfeln kann ein Spiel so aussehen: Wer eine gerade Zahl wirft, bekommt 0 Punkte oder darf um 0 vorrücken usw. Hier wird man also belohnt, wenn das Ereignis gerade Zahl eintritt. Dieses besteht aus den Ergebnissen 2, 4 oder 6. Daher sind Ereignisse mathematisch gesehen auch wieder Mengen. Man schreibt das Ereignis A: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt auch als A = { 2;4;6} und identifiziert sozusagen Ereignisse mit Mengen. Hier weitere Beispiele zu Ereignissen, die beim Würfeln vorkommen können: B: Es wir eine Zahl gewürfelt, die größer als 3 ist : B = { 4;5;6} C: Es wird die Zahl 5 oder 6 gewürfelt : C = { 5;6} D: Es wird nicht die 2 gewürfelt : D = { ;3;4;5;6} E: Man würfelt weder die noch die 3 noch die 5 : E = { 2;4;6}. Hier muss man erkennen, dass die Ereignisse A und E gleich sind! Wir halten fest: Ereignisse können durch ganz verschiedene Texte oder Eigenschaften beschrieben werden. Wenn ihre Ergebnismengen übereinstimmen, sind sie mathematisch gesehen dasselbe Ereignis! F: Die gewürfelte Zahl ist 2 : F = { 2} G: Es wird die 5 gewürfelt : G = { 5} Ereignisse, die nur ein Ergebnis besitzen, nennt man Elementarereignisse. Es gibt bei diesem Zufallsexperiment Würfeln genau 6 Elementarereignisse. H: Es wird die Zahl 7 gewürfelt : H = { } Weil dies bei einem üblichen Würfel dies nicht möglich ist, besitzt H kein Ergebnis. Man schreibt dann die leere Menge als Ereignismenge auf. Ereignisse, zu denen es kein Ergebnis gibt, nennt man das unmögliche Ereignis. Es gibt übrigens nur ein unmögliches Ereignis: H : Es wird die Zahl 8 gewürfelt ist nämlich dieselbe leere Menge. I: Es wird eine Zahl kleiner als 9 gewürfelt. Dies ist das sichere Ereignis, denn es tritt bei jedem Wurf ein. Seine Ergebnismenge ist die Grundmenge I= S= { ;2;3;4;5;6} Es gibt sehr viel mehr Ereignisse, aber doch nicht beliebig viele. Man kann im Unterricht die Kinder einmal alle denkbaren Ergebnismengen, also Ereignisse aufschreiben lassen. Dabei muss man beachten, dass die Reihenfolge der Ergebnisse in einer Menge unwichtig ist. Also stellen { 2;3;5} = { 2; 5;3} = { 3;2;5} = { 3;5;2} = { 5;2;3} = { 5;3;2} dieselbe Menge dar, die man übrigens verbal so beschreiben kann: Es wird eine Primzahl gewürfelt. (Eine Primzahl besitzt genau 2 Teiler, die und sich selbst. Daher ist keine Primzahl). Wir werden später zeigen, dass es beim Würfeln 64 mögliche Ereignisse gibt.
30 Stochastik Einführung Teil 4 b) Das Zufallsexperiment Werfen einer Münze besitzt die Ergebnismenge S = { W ;Z}. Wir wollen jetzt einmal alle möglichen Ereignisse finden, die es dazu gibt. Dazu müssen wir uns gemerkt haben: Jedes Ereignis ist eine Menge, deren Elemente aus der Ergebnismenge S stammen, die also Element von S sind. Man sagt daher: Jede Teilmenge der Menge S ist ein Ereignis. Auf der Suche nach allen möglichen Ereignissen, die beim Werfen einer Münze eintreten können, müssen wir also sämtliche Teilmengen von S bestimmen.. Schritt: Es gibt 2 Teilmengen mit nur einem Element (Elementarereignisse): A W B = Z. = { } und { } 2. Schritt: Das Ereignis C = {} besitzt kein Element aus S. Eine Beispiel für eine verbale Beschreibung ist Man wirft die Zahl 7. Da es (zumindest in Deutschland) keine Münze mit dem Wert 7 gibt, liegt hier das unmögliche Ereignis vor. 3. Schritt: Das Ereignis Man wirft Zahl oder Wappen wird durch die Grundmenge dargestellt. Diese gilt auch als Teilmenge, sozusagen von sich selbst. Es hat sich bewährt, dass man jede Menge auch als Teilmenge von sich selbst bezeichnet, oft sagt man dann auch unechte Teilmenge dazu. Ergebnis: Die Grundmenge S = { W ;Z} besitzt 4 Teilmengen: 2 mit je einem Element, dazu die leere Menge und die Grundmenge selbst. Das gilt natürlich auch für jedes andere Zufallsexperiment, dessen Grundmenge nur aus zwei Elementen besteht. Denken wir uns einen Stapel mit 0 Karten, von denen 3 rot und 7 schwarz sind, dann gehört zum Zufallsexperiment Ziehen einer Karte die Grundmenge S = { r ;s}. Und genau wie oben gibt es dazu 4 Teilmengen, also kann man genau vier mögliche Ereignisse erwarten. Und immer gehören das unmögliche Ereignis { } und das sichere Ereignis S dazu. c) Das Drehen des abgebildeten Glücksrades Aufgabe: führt zur Ergebnismenge S = { ;2;3}. 2 3 Schreibe alle 8 Teilmengen auf, die es zu dieser Grundmenge gibt. Versuche auch, zu jeder dieser Mengen (= zu jedem Ereignis) eine verbale Beschreibung zu finden. Denke daran, dass man jedes Ereignis auf beliebig viele Arten beschreiben kann. Hier sind also der Fantasie wenig Grenzen gesetzt. Die Antwort steht auf der nächsten Seite.
30 Stochastik Einführung Teil 5 Lösung. Schritt: Wenn das Rad an einer Zahl stehen bleibt, dann ist ein Elementarereignis eingetreten. Davon gibt es diese drei: A: Es erscheint die Zahl : A = { }, B: Es erscheint eine Gerade Zahl : B = { 2}, C: Man erhält weder noch 2 : C = { 3}. 2. Schritt: Es gibt Ereignisse (= Teilmengen), die genau zwei Ergebnisse besitzen: D: Es erscheint eine Zahl, die kleiner als 3 ist. D = { ; 2}, E: Es erscheint eine Zahl größer als : E = { 2;3}. F: Wir erhalten eine ungerade Zahl : F = { ;3}. 3. Schritt: Das unmögliche Ereignis: U = { }. Man könnte es z. B. so beschreiben: Man erhält die Zahl 5. 4, Schritt: Das sichere Ereignis: S = { ;2;3} Eine mögliche Beschreibung ist etwa: Man erhält eine Zahl kleiner als 4. Aufgabe: Wir untersuchen weitere Ereignisse zu diesem Experiment. Da es keine anderen als die oben genannten acht gibt, kann man sie diesen zuordnen: A, B, C, D, E, F, U oder S. Führe das aus: E : Man erhält eine Zahl, die Teiler von 8 ist. E 2 : Man erhält eine Zahl, die kleiner als 0 ist. E 3 : Man erhält eine Primzahl. E 4 : Man erhält eine Zahl, die ungleich ist. E 5 : Man erhält keine Primzahl. E 6 : Man erhält die Lösung der Gleichung 2 x+ 3 = 3. E 7 : Man erhält eine gerade Zahl. E 8 : Man erhält eine Zahl, die folgende Eigenschaft hat: Addiert man zu ihrem Quadrat die 6, dann erhält man ihren fünffachen Wert. E 9 : Man erhält eine Zahl, die blau ist. E 0 : Man erhält eine Zahl, deren Farbe rot oder schwarz ist. Die Lösungen stehen auf der nächsten Seite:
30 Stochastik Einführung Teil 6 Lösung E = D = { ; 2} Man erhält eine Zahl, die Teiler von 8 ist. E 2 = S = { ;2;3} Man erhält eine Zahl, die kleiner als 0 ist. E 3 = E = { 2;3} Man erhält eine Primzahl. E 4 = E = { 2;3} Man erhält eine Zahl, die ungleich ist. E 5 = A = { } Man erhält keine Primzahl. E 6 = U = { } Man erhält die Lösung der Gleichung 2 x+ 3 = 3. Die Lösung ist 5, und die gehört nicht zur Grundmenge S. E 7 = B = {} 2 Man erhält eine gerade Zahl. E 8 = E = { 2;3} Man erhält eine Zahl, die folgende Eigenschaft hat: Addiert man zu ihrem Quadrat die 6, dann erhält man ihren fünffachen Wert. Am schnellsten geht es, wenn man die Probe für alle drei Zahlen der Grundmenge durchführt: x = : 2 + 6 = 7 und 5 = 5 stimmt nicht. x = 2: 2 2 + 6 = 0 und 2 5 = 0 stimmt! x = 3: 2 3 + 6 = 5 und 3 5 = 5 stimmt. E 9 = B = {} 2 Man erhält eine Zahl, die blau ist. Hat man eine Schwarz-weiß-Kopie der Aufgabe, dann ist E = U= {}. E 0 = F = { ;3} Man erhält eine Zahl, deren Farbe rot oder schwarz ist. Hat man eine Schwarz-weiß-Kopie der Aufgabe, dann ist E S { ;2;3} denn sind alle Zahlen schwarz. 9 9 = =, d) Das Drehen des abgebildeten Glücksrades führt zur Ergebnismenge S = { ;2;3;4}. Die Aufzählung aller Teilmengen gestaltet sich hier etwas aufwendiger. 2 4 3 Wie immer gehören die leere Menge {} für das unmögliche Ereignis und die Grundmenge S = { ;2;3;4} für das sichere Ereignis dazu. Dann die vier Elementarereignisse (die je nur Ergebnis zulassen): {} ; { 2; } { 3 };{ 4. } Nun folgen die Teilmengen, die genau 2 Ergebnisse (Elemente von S) enthalten und schließlich diejenigen mit 3 Ergebnissen. Schreibe sie bitte selbst auf!
30 Stochastik Einführung Teil 7 Teilmengen mit 2 Elementen: { } { } { } { 2;3 },{ 2;4} { 3; 4} ; 2, ; 3, ; 4, (Erklärung: In der. Reihe stehen die drei Teilmengen, die mit beginnen, darunter diejenigen, die mit 2 beginnen, und schließlich gibt es noch ein Paar, das mit 3 beginnt. Die Paare { 2; },{ 3; },{ 3;2 },{ 4; },{ 4;2} und { 4;3 } sind identisch mit { ; 2 }, { ; 3 }, { 2;3 }, { ; 4 }, { 2;4 } und { } in einer Menge keine Rolle spielt! 3;4, weil die Reihenfolge der Aufzählung Teilmengen mit 3 Elementen: { ;2;3 } ; { ;2;4 } ;{ ;3;4 } ;{ 2;3;4 } Diese sind wieder leichter zu finden: Wenn drei von vier Elemente vorhanden sein sollen, dann fehlt immer eines, also zuerst die 4, dann die 3, dann 2 und am Ende die Zahl. Wir addieren zusammen: Leere Menge, Grundmenge, 4 Elementarereignisse, 6 Ereignisse mit 2 Ergebnissen und 4 mit 3 Ergebnissen. Das sind zusammen 6 mögliche Ereignisse. Hier eine Zusammenstellung der bisherigen Ergebnisse: Anzahl der Elemente S = (Beispiel) Anzahl der Teilmengen (Ereignisse) 2 {W;Z} 4 3 { ; 2 ; 3 } 8 4 { ; 2 ; 3, 4 } 6 Man kann folgendes feststellen: Mit zunehmender Anzahl von Ergebnissen (d. h. Elementen in S) verdoppelt sich die Zahl der Ereignisse. Vermutung: Wenn man aus einem Stapel mit 5 Spielkarten { ;2;3;4;5 } eine Karte zieht, Dies bedeutet verallgemeinert: dann gibt es 32 mögliche Ereignisse. Hat ein Zufallsexperiment insgesamt n Elementarereignisse, dann gibt es dazu z = 2 n Ereignisse. In einer Tabelle sieht das so aus: n 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 z 2 4 8 6 32 64 28 256 56 024 2048 4096 AUFGABE: Notiere alle 32 Teilmengen von S= { ;2;3;4;5}.
30 Stochastik Einführung Teil 8 Lösung Unmögliches Ereignis: {} Elementarereignisse: {}{}{}{}, 2, 3, 4 und {} 5 Ereignisse mit 2 Elementen: Ereignisse mit 3 Elementen: Ereignisse mit 4 Elementen: { } { } { } { } { 2;3 },{ 2; 4 },{ 2;5 }, { 3;4 },{ 3;5} und { 4;5} ; 2, ; 3, ; 4, ; 5, { } { } { } { ; 3 ; 4 },{ ; 3 ; 5 }, { ; 4 ; 5 }, { 2;3;4 },{ 2;3;5 }, { 2;4;5} { 3;4;5} ;2;3, ;2;4, ;2;5, { ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}; { ; 2;3; 4 ;5};{ ;2; 3 ;4;5}; ; 2 ;3;4;5 ; ;2;3;4;5 { } { } mit und 2 mit und 3 mit und 4 mit 2 und 3 mit 2 und 4 mit 2 und 4 Hier fehlt jeweils eines der 5 Elemente. Das sichere Ereignis: S { ; 2;3; 4 ; 5} =. Das sind zusammen 32 Ereignisse (Teilmengen von S). Ergänzung: Für Interessierte sei verraten, wieso sich die Anzahl der Teilmengen verdoppelt, wenn man ein Element mehr dazu nimmt: Man nehme das Beispiel (d) her, dort hat S = { ; 2;3; 4} schon 6 Ereignisse. Diese sind alle ohne die Zahl 5. Nehmen wir überall noch die 5 dazu, kommen nochmals 6 Teilmengen dazu, und man hat genau die 32 Mengen von oben!
30 Stochastik Einführung Teil 9.2 Laplace-Experimente und ihre Wahrscheinlichkeit. Lesetext zur Einführung Unser Ziel ist es, die Chancen für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses bei der Durchführung eines Zufallsexperiments zahlenmäßig zu erfassen. Dies ist quasi ein Blick in die Zukunft: Was können wir erwarten? Wie man den Blick in die Vergangenheit schafft, das wurde in 40 besprochen. Wenn man das in Frage kommende Experiment ganz oft durchführt, kann man die Ergebnisse statistisch erfassen und auswerten. Die Auswertung kann ganz einfach dadurch geschehen, dass man die relative Häufigkeit der einzelnen Ergebnisse oder Ereignisse berechnet. Wenn man hier möglichst aussagekräftige Werte bekommen will, muss man das Experiment möglichst oft durchführen. Beispiel : Man wirft eine Münze mit den Oberflächen Wappen und Zahl. Das Zufallsexperiment Werfen einer Münze hat somit die Ergebnismenge S = { W ;Z}. Wenn man nur 0-mal wirft, kann es sein, dass man 3-mal Wappen und 7-mal Zahl bekommt oder 6-mal Wappen und 4-mal Zahl. Wenn die Münze gleichmäßig gearbeitet (man sagt ideal ) ist, dann wird aber folgendes eintreten: Je öfter man wirft, desto mehr nähern sich die relativen Häufigkeiten beider Ergebnisse dem Wert 0,5. Das passt zur Vorstellung der gleichen Chancen beider Seiten. Es wird aber sicher bei 00 000 Würfen nur sehr selten auf genau 50 000-mal W und 50 000-mal Z hinauslaufen, aber wir können dann vielleicht so um 49 000-mal W und 5 000-mal Z bekommen, was den relativen Häufigkeiten 49 000 Wappen 00 000 h = = 0,49 bzw. h Zahl = 0,5 entspricht. Die Mathematiker formulieren es so: Mit zunehmendem Umfang der Stichprobe bzw. mit zunehmender Anzahl der Würfe stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten. Wenn beide Seiten der Münze die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben, dann ist dies die ideale relative Häufigkeit genau 0,5, und dies nennt man dann die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Ergebnisse. Beispiel 2: Beim Werfen eines Würfels können wir 6 Ergebnisse erwarten. Ist der Würfel ideal, dann ist jede Zahl gleichberechtigt. Dann werden sich die relativen Häufigkeiten nach häufigem Würfeln bei stabilisieren, denn die Summe aller relativen Häufigkeiten ist, und alle sind im Idealfall gleich 6 groß. Also sagt man: Jedes Ergebnis tritt mit der Wahrscheinlichkeit auf. Das ist dann die 6 Vorhersage der zu erwartenden relativen Häufigkeit bei häufigem Würfeln. Beispiel 3: Das Glücksrad heißt ideal, wenn alle drei Sektoren gleich (kongruent) sind, also dieselben Innenwinkel besitzen (und das Rad sonst auch gleichmäßig gearbeitet ist). Dann hat jede Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit. Würde man sehr oft spielen, dann würden sich die relativen Häufigkeiten h(), h(2) und h(3) - 2 3 deren Summe ja ist - wegen der gleichen Chancen bei einpendeln. 3 Man ordnet daher jedem der Elementarereignisse {, } { 2, } { 3 } die Wahrscheinlichkeit zu! 3
30 Stochastik Einführung Teil 0 2. Merke Ein Experiment, bei dem alle Ergebnisse (Ausgänge) die gleichen Wahrscheinlichkeiten besitzen, nennt man ein Laplace-Experiment. Alle möglichen Elementarereignisse haben dann die gleiche Wahrscheinlichkeit. Besitzt die Ergebnismenge n Ergebnisse, dann ist die Wahrscheinlichkeit von jedem Elementarereignis n. Dies ist die vorhergesagte relative Häufigkeit, der man sich nähern würde, wenn man das Experiment sehr oft durchführen würde. 3. Formulierungen Beispiel : Werfen einer Münze Dieses Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge S = { W ;Z}. Man kann nun sagen: Das Ergebnis W (Wappen) tritt mit der Wahrscheinlichkeit p W = auf, oder: 2 Das Ereignis { W } besitzt die Wahrscheinlichkeit P( { W }) =. 2 Entsprechend gilt: Das Ergebnis Z (Zahl) tritt mit der Wahrscheinlichkeit p Z = auf, oder: 2 P Z =. ( ) 2 Das Ereignis { Z } besitzt die Wahrscheinlichkeit { } Erklärung der Schreibweise: Die Schreibweise p W verwendet man für die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses oder Merkmals. Für die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen verwendet man in der Regel das große P mit zwei Klammern, zwischen die man das Ereignis schreibt, also P( ). Wenn A das Ereignis A = { ;3} ist, dann bezeichnet man mit P(A) seine Wahrscheinlichkeit. Man kann aber auch statt A die Mengenschreibweise verwenden, dann aber kommen eben die P ;3 ist dann die Wahrscheinlichkeit P(A). ( ) Mengenklammern noch dazu: { } Die richtige Verwendung der Klammern ist sehr wichtig. Falsch und damit sogar sinnlos wäre beispielsweise die Schreibweise P;3, ( ) denn zwischen den runden Klammern steht jetzt keine Menge und daher auch kein Ereignis! ( ) Falsch ist auch { } will. P { A } bedeutet nämlich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses { } P A, wenn man damit die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnen ( ) A, also des Eintretens des Ergebnisses A (etwa ein As in einem Stapel Spielkarten), nicht des Ereignisses A.
30 Stochastik Einführung Teil Schüler haben da lange Verständnisprobleme, weil die mathematische Fachsprache sehr genau ist. Man darf die Begriffe Ergebnis und Ereignis nicht verwechseln. Beispiel 2: Würfeln Wenn beim Würfeln die Zahl 5 als Ergebnis auftritt, dann ist das Ereignis { 5 } eingetreten. Bei einem idealen Würfel (also einem Würfel, bei dem also alle 6 Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, man nennt einen solchen Würfel auch Laplace-Würfel oder kurz L-Würfel), sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse. Das kann man so schreiben: 6 p = p = p = p = p = p =. 2 3 4 5 6 6 Natürlich sind dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die 6 Elementarereignisse {} bis { 6 }. 6 Das ist genau dasselbe, nur man muss es jetzt, weil man von Ereignissen spricht, mit der Mengenschreibweise notieren: P {} = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 =. ( ) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) 6 4. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mit mehr als einem Ergebnis. Lesetext: Bleiben wir beim Beispiel Würfeln. MERKE: Welche Wahrscheinlichkeit besitzt das Ereignis A: Man würfelt eine gerade Zahl? Wir können A als Menge A = { 2;4;6} schreiben und zeigen damit, welche Ergebnisse möglich sind, damit wir sagen können, das Ereignis A ist eingetreten. Jeder stellt sofort fest: Das ist genau die Hälfte aller Möglichkeiten, also wird die Wahrscheinlichkeit sein. (D. h. wenn man sehr oft würfelt, wird die relative Häufigkeit 2 für das Eintreten des Ereignisses A etwa 0,5 sein.) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B = { ;6} ist PB ( ) =, denn hier liegen zwei 3 günstige Ergebnisse vor. Wenn eines von diesen vorkommt, dann ist das Ereignis B eingetreten. Das sind 2 von 6 Möglichkeiten, also ein Drittel aller Ergebnisse. Das Ereignis C = { 3;4;5;6} (eine Zahl größer als 2 würfeln) hat vier günstige von insgesamt 6 möglichen Ergebnissen ein. Damit können wir in 4 von 6 Fällen mit C rechnen. 4 2 Die Wahrscheinlichkeit von C ist daher PC ( ) = =. 6 3 Umfasst die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments genau n Elemente und bezieht sich ein Ereignis E auf insgesamt g Elemente, dann berechnet man die Wahrscheinlichkeit für g das Eintreten des Ereignisses E durch die Formel PE ( ) =. m Anzahl der für E günstigen Ergebnisse ( ) ( ) Anzahl der möglichen Ergebnisse PE = also PE = g m
30 Stochastik Einführung Teil 2 5. Musterbeispiele und Aufgaben Beispiel Das Glücksrad. Wenn das Rad ideal ist, dann tritt jede dieser Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit ein. 4 Also gilt P( {} ) = P( {} 2 ) = P( {} 3 ) = P( { 4} ) = 4 Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für andere Ereignisse: A: Man erhält eine ungerade Zahl: A { ;3} P( A) =, und 3 sind die für A günstigen Ergebnisse. g 2 = = = m 4 2 B: Man erhält eine Zahl größer als : B = { 2;3;4}, es gibt 3 günstige Ergebnisse für B: 2, 3 und 4. g 3 PB ( ) = = m 4 C: Man erhält eine Zahl größer als 6: C = {}, es gibt kein günstiges Ergebnis, es liegt das unmögliche Ereignis vor. 0 PC ( ) =P ({ }) = =0 4 D: Man erhält eine Zahl kleiner 5: D = { ;2;3;4} = S, es liegt das sichere Ereignis vor: 4 P( D ) =P( S ) = = 4 2 4 3 Merke: Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit. Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0. Beispiel 2 Werfen eines L-Würfels Dieses Experiment hat den Ergebnisraum S= { ;2;3;4;5;6} A: Es wird 3 oder 5 gewürfelt. A = { 3;5} B: Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt B= { ;3;5} C: Es wird eine Zahl größer als 2 gewürfelt C = { 3; 4;5;6} D: Die gewürfelte Zahl ist ein Teiler von 2 D = { ;2;3; 4; 6} g 2 In A haben wir 2 günstige Ergebnisse: P( A= ) = =. m 6 3 g 3 B lässt gleich 3 Möglichkeiten zu: P( B ) = = =. m 6 2 g 4 2 Für C gilt: P( C= ) = = m 6 3 Und schließlich haben wir P( D= ) = g 5 m 6
30 Stochastik Einführung Teil 3 Beispiel 3: Ziehen einer Karte aus einem Kartenstapel Wir betrachten folgendes Musterkartenspiel, mit dem wir uns noch öfters beschäftigen werden: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 Dieser Stapel enthält 40 Karten, und zwar 4 mal die Karten mit den Zahlen 0 bis 9, und dies jeweils in den Farben rot, blau, gelb und schwarz. Ist der Stapel gut durchgemischt, dann hat jede Karte dieselbe Chance, gezogen zu werden, und zwar geschieht dies mit der Wahrscheinlichkeit = 0,025, denn die relativen Häufigkeiten werden sich für alle beim gleichen Wert stabilisieren: Die 40 Summe dieser Werte ist, also entfällt auf jede Karte = 0,025. 40 Unter den 40 Karten sind vier verschiedene Farben, jede kommt 0-mal vor, also hat jede Farbe die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, tritt also mit der Wahrscheinlichkeit = 0, 25 auf. 4 Wir wollen nochmals darüber nachdenken: Jede Karte hat die Wahrscheinlichkeit. Für jede Farbe 40 hat man 0 Karten zur Auswahl, also ist g = 0 und wir erhalten durch diese Überlegung für jede g 0 Farbe die Wahrscheinlichkeit = =. m 40 4 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 0 (Ereignis B)? Die 0 gibt es viermal, also haben wir g 4 P B= = = = 0, g = 4 Chancen, d.h. die Wahrscheinlichkeit ( ) E: Es wird eine gelbe 4 gezogen: ( ) m 40 0 P E =. 40 g 30 3 m 40 4 g 8 m 40 5 F: Es wird keine rote Zahl gezogen: PF ( ) = = =. G: Es wird eine 2 oder eine 5 gezogen: ( ) = = = = PG 0,2 H: Es wird eine blaue Karte oder eine gerade Zahl gezogen. Jetzt wird es schwierig. Falsch ist diese Überlegung: Es gibt 0 blaue Karten und es gibt 20 gerade Zahlen, also haben wir 30 günstige Ergebnisse. Es sind in Wirklichkeit nur 25: Zuerst nehmen wir alle 0 blauen Karten als günstig an, dann die restlichen aber nicht blauen, also 0, 2, 4, 6, 8 mit der Farben rot gelb und schwarz, das sind 5, zusammen: g = 0+ 5 = 25. (In der falschen Überlegung wurden die blauen geraden Zahlen doppelt 25 5 gezählt!). Also folgt: PH ( ) = =. 40 8 Dieses Problem der doppelten Aufzählung kommt durch das Wort oder zustande und wird später ausführlich untersucht.
30 Stochastik Einführung Teil 4 Beispiel 4 Das Spiel Mensch-Ärgere-Dich-Nicht a) Zwei gelbe und zwei blaue Spielfiguren stehen so auf dem Spielfeld: Blau würfelt einmal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er eine gelbe Figur schlagen (Ereignis A)? Lösung: Für dieses Ereignis A gilt: Unter 6 Möglichkeiten sind zum Schlagen die Zahlen, 3 und 5, günstig, also ist g = 3. g 3 P = = =. m 6 2 b) Blau darf zweimal würfeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schlägt er gelb? Lösung: Bei zweimaligem Würfeln gibt es 36 mögliche Ergebnisse. Diese schreibt man als Paare auf. Die erste Zahl gibt den ersten Würfel an, die zweite Zahl den zweiten Würfel: S = Er muss um 7 Felder vorankommen, also helfen ihm diese Doppelwürfe zum Schlagen: {( 6 );( 2 5 );( 3 4 );( 4 3 );( 5 2 );( 6 )}. ( ),( 2 ),( 3 ),( 4 ),( 5 ),( 6 ), ( 2 ),( 2 2 ),( 2 3 ),( 2 4 ),( 2 5 ),( 2 6 ), ( 3 ),( 3 2 ),( 3 3 ),( 3 4 ),( 3 5 ),( 3 6 ), ( 4 ),( 4 2 ),( 4 3 ),( 4 4 ),( 4 5 ),( 4 6 ), ( 5 ),( 5 2 ),( 5 3 ),( 5 4 ),( 5 5 ),( 5 6 ), ( 6 ),( 6 2 ),( 6 3 ),( 6 4 ),( 6 5 ),( 6 6 ), Das ergibt: g 6 P = = = m 36 6 (Zusatz-)Aufgabe Mit welcher Wahrscheinlichkeit schlägt blau bei zweimaligem Würfeln in den Aufgaben c) und d) gelb? c) d) Lösung auf der nächsten Seite!
30 Stochastik Einführung Teil 5 Lösung c) Hier reicht die Augensumme 8 oder 9. Daher gehören diese Würfelergebnisse zum Ereignis C: C= { ( 2 6 );( 3 5 );( 4 4 );( 5 3 );( 6 2 ) ;( 3 6 ) ;( 4 5 ) ;( 5 4 ) ;( 6 3) } Augensumme 8 Augensumme 9 Dies sind 5 + 4 = 9 günstige Ergebnisse von 36 möglichen: PC ( ) g 9 = = = m 36 4 d) Der linke blaue schlägt mit 7 oder 9, der rechte mit 9 oder. D = 6 ; 2 5 ; 3 4 ; 4 3 ; 5 2 : 6 ; 3 6 ; 4 5 ; 5 4 ; 6 3 : 5 6 ; 6 5 { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } Augensumme 7 Augensumme 9 Augensumme Das sind 6 + 4 + 2 = 2 günstige von 36 möglichen: PD ( ) g 2 = = =. m 36 3 Dass man mit der Augensumme 9 jeweils die Auswahl hat, wer wen schlagen soll, ist unerheblich. Es lediglich darum, dass man in diesem Fall schlagen kann. Beispiel 5: Würfeln mit zwei Würfeln Die Ergebnismenge S mit ihren 36 Paaren kann man sehr schön in einem Achsenkreuz sichtbar machen: S = ( ),( 2 ),( 3 ),( 4 ),( 5 ),( 6 ), ( 2 ),( 2 2 ),( 2 3 ),( 2 4 ),( 2 5 ),( 2 6 ), ( 3 ),( 3 2 ),( 3 3 ),( 3 4 ),( 3 5 ),( 3 6 ), ( 4 ),( 4 2 ),( 4 3 ),( 4 4 ),( 4 5 ),( 4 6 ), ( 5 ),( 5 2 ),( 5 3 ),( 5 4 ),( 5 5 ),( 5 6 ), ( 6 ),( 6 2 ),( 6 3 ),( 6 4 ),( 6 5 ),( 6 6 ), S Dabei ist x die Variable für die Augenzahl des. Würfels und y die Variable für die Augenzahl des 2. Würfels. Aufgabe 2: Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Die Augensumme ist 6. B: Die Differenz der beiden Augenzahlen ist 2. C: Das Produkt der Augenzahlen ist 2. D: Der zweite Würfel zeigt eine größere Zahl als der erste. E: Ein Würfel zeigt die 4. F: Es wird ein Pasch geworfen. G: Die Summe der Quadrate beider Augenzahlen ist 4. Die Lösung steht auf der nächsten Seite.
30 Stochastik Einführung Teil 6 Lösung 5 = {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, ( ) A 5 ; 2 4 ; 3 3 ; 4 2 ; 5 P A =. 8 2 = {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, ( ) B 3 ; 2 4 ; 3 5 ; 4 6 ; 3 ; 4 2 ; 5 3 ; 6 4 36 P B = =. 36 9 4 = {( ) ( ) ( ) ( )}, also P( C= ) = C 2 6 ; 3 4 ; 6 2 ; 4 3 36 9 Das Ereignis D stellt man so im Koordinatensystem dar: {( ) ( ) ( ) ( ) } D = 2 ; 3 ; 4 ;...; 5 6 D D enthält also 5 + 4 + 3 + 2 + = 5 Ergebnisse. 5 Daher ist P( D ) = 36 S E = Aufgabe 3 ( 4 );( 2 4 );( 3 4 );( 4 4 );( 5 4 );( 6 4 ); ( 4 );( 4 2 );( 4 3 );( 4 4) ;( 4 5 );( 4 6), ( ) P D = 36 6 = {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, P( F ) = = F, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 6 36 6 2 = {( ) ( )}, ergibt: P( G ) = = G 4 5 ; 5 4 36 8 Welche Ereignisse des Zufallsexperimentes Würfeln mit 2 idealen Würfeln sind in diesen Gitterdiagrammen dargestellt? Berechne auch die Wahrscheinlichkeit dazu. a) b) c) S S S d) e) f) S S S
30 Stochastik Einführung Teil 7 Lösung a) A: Die beiden Augenzahlen unterscheiden sich höchstens um. P( A) b) B: Die zweite Zahl ist 2 (die erste ist beliebig). PB ( ) c) C: Die Summe ist 5 oder 9. PC ( ) d) D: Die. Zahl ist 4 oder die 2. Zahl ist 5. PD ( ) e) E: Die Zahlen sind gleich oder haben die Summe 7. PE ( ) f) F: Die Summe ist größer als 8 (bzw. ist mindestens 9). PF ( ) 6 4 = = 36 9 6 = = 36 6 8 2 = = 36 9 = 36 2 = = 36 3 0 5 = =. 36 8 Beispiel 6 Lottozettel Ein Lottozettel besteht aus 49 Feldern, in denen die Zahlen bis 49 stehen. Für einen Lotto-Tipp kreuzt man 6 dieser Zahlen an, die Reihenfolge ist natürlich egal. Friedrich hat diese Zahlen angekreuzt: 2, 5, 3, 23, 45, 46. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Ziehung der ersten Kugel (aus 49, welche ebenfalls die Zahlen bis 49 tragen), eine dieser angekreuzten Zahlen gezogen wird? Bei der ersten Ziehung sind noch 49 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene eine der aufgeschriebenen ist, berechnet man also durch ( ) 6 P A = 0,22. Nehmen wir an, dies hat geklappt, wie sieht es dann bei der 2. Ziehung aus? Nun sind noch 48 Kugeln vorhanden und eine der 5 verbleibenden soll gezogen werden: 49 ( ) 5 P B = 0,04 48 Aufgabe 4 Hans und Peter spielen ihr eigenes Lottosystem. Dazu verwenden sie Lottozettel mit 9 Feldern und den Zahlen bis 9. Zur Ziehung verwenden sie Kugeln mit den aufgedruckten Zahlen bis 9. Auf einem Lottozettel darf man 3 Zahlen ankreuzen. Hans kreuzt die Zahlen 7, 8 und 9 an. Peter zieht eine Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Hans diese Zahl angekreuzt? Dann zieht Peter die nächste Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Hans nun diese Zahl angekreuzt, wenn die erste ein Treffer war?
30 Stochastik Einführung Teil 8 Lösung Beim. Zug hat man drei günstige Zahlen unter 9 vorhandenen: P( A) Beim 2. Zug können noch 2 Zahlen aus 8 gezogen werden: PB ( ) g 3 = = =. m 9 3 2 = =. 8 4 Beispiel 7 Skatkarten Zu einem Skatspiel gehören 32 Skatkarten mit vier verschiedenen Spiel-Farben : Kreuz, Pik, Herz und Karo. Jede Farbe besteht aus 8 verschiedenen Werten: 7, 8, 9, 0, Bube (B), Dame (D), König (K) und As (A). Aufgabe Außerdem sind die Spielfarben Kreuz und Pik schwarze Karten, Herz und Karo rote Karten. Aus einem vollständigen Skatkartensatz wird eine Karte zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. A: Man zieht ein As. B: Man zieht eine rote Dame. C: Man zieht eine Zahlenkarte. D: Man zieht das Herz-As. E: Man zieht eine rote oder eine schwarze Karte. F: Man zieht einen Buben oder eine Kreuzkarte.
30 Stochastik Einführung Teil 9 Lösung A: Man zieht ein As. Es gibt Asse unter 32 Karten: ( ) 4 P A = = = 0,25 32 8 B: Man zieht eine rote Dame. Es gibt 2 rote Damen: ( ) 2 P B = = = 0,0625 32 6 C: Man zieht eine Zahlenkarte. Die Hälfte aller Karten sind Zahlenkarten: ( ) PC = = 0,5 2 D: Man zieht das Herz-As. Es gibt nur ein Herz-As: P(D) = 32 E: Man zieht eine rote oder eine schwarze Karte. Damit kann jeder Karte gezogen werden. Das ist das sichere Ereignis: PE ( ) = F: Man zieht einen Buben oder eine Kreuzkarte. Es gibt 4 Buben und 8 Kreuzkarten, das sind zusammen aber nicht 2 sondern nur Karten, weil der Kreuz-Bube nicht doppelt gezählt werden darf: PF ( ) =. 32
30 Stochastik Einführung Teil 20.3 Laplace-Experimente 2.Art sind eine Sorte Experiment, die sich schnell auf die eben besprochenen einfachen Laplace-Ereignisse zurückführen lassen. Beispiel Vierer-Glücksrad Das nebenstehende Glücksrad hat vier gleich wahrscheinliche Felder. daher ist das Drehen des Rades ein Laplace-Experiment, und die Wahrscheinlichkeit für eines der vier als verschieden anzusehenden Felder ist je. Untersucht man jedoch das Merkmal Zahl, dann besitzt 4 dieses nur drei Ausprägungen: S = { ; 2; 4}, und diese Zahlen sind nicht gleichwahrscheinlich, also liegt doch kein Laplace-Experiment vor. 2 2 4 Wir können es jedoch auf ein solches zurückführen, da die vier Felder gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 2 erscheint, kann mal also berechnen p = = = berechnen, denn zwei der vier Felder tragen die Zahl 2. g 2 2 m 4 2 Ich bezeichne ein Experiment als Laplace-Experiment 2. Art, wenn es durch feinere Unterteilung auf ein Laplace-Experiment zurückzuführen ist. Beispiel 2: Farbenwürfel Das nebenstehende Netz eines Würfels führt zu einem weiteren Laplace-Experiment 2. Art. Die Farben blau, gelb und rot erscheinen beim Würfeln nicht mit derselben Wahrscheinlichkeit. Aber durch eine feinere Unterteilung gelangt man zu den bekannten 6 gleichwahrscheinlichen Feldern des Würfels. Blau gehört zu einem Feld ist gelb gehört zu 2 Feldern, also ist und rot gehört zu 3 Feldern, also ist p blau =, 6 2 p gelb = =. 6 3 3 p rot = =. 6 2 Beispiel 3: Analog zu Beispiel 2 errechnen wir hier die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse {} und {2}: 4 2 2 P( {} ) = = und ebenso: ({}) 6 3 P 2 = =. 6 3 2 2
30 Stochastik Einführung Teil 2 Beispiel 4: Urnenexperiment einfache Ziehung Das so genannte Urnenexperiment ist ein beliebtes Modell für allerlei Experimente. Zunächst das Grundmuster. In einem Gefäß - Mathematiker nennen es traditionell eine URNE - befinden sich Kugeln, die man beim bloßen anfassen (ohne hinzusehen) nicht unterscheiden kann. Diese Kugeln können gleich oder verschieden sein, farbig oder einfarbig, und bedruckt mit allerlei Schabernack. Dann lässt man daraus eine Kugel ziehen (später werden es mehrere sein) und berechnet dann die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse. Über die Bedeutung solcher Urnenexperimente werden wir später sprechen. Man entnimmt aus nebenstehender Urne eine Kugel. Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse: A: Die Kugel ist gelb. B: Die Kugel ist blau. C: Die Kugel ist rot. D: Die Kugel ist grün. Zunächst stellt man fest, dass die Urne 9 Kugeln enthält. Also gibt es für das Ziehen einer Kugel m = 9 Möglichkeiten. Für gelb gibt es g = 4 günstige Fälle, also ist: g 4 P( A) = = m 9 Für blau gibt es g = 3 günstige Fälle, also ist: g 3 P( B) = = = m 9 3 Für rot folgt: g 2 P( C) = = m 9 Und für grün (es sind keine grünen Kugeln da!) gilt g 0 P( D) = = = 0. m 9 MERKE: Liefert ein Laplace-Experiment m mögliche gleichwahrscheinliche Ergebnisse, und existieren für ein Ereignis g günstige Ergebnisse, dann berechnet man dessen Wahrscheinlichkeiten durch die Formel g P = m
30 Stochastik Einführung Teil 22.4 Experimente, bei denen die Elementarereignisse experimentell bestimmt werden. Man kann jede berechnete Wahrscheinlichkeit experimentell überprüfen, indem man das entsprechende Zufallsexperiment sehr oft durchführt. Die dann berechnete relative Häufigkeit wird bekanntlich von der Wahrscheinlichkeit vorhergesagt und sollte daher ungefähr gleich groß sein. Beispiel Wenn man mit einem idealen Würfel wirft, dann kann weiß man, dass jede Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 0,667 erscheint. Dies ist eine Voraussage der zu erwartenden 6 relativen Häufigkeit. Man darf jedoch nicht davon ausgehen, dass man bei 0 Würfenfür jedes der Ergebnisse, 2, 3, 4, 5, 6 nach Auswertung des Versuchs auf diese relative Häufigkeit kommt. Diese Voraussage gilt nur für eine sehr große Anzahl von Experimenten (Würfen). Dann nähert man sich diesem Wert. Analoges gilt für alle Zufallsexperimente: Die Wahrscheinlichkeit ist eine Vorhersage der zu erwartenden relativen Häufigkeit. Aber erst bei einer sehr großen Anzahl der Experimentausführungen nähert sich die relative Häufigkeit diesem Wert an. Das zufällige Auftreten der einzelnen Ergebnisse wird erst mit einer sehr großen Anzahl von Experimenten ausgeglichen. Man sagt: Dann stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten. Das hat eine wichtige Konsequenz: Bei Experimenten, die auf Grund unregelmäßiger Bauart keine Vorausberechnung von Wahrscheinlichkeiten gestatten, gilt dieses Gesetz der Stabilisierung auch. Also kann man dort den Weg umgekehrt beschreiben und das Experiment so lange betreiben, bis sich die relativen Häufigkeiten hinreichend stabilisiert haben. Diesen Wert definiert man dann als Wahrscheinlichkeit des betreffenden Ergebnisses. Schauen wir uns einige Beispiele dazu an.
30 Stochastik Einführung Teil 23 Beispiel : Das Reißnagelexperiment Ein Reißnagel kann auf einer Steinplatte in genau zwei Positionen liegen bleiben: Position : Position 2: Experiment : Wir benötigen 5 (oder 0) Schülergruppen, die jeweils 0 Reißnägel erhalten. Das Experiment besteht darin, dass 20-mal diese 0 Reißnägel gleichzeitig geworfen werden. Das ergibt genau 200 Würfe. Dabei werden die absoluten Häufigkeiten der beiden Positionen notiert. Die Ergebnisse werden von jeder Gruppe in Tabelle (nächste Seite) eingetragen. Im 2. Schritt werden die ermittelten absoluten Häufigkeiten fortgesetzt summiert, d.h. in der erste Spalte stehen dann die absoluten Häufigkeiten zu 0 Würfen, in der 2. Spalte zu den ersten 20 Würfen, in der 3. die zu den ersten 30 Würfen usw. Dies verarbeitet man in Tabelle 2. Im 3. Schritt summiert man diese Häufigkeiten für alle 5 Gruppen, d.h. die. Spalte enthält dann Häufigkeiten für 50 Würfe, die zweite für 00 Würfe usw. (Tabelle 3). In Tabelle 4 überträgt man dann die zugehörigen relativen Häufigkeiten. Jetzt sollte man beobachten können, dass die Schwankungen dieser relativen Häufigkeiten immer kleiner werden, je größer der Umfang der Stichprobe, also die Anzahl der Würfe ist. Im letzten Schritt kann man dann die relative Häufigkeit in Abhängigkeit vom Umfang der Stichprobe in einem Achsenkreuz darstellen. Man stellt fest, dass sich die Werte stabilisieren, d. h. sich immer besser einem Wert nähern. Diesen so genannten Grenzwert übernehmen wir und definieren aus ihm heraus die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Reißnagel in Position liegen bleibt Ich habe zweimal mit 5 Schülergruppen diese Reißnägel werfen lassen. Dazu gibt es in der Datei 3020 Formulare zum Eintragen der Ergebnisse. Ich füge hier die teilweise ausgefüllten Blätter und die Auswertung aus beiden Gruppen am Ende des Textes bei.
302 Stochastik Einführung Teil 24 Auswertungsblatt: Der. Reißnagel-Versuch. Schritt: 5 Schülergruppen werfen jeweils 0 Reißnägel und tragen die absoluten Häufigkeiten der beiden Positionen ein. Wurf 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 {P} {P2} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. Schritt: Man summiert von links her die absoluten Häufigkeiten, so dass man diese für 0, 20, 30,..., 200 Würfe erhält:a48 Wurf 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 {P} {P2} 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0 20 30 40 50 60 70 80 90 200 3. Schritt: Nun werden die Summen aller 5 Gruppen aus dem 2. Schritt in die 3. Tabelle eingetragen Wurf 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 {P} 25 53 73 93 4 44 69 87 209 232 250 27 292 35 34 362 374 40 425 449 {P2} Hier haben die Schüler ihre Wurfergebnisse eingetragen. Und hier ihre Aufsummierung aus dem. Schritt. 50 00 50 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 000 4. Schritt: Berechnung der relativen Häufigkeiten für 50, 00, 50,... 000 Würfe.: Wurf 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 {P} 0,500 530 487 465 456 480 483 468 464 464 455 452 449 450 455 453 440 446 447 449 {P2} 50 00 50 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 000 Die Ergebnisse im 4. Schritt stellen immer Tausendstel dar. Die relativen Häufigkeiten für P2 (Position 2) errechnen sich natürlich über die Formel: P({P}).
302 Stochastik Einführung Teil 25 Auswertungsblatt: Der 2. Reißnagel-Versuch. Schritt: 5 Schülergruppen werfen jeweils 0 Reißnägel und tragen die absoluten Häufigkeiten der beiden Positionen ein. Wurf 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 {P} {P2} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. Schritt: Man summiert von links her die absoluten Häufigkeiten, so dass man diese für 0, 20, 30,..., 200 Würfe erhält:a48 Wurf 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 {P} {P2} 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0 20 30 40 50 60 70 80 90 200 3. Schritt: Nun werden die Summen aller 5 Gruppen aus dem 2. Schritt in die 3. Tabelle eingetragen Wurf 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 {P} 24 43 60 89 03 40 57 86 20 228 25 273 290 38 33 362 338 405 422 443 {P2} Hier haben die Schüler ihre Wurfergebnisse eingetragen. Und hier ihre Aufsummierung aus dem. Schritt. 50 00 50 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 000 4. Schritt: Berechnung der relativen Häufigkeiten für 50, 00, 50,... 000 Würfe.: Wurf 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 {P} 0,480 430 400 445 42 467 449 465 467 456 456 455 446 454 44 453 45 450 444 443 {P2} 50 00 50 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 000
30 Stochastik Einführung Teil h(n) = 0,... 600 500 Diagramm zu den beiden Reißnagelversuchen 400 300 200 Reihe Reihe2 00 0 00 250 500 750 000 n = Umfang der Stichprobe 3 5 7 9 3 5 7 9 Man erkennt, dass sich beide Testreihen bei etwa 0,45 stabilisieren. Dies kann man so formulieren: lim h( n) 0, 45 n Also definiert man als Wahrscheinlichkeit für die Position : P(Pos) = 0,45. Da die Summe aller relativen Häufigkeiten ist, gilt dies auch für die Wahrscheinlichkeiten. Also folgt für die zweite Position: P(Pos ) + P(Pos 2) = P( Pos 2) = P( Pos ) = 0,55. Bemerkung: Dies gilt nicht für alle Arten von Reißzwecken. Wenn beispielweise der Kopf leicht gerundet ist, dann ist die Position weniger stabil, weil der Reißnagel abrollen kann. Dann könnte dort auch 0,4 oder 0,35 als Wahrscheinlichkeit vorkommen.
30 Stochastik Einführung Teil 2 Beispiel 2: Schiefer Würfel Nebenstehender Würfel besitzt 5 Oberflächen: Drei außen herum im Mantel, eine oben und eine unten. Darauf sind die Zahlen bis 5 aufgedruckt. 2 Es ist klar, dass es sich nicht um ein Laplace-Würfel handelt, denn die Seiten (Zahlen) treten mit ganz unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auf. Durch ein lange dauerndes Würfelexperiment (z.b. n = 000 Versuche) bekommt man ein einigermaßen stabiles Ergebnis für die relativen Häufigkeiten, die man dann als Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen festlegen kann. Etwa dieses Ergebnis: p = 0,26, p2 = 0,4, p3 = 0,32, p4 = 0, und p5 = 0,7. Beispiel 3: Ungleiches Glückrad Ein Rad wurde in 4 ungleiche Sektoren eingeteilt. Damit erscheinen die vier Zahlen mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten am Haltepfleil. Ergebnis nach vielen Drehungen: p = 0,30, p2 = 0,7, p3 = 0,39, p4 = 0,4. 3 4 2 ACHTUNG KONTROLLE: Für Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten gelten bestimmte Gesetze, die man nicht überschreiten darf (sonst ist ein Fehler passiert):. Jede dieser Werte ist eine Zahl aus dem Bereich 0 p. Tritt 0 auf, dann liegt das unmögliche Ereignis vor, tritt auf, gibt es nur ein Ergebnis, es ist das sichere Ereignis. 2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist.