Quasi-Monte-Carlo-Verfahren zur Bewertung von Finanzderivaten

Quasi-Monte-Carlo-Verfahren zur Bewertung von Finanzderivaten Bachelorarbeit eingereicht bei Prof. Dr. Thomas Gerstner Fachbereich Informatik und Mathematik Institut für Mathematik Goethe Universität Frankfurt am Main von: Benny Xiang Li An den Hohlgärten. 23 61138 Niederdorfelden Matrikelnummer: 3516274 Studienrichtung: Mathematik Niederdorfelden, 14. Juni 2011

Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Danksagung Ehrenwörtliche Erklärung III V V 1 Einleitung 1 1.1 Aufbau der Arbeit............................. 3 2 Grundlagen 5 2.1 Marktannahmen............................... 5 2.2 Optionstypen................................ 5 2.2.1 Pfadunabhängige Optionen.................... 6 2.2.2 Pfadabhängige Optionen...................... 6 2.3 Options-Bewertungsmethodik....................... 8 2.3.1 Risikoneutraler Ansatz....................... 8 2.3.2 Black-Scholes-Ansatz........................ 9 2.4 Stochastik und ihre numerische Behandlung............... 10 3 Quasi-Monte-Carlo-Verfahren 15 3.1 Niederdiskrepanz-Folgen.......................... 16 3.1.1 Halton-Folge............................. 16 3.1.2 Faure-Folge............................. 17 3.1.3 Sobol-Folge............................. 19 3.2 Theoretische Eigenschaft.......................... 21 3.2.1 Diskrepanz............................. 22 3.2.2 Fehlerschranken........................... 29 3.3 Praktische Eigenschaft........................... 37 I

II INHALTSVERZEICHNIS 3.3.1 Integral-Approximation....................... 37 3.3.2 Vergleich Konvergenzverhalten................... 38 3.4 Randomisierte Quasi-Monte-Carlo-Verfahren............... 40 3.4.1 Randomisierungsansatz von Tuffin................. 40 3.4.2 Erwartungswert und Varianz.................... 40 3.4.3 Fehler des Schätzers........................ 41 4 Numerische Ergebnisse 43 4.1 Implementierung.............................. 43 4.2 Bewertung von Optionen.......................... 44 4.2.1 Europäische Optionen....................... 45 4.2.2 Asiatische Optionen diskret geometrisch............. 48 4.2.3 Asiatische Optionen kontinuierlich geometrisch.......... 52 5 Zusammenfassung und Ausblick 57 A Anhang: Programmcodes 59 A.1 Niederdiskrepanz-Folgen-Generatoren................... 59 A.2 Black-Scholes-Formel............................ 62 A.3 Integral Approximation........................... 63 A.4 Europäische Optionen........................... 67 A.5 Asiatische Optionen diskret geometrisch................. 71 A.6 Asiatische Optionen kontinuierlich geometrisch.............. 75 Literaturverzeichnis 79

Abbildungsverzeichnis 3.1 Halton-2d.................................. 16 3.2 Halton-100d................................. 17 3.3 Faure-2d................................... 18 3.4 Faure-100d.................................. 19 3.5 Sobol-2d................................... 20 3.6 Sobol-100d.................................. 21 3.7 Integral Konvergenzverhalten....................... 38 3.8 Integral Lineare Regressionsanalyse.................... 39 4.1 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten........ 45 4.2 Euro-Call Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressionsanalyse..... 46 4.3 Euro-Call Itô-Ansatz Konvergenzverhalten................ 47 4.4 Euro-Call Itô-Ansatz Lineare Regressionsanalyse............. 47 4.5 Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten.... 49 4.6 Asia-Call diskret Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressionsanalyse. 49 4.7 Asia-Call diskret Itô-Ansatz Konvergenzverhalten............ 50 4.8 Asia-Call diskret Itô-Ansatz Lineare Regressionsanalyse......... 51 4.9 Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz Konvergenzverhalten. 52 4.10 Asia-Call kontinuierlich Euler-Maruyama-Ansatz Lineare Regressionsanalyse.................................... 53 4.11 Asia-Call kontinuierlich Itô-Ansatz Konvergenzverhalten........ 54 4.12 Asia-Call kontinuierlich Itô-Ansatz Lineare Regressionsanalyse..... 54 III

Danksagung Sehr bedanken möchte ich mich an dieser Stelle bei Prof. Dr. Thomas Gerstner, der mich beispielhaft betreute und mir auf der Suche nach Lösungswegen immer Rede und Antwort stand. Auch möchte ich mich bei Stefan Heinz bedanken, der bezüglich dieses Themas ein ausgezeichneter Diskussionspartner war und ebenso wie Matthias Gärtner beim Korrekturlesen eine große Hilfe darstellte. Ehrenwörtliche Erklärung Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliege Arbeit selbständig abgefaßt und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen benutzt habe. Ich erkläre ferner, dass diejenigen Stellen der Arbeit, die anderen Werken wörtlich oder dem Sinn nach entnommen sind, in jedem einzelnen Fall unter Angabe der Quellen kenntlich gemacht sind. Niederdorfelden, 14. Juni 2011

Kapitel 1 Einleitung Finanzderivate haben sich seit der Entwicklung des arbitragefreien Bewertungsmodells, und im Jahre 1973 durch Fischer Black und Myron Scholes sowie unabhängig davon Robert Merton zu einem wichtigen Bestandteil der modernen Finanzmärkte entwickelt. Bereits im Jahre 1630 wurden in den Niederlanden Optionen auf Tulpen ausgegeben, mit denen sich die Tulpenhändler gegen schwanke Preise absichern wollten. Allerdings eröffnete erst im Jahre 1973 der erste amtlich geregelte Derivatehandel Board Option Exchange in Chicago, 1990 entstand in Frankfurt die Deutsche Terminbörse. Im Wesentlichen gibt es drei Klassen von Finanzderivaten Optionen: Eine Option ist ein Vertrag, der dem Halter das Recht, aber nicht die Pflicht gibt, eine bestimmte Transaktion am oder bis zum Verfallstag zu einem bestimmten Preis, dem Ausübungspreis, zu tätigen. Forwards und Futures: Ein Forward ist ein Vertrag, eine Vereinbarung zwischen zwei Institutionen oder Personen, einen Basiswert untereinander am Verfallstag zu einem bestimmten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Der Unterschied zur Option ist, dass der Basiswert bei einem Forward geliefert und bezahlt werden muss. Ein Future ist im Wesentlichen ein standardisierter Forward, mit dem gehandelt werden kann. Der Unterschied zum Forward ist, dass der Future-Wert täglich berechnet und von den Vertragsparteien ausgeglichen wird. Swaps: Ein Swap ist ein Vertrag, zu festgelegten Zeitpunkten gewisse finanzielle Transaktionen zu tätigen, die durch eine vorgegebene Formel bestimmt werden. Beispiele sind Zinsswaps, die Vereinbarungen zwischen zwei Parteien darstellen, 1

2 KAPITEL 1. EINLEITUNG Zinszahlungen für einen bestimmten Betrag innerhalb eines bestimmten Zeitraumes zu leisten. Bisher gibt es nur für wenige Derivatetypen analytische Lösungen oder Approximations- Formeln, aus diesem Grund muss auf numerische Verfahren zur Approximation des Preises zurückgegriffen werden. An solche Approximationsverfahren ergeben sich aus der Praxis folge Anforderungen 1. Konvergenz: Der Berechnungsaufwand sollte möglichst gering sein und bei einem Einsatz relativ genaue Ergebnisse innerhalb kurzer Zeit liefern. 2. Approximationsfehler: Eine Abschätzung des Approximationsfehlers ist wichtig, damit das Risiko der Verwung des Approximationswerts in weiteren Berechnungen quantifiziert werden kann. 3. Flexibilität: In der Praxis werden ständig neue Derivatetypen entwickelt. Ein flexibles Bewertungsverfahren reduziert den Aufwand und ermöglicht schneller auf Änderungen zu reagieren. Zur Approximation der Preise von Finanzderivaten existieren verschiedene Ansätze, z.b. gitterbasierte Verfahren die Binomialbaum-Methode, Finitedifferenzen-Verfahren usw. In der vorliegen Arbeit beschäftige ich mich mit einem simulationsbasierten Verfahren, das Monte-Carlo- bzw Quasi-Monte-Carlo-Verfahren. Der Grund für die Wahl von simulationsbasierten Verfahren ist deren Flexibilität bezüglich immer komplexer werder Finanzinstrumente, und deren einfache Implementierung. Ein Problem des Monte-Carlo-Verfahrens ist die geringe Konvergenzgeschwindigkeit von O(1/ N). Mit Varianzreduktionsmaßnahmen wird die Konvergenzgeschwindigkeit des Monte-Carlo-Verfahrens um einen konstanten Faktor verbessert. Zwei gute Methoden sind Antithetic Variates und Control Variates, auf die ich in dieser Arbeit nicht eingehen werde. Für diese Methoden verweise ich den Leser auf P. Glassermann Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Erweiterung zum Monte-Carlo-Verfahren ist die Quasi-Monte-Carlo-Verfahren. Das Quasi- Monte-Carlo Verfahren arbeitet nach dem Schema des Monte-Carlo Verfahrens, verwet dabei aber deterministische Niederdiskrepanz-Folgen anstelle von Pseudo-Zufallsfolgen zur Simulation der Basiswerte. Durch die gleichmäßigere Verteilung der Folgenglieder im Wertebereich erreicht das Quasi-Monte-Carlo Verfahren ein asymptotisch besseres Konvergenzverhalten als das Monte-Carlo-Verfahren, die in dieser Arbeit genauer betrachtet wird.

1.1. AUFBAU DER ARBEIT 3 1.1 Aufbau der Arbeit Die vorliege Arbeit folgt in ihrem Aufbau den bereits dargestellten Punkten Im Kapitel 2 werden die allgemeinen Grundlagen und Prinzipien, wie Marktannahmen, Optionstypen und die arbitragefreie Options Bewertungsmethodik des verbreiteten Black-Scholes-Modells vorgestellt. Das Black-Scholes-Modell ist für deterministische Portfolios eine modellspezifische stochastische Differentialgleichung und ihre Lösung ist ein stochastisches Optimierungsproblem. Zur lösung des stochastischen Optimierungsproblems wird die Stochastik und ihre numerische Behandlung zum Schluss des Kapitels eingeführt. Kapitel 3 beschäftigt sich ausschließlich mit dem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren. In einem ersten Schritt werden die Niederdiskrepanz-Folgen vorgestellt, darauf aufbau werden die theoretische Grundlagen und die Eigenschaften des Quasi- Monte-Carlo-Verfahrens diskutiert. Zum Abschluss des Kapitels werden das Quasi- Monte-Carlo-Verfahren für die Approximation des Werts eines Integrals als praktische Anwung vorgestellt, und die Ergebnisse mit dem klassischen Monte- Carlo-Verfahren hinsichtlich Fehler und Konvergenzverhalten verglichen. In Kapitel 4 werden die numerischen Ergebnisse vorgestellt. In einem ersten Schritt werden die Implementierung des Quasi-Monte-Carlo-Verfahrens vorgestellt, daraufhin werden mit dem Verfahren Pfadunabhängige und Pfadabhängige Optionen bewertet und Fehler und Konvergenzverhalten des Verfahrens diskutiert. Die Arbeit schließt in Kapitel 5 mit einer Zusammenfassung der dargestellten Verfahren und einem Ausblick auf mögliche Erweiterungen.

Kapitel 2 Grundlagen In diesem Kapitel werden die allgemeinen Grundlagen und Prinzipien eingeführt, die später in dieser Arbeit von Bedeutung sind. 2.1 Marktannahmen Auf dem Markt gibt es keine Reibungsverluste, Transaktionskosten, Steuern usw. Auf dem Markt gibt es keine Arbitrage 1 -Möglichkeiten. Marktteilnehmer bevorzugen bei gleichen Kosten und Risiken immer die Strategie mit dem größten Gewinn. Marktteilnehmer können beliebige Stückzahlen von Finanzinstrumenten kaufen und verkaufen, der Preis des Instruments wird dadurch nicht beeinflusst. Der Preis eines Instruments ist unabhängig von der Bonität der Handelspartner. Aktien sind in beliebigen Mengen handelbar, kontinuierliches Handeln ist möglich. Der Optionshandel ist zu jedem Zeitpunkt t [0, T ] möglich. 2.2 Optionstypen Im wesentlichen gibt es zwei Klassen von Optionstypen, Pfadunabhängige Optionen und Pfadabhängige Optionen. 1 Arbitrage: Ein Handelsgeschäft bei dem Preisdifferenzen für ertrags- und risikoidentische Anlagen ausgenutzt werden, um einen risikolosen Gewinn ohne Kapitaleinsatz zu erwirtschaften. 5

6 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 2.2.1 Pfadunabhängige Optionen Definition 2.1 (Europäische Optionen) Eine Europäische Option ist ein Vertrag, der einen Basiswert S T am Verfallstag T zum Ausübungspreis K getätigt werden kann. Die Auszahlungsfunktion eines Europäischen Calls zum Zeitpunkt T lautet C T = (S T K) +. Die Auszahlungsfunktion eines Europäischen Puts zum Zeitpunkt T lautet P T = (K S T ) +. Definition 2.2 (Binäre Optionen) Eine Binäre Option ist ein Vertrag, der wertlos wird, wenn der Kurs des Basiswerts S T zum Verfallstag T eine festgelegte Schranke K über- oder unterschreitet. Im Gegensatz zur Europäischen Optionen ist die Höhe des Auszahlungsbetrags B unabhängig vom Kurs des Basiswerts. Die Auszahlungsfunktion eines Binären Calls zum Zeitpunkt T lautet B falls S T > K C T = 0 sonst. Die Auszahlungsfunktion eines binären Puts zum Zeitpunkt T lautet B falls S T < K P T = 0 sonst. Definition 2.3 (Chooser Optionen) Eine Chooser Option ist ein Vertrag, der den Käufer zum Verfallstag T wählt lässt, ob er einen Europäischen Call C T oder einen Europäischen Put P T erhalten möchte. Die Auszahlungsfunktion einer Choose Option zum Zeitpunkt T lautet V T = max{c T, P T }. 2.2.2 Pfadabhängige Optionen Definition 2.4 (Asiatische Optionen mit diskretem geometrischen Mittel) Eine Asiatische Option ist ein Vertrag, dessen Wert von dem Durchschnitts-Kurs des Basiswerts abhängt. Die Auszahlungsfunktion eines Asiatischen Calls für M Mittelungszeit-

2.2. OPTIONSTYPEN 7 punkte mit diskretem geometrischen Mittel zum Zeitpunkt T lautet ( M ) 1 M C T = S ti i=1 K Die Auszahlungsfunktion eines Asiatischen Puts für M Mittelungszeitpunkte mit diskretem geometrischen Mittel zum Zeitpunkt T lautet P T = K ( M i=1 S ti ) 1 M + +.. Definition 2.5 (Asiatische Optionen mit kontinuierlichem geometrischen Mittel) Eine Asiatische Option ist ein Vertrag, dessen Wert von dem Durchschnitts Kurs des Basiswerts abhängt. Wenn die Zahl der Mittelungszeitpunkte sehr groß wird, können stattdessen auch entspreche kontinuierliche Mittel betrachtet werden. Die Auszahlungsfunktion eines Asiatischen Calls für das kontinuierliche geometrische Mittel zum Zeitpunkt T lautet C T = ( ( 1 exp T T 0 ) + ln(s τ ) dτ K). Die Auszahlungsfunktion eines Asiatischen Puts für das kontinuierliche geometrische Mittel zum Zeitpunkt T lautet P T = ( ( 1 K exp T T 0 ln(s τ ) dτ)) +. Definition 2.6 (Amerikanische Optionen) Eine Amerikanische Option ist ein Vertrag, der für einen Zeitraum 0 t T gilt einen Basiswert S t bis spätestens zum Verfallstag T zum Ausübungspreis K getätigt werden kann. Die Auszahlungsfunktion eines Amerikanischen Calls zum Zeitpunkt t lautet C t = max 0 t T (S t K) +. Die Auszahlungsfunktion eines Amerikanischen Puts zum Zeitpunkt t lautet P t = max 0 t T (K S t) +.

8 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 2.3 Options-Bewertungsmethodik 2.3.1 Risikoneutraler Ansatz Den Risikoneutralen Ansatz haben Cox, Ross und Rubinstein entwickelt. Sie beobachten den Optionspreis nicht direkt von den Risikopräferenzen der einzelnen Marktteilnehmer, sondern von einem Modell, der von Aktie und risikolosen Bonds abhängt. Definition 2.7 (Äquivalentes Martingalmaß) Das äquivalente Martingalmaß P zu der Wahrscheinlichkeitsverteilung P von S t ist dasjenige Wahrscheinlichkeitsmaß unter dem der diskontierte Prozess e rt S t ein Martingal ist e r t E [S t+ t ] = S t für alle t, t > 0, wobei E den Erwartungswert und r die risikolose Zinsrate. Das heißt der künftige Gewinn der Aktie ist der risikoneutrale Zins. Satz 2.1 (Martingal-Ansatz für Europäische Optionen) Der faire Wert einer Option ohne vorzeitiges Ausübungsrecht ist der diskontierte Erwartungswert der Auszahlung unter dem äquivalenten Martingalmaß gegeben durch V (S 0 ) = e rt E [V (S T )], wobei V (S T ) den Wert der Option zum Verfallstag T bezeichnet. Beweis: Siehe Harrison, Pliska Selbstfinanzierung, Girsanov-Theorem. Satz 2.2 (Martingal-Ansatz für Amerikanische Optionen) Der faire Wert einer Option mit vorzeitigem Ausübungsrecht ist ein optimale-stoppzeit-problem der diskontierte Erwartungswert der Auszahlung unter dem äquivalenten Martingalmaß gegeben durch V (S 0 ) = max 0 t T e rt E [V (S t )], wobei V (S t ) den Wert der Option zum Zeitpunkt t [0, T ] bezeichnet. Beweis: Siehe Harrison, Pliska Selbstfinanzierung, Girsanov-Theorem.

2.3. OPTIONS-BEWERTUNGSMETHODIK 9 2.3.2 Black-Scholes-Ansatz Mit Hilfe der Black-Scholes-Formel lassen sich einige Optionspreise berechnen, wie von Europäischen Optionen, Binären Optionen, Asiatischen Optionen mit diskretem geometrischen Mittel, Asiatischen Optionen mit kontinuierlichem geometrischen Mittel usw. Satz 2.3 (Black-Scholes-Formel für Europäische Call) C 0 = S 0 Φ(d 1 ) Ke rt Φ(d 2 ) wobei Φ(x) = 1 2π x e s2 /2 ds, x R, d 1 = ln(s 0/K) + (r + σ 2 /2)T σ T d 2 = d 1 σ T. Satz 2.4 (Black-Scholes-Formel Asiatische Call diskret geometrisch) V S,0 = S 0 AΦ (d + σ ) T 1 Ke rt Φ(d), wobei Φ(x) = 1 2π x e s2 /2 ds, x R, ( ) A = exp r(t T 2 ) σ2 (T 2 T 1 ), 2 d = ln(s 0/K) + (r σ 2 /2)T 2 σ, T 1 M(M 1)(4M + 1) T 1 = T t, 6M 2 (M 1) T 2 = T t. 2 Satz 2.5 (Black-Scholes-Formel Asiatische Call kontinuierlich geometrisch) ( V S,0 = S 0 e 1 2 (r+σ2/6)t Φ d + σ ) T/3 Ke rt Φ(d)

10 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN wobei Φ(x) = 1 2π x e s2 /2 ds, x R, d = ln(s 0/K) + 1 2 (r σ2 /2)T σ T/3. Definition 2.8 (Black-Scholes-Modell) Black und Scholes modellieren die Kursentwicklung S t einer Aktie durch eine stochastische Differentialgleichung ds t = µdt + σdw t wobei S t : Kurs der Aktie S zum Zeitpunkt t µ : Drift dt : Zeitdifferential σ : Volatilität dw t : Standard-Wiener-Prozess. 2.4 Stochastik und ihre numerische Behandlung Um die Black-Scholes stochastische Differentialgleichung zu lösen, wird die Stochastik und ihre numerische Behandlung benötigt. Definition 2.9 (Stochastischer Prozess) Sei (Ω, Σ, P ) ein Wahscheilichkeitsraum, mit Ereignismenge Ω, Ereignisalgebra Σ und Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Σ. Sei (Z, Z) ein weiterer mit einer Sigma-Algebra versehner Raum und T eine Indexmenge. Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen X t : Ω Z für alle t T, wobei die Abbildung X t Z-messbar sein muss. Definition 2.10 (Wiener-Prozess) Ein Wiener-Prozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte unabhängige Zuwächse hat und die folgen Eigenschaften W 0 = 0 fast sicher

2.4. STOCHASTIK UND IHRE NUMERISCHE BEHANDLUNG 11 W t ist stetig fast sicher W t W s t s Φ(0, 1) = Φ(0, t s) wobei Φ(0, 1) eine normalverteilte Zufallszahl mit Mittelwert 0 und Varianz 1 ist. Definition 2.11 (Euler-Maruyama-Verfahren) Sei (W t ) t 0 ein Wiener-Prozess und a, b : R [0, T ] R zwei Funktionen mit folgem stochastischem Anfangswertproblem ds t = a(t, S t )dt + b(t, S t )dw t, S t0 = A. Diese wird als Integralgleichung S t = S t0 + t t a(u, S u ) du + b(u, S u ) dw u, t t t0, t 0 t 0 interpretiert, wobei das zweite Integral ein Ito-Integral ist. Die stochastische Differentialgleichung wird diskretisiert, Ŝ ti+1 = Ŝt i + a(t i, Ŝt i )h + b(t i, Ŝt i ) W i, i=0,...,n 1, wobei h = T/N die Schrittweite zu N N auf dem Gitter t i = i h, i=0,...,n 1, ist und W i+1 = W ti+1 W ti, i=0,...,n 1. Das wichtigste theoretische Resultat der Näherung Ŝt, bezüglich des exakten Wertes S t des Euler-Maruyama-Verfahrens, wird durch die Konvergenz des Verfahrens erfasst. Definition 2.12 (Starke und schwache Konvergenz) Ein numerisches Verfahren zur Lösung einer stochastischen Differentialgleichung konvergiert stark mit der Ordnung α > 0, falls für alle p N ] 1 max E [ Ŝtn S tn p p n K 1 h α gilt mit einer von der Schrittweite h unabhängigen Konstante K 1 > 0. Das Verfahren konvergiert schwach mit der Ordnung β > 0, falls für alle Polynome P max n E[P (Ŝt n )] E[P (S tn )] K 2 h β gilt mit einer von der Schrittweite h unabhängigen Konstanten K 2 > 0.

12 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Satz 2.6 (Konvergenz des Euler-Maruyama-Verfahrens) Gilt für die Funktionen a(t, S) und b(t, S) mit Konstanten K 1, K 2, K 3, K 4 > 0 1. a(t, x) + a(t, y) + b(t, x) + b(t, y) K 1 x y, 2. a(t, x) + b(t, x) K 2 (1 + x ), 3. a(s, x) a(t, x) + b(s, x) b(t, x) K 3 (1 + x ) s t 1/2, 4. a, b C (2+ɛ) für ein ɛ > 0 (mehr als 2-mal differenzierbar), dann existiert eine eindeutige Lösung der stochastischen Differentialgleichung und das Euler-Maruyama-Verfahren konvergiert stark mit der Ordnung 1/2 und schwach mit der Ordnung 1. Beweis: Siehe P. Kloeden Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Satz 2.7 (Itô-Lemma) Sei S t ein Itô-Prozess, a und b zwei Funktionen mit ds t = a(t, S t )dt + b(t, S t )dw t und V (t, S t ) eine Funktion mit stetigen Ableitungen V, V t S t ein Itô-Prozess mit dv t = ( V t + a(t, S t) V S t + 1 2 (b(t, S t)) 2 2 V S 2 t und 2 V. Dann ist V (t, S St 2 t ) ) dt + b(t, S t ) V S t dw t Beweis: Taylor-Entwicklung von V (t, S t ) in t und S t ersetzen ds t = adt + bdw t und erhalten dv = V V dt + ds t + 1 2 V ds 2 t S t 2 St 2 t +.... dv = V V dt + (adt + bdw t ) + 1 2 V (a 2 dt 2 + 2abdtdW t S t 2 St 2 t + b 2 dwt 2 ) +.... Für dt 0 können dt 2 und dtdw t vernachlässigt werden und dwt 2 strebt nach dt, denn dwt 2 E[dWt 2 ] = dt. Nach Zusammenfassen der übrigen Terme, ist das Lemma bewiesen.

2.4. STOCHASTIK UND IHRE NUMERISCHE BEHANDLUNG 13 Bemerkung: Im Black-Scholes-Modell ist a(s, t) = µs t und b(s, t) = σs t. Satz 2.8 (Itô-Formel) Die Lösung der Black-Scholes-SDE ist gegeben durch S t = S 0 e (µ 1 2 σ2 )t+σw t. Diskretisierung Ŝ ti+1 = Ŝt i e (µ 1 2 σ2 )h+σ h W i, wobei h = T/N die Schrittweite zu N N auf dem Gitter t i = i h, i=0,...,n 1, ist und W i+1 = W ti+1 W ti, i=0,...,n 1. ( S Beweis: Setze V (t, S t ) = ln t S 0 ), dann ist d ln ( St S 0 ) = 0 + = (S t µ 1St + 12 ( S2t σ 2 1 ) ) dt + S St 2 t σ 1St dw t ) (µ σ2 dt + σdw t. 2 Daraus folgt ln ( St S 0 ) = ) (µ σ2 t + σw t 2 S t = S 0 e (µ 1 2 σ2 )t+σw t, wegen lim t 0 S t = S 0 folgt die Behauptung. Bemerkung: Der logarithmische Zuwachs ln ( µ σ2 2 ( ) S t S 0 ) t und Varianz σ 2 t, und somit ist S t lognormalverteilt. Es gilt E[e σwt ] = e σ2 t 2, folglich ist der Erwartungswert von S t E[S t ] = S 0 e µt ist normalverteilt mit Mittelwert und die Varianz von S t V ar[s t ] = E[S 2 t ] (E[S t ]) 2

14 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN = S 2 0 e (2µ+σ2 )t (S 0 e µt ) 2 = S 0 e 2µt (e σ2t 1).

Kapitel 3 Quasi-Monte-Carlo-Verfahren Das Monte-Carlo-Verfahren kann für Approximation des Wertes eines Integrals verwet werden. Sei Ω ein zusammenhänges Gebiet aus R d. Die Mote-Carlo-Approximation ist definiert als I(f) = Ω f(u) du V ol(ω) 1 N N f(x i ), also erfolgt zunächst die Auswertung der zu integrieren Funktion f an zufällig gewählten Stellen x i für i=1,...,n im Integrationsbereich, und das arithmetische Mittel der Funktionswerte f(x i ) approximiert den Wert des Integrals. Nach dem Gesetz der großen Zahlen konvergiert das arithmetische Mittel der Funktionswerte mit zunehmer Anzahl von Auswertungen gegen den wahren Wert des Integrals. Das Monte-Carlo- Verfahren benutzt bei der Approximation die Pseudo-Zufallsfolgen. Das Wesentliche ist die Zufälligkeit des Integrationsbereichs. Ein Nachteil ist das langsames Konvergenzverhalten. Um dieses Verhalten zu verbessern, bietet sich das Quasi-Monte-Carlo- Verfahren an. Das Quasi-Monte-Carlo-Verfahren verwen statt Pseudo-Zufallsfolgen Niederdiskrepanz-Folgen zur Bestimmung der Auswertungsstellen. Die Glieder dieser Folgen sollen den Integrationsbereich gleichmäßiger ausfüllen und dadurch eine schnellere Konvergenz des Verfahrens erzielen. 15 i=1

16 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN 3.1 Niederdiskrepanz-Folgen 3.1.1 Halton-Folge Die Halton-Folge ist eine der am leichtesten zu berechnen Niederdiskrepanz-Folgen. Zur Berechnung des j-ten Elements des i-ten Glieds x (j) i wird die Zahl i in einer Basis p j dargestellt mit i = n k p k j. k=0 Die benutzten Basen sind die ersten d Primzahlen (d ist Dimension der x i für i=1,...,n). Aus der Entwicklung von i bezüglich p j erhält man x (j) i durch die radikal-inverse Transformation x (j) i = n k p k 1 j. k=0 Abbildung 3.1 Halton-2d 1 Halton Folge (N = 1000) 1 Halton Folge (N = 10000) 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 p2 = 3 0.5 p2 = 3 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p1 = 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p1 = 2 In Abbildung 3.1 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten 10000-Punkte aus der 1. und 2. Komponente einer 2-dimensionalen Halton-Folge. Die Halton-Folge verwet für jede Dimension unterschiedliche Basen, da andernfalls einzelne Komponenten in jedem Glied gleich wären und bestimmte Teile des Integrationsbereichs nicht abgedecken würden. Die kleinsten möglichen Basen werden benutzt, um ein sehr uniformes Verhalten auch bei wenigen Folgengliedern zu erreichen, je grösser die beteiligten Basen sind, desto mehr Folgenglieder werden benötigt, um dem Raum

3.1. NIEDERDISKREPANZ-FOLGEN 17 zu füllen. Benutzt man die Basen p 1 < p 2 <... < p N, dann werden p 1 p 2 p N Folgenglieder benötigt, um den Raum in den Dimensionen zu füllen, sodass kein größerer Bereich leer bleibt. Für d = 10 werden Beispielsweise (2 3 5 7 11 13 17 19 23 29) = 6469693230 Folgen benötigt. Mit steiger Dimension, wächst die Basen stark auf, so tritt eine gleichmässige Verteilung erst für eine sehr grosse Anzahl von Folgen auf. In Abbildung 3.2 wird das Verhalten illustriert. Abbildung 3.2 Halton-100d 1 Halton Folge (N = 1000) 1 Halton Folge (N = 10000) 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 p2 = 541 0.5 p2 = 541 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p1 = 523 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p1 = 523 In Abbildung 3.2 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten 10000-Punkte aus der 99. und 100. Komponente einer 100-dimensionalen Halton-Folge. Hier erkennt man, dass großen Bereiche leer bleiben. Um dieses Verhalten zu verbessern, wird die Faure-Folge vorgestellt. 3.1.2 Faure-Folge Die Faure-Folge beruht wie die Halton-Folge auf der Entwicklung der Folgennummer i in einer Basis p i = n k p k. k=0 Faure-Folgen verwen für alle Komponenten ein einheitliches p, die kleinste Primzahl mit p d. Die einzelnen Zahlen n k werden für jede Dimension j in Ziffern α (j) k wie folgt

18 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN geordnet α (j) k = [ m k ( ] m )n k (j 1) m k k mod p. Nach Umformung der Ziffern berechnen sich die Folgekomponenten x (j) i Halton-Folge durch Spiegelung der α (j) k am Dezimalpunkt wie bei der x (j) i = k=0 α (j) k p k 1. Abbildung 3.3 Faure-2d 1 Faure Folge (N = 1000) 1 Faure Folge (N = 10000) 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 p2 = 2 0.5 p2 = 2 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p1 = 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p1 = 2 In Abbildung 3.3 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten 10000 Punkte der 1. und 2. Komponente einer 2-dimensionalen Faure-Folge. Im Unterschied zu Halton-Folge füllt die Faure-Folge den d-dimensionalen Einheitswürfel in einheitlichen Zyklen der Länge p. Bei gleicher Dimension ist p deutlich kleiner als die größte Basis in der Halton-Folge. Diese wirkt sich auf die Uniformität in höheren Dimension aus. Das Verhalten wird in Abbildung 3.4 illustriert.

3.1. NIEDERDISKREPANZ-FOLGEN 19 Abbildung 3.4 Faure-100d 1 Faure Folge (N = 1000) 1 Faure Folge (N = 10000) 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 p100 = 101 0.5 p100 = 101 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p99 = 101 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p99 = 101 In Abbildung 3.4 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten 10000 Punkte aus der 99. und 100. Komponente einer 100-dimensionalen Faure-Folge. Hier erkennt man, dass für wenig Simulationen immer noch großen Bereiche leer bleiben. Um dieses Verhalten zu verbessern, wird die Sobol-Folge vorgestellt. 3.1.3 Sobol-Folge Die Sobol-Folge ist eine der am schwierigsten zu generieren Folgen. Zuerst generiert man für jede Komponente j ein primitives Polynom über F 2 der Form P j (x) = x d j + α (j) 1 x d j 1 + α (j) 2 x d j 2 +... + α (j) d j 1 x + 1. Die berechneten α (j) k verwet man anschliess zur Generierung von Mengen ungerader natürlicher Zahlen M (j) = {m (j) 1,..., m (j) log 2 N }. Hierbei ist 0 < m (j) i < 2 i und N bezeichnet die Anzahl der zu generieren Glieder. Für i d j wählt man zur Generierung die d kleinsten ungeraden ganzen Zahlen aus. Für d j > i erhält man m (j) i m (j) i aus den α (j) k durch die rekursive Formel = 2α (j) 1 m (j) i 1 22 α (j) 2 m (j) i 2 2d j 1 α (j) d j 1 m(j) i d+1 2d j m (j) i d j m (j) i d j.

20 KAPITEL 3. QUASI-MONTE-CARLO-VERFAHREN Der Operator bezeichnet das bitweise exklusive Oder (XOR). Beispielsweise ist 1001101 0101001 = 1100100. Durch Umwandlung der m j i in binäre Brüche erhält man sogenannte Direction-Numbers v j i v (j) i = m(j) i für i = 1, 2,..., log 2 i 2 N. Zur Generierung der einzelnen Folgenglieder x k geht man für jede Komponente x (j) k folgt vor x (j) k 1 = n i 2 i 1. i=0 Man bestimmt nun in einer Binärdarstellung von k 1 die Position l der am weitesten rechts liegen 0-Ziffer. Anschließ wird die zu l und j zugehörige Direction-Number binär dargestellt durch Die Ergebniskomponente x (j) k v (j) l = o k 2 k 1. k=0 wie erhält man durch XOR aus den Ziffern von x (j) k 1 und v(j) l x (j) k = (n i o i )2 i 1. i=0 Abbildung 3.5 Sobol-2d 1 Sobol Folge (N = 1000) 1 Sobol Folge (N = 10000) 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 p2 = 2 0.5 p2 = 2 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p1 = 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p1 = 2

3.2. THEORETISCHE EIGENSCHAFT 21 In Abbildung 3.5 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten 10000 Punkte aus der 1. und 2. Komponente einer 2-dimensionalen Sobol-Folge. Die Sobol-Folge verwet unabhängig von der Dimension die einheitliche Basis 2. Durch die geringere Länge des Zyklus sollten sich Probleme bei der gleichmäßigen Ausfüllung des Raumes nicht so stark bemerkbar machen wie bei den anderen Folgen. Abbildung 3.6 Sobol-100d 1 Sobol Folge (N = 1000) 1 Sobol Folge (N = 10000) 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 p100 = 2 0.5 p100 = 2 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p99 = 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p99 = 2 In Abbildung 3.6 zeigt die linke Grafik die ersten 1000 und die rechte Grafik die ersten 10000 Punkte aus der 99. und 100. Komponente einer 100-dimensionalen Sobol-Folge. Hier erkennt man, dass die Sobol-Folgen auch bei wenigen Simulationen eine gute gleichmäßige Auffüllung des Raumes aufweißt. 3.2 Theoretische Eigenschaft Die wesentliche Forderung an die verweten Folgen ist die gleichmäßige Verteilung der Folgenglieder. Definition 3.1 Sei X d = (x 1,..., x N ) eine liche Folge von Punkten, wobei jedes x i für i=1,...,n ein Punkt aus [0, 1] d ist. Die Quasi-Monte-Carlo-Approximation mit Integrationsbereich [0, 1] d ist definiert als [0,1] d f(u) du 1 N N f(x i ). i=1