Begriffe zur Gliederung von Termen Term Rechenart a heißt b heißt a + b (Summe) Addition 1. Summand 2. Summand a b (Differenz) Subtraktion Minuend Subtrahend a b ( Produkt) Multiplikation 1. Faktor 2. Faktor a : b (Quotient) Division Dividend Divisor Bei längeren Termen entscheidet der letzte Rechenschritt über die Art des Terms. Potenzen Beispiel: [( 25 17) : ( 107 65) ] 11 + ist ein Produkt, da zuletzt... 11 gerechnet wird. Das Produkt ist die Abkürzung für eine Summe mit lauter gleichen Summanden. Beispiel: 5 11 = 11+ 11+ 11+ 11+ 11 ( = 55) Die Potenz ist die Abkürzung für ein Produkt mit lauter gleichen Faktoren. Beispiel: 7 4 = 7 7 7 7 ( = 2401) Häufiger FEHLER: GW Mathematik 5. Klasse 5 2 2 5 = 10, denn 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32! Beispiel: Primfaktorenzerlegung 1650 = 2 3 5² 11 Rechengesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz a + b = b + a a b = b a ( a + b) + c = a + ( b + c) ( a b) c = a ( b c) ( a ± b) c = a c ± b c Distributivgesetz ( a ± b) : c = a : c ± b : c Summanden bzw. Faktoren dürfen vertauscht werden! Bei längeren Summen bzw. Produkten darf man selbst entscheiden, was man zuerst rechnen will! Man darf auf diese Weise ein Produkt bzw. einen Quotienten in eine Summe bzw. Differenz verwandeln Die Rechengesetze erleichtern vor allem das Kopfrechnen: Bsp. 1 (Assoziativgesetz) ( 137 + 343) + 863 = 137 + 863 + 343 = 1000 + 343 = ( ) 1343 Bsp. 2 (Distributivgesetz) 13 19 + 87 19 = ( 13+ 87) 19 = 100 19 = 1900 Bsp. 3 (Distributivgesetz) 77 9 = 77 10 1 = 77 10 77 1 = 770 77 = ( ) 693 Rechnen mit 0 und 1 a 0 = 0 a = 0 6435189 0 = 0 a 1 = 1 a = a 6528 1 = 6528 0 : a = 0 0 :99556748 = 0 a : 0 = VERBOTEN! 15645: 0 = VERBOTEN! a : 1 = a 123456789 :1 = 123456789
Die ganzen Zahlen Von zwei Zahlen ist diejenige größer, die auf der Zahlengeraden weiter rechts steht. Der Abstand einer ganzen Zahl a von der 0 heißt Betrag von a. Man schreibt a. Der Betrag ist immer größer oder gleich 0. Beispiele: 17 = 17 + 112 = 112 0 = 0 Rechenregeln für ganze Zahlen: Addition und Subtraktion I. Löse zuerst die Vorzeichen-Klammern auf: Falls zwei Zeichen nebeneinander stehen, so ersetze sie durch eines: sind sie gleichartig durch Plus, sind sie ungleichartig durch Minus. Beispiel: 1 + ( 2) ( 3) ( + 4) + ( + 5) = 1 2 + 3 4 + 5 Mit Zahlengerade: II. Die erste Zahl gibt dir den Startpunkt auf der Zahlengeraden an III. Das Rechenzeichen sagt dir, in welche Richtung du gehen musst Bei Plus: gehe nach rechts Bei Minus: gehe nach links IV. Die zweite Zahl gibt dir die Anzahl der Schritte auf der Zahlengeraden an 2 6 = 4 4 + 6 = 2 Subtraktion (von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen) ohne Zahlengerade: II. Ziehe (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen!) die kleinere von der größeren Zahl ab. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der größeren Zahl. Bsp: 2 6 = 4 ; 12 50 = 38; 5 + 7 = +2 Aber: 12 15 = 17; 1 29 = 30 hier wird wie bei der Addition gerechnet Rechenregeln für ganze Zahlen: Multiplikation und Division I. Multipliziere bzw. dividiere ohne Vorzeichen wie gewohnt II. Gleiche Vorzeichen: gib dem Ergebnis ein Plus + : + = + : = + Ungleiche Vorzeichen: gib dem Ergebnis ein Minus + : = : + = Bsp. ( + 12) : ( 4) = 3 ; ( 15) : ( + 5) = 3 ; ( 20 ): ( 4) = 5 Rechenregeln für die vier Grundrechenarten Was in der Klammer steht, wird zuerst gerechnet; Potenzen werden vor Punktrechenarten berechnet; Punktrechenarten werden vor Strichrechenarten durchgeführt; Gleichwertige Rechenarten werden von links nach rechts ausgeführt. Merke: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich 3 Beispiel: [ 2 45 2 ( 43 2 6) ]: ( 2 3 31)= [ 2 45 2 ( 43 12) ]: ( 8 3 31) = [ 2 45 2 31] : ( 24 31) = [ 90 62] : ( 7) = 28 : ( 7) = 4
Schreibweisen der Geometrie a = [AB] a = AB = 4cm g = PQ [PQ R g S g g h g h Die Strecke a mit den Endpunkten A und B Die Länge a der Strecke [AB] beträgt 4cm Die Gerade durch die Punkte P und Q Die Halbgerade (=Strahl) mit Endpunkt P durch Q Der Punkt R liegt auf der Geraden g Der Punkt S liegt nicht auf der Geraden g Die Gerade g ist senkrecht ( orthogonal, bildet ein Lot ) zu h Die Gerade g ist parallel zu h α, β, γ, δ Die Winkel alpha, beta, gamma, delta <) (g, h) Die Winkel zwischen den Halbgeraden (Schenkeln) g und h <) ASB Die Winkel mit dem Scheitelpunkt S und den Schenkeln [SA und [SB Ebene Figuren der Geometrie Quadrat Rechteck Raute Parallelogramm Der Umgang mit Geodreieck und Zirkel Das Zeichnen einer Senkrechten g zur Geraden h Vierecke, bei denen gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißen Parallelogramme. Quadrate, Rechtecke und Rauten sind besondere Parallelogramme. - Quadrate haben 4 gleich lange Seiten und 4 rechte Winkel - Rechtecke haben 4 rechte Winkel - Rauten haben 4 gleich lange Seiten Das Zeichnen einer Parallelen h zur Geraden g durch den Punkt P
Das Messen der Streckenlänge PQ Das Messen eines stumpfen Winkels Das Messen des Abstandes des Punktes P von der Geraden g Das Zeichnen eines 55 -Winkels Das Messen des Abstandes zweier paralleler Geraden h und g Das Spiegeln eines Punktes P an einer Spiegelachse a Das Messen eines spitzen Winkels Das Zeichnen eines Kreises mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r
Winkel Koordinatensystem Achsensymmetrie
Größen Eine Größe besteht immer aus einer (Maß-)Zahl und einer (Maß-)Einheit. Größe = Zahl Einheit Umrechnen von Größen Wird die Einheit kleiner, so wird die Zahl größer. (Komma nach rechts bzw. mit Umrechnungsfaktor multiplizieren). Wird die Einheit größer, so wird die Zahl kleiner. (Komma nach links bzw. mit Umrechnungsfaktor dividieren). Bsp. 12cm [in mm] = 12 10 mm = 120mm 12cm [in dm] = 12 : 10 mm = 1,2dm Längeneinheiten mm 10 cm 10 dm 10 m Umrechnungsfaktor (wichtige Einheiten): 10 µm 1000 mm 1000 m 1000 km Umrechnungsfaktor (sonst): 1000 (µm =Mikrometer) Zeiteinheiten s 60 min 60 h 24 d (Sekunde Minute Stunde Tag) Masseneinheiten Umrechnungsfaktor: 1000 g 1000 kg 1000 t (Gramm Kilogramm Tonne) Beispiele: 1km² = 1000m 1000m = 1 000 000m² 1ha = 100m 100m = 10000m² 1m² = 10dm 10dm = 100dm² oder 1m² = 100cm 100cm = 10000cm² 3h = 3 60min = 180min = 180 60s = 10800s 1,23t = 1 230kg = 1 230 000g Achtung: Nur bei Längen-, Massen- und Flächeneinheiten darf man die Einheiten mit Komma-Verschieben umrechnen (hier hat man als Umrechnungsfaktoren Zehnerzahlen). Bei Zeiteinheiten aber muss ausführlich multipliziert bzw. dividiert werden, da die Umrechnungsfaktoren keine Zehnerzahlen sind! Formeln Flächeninhalt Umfang Flächeninhalt Quadrat A = a a = a². Umfang Quadrat U = 4 a Flächeneinheiten Umrechnungsfaktor: 100 mm² 100 cm² 100 dm² 100 m² 100 a 100 ha 100 km² Flächeninhalt Rechtecks Umfang Rechtecks A = a b U = 2 (a+b) Oberflächeninhalt Quaders O = 2 (a b + b c + a c)