Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 2005 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 16. Juni 2005 Prüfungsdauer: 09:00-12:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer, nichtprogrammierbarer Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung Hinweis: Der Bereich Analysis besteht aus vier Aufgaben. Die Schülerinnen und Schüler haben daraus drei Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben trifft die Schule. Die Aufgabe Analytische Geometrie ist von allen Schülern zu bearbeiten.
- 2 - Analysis: Aufgabe 1 1 Die ganzrationale Funktion f hat die erste Ableitung Nullstelle bei x0 = 3. 2 4 = + und eine 3 3 2 f'(x) x x 3 1.1 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f. 2 3 2 2 Ergebnis: f(x) = x + x 9 3 4 1.2 Bestimmen Sie Lage und Art der Extrema des Graphen von f. 4 1.3 Erstellen Sie die Gleichung der Wendetangente des Graphen von f. 6 1.4 Zeichnen Sie den Graphen von f und den Graphen von f im Bereich [ 3; 3 ] in ein kartesisches Koordinatensystem. 8 1.5 Die Graphen von f und f schließen im ersten Quadranten eine Fläche A 1 und im 2. und 3. Quadranten eine Fläche A 2 ein. Zeigen Sie, dass die beiden Flächen A 1 und A 2 gleich groß sind.
- 3 - Analysis: Aufgabe 2 2 Es sind die Gleichung einer Funktion 3. Grades Gleichung einer Parabel 2 p(x) = 2x + 6x 2 gegeben. 3 2 f(x) = x + 3x 2 und die 5 2.1 Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen. 6 2.2 Berechnen Sie die von beiden Graphen im 2. und 3. Quadranten eingeschlossene Fläche. 2.3 Die Parallele zur y-achse im Abstand von x = u schneidet im Bereich 0 < u < 2 u IR die Parabel p im Punkt A und den Graphen der Funktion f im Punkt B. 2 2.3.1 Geben Sie die Länge der Strecke AB = l(u) in Abhängigkeit von u an. Hinweis: y A > y B. 3 2 Teilergebnis: l(u) = u u + 6u 5 2.3.2 Berechnen Sie u so, dass die Länge der Strecke AB am größten ist. 7 2.4 Es ist des Weiteren die Gleichung des Geradenbüschels g(x) = mx 4 mit m IR gegeben. Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichungen der Geraden des Büschels, welche die Parabel p berühren (Tangente).
- 4 - Analysis: Aufgabe 3 3 Die Sportfreunde Axel und Benni nehmen an einem Lauf teil, der eine Stunde dauert. Sieger ist, wer in dieser Zeit die größte Strecke zurücklegt. Axel nimmt sich eine konstante Geschwindigkeit von m v A(t) = 300 vor. min Benni möchte sich von Beginn an langsam steigern und zum Schluss hin das Tempo zwangsläufig etwas drosseln. Bennis Geschwindigkeit lässt sich durch 1 3 1 2 v(t) B = t + t + 300 ausdrücken (t in Minuten). 270 6 4 3.1 Nach wie viel Minuten erreicht Benni die größte Geschwindigkeit? Wie groß ist diese? 5 3.2 Zeichnen Sie das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für beide Sportler in ein Koordinatensystem. Zeitachse: x-achse: 10 Minuten A 1 cm Geschwindigkeitsachse: y-achse: 50 m min A 1 cm 3.3 Das bestimmte Integral Zeit von t 1 bis t 2 an. t2 v(t)dt gibt die zurückgelegte Strecke während der t1 5 3.3.1 Wie weit sind Axel und Benni nach 30 Minuten gelaufen? 3 3.3.2 Wer schneidet bei diesem Stundenlauf besser ab? Axel oder Benni? Begründen Sie ihre Entscheidung? 3 3.4 Zu welchem Zeitpunkt nach dem Start haben Axel und Benni die gleiche Geschwindigkeit? Welche Bedeutung hat dieser Zeitpunkt hinsichtlich des Abstandes von Axel und Benni? 5 3.5 Bildet man von der Geschwindigkeitsfunktion die erste Ableitung, so erhält man die Momentanbeschleunigung. Zu welchem Zeitpunkt ist diese Momentanbeschleunigung bei Benni am größten?
- 5 - Analysis: Aufgabe 4 4 Ein Fabrikant kann pro Woche bis zu 110 Mengeneinheiten (ME) eines bestimmten Produkts herstellen. Er hat sich für vier Mengeneinheiten die Kosten errechnen lassen: Menge x in Mengeneinheiten (ME) Kosten K(x) in Geldeinheiten (GE) 0 30 30 60 50 80 100 200 8 4.1 Die Kostenfunktion K ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Bestimmen Sie die Gleichung der Kostenfunktion K. [ Ergebnis: K(x) = 0,0002x³ - 0,016x² + 1,3x + 30 ] 4.2 Bei einem Stückpreis von p = 2 GE ergibt sich die Erlösfunktion mit E(x) = 2x. Als Gewinnfunktion gilt G(x) = E(x) K(x). 2 4.2.1 Zeigen Sie, dass die Gewinnzone bei 30 ME beginnt und bei 100 ME endet. 5 4.2.2 Bei wie vielen Mengeneinheiten ergibt sich der größtmögliche Gewinn? Wie hoch ist dieser dann? 5 4.3 Wie hoch muss der Fabrikant bei einer Produktion von 80 ME den Stückpreis p ansetzen, wenn der maximale Gewinn erzielt werden soll? [ Ergebnis: p = 2,58 GE ] 5 4.4 Bei der Preiserhöhung auf 2,58 GE geht die Nachfrage um 10% auf 72 ME zurück. Wie viel Mehrgewinn wird durch die Preiserhöhung erzielt?
- 6 - Analytische Geometrie 5 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2; 3; 2), B(0; 3; 2) 6 uuuuur und C(2; 0; 2) und der Vektor ADa = 3 a mit a IR gegeben. 2 5.1 Ermitteln Sie die Vektoren AB uuur und AC uuur. 3 5.2 Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D a in Abhängigkeit von a. 3 5.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 4 5.4 Für welche Werte von a stehen die Vektoren AB uuur und uuur uuuuur und senkrecht aufeinander? AC ADa uuuuur ADa sowie die Vektoren 3 5.5 Berechnen Sie für D(8;0;6)den 4 Volumeninhalt der Pyramide ABCD 4. 5 5.6 Berechnen Sie den Winkel ϕ = S AD4B. 5 5.7 Stellen Sie den Vektor und uuuuur ADa dar. 2 6 12+ a als Linearkombination der Vektoren AB uuur, AC uuur