Tafelbild zum Einstieg 69
Name: Symbol: Stammgruppenfarbe: Definition: Kissing Number Das Kissing Number Problem Figur / Körper Kreise Quadrate gleichseitige Dreiecke Kugeln Kissing Number Skizze der Anordnung 70
Definition: Kissing Number Als Kissing Number einer Figur bzw. eines Körpers B bezeichnet man die maximale Anzahl an kongruenten Kopien, die so um B herum angeordnet werden können, dass sie B berühren, aber einander nicht überlappen. Gruppenpuzzle: 1. Expertengruppen: Findet Euch in den Expertengruppen zusammen und bearbeitet die auf den Arbeitsblättern angegebenen Arbeitsaufträge. 1 2 2. Stammgruppen: Stellt euch nun gegenseitig die Ergebnisse aus den Expertengruppen in dem Stammgruppen (rot, gelb, blau) vor. Was ist die Kissing Number für die jeweilige Figur bzw. den jeweiligen Körper? Besprecht auch wie man die Figuren bzw. Körper anordnen muss. Haltet die gesammelten Ergebnisse in der Tabelle auf eurem Arbeitsblatt fest. 71
Expertengruppe: Dreiecke Arbeitsauftrag 1: Versuche möglichst viele gleichseitige Dreiecke so anzuordnen, dass sie das grüne Dreieck im Inneren berühren. Auch benachbarte Dreiecke sollen sich nur berühren! Versucht mit Hilfe des Models gemeinsam herauszufinden wie die gleichseitigen Dreiecke angeordnet werden müssen. Übertrage diese Anordnung auf dein Arbeitsblatt und zeichne die Dreiecke. Arbeitsauftrag 2: Was lässt sich also über die Kissing Number von gleichseitigen Dreiecken in der Ebene aussagen? Behauptung: Die Kissing Number für gleichseitige Dreiecke in der zweidimensionalen Ebene beträgt. 72
Arbeitsauftrag 3: Ein Fabrikant möchte Tabletts in Form von gleichseitigen Dreiecken herstellen, auf die eine vorgegebene Zahl an runden Gläsern mit Durchmesser von passen. Wie groß muss ein solches Tablett sein, damit genau 2, 3, 4 oder 5 Gläser darauf Platz finden? Versuche die jeweilige Größe des Tabletts und die Anordnung der Gläser mit Hilfe eines Models herauszufinden. Übertrage die Anordnung schematisch auf dein Arbeitsblatt. Vorgehensweise: Nimm das Papierstück, aus dem ein gleichschenkliges Dreieck ausgeschnitten wurde und lege in das Loch die Kreise mit Radius, welche die Gläser symbolisieren sollen. Schiebe nun die Kreise mit einem Lineal in die Richtung der oberen Ecke. Halte dabei das Lineal stets so, dass die Kreise sich in einem gleichseitigen Dreieck befinden. a) Anzahl der Gläser: 2 b) Anzahl der Gläser: 3 Seitenlänge Tablett: a = Seitenlänge Tablett: a = c) Anzahl der Gläser: 4 d) Anzahl der Gläser: 5 Seitenlänge Tablett: a = Seitenlänge Tablett: a = 73
Expertengruppe: Quadrate Arbeitsauftrag 1: Versuche möglichst viele Quadrate so anzuordnen, dass sie das grüne Quadrat im Inneren berühren. Auch benachbarte Quadrate sollen sich nur berühren! Versucht mit Hilfe des Models gemeinsam herauszufinden wie die Quadrate angeordnet werden müssen. Übertrage diese Anordnung auf dein Arbeitsblatt und zeichne die Quadrate. Arbeitsauftrag 2: Was lässt sich also über die Kissing Number von Quadraten in der Ebene aussagen? Behauptung: Die Kissing Number für Quadrate in der zweidimensionalen Ebene beträgt. 74
Arbeitsauftrag 3: Eine handelsübliche Getränkedose enthält 330ml Flüssigkeit und hat einen Durchmesser von 33,5 Millimetern. a) Welche Maße muss die Grundfläche eines Kartons mit 24 Dosen haben? b) Wie viele Dosen können mit einem LKW (Länge: 6m, Breite: 2,5m, Höhe: 2m) transportiert werden, wenn eine Dose 115 mm hoch ist? Arbeitsauftrag 4: Zwanzig Stifte sind in einer rechteckigen Stiftebox fest eingepackt: Erst eine Reihe von 7 Stiften dann 6 Stifte und dann wieder eine Reihe von 7 Stiften. Wenn man einen Stift herausnimmt, bleiben die übrigen Stifte an ihrem Platz. Wie viele Stifte kann man weglassen, sodass die übrigen Stifte wieder eine stabile Struktur bilden und nicht in der Schachtel herumklappern? Versuche die Anzahl mit Hilfe des Models herauszufinden und übertrage diese Anordnung auf dein Arbeitsblatt! 75
Expertengruppe: Kreise Arbeitsauftrag 1: Versuche möglichst viele 1-Euro-Münzen so anzuordnen, dass sie die grüne Münze im Inneren berühren. Auch benachbarte Münzen sollen sich nur berühren! Versucht mit Hilfe des Models gemeinsam herauszufinden wie die Münzen angeordnet werden müssen. Übertrage diese Anordnung auf dein Arbeitsblatt, indem du die vorgedruckten Münzen einklebst. Arbeitsauftrag 2: Was lässt sich also über die Kissing Number von Kreisen in der Ebene aussagen? Behauptung: Die Kissing Number für Kreise in der zweidimensionalen Ebene beträgt. 76
Arbeitsauftrag 3: Versuche deine Behauptung nun geometrisch zu begründen, indem du die Anordnung mit Zirkel und Lineal für konstruierst. Arbeitsauftrag 4: Versuche nun auch Münzen mit anderen Radien in gleicher Weise um die grüne 1-Euro-Münze anzuordnen. Wie viele 10-Cent-, 20-Cent-, 5-Cent- oder 2-Euro- Münzen lassen sich um die 1-Euro-Münze anordnen, sodass sie diese und sich gegenseitig berühren? Münzen Münzen Münzen Münzen 77
Expertengruppe: Kugeln Arbeitsauftrag 1: Versuche möglichst viele Kugeln so anzuordnen, dass sie die grüne Kugel im Inneren berühren. Auch benachbarte Kugeln sollen sich nur berühren! Versucht mit Hilfe des Models gemeinsam herauszufinden wie die Kugeln angeordnet werden müssen. Skizziere diese Anordnung der Kugeln schematisch auf deinem Arbeitsblatt. Arbeitsauftrag 2: Was lässt sich also über die Kissing Number von Kugeln im Raum aussagen? Behauptung: Die Kissing Number für Kugeln im dreidimensionalen Raum beträgt. Arbeitsauftrag 3: Hast du dich schon einmal gefragt, warum Tennisbälle und Orangen unterschiedlich verpackt sind obwohl doch beides Kugeln sind? 78
Wahrscheinlich nicht trotzdem wollen wir dieser Fragestellung aber einmal näher auf den Grund gehen und betrachten die einzelnen Verpackungen genauer. Tennisbälle sind immer in einer Reihe wurstförmig angeordnet. Orangen sind dagegen clusterförmig in einem Netz verpackt. Wir wollen nun berechnen wie viel Raum der Verpackung ungenutzt bleibt, also den Anteil der Luft (weiß markiert) in der Verpackung. Hierzu berechnen wir die Flächeninhalte und den prozentualen Anteil der Luft. a) Berechne den Flächeninhalt der grünen Verpackung sowie den Flächeninhalt der weiß markierten Fläche für. Welchen prozentualen Anteil nimmt die Luft (weiß) an der gesamten Verpackung (grün) ein? 79
b) Berechne den Flächeninhalt der grünen Verpackung sowie den Flächeninhalt der weiß markierten Fläche für. Welchen prozentualen Anteil nimmt die Luft (weiß) an der gesamten Verpackung (grün) ein? c) Welche Verpackung ist also besser? Stelle Vermutungen an warum Orangen und Tennisbälle aber dennoch unterschiedlich verpackt sind? 80
Schülerlösungen: Dreiecke 81
Schülerlösungen: Quadrate 82
Schülerlösungen: Kreise 83
Schülerlösungen: Kugeln 84
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