0- Meßprozeß, Meßfehler und Statistik Vorbereitung : Begriff der Wahrscheinlichkeit, statistische Verteilungen (Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gaussverteilung), Meßfehler und Fehlerfortpflanzung. Literatur : Vorbereitungsmappe Bronstein, Semendjajew : Taschenbuch der Mathematik Knoll : Radiation Detection and Measurement, Kapitel 3 W.R. Leo : Techniques for uclear and Particle Physics Experiments, Kapitel 4 Versuch : Auf spielerische Art und Weise ohne apparativen Ballast (nur unter Verwendung von Würfel und verschiedenfarbigen Kugeln) soll der Umgang mit Begriffen wie Meßfehler, Fehlerfortpflanzung, statistischen Verteilungen und Signifikanz erlernt werden. Diese Begriffe sind für jeden aturwissenschaftler, der Daten und Messungen interpretieren möchte, unverzichtbar und werden auch im weiteren Verlauf des Praktikums eine entscheidende Rolle spielen.
0- Aufgaben :. Meßprozeß, Meßfehler und statistische Verteilungen Anhand eines einfachen Modellmeßprozesses sollen der elementare Meßvorgang und der Begriff des Meßfehlers demonstriert werden. Ein Meßgerät zur Bestimmung des Anteils der schwarzen Kugeln in einer unbekannten Menge schwarzer und weißer Kugeln sei folgendermaßen definiert : aus der Menge der Kugeln werden zwölf beliebige gleichzeitig entnommen. Der Anteil der schwarzen darin ist der Meßwert für den Anteil der schwarzen Kugeln in der gesamten Menge. Führen Sie die Messung 0mal durch (mit Zurücklegen)! Bestimmen Sie den Mittelwert für den Anteil der schwarzen Kugeln sowie den Meßfehler des Meßgeräts aus der Streuung der Meßwerte (Standardabweichung)! Tragen Sie die erhaltenen Einzelwerte in geeigneter Darstellung graphisch auf! Zeichnen Sie in die graphische Darstellung der Meßwerte den erwarteten Verlauf, wenn Sie Ihren gemessenen Anteil an schwarzen Kugeln als tatsächlichen Wert annehmen! Zeichnen Sie in die graphische Darstellung der Meßwerte zusätzlich das erwartete Ergebnis bei Verwendung einer Poissonnäherung ein! Diskutieren Sie die Gültigkeit der äherung!. Meßfehler und Fehlerfortpflanzung Bestimmen Sie (ohne zu wiegen) die Masse einer einzelnen Spielkarte des am Versuch ausliegenden Kartenspiels nach einer Methode Ihrer Wahl! Machen Sie gegebenenfalls plausible Annahmen über Ihnen unbekannte Größen. Schätzen Sie in die Bestimmung eingehende Fehler ab und führen Sie eine Fehlerfortpflanzungsrechnung durch! Vergleichen Sie mit der tatsächlichen Masse, die mit der Waage bestimmt werden kann! 3. Statistischer Fehler, Test von Hypothesen, Signifikanz Untersuchen Sie den vorliegenden Würfel auf die Auftrittshäufigkeit von Einsern, indem Sie 00mal würfeln und die Anzahl der geworfenen Einser bestimmen! Bestimmen Sie den statistischen Fehler Ihrer Auftrittshäufigkeit exakt (Binomialverteilung) und vergleichen Sie mit dem statistischen Fehler einer Poissonnäherung! Ist der Würfel gezinkt, d.h. tritt die Eins signifikant häufiger oder signifikant zu selten auf? Geben Sie ein Maß für die Qualität (Signifikanz) Ihrer Aussage
0-3 an, indem Sie (a) die theoretische Standardabweichung und (b) die kumulative Verteilung, die sich in der Vorbereitungsmappe befindet, verwenden! 4. Abstand aufeinanderfolgender statistisch verteilter Ereignisse Es soll bestimmt werden, wieviele Würfe es beim Würfeln dauert, bis Sie eine 3 oder 4 würfeln. Skizzieren Sie - bevor Sie das Experiment durchführen - in Ihr Praktikumsheft, was Sie als Ergebnis erwarten! Bestimmen Sie nun experimentell, wieviele Würfe es dauert, bis Sie eine 3 o- der 4 werfen! Führen Sie den Versuch 00mal durch! Stellen Sie das Ergebnis graphisch dar und vergleichen Sie mit Ihrer erwarteten Skizze! Berechnen Sie nun exakt die erwartete Verteilung und tragen Sie sie in die graphische Darstellung der Messung ein! Übertragen Sie das eben gelernte auf ein Experiment, das statistisch verteilte Ereignisse mit einer Rate r (d.h. r Ereignisse pro Sekunde) mißt z.b. die Zerfälle eines radioaktiven Präparates. Welche Verteilung erwarten Sie für den Zeitabstand zweier aufeinanderfolgender Ereignisse? Begründen Sie die Gültigkeit Ihrer gewählten Verteilung!
0-4 Vorbereitungsmappe - Meßprozeß, Meßfehler und Statistik Themen : Begriff der Wahrscheinlichkeit, statistische Verteilungen (Binomialverteilug, Poissonverteilung, Gaußverteilung), Meßfehler und Fehlerfortpflanzung. Literatur : Vorbereitungsmappe Bronstein, Semendjajew : Taschenbuch der Mathematik Knoll : Radiation Detection and Measurement, Kapitel 3 W.R. Leo : Techniques for uclear and Particle Physics Experiments, Kapitel 4 Begriff der Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit : Ein Versuch habe verschiedene mögliche Elementarausgänge. Beim Werfen einer Münze wären dies Kopf oder Zahl, beim Würfeln die sechs verschiedenen Seiten des Würfels. Das Eintreten eines Ereignisses A hänge nun von diesen Elementarausgängen ab, z.b. trete A ein, wenn eine 5 oder 6 gewürfelt wird. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A ist dann : P ( A) = Anzahl der für A günstigen Elementarausgänge Anzahl aller möglichen Elementarausgänge Ist das Eintreten von zwei Ereignissen A und B unabhängig, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A und B als das Produkt der einzelnen Eintrittswahrscheinlichkeiten von A und B. Hat ein Ereignis die Eintrittswahrscheinlichkeit null, so kann es nicht eintreten, bei Eintrittswahrscheinlichkeit eins wird es immer eintreten. Weiterhin wird jedes Ereignis, dessen Eintrittswahrscheinlichkeit von null verschieden ist, irgendwann einmal stattfinden, wenn man nur lange genug wartet. Um eine unbekannte Eintrittswahrscheinlichkeit (z.b. Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln, wenn der Würfel gezinkt ist) zu bestimmen, kann man mal einen Versuch durchführen (hier maliges Werfen des Würfels), und die Häufigkeit des Auftretens des zu untersuchenden Ausgangs (hier Werfen einer 6) bestimmen. Die so erhaltene relative Häufigkeit des Eintretens des Ausgangs geht im Limes in die gesuchte Wahrscheinlichkeit über (zentraler Grenzwertsatz der Statistik).
0-5 Messung, Mittelwert und Streuung Zur Bestimmung physikalischer Größen werden Messungen durchgeführt. Werden unabhängige Messungen einer physikalische Größe x durchgeführt, so ist der Mittelwert x dieser Meßwerte ein Schätzwert für die zu messende Größe : x i i= x = Ein Maß für die Qualität der Messung ist, wie stark die Meßwerte für die Größe x streuen. Ein Maß für die Streuung s ist die mittlere quadratische Abweichung der Meßwerte vom Mittelwert : s = ( ) i= (xi - x ) s² wird als Varianz, s als Standardabweichung bezeichnet. Da x = x i ist, wird i= durch - statt geteilt, um den verlorenen Freiheitsgrad zu berücksichtigen. Streuungen von Meßwerten können entstehen, wenn statistische Prozesse in den Meßvorgang eingehen, wie z.b. die Zahl von Atomen, die ionisiert werden, wenn ein geladenes Teilchen durch Materie fliegt. Verteilungsfunktion: Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gaussverteilung Unter einer Verteilungsfunktion versteht man die Häufigkeitsverteilung, mit der bei der Messung einer Größe x ein individueller Wert x i auftritt. Bei einem ungezinkten Würfel ist die Verteilungsfunktion eine Konstante, da alle möglichen Werte gleich wahrscheinlich auftreten. Von praktischer Bedeutung sind im wesentlichen drei Verteilungsfunktionen : Binomialverteilung Ein typisches Szenario, das auf eine Binomialverteilung führt, ist das Ziehe von Losen aus einer Trommel mit einem bekannten Anteil an ieten. Die Wahrscheinlichkeit, k ieten unter gezogenen Losen zu haben - bei einem Anteil von k ieten in der Trommel - ist dann gegeben durch : P(k) =! k!( k)! p k ( - p ) -k Dieser funktionale Zusammenhang kann leicht eingesehen werden : Die Terme k ( ) und p geben die Wahrscheinlichkeit an k ieten und -k Treffer zu haben, der erste Term gibt die Anzahl der kombinatorischen Möglichkeiten an, da es nicht interessiert, welches Los eine iete oder ein Treffer war. Als Mittelwert k und Varianz σ² ergeben sich : k p
0-6 σ = k= 0 k = kp( k) = p ( k k) k= 0 P( k) = p ( p) Beispiele von Binomialverteilungen zeigt die folgende Abbildung. Poissonverteilung Die Poissonverteilung ist eine äherung aus der Binomialverteilung, die für praktische Zwecke einfacher zu handhaben ist. Sie gilt für eine große Anzahl an Versuchen bei kleinen Wahrscheinlichkeiten p. Die Wahrscheinlichkeit, k Ereignisse bei einer Erwartung µ = p zu beobachten, ist gegeben durch : P( k) = Als Mittelwert µ und Varianz σ² ergeben sich : e k! k µ µ k = kp ( k ) = k= 0 p σ = k = 0 ( k k ) P( k) = p Beispiele von Poissonverteilungen mit verschiedenen Mittelwerten zeigt die folgende Abbildung.
0-7 Ein typisches Beispiel, das auf eine Poissonverteilung führt, ist der radioaktive Zerfall: Die Wahrscheinlichkeit p, daß ein einzelner Kern zerfällt, ist sehr klein, die Anzahl der radioaktiven Kerne im Präparat ist jedoch groß. Die Zahl k der Zerfälle, die man in einem bestimmten Meßzeitintervall beobachtet, ist daher poissonverteilt um den Erwartungswert µ = p. Geht es in einem Experiment darum, z.b. die Zerfallsrate oder ähnliches aus der gemessenen Anzahl µ zu bestimmen, so ist zu beachten, daß die gemessene Anzahl µ aufgrund statistischer Schwankungen mit dem Fehler σ = p = µ behaftet ist. (Die Standardabweichung µ wird in der Laborsprache häufig -Fehler genannt, wobei dann der Mittelwert und nicht die Anzahl der Versuche darstellt. Gaussverteilung Die Gaussverteilung ist eine äherung der Poissonverteilung für große Mittelwerte µ. Sie ist eine gute äherung für µ 0. P x) = e σ π ( x µ ) σ ( Im Gegensatz zu Binomial- und Poissonverteilung, die diskrete Verteilungen sind, ist bei der Gaussverteilung das Argument x kontinuierlich. Die Parameter µ und σ² sind der Mittelwert und die Varianz der Verteilung. Beispiele von Gaussverteilungen mit verschiedenen Standardabweichungen zeigt die folgende Abbildung. Messung und Meßfehler Jede Messung und jedes Experiment beinhalten Unsicherheiten, die als Fehler bezeichnet werden. Es wird zwischen zwei verschiedenen Arten von Fehlern unterschieden : Systematische Fehler Systematische Fehler kommen dadurch zustande, daß ein Meßgerät nie perfekt sein kann und eventuell nicht exakt bekannte Parameter in den Meßvorgang eingehen. Ein einfaches Beispiel für einen systematischen Fehler bei Spannungsmessungen ist ein unzureichender ullabgleich, der dazu führt, daß alle Meßwerte systematisch in eine
0-8 Richtung verschoben sind, d.h. zu groß oder zu klein angezeigt werden. Systematische Fehler können oft nachträglich, wenn man die Ursache verstanden hat, korrigiert werden. Statistische Fehler Im Gegensatz zu systematischen Fehlern, die für alle Datenpunkte in die gleiche Richtung gehen, führen statistische Fehler zu einer zufälligen Streuung der Meßpunkte. Statistische Fehler kommen dadurch zustande, daß entweder die zu messende Größe statistischen Fluktuationen unterliegt (z.b. radioaktiver Zerfall), oder im Meßprozeß zufällige Schwankungen auftreten können. Quantitative Größe von Fehlern Soll in einem Experiment eine Größe x gemessen werden, so ist es aufgrund von Meßfehlern (statistische und systematische) unwahrscheinlich, genau den tatsächlichen Wert in der Messung zu erhalten. Um dennoch eine Aussage machen zu können, wird daher ein Intervall um den Meßwert herum (Fehlerbereich) angegeben, in dem der tatsächliche Wert unter Berücksichtigung der Meßfehler mit einer bestimmten Sicherheit liegt. In der Regel wird dabei als Sicherheit 68 % gewählt: Bei Zugrundelegen einer Gaussverteilung für die Meßwerte (was in der Regel gerechtfertigt ist) entspricht dies genau einem Intervall von ± σ (eine Standardabweichung) um den gemessenen Wert (vgl. Abbildung). Der so definierte Fehler wird als σ Fehler bezeichnet und enthält den tatsächlichen Wert per Konstruktion in nur 68 % aller Fälle, d.h. bei etwa einem Drittel aller Meßpunkte sollte die erwartete Theoriekurve außerhalb des Fehlerbereichs um den Meßwert liegen. Bei Zählratenexperimenten, bei denen Ereignisse gemessen wurden, ergibt sich das σ Intervall zu ± (für > 5). Gibt man als Fehlerbereich ± σ an so liegt der tatsächliche Wert mit etwa 95 prozentiger Sicherheit darin, bei 3σ sind dies sogar 99.7 %. Fortpflanzung von Fehlern In einem typischen Experiment (Messung) hängt die zu bestimmenden Größe nur selten von nur einer Meßgröße ab. Gehen mehrere Meßgrößen mit verschiedenem funktionalen Zusammenhang in das Endergebnis ein, so muß der Meßfehler der Einzelgrößen korrekt auf das Endergebnis 'mitgezogen' werden. Diese Prozedur wird als Fehlerfortpflanzung bezeichnet. In einem Experiment soll eine Größe u bestimmt werden, indem die (nichtkorrelierten) Größen x, y und z mit den Fehlern x, y und z gemessen werden, und sich u dann daraus ergibt u = u(x,y,z). Der resultierende Fehler von u ergibt sich dann zu :
0-9 u = u x + u y u z ( x) ( y) ( z + ) Die partiellen Ableitungen berücksichtigen dabei den funktionalen Zusammenhang, mit dem die einzelnen Meßgrößen in das Endergebnis eingehen. Eine Herleitung dieser Formel befindet sich in W.R. Leo : Techniques for uclear and Particle Physics Experiments, Kapitel 4. Beispiel: In einem Fallversuch soll die Erdbeschleunigung g aus der Zeit t bestimmt werden, die zum Durchfallen der Höhe h nötig ist. Die Fehler der Zeit- und Längenmessung seien t und h. Dann gilt : h g = t und 4h g = ( h) + ( t) 3 t t Anhang : kumulative Binomialverteilung 00 k = 00! k! (00 k)! 6 k 5 6 00 k.000000 6.87778E-0.000000 7 6.0886E-03 3.000000 8 3.04658E-03 4 0.9999909 9.48853E-03 5 0.99995 30 6.766377E-04 6 0.999643 3.957896E-04 7 0.998703 3.380608E-04 8 0.99690 33 4.96384E-05 9 0.9904769 34.90768E-05 0 0.978769 35 7.055E-06 0.957335 36.489078E-06 0.9903 37 8.4594E-07 3 0.870338 38.736708E-07 4 0.800009 39 8.547436E-08 5 0.7587 40.5636480E-08 6 0.6349 4 7.38663E-09 7 0.5058483 4.044634E-09 8 0.400598 43 5.4390559E-0 9 0.3035336 44.3905974E-0 0 0.9757 45 3.467450E- 0.58885 46 8.06337E- 0.00839 47.885454E- 3 6.305395E-0 48 3.840709E-3 4 3.786494E-0 49 6.737597E-4 5.70380E-0 50 0.0000000E+00