Welfen-Gymnasium Schongau 1 Grundwissen Mathematik 7. Klasse Wissen Aufgaben/Beispiele Lösungen Achsenspiegelung Eigenschaften der Achsenspiegelung: - Die Verbindungsstrecke von Punkt P und Bildpunkt P wird von der Spiegelachse a senkrecht halbiert - Achsenpunkte sind Fixpunkte - Nur Achsenpunkte haben von P und P gleichen Abstand - Die Achsenspiegelung ist längen- und winkeltreu - Der Drehsinn ändert sich Punktspiegelung Eigenschaften der Punktspiegelung: - Entspricht einer 180 - Drehung um das Symmetriezentrum Z - Die Verbindungsstrecke von Punkt P und Bildpunkt P wird vom Zentrum halbiert - Längen- und Winkeltreue - Drehsinn bleibt erhalten Trage die Punkte A(-4/-5), B(3,5/-1) und C (-4,5/1) in ein Koordinatensystem ein. a) Spiegle den Punkt A an BC. b) Konstruiere den Mittelpunkt der Strecke [AB]. c) Konstruiere das Lot von A auf BC d) Konstruiere die Winkelhalbierende für den Winkel <CBA. e) Spiegle den Punkt A an C. zu a) Achsenspiegelung von Punkt A an BC b) Mittelpunkt der Strecke [AB] c) Lot von A auf BC
Welfen-Gymnasium Schongau 2 zu e) Punktspiegelung von A an C d) Winkelhalbierende
Welfen-Gymnasium Schongau 3 Winkelbetrachtungen Winkel an sich schneidenden Geraden Scheitelwinkel sind gleich groß Stufenwinkel sind gleich groß Wechselwinkel sind gleich groß Nebenwinkel (ergänzen sich zu 180 ) Wenn die Gerade g parallel zu h ist, dann sind die Winkel gleich groß. Winkelsumme im Dreieck Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180 Stufenwinkel Scheitelwinkel Wechselwinkel Nebenwinkel Die beiden Geraden g und h sind parallel. Berechne die Winkel a, b und g. Begründe deine Rechnungen. a = 70 (Wechselwinkel) b = 110 (Nebenwinkel zu a) g = 180-100 = 80 (Stufenwinkel und Nebenwinkel) Terme Aufstellen von Termen Berechnen von Termwerten Zuordnung: Variablenwert Termwert Jedem Variablenwert wird durch Ausrechnen des Terms ein eindeutig bestimmter Termwert zugeordnet. Die Zuordnung lässt sich in einer Wertetabelle angeben und durch Gib einen Term für die Gesamtanzahl der Beine von m Maikäfern, s Schmetterlingen und k Kreuzspinnen an. Der Preis einer Urlaubsreise ist x. Das Reisebüro gibt 15% Rabatt für Frühbucher. Berechne den Wert des Terms für 4;1,2; Berechne den Wert des Terms ;3 für 2; 0,5 1 2 3-2 -1 0 3 4!"#$6 6 8 ( )*ü,- *.*# 100%15% 85% 0,85 4 4 41 16 5 31 5 3,2 1,2 1,2 1,21 1,44 0,2 7,2 1 2 3 2 32 3 4 4 9 2 3 1 1 4 3 1,3 6 3 2;0,5 3 2 0,5 3 4 22 3 36-2 -1 0 3 4 4 3,5 3 1,5 1
Welfen-Gymnasium Schongau 4 einen Graphen in einem Koordinatensystem veranschaulichen. Termumformungen a) Gleichartige Terme zusammenfassen b) Umformungen in Produkten c) Anwendung des Distributivgesetzes, Ausmultiplizieren d) Anwendung des Distributivgesetzes, Ausklammern e) Multiplizieren von Summen f) Binomische Formeln (a + b)² = a² + 2ab + b² (a b)² = a² 2ab + b² (a +b)(a b) = a² b² Lineare Gleichungen Lösen von linearen Gleichungen Eine lineare Gleichung mit der Variablen x kann man immer in den folgenden Schritten lösen: 1. Vereinfachen des Terms rechts und links vom Gleichheitszeichen a) 3,5 = 3ab² 4a²b + ab² 5a²b + 0ab² = b) 2. 7. 7 3 8 8 c) 2x(a b)= 4 d) 68 8 8 0,5 e) (x + y)(xy 1) (3a 2b)(a 4b) f) (5a 2b)² = (2x - 1)(2x + 1) = a) 25 b) 321 245 a) 3,5 4,50,25 4,25 3ab² 4a²b + ab² 5a²b =4ab² 9a²b b) 2. 7. 7 8.. 7 7 8. 9 7 0,1 8 38 0,01 : 8 278 : 0,27 ; 8 < c) 2x(a b) = 2ax - bx 24 24 4 d) 68 8 8 28 348 0,5 10,5 e) (x + y)(xy 1) = x²y x + xy² - y (3a 2b)(a 4b) = 3a² - 4ab - 2ba + 8b² = 3a² - 6ab + 8b² f) (5a 2b)² = 25a² - 20ab + 4b² (2x - 1)(2x + 1) = 4x² - 1 a) 2 5 1 3 3 9 b) 321 248 63 248 73 96 73 9 32
Welfen-Gymnasium Schongau 5 2. Addition bzw. Subtraktion und Zusammenfassen so, dass nur noch die Variable oder ein Vielfaches von ihr auf nur einer Seite steht 3. Division durch den Faktor des x-terms. Lineare Gleichungen in Anwendungssituationen Stelle die Gleichung nach folgendem Schema auf: 1. Variable einführen 2. Gleichung aufstellen 3. Gleichung lösen 4. Ergebnis überprüfen, Antwort formulieren Daten, Diagramme und Prozentrechnung Der arithmetische Mittelwert (Durchschnittswert) Der Durchschnittswert ergibt sich, indem man die Summe der Zahlen (oder Größen) durch die Anzahl der Zahlen (oder Größen) dividiert. Erstellen und Analysieren von Diagrammen Prozentrechnen Grundgleichung: PS GW = PW (PS = Prozentsatz; GW = Grundwert; PW = Prozentwert) c) In einem Käfig sind Hasen und Hühner eingesperrt. Die Tiere haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füße. Wie viele Hasen und Hühner sind im Käfig? d In einem 5 cm hohen Trapez von 30 cm² Flächeninhalt ist eine der parallelen Seiten 7,5 cm lang. Wie lang ist die andere der parallelen Seiten? a) Bestimme den Mittelwert deiner mündlichen Noten 2, 1, 4, 2, 1, 3 und runde das Ergebnis auf eine Dezimale b) In einem Kreisdiagramm sollen 15% eingezeichnet werden. Wie berechnet man den Mittelpunktswinkel dazu? Beispiele: Ein Preis x wird um 20% höher. Dann errechnet sich der neue Preis: neuer Preis = x 1,20 Ein Preis x wird um 20% billiger. Dann errechnet sich der neue Preis: neuer Preis = x 0,80 3 2 c) Anzahl der Hasen 35 Anzahl der Hühner 435 2 94 4702 94 27094 2 24 12 [Hasen] d) Flächenformel für das Trapez: > - Einsetzen 30 7,5 5 301 1 2 3,752 5 30 5 2 18,75 11,75 5 2 4,5 a) (2 + 1 + 4 +2 +1 + 3) : 6 = 13 : 6 = 2,166 2,2 b) 100% 360 1% 3,6 15% 3,6 15 54 Der Mittelpunktswinkel beträgt 54. c) 1,4 0,822,40 1,1222,40 20 Vor den Preisänderungen kostete der TR 20.
Welfen-Gymnasium Schongau 6 b) Ein Taschenrechner wird zuerst um 40% teurer, dann 20% billiger. Nun kostet er 22,40. Wie viel hat er am Anfang gekostet? Kongruenz und Dreiecke Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie - in allen drei Seiten SSS - in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln WSW oder SWW - in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel SWS - in zwei Seiten und dem Gegenwinkelt der längeren Seite übereinstimmen SsW, d.h. die längere Seite muss dem gegebenen Winkel gegenüber-liegen. Prüfe, ob mit den Angaben ein Dreieck eindeutig konstruierbar ist. a) b = 9 cm; c = 5 cm; a = 45 b) a = 5 cm; a = 30 ; b = 75 c) b = 5 cm; c = 8 cm; b = 30 Begründe, ob die 2 Dreiecke kongruent sind: c1 = 6,4 cm; a1 = 50 ; b1 = 75 und a2= 6,4 cm; a2 = 50 ; b2 = 75 a) Ja, nach dem SWS Satz b) Ja, nach dem SWW Satz c) Nein, da b die kürzere Seite ist. Die zwei Dreiecke sind nicht kongruent, da im ersten Dreieck die Winkel a1 und b1 gegeben sind, die an der Seite c1 anliegen, im zweiten Dreieck ist zwar b2 anliegend, a2 aber nicht.
Welfen-Gymnasium Schongau 7 Besondere Linien im Dreieck und Konstruktionen Besondere Linien im Dreieck Mittelsenkrechte und Umkreis Winkelhalbierende und Inkreis Höhen Konstruktionen - Planfigur - Konstruktionsplan - Konstruktion Achte auf mehrere Lösungen! Gegeben ist das Dreieck ABC mit a = 7 cm, c = 8 cm und b = 50. Konstruiere a) den Umkreis b) den Inkreis. c) Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit a = b, b = 7 cm, ha = 6 cm. Wie viele Lösungen gibt es? Konstruktionsbeschreibung: 1) Punkte B, C festgelegt durch a = 7 cm 2) A festgelegt durch Kreis k(c; r = a = 7cm) und Parallelen zu [BC] im Abstand ha. Konstruktion: zu a) Umkreis mit Hilfe der Mittelsenkrechten Besondere Dreiecke - gleichschenkliges Dreieck - gleichseitiges Dreieck - rechtwinkliges Dreieck zu b) Inkreis mit Hilfe der Winkelhalbierenden Satz von Thales Liegt ein Punkt C auf dem Halbkreis über einer Strecke [AB], dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig.