Wege zu einem langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

Wege zu einem langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht Prof. Dr. Regina Bruder Technische Universität Darmstadt 9.10.2012 Wien www.math-learning.com

Gliederung 1. Problemsichten und Entwicklungspotenziale zum aktuellen Mathematikunterricht 2. Wann hat man eigentlich Mathematik (elementar) verstanden? Was gibt es alles für Aufgaben und wofür sind sie geeignet? 3. Von der Problemdiagnose zur Therapie: Bereitstellen kompetenzorientierter Lern- und Beurteilungsgelegenheiten

Vision für modernen MU: Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Langfristiger Kompetenzaufbau bezüglich eines mathematischen Blickes in die Welt, kann heißen: a) Die Umwelt/Lebenswelt mit mathematischem/logischem Blick kritisch prüfen: Stimmt das? Kann das denn sein? Warum ist das so? b) Den Mehrwert von Mathematik erfahren: Wo kommt Mathematik vor wo ist Mathematik versteckt? Wie fragen Mathematiker? Was wissen wir jetzt besser/genauer mit Mathematik als vorher? Beispiele: - wir können Größen abschätzen - wir können Dinge, Sachverhalte, Anteile miteinander vergleichen...

Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Abstände Figuren erkennen untersuchen erzeugen variieren berechnen Datensätze beschreiben darstellen strukturieren Objekte (und Prozesse) optimieren Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum - z.b. bei Verpackungen

Um welche prototypischen Sachverhalte geht es? Schätzen und Überschlagen von Größen (sinnhaft!!) Annahmen machen! Schaffen es die Luftballons bis über den nahe gelegenen Berg? Alternative Verpackungen finden Erfüllt die Konfektschachtel die Kriterien einer Mogelpackung? Wie viel Liter Wasser passen in diesen Fasswagen?

Phänomene Teaching to the test So kann man nicht wirklich Mathe lernen und verstehen: Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren erarbeiten üben Test schreiben - vergessen neues Thema... Vernetzte Begriffswelten? Nein, Inselwelten... Schüler: Ach, die Atome im Physikunterricht sind dieselben wie in Chemie? S. aus Kl.9: Eine Tabelle aufstellen? Sowas haben wir vielleicht mal in Kl.6 gemacht, das kann ich doch jetzt nicht mehr! Schulleiter an L. in NS: Wieso fragen Sie im Test in Kl.10 die binomischen Formeln ab, das wurde doch schon viel früher behandelt.

Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen)»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«die Taschenrechner sind schuld! Projekt Notstand in Mathematik der IHK Braunschweig (April 2010) extrem hohe Zahl von Abbrechern in den MINT- Studienfächern

Problemsichten Projekt PALMA: Leistungen sind mitunter besser vor einer mathematischen Behandlung (z.b. Anteilsbestimmungen) Den Kontext darf man nicht ernst nehmen: In einem Zwinger leben Hasen und Fasanen. Man kann 24 Köpfe zählen und 60 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Art? FERMI-Aufgaben: Wie viele Tennisbälle passen in unseren Klassenraum? Oder: Wie lang wird der Streifen aus einer Zahnpastatube? Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke

Phänomene Schüler/in: Kommt das im Test dran? Eltern: In Mathe war ich immer schlecht Wozu brauchen wir das? Ich verstehe/kann das nicht. Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen! Bereitschaft, sich auf Lernanforderungen einzulassen! Selbstkontrolle ermöglichen und fordern Tandembögen Checkliste zur Testvorbereitung Einzelgespräche zur Selbsteinschätzung

Zum lerntheoretischen Hintergrund Lernfortschritt erfordert nach dem Tätigkeitskonzept (Giest &Lompscher 72(2004),101 123 ) -Eine selbst gestellte Lernaufgabe -Erarbeitung einer Orientierungsgrundlage für die notwendigen Tätigkeiten auf verschiedenen Leveln: I Probierorientierung (trial and error) II Musterorientierung, beispielgebunden III Feldorientierung (erkennbar an der Fähigkeit, eigene Beispiele zu generieren)

Lerngelegenheiten um Kompetenzen zu zeigen Kompetenzen sind die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können (Weinert 2001) Phänomen: Die SuS wissen eigentlich, welche math. Inhalte sie anwenden sollen, wenn Anwendungsaufgaben gestellt werden das Problem konzentriert sich allein auf das wie

Kompetenzbegriff als Chance? Den Kompetenzbegriff ernst nehmen, das heisst dann auch die bisherige sequenzierte Beurteilungs-und Bewertungskultur grundlegend ändern: Verfügbarkeit von mathematischem Basiskönnen fördern und auch regelmäßig prüfen Feedback geben anhand der drei Bezugsnormen - individuelle Bezugsnorm (wie hast Du Dich in den verschiedenen Kompetenzbereichen entwickelt? Wo liegt Dein Entwicklungspotenzial? Blick auf die individuellen Lernprozesse, weniger auf das Ergebnis) - soziale Bezugsnorm (Deine Entwicklung in der Lerngruppe, verbale Kopfnoten ) - sachliche Bezugsnorm (wie ist Dein aktueller Entwicklungsstand gemessen an den fachbezogenen Standards? Verbal differenziert und als Fachnote)

Problemsicht - Zwischenstand Fehlende Verfügbarkeit von mathematischem Grundkönnen Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Umgang mit verschiedenen Lösungswegen Schwaches Selbstbild zur Mathematik»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«in einem Zwinger leben Hasen und Fasanen. Man kann 24 Köpfe zählen und 60 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Art? teaching to the test und Insellernen dem Kompetenzbegriff entgegen stehende Bewertungskultur Didaktische Konzepte berücksichtigen kaum unterschiedliche Lernstile! -immer Gruppenarbeit und offene Aufgaben für alle? ( 4 verschiedene Lernstile nach Gregory, 2005)

... noch eine Problemsicht: Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler jeweils anders von motivierend bis hemmend wirkt auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen und sich daher fast automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer entspricht (Sternberg 1994) Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer Metaanalyse (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

Lernstil der Beach Balls Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling) Gestalte eine Veranschaulichung für einen Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit Experimentier- & Entdeckungsfreude Spontanität & Kreativität Gleichschrittanweisungen zu folgen, immer die gleichen Schreibarbeiten zu machen

Lernstil der Puppies Interpersonal Learners (Sensing/Feeling) Intuitiv, affektiv Benötigen Begründung für das Lernen Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit Detailorientiert und gründlich zu sein Korrigiert zu werden oder ein negatives Feedback zu erhalten

Lernstil der Microscopes Understanding (Intuitive/Thinking) Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils stets, manchmal oder niemals wahr sind. Begründe deine Beurteilung schriftlich. Denken analytisch, kritisch Lernen gründlich Arbeiten alleine Neue Dinge ausprobieren offene Probleme lösen Perfektionisten 1. Ein Trapez ist ein Rechteck. Begründung 2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon. 3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck. 4. Ein Trapez hat parallele Schenkel. 5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander. 6. Ein Rechteck ist ein Quadrat. 7. Ein Quadrat ist ein Rechteck. 8. Eine Raute ist ein Rechteck. 9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel. 10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich groß.

Lernstil der Clipboards Mastery (Sensing/Thinking) Routinen, vorhersagbare Situationen Sinn für Details & Genauigkeit Ohne Anweisungen arbeiten, das große Bild sehen

Lernstile Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005) Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools) Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

Schlussfolgerungen Didaktische Analyse Berücksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der Aufgabenwahl (vor allem für Einstiege, Übungen und Langfristige HA) 1. Welche Fähigkeiten, Verfahren und Schlüsselbegriffe müssen die Lernenden beherrschen? Lernprotokoll, Checkliste, mind-map 2. Welche Kernbegriffe, Muster oder Prinzipien müssen die Lernenden vertieft verstehen? Aufgabenset, Wdhlg. mit Kopfübung 3. Wie werden die Lernenden persönlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken? Lerntagebuch, eigene Beispiele finden, Mathegeschichten erfinden... 4. Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden, visualisieren, anwenden oder mit ihnen experimentieren?

Gliederung 1. Problemsichten und Entwicklungspotenziale zum aktuellen Mathematikunterricht 2. Wann hat man eigentlich Mathematik (elementar) verstanden? Was gibt es alles für Aufgaben und wofür sind sie geeignet? 3. Von der Problemdiagnose zur Therapie: Bereitstellen kompetenzorientierter Lern- und Beurteilungsgelegenheiten

Wann hat man Mathematik elementar und verfügbar verstanden? Ein elementares Verständnis ist erreicht, wenn Identifizierungs- und Realisierungshandlungen zum jeweiligen Begriff, Zusammenhang oder Verfahren ausgeführt werden können. Ein Verständnisfortschritt und Sinneinsicht wird erreicht, wenn ein Beispiel dafür und eins dagegen angegeben werden kann. Identifizieren: Ist eine Konfektschachtel ein Modell für ein Prisma? Kann der Satz des Pythagoras angewendet werden? Ist die Gleichung/das GS mit lösbar? Formel anwendbar? Realisieren: Ein Bild eines Prisma skizzieren Einen math.satz auf eine Situation anwenden Ein Verfahren ausführen

Lern- und Diagnosepotential von Aufgaben Welche Aufgabentypen sind grundsätzlich notwendig für nachhaltiges Lernen Welche sind geeignet zur Lernerfolgskontrolle? Aufgabenkonzept nach Zieltypen

Lern- und Diagnosepotential von Aufgaben Gegebene s Transformation Gesuchtes X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - (-) offene Problemsituation

Gliederung 1. Problemsichten und Entwicklungspotenziale zum aktuellen Mathematikunterricht 2. Was gibt es alles für Aufgaben und wofür sind sie geeignet? 3. Von der Problemdiagnose zur Therapie: Bereitstellen kompetenzorientierter Lern- und Beurteilungsgelegenheiten

Unterrichtskonzept von MABIKOM Unterrichtseinstieg KÜ KÜ KÜ Lernprotokoll Checkliste Wahlmöglichkeiten: Aufgabenset Langfristige HA Blütenaufgaben Lernkontrolle

Binnendifferenzierung erfordert Diagnose, Prophylaxe und Therapie Ziel- und Inhaltstransparenz für die Lernenden sichern Wachhalten von Basiswissen Vermeiden von (neuen) hemmenden Unterschieden Innerhalb eines mathematischen Lernbereiches wird differenziert nach Schwierigkeitsgrad (Abstraktionsgrad, Komplexität), Kontext und Offenheit Förderung der Selbstregulation Vielseitige kognitive Aktivierung der Lernenden durch vielfältige Aufgabentypen und Wahlmöglichkeiten Reaktion auf Unterschiede der Lernenden Didaktische Perspektive: offene versus geschlossene Differenzierung

"Kopfübungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument 1 Berechne: 29 7 2 Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/2 3 Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit 4 5,4 10,6 5 Wie viele Flächen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groß? 6 Berechne: - 3 (- 11) 3 7 Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein? 8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wie viele sind das? 9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche? 10 Berechne. 20% von 45. 1 Woche später: 1 59 9 2 Ordne der Größe nach: 3/7, 3/4, 3/10 3 Gib als dm an: 1,82 m 4-5,4 + 10, 6 5 Aus welchen Flächen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen? 6 Schreibe drei Multiplikationen auf, deren Ergebnis 6 ist. 7 Richtig oder falsch: In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groß. 8 Gib 2/5 als Dezimalzahl an. 9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an, die auf der y-achse liegen. 10 Von 32 Schülern kommen 24 mit dem Bus. Wie viel Prozent sind das?

Kopfübung als Diagnoseinstrument Typischer Aufbau einer Kopfübung

Checklisten Zur Selbsteinschätzung der Lernenden vor einem Test bzw. zu Beginn und am Ende einer Selbstlerneinheit Transparenz der Lernanforderungen Chance zum Kompetenzerleben (Motivationswirkung!) Variation: Ich Kann -Formulierung oder Angabe konkreter Aufgaben mit gestufter subjektiver Einschätzung der Lösungswahrscheinlichkeit

3. Diagnoseinstrumente Checklisten als Instrument zur Selbstdiagnose für Schüler Einsatz: Lernergebnisdiagnose vor einer Klassenarbeit (ca. 2 Wochen) Schüler schätzen ihr Basiswissen und -können selbst ein (ggf. Musteraufgabe) Werden als langfristige Hausaufgabe von den Schülern bearbeitet Schüler sammeln ihre bearbeiteten Übungsaufgaben für die Klassenarbeit Keine Kontrolle der Checklisten (vor der Klassenarbeit) Checklisten werden bei der Rückgabe der Klassenarbeit mitgebracht Checklisten als Instrument zur Selbstdiagnose für Schüler Intentionen: Lerngelegenheiten zur Selbsteinschätzung Was kann ich? Orientierung für das, was innerhalb des Themas wichtig ist: Was muss ich können? Fördern selbstverantwortliches Lernen (Zielsetzung, Übung, Beurteilung, ) Können positive Emotionen bewirken (vor Klassenarbeit) Fördern eigenverantwortlichen Umgang mit Basiskompetenzen

3. Diagnoseinstrumente

Hintergrund: Übungskonzept (ml 147, 2008) Erste Übung mit Identifizierungs- und Realisierungsaufgaben für die neuen Stoffelemente (in unmittelbarer Verbindung mit der Einführung) Vielfältige Übung (auch vertiefende Übung genannt) Vertiefend, binnendifferenzierend und als produktive bzw. intelligente Übung gestaltet Aufgabenset 1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9. 10. (x--), (x-x) ((-)-(-)) (-x-) Blütenaufgaben (xx-) (-xx) Komplexe Übungen und Anwendungen Vernetzungen der aktuellen Stoffelemente mit bereits bekannten herstellen; Komplexität erhöhen und Transfer ermöglichen

Binnendifferenzierung durch Wahlaufgaben mit unterschiedlichen Anforderungen Große Unterschiede im Arbeitstempo, Festigungsbedarf und im kognitiven Leistungsvermögen => Wahlmöglichkeiten Organisatorisch: I. eine bestimmte Anzahl von Aufgaben ansteigender Schwierigkeit soll in einer verabredeten Zeit bearbeitet werden (z.b. mindestens 5 von 10 Aufgaben) II. Wahlmöglichkeit bei ausgewiesener Schwierigkeit *, **, *** gefordert sind z.b. 10 Sternchen stelle selbst zusammen Alle üben alles?

Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x - 5 2. f(x) = 2x + 6 3. f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = - 3 5. Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? -------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben. 7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat. 8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 9. Warum können lineare Funktionen nie mehr als eine Nullstelle haben? 10. Finde einen Ausdruck zur Bestimmung der Nullstelle für eine beliebige lineare Funktion: f(x) = mx + b und gib dazu evtl. notwendige Bedingungen für m,x und b an!

Kein gelungenes Beispiel für ein binnendifferenzierendes Aufgabenset zum nachhaltigen Lernen

Ergebnisauswertung zu Aufgabensets Eine Selbstkontrolle mit Musterlösung für die Basisaufgaben (erster Bereich) Eine zentrale Sicherungsphase für die Regelstandardaufgaben (mittlerer Bereich) detaillierte Besprechung der vertiefenden Aufgaben für alle meist nicht sinnvoll Alternativ: eine Aufgabenbesprechung in homogenen Gruppen=> Lösungszettel oder -Folien zur Verfügung stellen, die für Kleingruppen einen Gesprächsanlass darstellen können.

Beispiel Klasse 5 Lena stellt Martin ein Zahlenrätsel: Denke dir eine Zahl. Addiere nun 1 und multipliziere das Ergebnis mit 5. Subtrahiere jetzt 4 von der letzten Zahl. Wenn du mir nun das Ergebnis sagst, sage ich dir, welche Zahl du dir gedacht hast! a) Martin denkt sich die Zahl 6. Welches Ergebnis bekommt er heraus? ------------------ b) Nun denkt sich Martin eine neue Zahl. Sein Ergebnis lautet jetzt 76. Welche Zahl hat er sich gedacht? ------------------ c) Beschreibe, wie Lena aus Martins Ergebnis immer seine gedachte Zahl erhält.

Blütenaufgaben - drei bis fünf Teilaufgaben - steigender Schwierigkeitsgrad -gemeinsamer Kontext - evtl. zunehmende Öffnung

Blütenaufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit An der Anlegestelle einer großen Fähre steht: Karte 1 Person 50 Blockkarte 8 Personen 380 Blockkarte 20 Personen 900 a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen? b) Wie viele Karten bekommt man für 300? a) (x x -) b) (- x x) c) (x - -) d) ((-) (-)) c) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140 aus. Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Maike recht? Begründe. d) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Was wäre ein angemessener Preis? Quelle: Jordan, Univ. Kassel, 2004

Zielniveaus einer Blütenaufgabe Regelstandard (x--) schwierige Bestimmungsaufgabe oder Begründung (x-x) ((-)-(-)) offene Problemstellung oder selbst eine Aufgabe erfinden (-x-) (xx-) Grundaufgabe (-xx) Umkehraufgabe Mindeststandard

Ergebnisauswertung zu einer Blütenaufgabe (x--) schwierige Bestimmungsaufgabe oder Begründung (xx) ((-)-(-)) offene Problemstellung oder selbst eine Aufgabe erfinden (-x-) (xx-) Grundaufgabe (-xx) Umkehraufgabe Selbstkontrolle

Ergebnisauswertung zu einer Blütenaufgabe Besprechung im Plenum- Lernzuwachs für viele Schüler ermöglichen (x--) schwierige Bestimmungsaufgabe oder Begründung (xx) ((-)-(-)) offene Problemstellung oder selbst eine Aufgabe erfinden (-x-) (xx-) Grundaufgabe (-xx) Umkehraufgabe

Zeitökonomische Ergebnisauswertung zu einer Blütenaufgabe (xx-) Grundaufgabe (x--) schwierige Bestimmungsaufgabe oder Begründung (x-x) (-xx) Umkehraufgabe ((-)-(-)) offene Problemstellung oder selbst eine Aufgabe erfinden (-x-) Besprechung individuell nur mit denen, die es bearbeitet haben

Umgang mit Wahlmöglichkeiten Eine realistische Selbsteinschätzung einzelner Schüler gelingt nicht immer Die Bereitschaft leistungsstärkerer Lernender sich mit den schwierigeren Aufgaben auseinander zu setzen bleibt manchmal aus Frustration bei schwächeren Schülern Überforderung in den Auswahlsituationen Erwartungshorizont beim Arbeiten mit Wahlaufgaben erstellen günstiges Lernklima durch individuelle Rückmeldungen schaffen Die eigene Auswahl üben (begründen und reflektieren lassen)

Kontakt: www.math-learning.com bruder@mathematik.tu-darmstadt.de www.prolehre.de online Fortbildungskurse www.madaba.de