Ergänzungsübungen zur Physik für Nicht-Physikerinnen und Nicht-Physiker(SoSe 14) Prof. W. Meyer Übungsgruppenleiter: A. Berlin & J. Herick (NB 2/28) Ergänzung F Temperatur In der Wärmelehre lernen wir nun eine weitere SI-Basiseinheit kennen; das Kelvin. Die Temperatur ist eine Größe die jedem aus dem Alltag bekannt ist und mit der jeder etwas anfangen kann. Im Laufe der Zeit wurden zahlreiche Methoden entwickelt, um die Temperatur zu bestimmen; somit auch ein regelrechter Zoo von unterschiedlichen Temperatureinheiten. Die gängigsten Einheiten sind Celsius und Fahrenheit; letzteres hauptsächlich in den USA gebräuchlich. Diese Temperaturskalen sind jeweils über mindestens zwei Fixpunkte definiert, die gut reproduzierbar sein sollten. Bei der Celsius-Skala ist der untere Fixpunkt dort wo Wasser gefriert und bekommt den Wert 0. Der obere Fixpunkt befindet sich am Siedepunkt 1 von Wasser; dieser bekommt den Wert 100. Dazwischen teilt man den Bereich in 100 gleichgroße Abstände. Wasser ist leicht zu bekommen und eigentlich kann jeder solch eine Kalibrierung durchführen. Bei der Fahrenheit-Skala sieht das wie folgt aus: Der untere Fixpunkt (0 F) wird durch eine Wasser-Eis- Salmiak Mischung festgelegt (-17,8 ), ein mittlerer Fixpunkt liegt bei dem Gefrierpunkt von Wasser (32 F = 0 ) und der obere Fixpunkt bei 98,6 F entspricht der normalen Temperatur eines menschlichen Körpers (37 ). Mal davon abgesehen, dass nicht jeder Zugang zu einer Wasser-Eis-Salmiak Mischung hat, sieht man besonders am oberen Fixpunkt, dass dieser recht schwer zu reproduzieren sein könnte. Umrechnung zwischen Celsius und Fahrenheit: T[ F] = T[ ] 1,8 + 32 Nachdem um das Jahr 1700 erste Hinweise gefunden wurden, dass es eine untere Grenze der Temperatur geben könnte, entwickelte William Thomson (Lord Kelvin) eine Temperaturskala in der es einen absoluten Nullpunkt 2 gibt (0 K). Dieser Nullpunkt korrespondiert zu ein Temperatur von -273,15. Die Einteilung der Grade wurde jedoch aus dem Celsiussystem beibehalten; also eine Differenz von 1 K entspricht auch 1. Lediglich der Nullpunkt wurde verschoben. Wichtig zu merken ist, dass es keine negative Temperaturen in der Kelvin-Skala gibt. Auch sind prinzipiell alle Formeln so konstruiert, dass man immer die Temperatur in Kelvin eingeben muss. Umrechnung zwischen Celsius und Kelvin: T[ K] = T[ ] + 273,15 Die Temperatur ist eine Eigenschaft, die jeder Körper, Flüssigkeit oder Gas hat. Doch was ist Temperatur eigentlich genau? Die Atome/Moleküle in einem Festkörper, einer Flüssigkeit oder einem Gas stehen nicht still, sondern sind ständig in Bewegung. Während in Flüssigkeiten und Gase sich die Moleküle tatsächlich translatorisch fortbewegen, können Atome in Festkörpern Schwingungen ausführen. Jede dieser Bewegungen ist verbunden mit kinetischer Energie (Bewegungsenergie). 1 bei einem Normaldruck von 101325Pa 2 Nach dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik ist der absolute Nullpunkt eine ideale Messgröße, welche nicht erreichbar ist, jedoch können reale Temperaturen beliebig nahe dem absoluten Nullpunkt realisiert werden. 1
Abbildung 1: Vereinfachte Vorstellung der Zustände von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gase. Nun haben wir es nicht nur mit einem einzelnen Molekül oder Atom zu tun sondern mit einer ganzen Schar (Ensemble) dieser Teilchen. Jedes von ihnen besitzt eine gewisse Menge an kinetischer Energie, aber diese Energie ist nicht notwendigerweise bei allen Teilchen gleich groß. Es gibt in dem Ensemble energie-reichere (schnelle) und energie-ärmere (langsame) Teilchen. Man kann jedoch dem Teilchenhaufen eine mittlere kinetische Energie < E kin > zuweisen, indem man über alle Teilchen mittelt. Diese mittlere Größe lässt sich auch anders ausdrücken (hier ohne Herleitung): < E kin >= 1 2 m < v2 >= 3 2 k B T k B ist eine wichtige Naturkonstante, die Boltzmankonstante und T entspricht der Temperatur in Kelvin. Somit ist die mittlere kinetische Energie eines Systems ein Maß für die Temperatur. Gibt es viele schnelle Teilchen im System so ist seine Temperatur hoch; bei langsamen Teilchen ist die Temperatur kleiner. Wärmemenge Wir sehen, dass die Temperatur eines Systems mit einer Energie verbunden ist. Wenn wir also dem System Energie hinzufügen, sollte auch die Temperatur steigen. Dies wird durch folgende Gleichung ausgedrückt: Q 1 2 = c m T = c m (T 1 T 2 ) Q ist die Wärmemenge (in Joule) die vom System abgegeben (positiv) oder aufgenommen (negativ) wird, m die Masse des Körpers und T die Temperaturdifferenz (in Kelvin). Der Faktor c ist eine materialspezifische Konstante (spezifische Wärmekapazität) und muss gemessen werden. Beispiel: Um 1 g Wasser von 14,5 auf 15,5 zu erwärmen benötigt man somit Q = 4186,8 J /kg K 0,001 kg 1 K = 4,186 J = 1 cal Dieser Wert könnte einem aus einer früheren Übungsaufgabe bekannt vorkommen, denn darüber ist die Einheit Kalorie definiert. Hier sehen wir auch, dass Wärme nicht das Gleiche ist wie Temperatur; was oft verwechselt wird. Wärmeausdehnung Erwärmt man ein System so erhöht man dessen mittlere kinetische Energie. Für einen Festkörper bedeutet dies, dass die Atome stärkere Schwingungen ausführen und somit effektiv mehr Platz in Anspruch nehmen. Auf großen Skalen (makroskopisch) bemerken wir dies als Ausdehnung des Körpers, d.h. eine Vergrößerung seines Volumens. 2
L 0 L 0 T 1 T 2 T2-T 1= T L Abbildung 2: Lineare thermische Ausdehnung Betrachten wir zunächst nur eine Dimension, so können wir die Gleichung für die lineare thermische Ausdehnung hinschreiben: L = L 0 α T L ist die Längenänderung, L 0 die Ausgangslänge und α ist wieder eine Materialkonstante, der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient. Um direkt die neue Länge L zu erhalten kann man auch folgendes schreiben: L = L 0 + L = L 0 + L 0 α T = L 0 (1 + α T) Wichtig zu bemerken ist, dass die Längenänderung L von der Ausgangslänge L 0 abhängt. Da wir es hier mit einer Temperaturdifferenz zu tun haben, ist hier auch ein negativer Wert erlaubt. Wenn also ein Körper abkühlt ist T negativ und der Körper zieht sich zusammen. Ein Körper dehnt sich aber in alle Richtungen aus und man kann sofern der Körper sich gleichmäßig ausdehnt folgendes für die Volumenänderung angeben: V = V 0 (1 + γ T) mit γ = 3 α γ ist der thermische Volumenausdehnungkoeffizient. Für Flüssigkeiten und Gase, welche keine feste Form haben, kann man nur einen Volumenausdehnungkoeffizient angeben. 100 Mischtemperatur Bringt man zwei Körper mit unterschiedlichen Temperaturen zusammen, so gleichen sich ihre Temperaturen an. Es findet ein Energietransport vom wärmeren zum kälteren Körper statt und es endet dann in einem thermischen Gleichgewicht. Sind zwei Körper im thermischen Gleichgewicht so haben diese die gleiche Temperatur. Temperatur [ C] 23,5 20 0 Wasser Kupfer Zeit Abbildung 3: Temperaturangleich Beispiel: Legt man einen heißen Kupferblock in ein Wasserbad so gibt der Kupferblock Wärmeenergie ab und überträgt dies auf das Wasser. Es gibt 2 Wege um an dieses Problem heranzugehen. Entweder man überlegt sich, dass die Energieänderung des System gleich Null ist Q Cu + Q Wasser = 0 m Cu c Cu (T 100 T End ) + m W (T 20 T End ) = 0 3
Kupfer Wasser Kupfer + Wasser 100 C 20 C? 500g 1kg 386 J/K kg 4180 J/K kg T=373K T=293K Abbildung 4: Mischungstemperatur mit einem Kupferklotz im Wasserbad Oder man geht so vor, dass man die absoluten Werte nimmt und sie vorher und nachher vergleicht (Achtung, gleiche Endtemperatur) Q Cu + Q Wasser = Q Cu+Wasser m Cu c Cu T 100 + m W T 20 = (m Cu c Cu + m W ) T End Beide Wege führen zu dem Ausdruck für die gemeinsame Endtemperatur im thermischen Gleichgewicht (Temperaturen in Kelvin eingeben!) T End = m Cu c Cu T 100 + m W T 20 m Cu c Cu + m W = 296,5 K = 23,5 Phasenübergang Stoffe wie z.b. Wasser, Alkohol oder auch Metalle können in verschiedenen Zuständen vorkommen. Fest, flüssig und gasförmig. Dies sind die verschiedenen Aggregatzustände (Phase). Jeder Stoff hat charakteristische Temperaturwerte an dem ein Phasenübergang von einem Aggregatzustand zu einem anderen statt findet; einen Schmelzpunkt (fest flüssig) und einen Siedepunkt (flüssig gasförmig). Wir haben gelernt, dass eine Zufuhr von Energie in Form von Wärme eine Erhöhung der Temperatur zur Folge hat. T 100 C 50 C 0 C T Siedepunkt T Schmelzpunkt fest fest + flüssig flüssig flüssig + gasförmig gasförmig Abbildung 5: Temperatur von Wasser bei konstanter Wärmezufuhr (qualitativ) Dies gilt allerdings nur innerhalb eines Aggregatzustandes. Befindet sich ein Stoff an einem der Übergangstemperaturen, so geht die zugeführte Wärme (Energie) nicht in die Temperaturerhöhung des Stoffes ein. Die zugeführte Energie dient ausschließlich dazu den Stoff von der einen Phase in die andere zu überführen. Dies ist auch der Grund warum das Wasser in einem Kochtopf nie über 100 heiß wird 3, obwohl die Temperatur der Herdplatte über 200 liegt. 3 Der Siedepunkt einer Flüssigkeit ist vom umgebenen Druck abhängig, weswegen man in der Küche auch sogenannte Hochdrucktöpfe (Schnellkochtopf) einsetzt. Der erhöhte Druck im Topf führt dazu, dass das Wasser erst bei einer Temperatur oberhalb von 100 anfängt zu kochen, weswegen das Essen dann auch schneller fertig ist. 4
Die Formel ist recht einfach und beinhaltet neben der benötigten Energie lediglich die Masse, die einen Phasenübergang erfährt und eine materialspezifische Konstante. Q = m Q schmelz/verdampf Während eines Phasenübergangs koexistieren zwei Phasen nebeneinander. Erst wenn der eine Aggregatzustand komplett in den anderen übergegangen ist, steigt bei Wärmezufuhr die Temperatur wieder. Abbildung 5 veranschaulicht dieses Verhalten an Wasser. Stoffmenge Die Stoffmenge gibt an, wie viele Teilchen (Atome, Moleküle,...) in einem Stoff vorhanden sind; sie ist eine Anzahl von Etwas. Da die Anzahl der Teilchen in einem Stoff für gewöhnlich sehr groß ist, gibt es dafür eine Ersatzgröße, die es auch in das SI-System als Basiseinheit geschafft hat das Mol. Hat man von einem Stoff 6,02214129 10 23 Teilchen, so hat man 1 mol von diesem Stoff, ungeachtet davon was das für ein Stoff ist. 1 mol = 6,02214129 10 23 Teilchen Triviales Beispiel: Hätte man 1 mol 1 Euro Stücke, so hätte man ein Vermögen von ca. 6,022 10 23 Euro ( = 602 Trilliarden Euro) Somit ist die Stoffmenge n definiert als n = N N A [n] = mol, N A = 6,02214129 10 23 mol 1 Dabei ist N die absolute Anzahl an Teilchen und N A die Avogadrokonstante. Diese Zahl geht zurück auf die Anzahl der Atome in 12 g Kohlenstoff ( 12 C). Um noch einmal auf das zurückzukommen was gezählt wird. Man zählt beim Mol immer nur Einzelteilchen, dies können einzelne Atome oder ganze Moleküle sein; hier wird das Molekül als ein Teilchen aufgefasst. Bsp: 1 mol Helium entsprechen 6,022 10 23 Atome (He) 1 mol Wasser entsprechen 6,022 10 23 Wassermoleküle (H 2 O) obwohl es 3 6,022 10 23 Atome sind (2 H+1 O) Um herauszufinden wie schwer nun ein Mol eines Stoffes ist, hilft uns das Periodensystem der Elemente ungemein. Die Masse eines Mols wird auch als molare Masse, oder Molmasse bezeichnet. Als erstes müssen wir uns überlegen wie viele Nukleonen das entsprechende Atom hat und wie schwer das Atom ist. Mit Hilfe des Kohlenstoffs wurde eine Größe definiert, die man die atomare Masseneinheit u nennt. 1 u entspricht 1 /12 der Masse eine Kohlenstoffatoms ( 12 6 C), welches 12 Nukleone besitzt. 1 u = 1,660538921 10 27 kg (1) d.h. 1 kg = 6,02214129 10 26 u (2) Dieser Zahlenwert sollte einem bekannt vorkommen; die Avogadrokonstante, lediglich um 3 Größenordnungen größer. Somit wiegt ein Atom mit der Massenzahl A (Anzahl der Nukleonen) m Atom = A u 5
Nun muss nur noch die Anzahl der Atome N bekannt sein und dann ergibt sich für die Masse m des Stoffes, mit der Anzahl der Atome N = n N A : m = N m Atom = N A u = n N A A u n=stoffmenge, N A =Avogadrokonstante, A=Massenzahl, u=atomare Masseneinheit Dieses unübersichtliche Gebilde lässt sich vereinfachen indem man die molare Masse identifiziert, also die Masse eines Mols des Stoffes mit der Massenzahl A. m = n N A A u }{{} = n m mol [m mol ] = m mol Die molare Masse lässt sich jedoch noch weiter vereinfachen, denn wenn man genau hinschaut erkennt man, dass die Konstanten N A und u über ihre Definitionen miteinander verbunden sind, siehe Gl. (1) und (2). Dies führt zu folgender Identität: m mol = kg mol [ g N A u A = A 10 }{{} 3 kg/mol oder m mol mol 0,001 kg/mol ] = A Somit lässt sich die molare Masse einfach aus dem Periodensystem der Elemente ablesen. Dabei entspricht die Massenzahl A des Elements der molaren Masse m mol in der Einheit Gramm pro Mol. Bsp: 4 2 He m mol = 4 g /mol H 2 O = 2 11 H + 1 16 8 O m mol = 2 1 g /mol + 1 16 g /mol = 18 g /mol Merke: 1 mol eines Stoffes sind 6,022 10 23 Teilchen Die molare Masse eines Stoffes in Gramm pro Mol entspricht der Massenzahl A im Periodensystem der Elemente Um die molare Masse eines Moleküls zu erhalten muss man die molare Masse jedes einzelnen Elements aufaddieren. Zustandsgleichung des idealen Gases Die Zustandsgleichung gibt wie der Name schon sagt den Zustand eines Gases an. Es vereinigt die Eigenschaften Volumen, Druck, Temperatur und Teilchenzahl miteinander. Es gibt zwei Darstellungsformen dieser Gleichung, welche in ihrer Aussagekraft gleichbedeutend sind und sich nur in der Angabe der Teilchenzahl unterscheiden. absolute Teilchenzahl N : Anzahl der Mole n : p V = N k B T p V = n R T k B wird die Boltzmann-Konstante und R die allgemeine Gaskonstante genannt. Die Verbindung zwischen diesen beiden Gleichungen ist die Avogadrokonstante N A die aus dem Stoffmengen-Kapitel bekannt ist. Denn man kann Folgendes ersetzen: mit N = n N A N k B = n N A k }{{ B = n R } R Um mit diesen Gleichungen zu Rechnen muss man sich zunächst sicher sein welche Werte gefragt sind und welche eventuell konstant bleiben. 6
Beispiel: Ein Gas befindet sich in einem Behälter mit einem verschiebbaren Stempel als Deckel. Was passiert, wenn man den Stempel runter drückt und dabei die Temperatur des Gases konstant hält? Die Teilchenzahl bleibt konstant (da geschlossen) sowie die Temperatur. Das Volumen des Behälters wird mit dem Stempel geändert und man kann dann folgende Gleichung aufstellen: p V = n R T = const. (p V ) vorher,1 = (p V ) nachher,2 p 1 p 2 V 1 T=const V 2 p 2 = V 1 V 2 p 1 Verringert man somit das Volumen von V 1 auf V 2, so steigt der Druck von p 1 auf p 2 an. p > p 2 1 Abbildung 6: Kompression eines Gases 7
Aufgabe 1 Sie geben in 50 kg Wasser der Temperatur 60 einen Metallklotz (m Klotz = 4 kg) der Temperatur 20. Sobald das thermische Gleichgewicht erreicht ist, bestimmen Sie die neue Wassertemperatur auf 55. Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität des Metalls? Aufgabe 2 Recherchieren Sie fehlende Parameter. Vor sich haben Sie eine lokale Bierspezialität in einer 0,5-Liter-Bügelverschlussflasche mit einem Alkoholgehalt von 4,9 % vol. Wie viele Alkoholmoleküle (Ethanol) N befinden sich in der Flasche? Aufgabe 3 Eine kugelförmige Luftblase steigt im Wasser auf. In einer Tiefe von 20 m hat sie einen Durchmesser von 1 cm. (p 0 = 10 5 Pa, Temperaturunterschiede können vernachlässigt werden) Welchen Durchmesser hat sie kurz vor Erreichen der Oberfläche? Überlegen Sie sich, wie Sie an den Druck in 20m Wassertiefe kommen. 8