2 Inhalt Einführung und Grundlagen 6 Aufgaben und Zielsetzung der Statistik 6 Mathematische Symbole und Grundlagen 7 Merkmale und Skalen 9 Häufigkeitsverteilungen 11 Urliste 11 Häufigkeitsverteilung 12 Sortieren und Ausreißer 14 Grafische Darstellungen 15 Kenngrößen 17 Modus oder Modalwert 17 Zentralwert oder Median 18 Quantile 18 Arithmetisches Mittel 19 Geometrisches Mittel 21 Harmonisches Mittel 22 Spannweite 23 Quantilsabstände 23 Quartilskoeffizient 23 Mittlere absolute Abweichung 24 Varianz und Standardabweichung 25 Variationskoeffizient 26 Boxplot oder Kistendiagramm 26 Konzentrationsmaße 28 Herfindahl-Index 28 Konzentrationsmaß von Lorenz/Münzner 29
3 Lorenzkurve 30 Eigenschaften der Lorenzkurve 31 Lorenzkoeffizient 32 Gains-Chart 34 Zeitreihen und Indexzahlen 36 Gliederungszahlen, Messziffern, Wachstumsraten 36 Umbasierung und Verkettung 37 Preisindex 39 Mengenindex 42 Wertindex 42 Regression und Korrelation 43 Regressionsrechnung 43 Lineare und polynomiale Funktionen 44 Methode der kleinsten Quadrate 45 Kovarianz 48 Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson 49 Problem von Fehlinterpretationen 50 Determinationskoeffizient 50 Rangkorrelation nach Spearman 51 Korrelationsmaßzahlen für nominale Variablen 53 Kontingenzmaße 55 Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariablen 58 Wahrscheinlichkeitsbegriffe und Zufallsexperimente 58 Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie 59 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes 61 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 64
4 Verteilungen 71 Binomialverteilung 71 Multinomialverteilung 72 Hypergeometrische Verteilung 73 Poissonverteilung 75 Normalverteilung 76 Student-t-Verteilung 80 Chi-Quadrat-Verteilung 85 Grenzwertsätze 89 Schwaches Gesetz der großen Zahl 89 Starkes Gesetz der großen Zahl 90 Grenzwertsätze von de Moivre und Laplace 91 Poisson scher Grenzwertsatz 94 Zentraler Grenzwertsatz 94 Anwendung auf Stichproben 95 Schätz- und Testtheorie 101 Schätzfunktion 101 Momentenmethode 102 Maximum-Likelihood-Schätzungen 102 Kriterien für die Güte der Punktschätzung 103 Intervallschätzungen 104 Testtheorie 107 Stichprobenfehler und Güte 111 Hypothese zum Verteilungstyp 113 Chi-Quadrat-Anpassungstest 114 Unabhängigkeitstest 116 Stichwortverzeichnis 119
6 Einführung und Grundlagen Aufgaben und Zielsetzung der Statistik Der Begriff Statistik wird im allgemeinen Sprachgebrauch meist gleichgesetzt mit einer Anhäufung von Zahlen, Tabellen, Schaubildern, eben sogenannten Statistiken. Dahinter liegt aber auch eine eigene wissenschaftliche Disziplin mit diesem Namen. Diese befasst sich mit der Entwicklung und Anwendung formaler Methoden zur Gewinnung, Beschreibung und Analyse sowie zur Beurteilung quantitativer Beobachtungen also Daten. Die Statistik lässt sich unterteilen in die deskriptive oder beschreibende und die induktive oder schließende Statistik. Deskriptive Statistik Im Rahmen der deskriptiven Statistik werden Daten erhoben, d.h. gemessen oder beobachtet, unter bestimmten Aspekten beschrieben, komprimiert und grafisch aufbereitet. Die deskriptive Statistik befasst sich also mit der statistischen Beschreibung vorliegender Daten zum Zwecke der Informationsbündelung. Induktive Statistik Die induktive Statistik geht einen Schritt weiter und zieht aus der deskriptiven Analyse der vorliegenden Daten bestimmte Schlussfolgerungen. Zumeist sind dabei die vorliegenden Daten Werte einer Stichprobe, die aus einer
Mathematische Symbole und Grundlagen 7 Grundgesamtheit stammt. Ziel ist es, Aussagen über die umfassendere Grundgesamtheit zu machen. Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Folgerungen von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit gelten aber nicht mit Sicherheit, sondern nur mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung die Grundlage der schließenden Statistik und als Bindeglied zwischen den beiden Teilgebieten anzusehen. Mathematische Symbole und Grundlagen = Gleichheit von mathematischen Objekten, := Gleichheit durch Definition, ungefähre Gleichheit, Element in,, Implikation, Durchschnitt von Mengen,, Vereinigung von Mengen, P (Ω) := {E E Ω} Potenzmenge einer Menge Ω, E Anzahl der Elemente einer Menge E, (x; y) E F kartesisches Produkt der zwei Mengen E und F, Elemente (x; y) heißen Tupel mit x E, y F,
8 Einführung und Grundlagen (x 1 ;... ; x n ) E n Verallgemeinerungen sind n-tupel, {E 1 ;...,E k } mit Ω = k i=1 E i, i j E i E j = ist eine Partition, N ( die natürlichen Zahlen, n ) k = n! k!(n k)! Binomialkoeffizient 0 k n, ( n ( ) a) = n a 1,a 2,...,a k = n! a 1!... a k! Multinomialkoeffizient für a := (a 1,...,a k ) N k, k i=1 a i = n, R die reellen Zahlen, [a; b] = {x R, a x b} geschlossenes Intervall, [a; b[ = {x R, a x < b} halboffenes Intervall, ]a; b] = {x R, a < x b} halboffenes Intervall, ]a; b[ = {x R, a < x < b} offenes Intervall, x N untere Gaussklammer, größte ganze Zahl, kleiner oder gleich x R, x N obere Gaussklammer, kleinste ganze Zahl, größer oder gleich x R, π 3,14159265 die Kreiszahl π, e 2,71828182 die Euler sche Konstante e, X 1 (B) := {x R X (x) B} Urbildmenge für eine Abbildung X : R Y und B Y,
Merkmale und Skalen 9 Γ die Gammafunktion mit Γ (1) = 1, Γ ( 1 2) = π, Γ (x + 1) = xγ(x) für 0 < x R, f (αx 0 + (1 α)x 1 ) αf (x 0 ) + (1 α)f (x 1 ) lineare Interpolation für f : R R, x 0, x 1 R, x 0 < x 1 R und Zwischenpunkt αx 0 + (1 α)x 1 für α ]0; 1[, A := (a i,j ) 1 i m,0 j n R m n Matrix mit m Zeilen und n Spalten, A t := (a j,i ) 1 i m,0 j n R n m n transponierte Matrix, i=1 (x i y i ) 2 euklidischer Abstand von x, y R n. Merkmale und Skalen Merkmale, Merkmalsträger, Ausprägungen Eigenschaften, die zum Zwecke der statistischen Datenanalyse erhoben werden, nennt man Merkmale oder auch Variablen. Die Merkmale werden an statistischen Einheiten oder Merkmalsträgern erhoben. Die Werte eines Merkmals heißen Ausprägungen oder Realisationen. Gesamtheiten und Erhebung Die für eine statistische Untersuchung relevante Menge an Merkmalsträgern heißt Grundgesamtheit. Werden alle
10 Einführung und Grundlagen Merkmalsträger einer Grundgesamtheit erfasst, liegt eine Vollerhebung vor. Wird nur ein Teil der relevanten Merkmalsträger erfasst, spricht man von Teilerhebung. Es liegt dann eine Teilgesamtheit vor. Bei einer primärstatistischen Datenerhebung werden Daten eigens zu statistischen Zwecken erhoben durch Befragung, Beobachtung und Experiment. Dagegen wird bei einer sekundärstatistischen Datenerhebung auf bereits erhobenes und aufbereitetes statistisches Datenmaterial zurückgegriffen. Typen von statistischen Merkmalen Merkmale werden unterschieden nach der Anzahl der möglichen Ausprägungen in diskrete und stetige Merkmale. Diskrete Merkmale: Diese können nur endlich oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen annehmen, z.b. Merkmale, deren Ausprägungen man durch Zählen erhalten kann. Als wichtiger Spezialfall sind binäre oder dichotome Merkmale zu nennen, die genau zwei Werte haben. Stetige Merkmale: Diese können in einem Intervall jeden reellen Wert annehmen, im Prinzip (überabzählbar) unendlich viele verschiedene Ausprägungen, z.b. Merkmale, deren Ausprägungen man durch Messen erhält. Merkmale können auch hinsichtlich ihres Skalenniveaus in nominalskalierte, in ordinalskalierte und in metrische Merkmale unterschieden werden. Nominalskalierte Merkmale: Ihre Ausprägungen lassen sich nur unterscheiden, z.b. Geschlecht, Farben, Ver-
Stichwortverzeichnis 119 äußere Grenze 27 absolute Häufigkeit 12 absolute Konzentration 28 ACHSENABSCHNITT 47 allgemeiner Additionssatz 60 allgemeiner Grenzwertsatz 91 allgemeiner Grenzwertsatzes von de Moivre und Laplace 92 α-fehler 111 α-gestutzter Mittelwert 21 Alternativhypothese 107 angrenzende Beobachtungen 27 Annahmebereich 109 Anpassungstest 107, 108 Arbeitshypothese 108 arithmetische Mittel 19 asymptotisch erwartungstreu 103 Ausprägung 9 Ausreißer 15 Ballung 28 Bayes 61 bedingte Wahrscheinlichkeit 61 Befragung 10 Beobachtung 10 Bereichshypothese 108 Bernoulliexperiment 71 beschreibende Statistik 6 BESTIMMTHEITMASS 51 Bestimmtheitsmaß 50 β-fehler 112 Bildmaß 64 Binomialkoeffizient 8 Binomialverteilung 71 BINOMVERT 72 bivariate Statistik 43 Borel sche Menge 61 Boxplot 26 Bravais 49 Cauchy-Schwarz sche-ungleichung 49 Chi-Quadrat-Anpassungstestverfahren 115 Chi-Quadrat-Koeffizient 56 Chi-Quadrat-Verteilung 85 88, 108 CHIINV 87 CHIVERT 87 COV 48 de Moivre 91, 93 deskriptive Statistik 6 Determinationskoeffizient 50 Dezil 18 Dichte 65 Dichtefunktion 65 der Normalverteilung f µ;σ, 77 Differenzentest 107 D P,n1,n 2 99 D S 100 Durchschnitt 7, 19 D X 98 effizientere Schätzfunktion 104 Einfachregression 44 einseitige Bereichshypothese 108 Elementarereignis 58, 59 Endlichkeitskorrekturfaktor 74, 97, 98 Ereignis 58, 60
120 Ereignisse 59 unabhängige, 60 Erwartungswert 68 euklidischer Abstand 9, 46 Euler sche Konstante 8 Experiment 10 explorative Datenanalyse 26 extremer Ausreißer 27 F 65 f µ;σ 77 Fünftelwert 18 Fehler erster Art, 111 zweiter Art, 112 F j 14 F j 14 f j 12, 14 f j 12, 14 Flügelklassen 13 Freiheitsgrad 80, 85 Güte 112 Gütefunktion 112 Gains-Chart 34 Galtonsche Nagelbrett 91 Gammafunktion 9 Gegenereignis 60 geometrisches Mittel 21 GEOMITTEL 22 Gesamtmerkmalssumme 28, 29 geschlossenes Intervall 8 Gesetz der großen Zahl 59, 89 GESTUTZTMITTEL 21 gewichtetes arithmetisches Mittel 20 Gliederungszahl 36 Grundgesamtheit 9 gruppieren 12 H 29 H 0 107 Häufigkeit absolute, 12 kumuliert absolute, 14 kumuliert relative, 14 kumulierte, 14 relative, 12 Häufigkeitstabelle 12 Häufigkeitsverteilung 12 klassifizierte, 13 Häufung 28 Höchsthypothese 108 H a 107 halber Quartilsabstand 23 halboffenes Intervall 8 HARMITTEL 22 harmonisches Mittel 22 Herfindahl-Index 28, 29 Histogramm 16 HYPERGEOM 74 hypergeometrisch 118 Hypergeometrische Verteilung 74 Hypothesentest 107 parametrischer, 107, 108 Implikation 7 Index 39 induktive Statistik 6 innere Grenze 27 Intervall geschlossen [a; b], 9 halboffen [a; b[, ]a; b], 9 offen ]a; b[, 9 Intervallschätzmethoden 101 intervallskaliertes Merkmal 11 Irrtumswahrscheinlichkeit 108 k-tes Moment 102 kartesisches Produkt 7 Kategorie 12 Kistendiagramm 26 Klassen 13 klassifizieren 12 Kolmogorov 59
121 komplementäres Ereignis 60 KONFIDENZ 107 Konfidenzintervall 104 Konfidenzniveau 101, 104 konsistente Schätzfunktion 104 Kontingenzkoeffizient nach Pearson 56 Kontingenzmaß 53, 55 Kontingenztabelle 55, 117 Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, 89 stochastische, 89 konvergiert fast sicher 90 Konzentration 28 Konzentrationsmaß 30 Korrelationskoeffizient r X,Y 49 Korrelationskoeffizient von Bravais- Pearson 49 Korrelationsrechnung 43 KOVAR 49 Kovarianz 48, 69 Kreisdiagramm 15 Kreiszahl 8 Lageparameter 17 Laplace 91, 93 Laplace scher Wahrscheinlichkeitsraum 60 Laspeyres 40, 42 lineare Interpolation 9 linearen Einfachregression 44 Linearität des Erwartungswerts 68 lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace 93 Lorenz 29 Lorenzfläche 32 Lorenzfläche LF 33 Lorenzkoeffizient 32 Lorenzkoeffizient LK 33 Lozenzkurve 30 Münzner 29 Maße zentraler Tendenz 17 MAA 24 Matrix 9 MAX 15 Maximum 15 Maximum-Likelihood-Methode 102 MEDIAN 18 Median 18 Mengenindex 42 Laspeyres M L.t, 42 Paasche M P.t, 42 Merkmal 9 binäres, 10 dichotomes, 10 diskretes, 10 intervallskaliertes, 11 kardinalskaliertes, 11 metrisches, 10, 11, 19 nominales, 10 ordinales, 10, 11 qualitatives, 11 stetiges, 10 verhältnisskaliertes, 11 Merkmalsträger 9 Messziffer 36 Messziffernfolge 37 Methode der kleinsten Quadrate 46 metrisches Merkmal 10 milder Ausreißer 27 MIN 15 Mindesthypothese 108 Minimum 15 MITTELABW 24 MITTELWERT 20 Mittelwert 19 gestutzter, 21 gewichteter, 20 gewogener, 20 harmonischer, 22 mittlere absolute Abweichung 24 mittlerer Rang 52 MODALWERT 17
122 Modalwert 17 Modus 17 Momentenmethode 102 Monte-Carlo-Integration 89 MS Excel 5 µ 20 µ g 21 µ h 22 Multinomialkoeffizient 8 Multinominalverteilung 73 n-faches Ziehen mit Zurücklegen 71 n-fache Ziehen ohne Zurücklegen 73 n-tupel 8 negativ korreliert 49 N(µ; σ 2 ) 77 nominales Merkmal 10 Normalengleichungen 48 Normalverteilung 76 NORMINV 78 NORMVERT 78 Nullhypothese 107 Nullmenge 90 obere Gaussklammer 8 OC-Kurve 113 offenes Intervall 8 OpenOffice Calc 5 Operationscharakteristik 113 ordinales Merkmal 10 Ordnungszahl 14 Overfitting 45 p-quantil 18 Paasche 40, 42 parametrischer Hypothesentest 107, 108 Partition 8, 62, 116 PEARSON 50 Pearson 49, 115 Perzentil 18 P n 99 POISSON 75 Poisson scher Grenzwertsatz 94 Poissonverteilung 75 polynomiale Regressionsfunktionen 45 Positionsziffer 14 positiv korreliert 49 Potenzmenge 7, 58 Prüfgröße 108, 110, 115 Preis p t,i 39 Preisindex 39 Laspeyres P L.t, 40 Paasche P P.t, 40 primärstatistische Datenerhebung 10 Punktewolke 43 Punkthypothese 108 Punktschätzmethoden 101 Punkttest 109 Q 0,5 18 Q p 18, 67 Quadratsumme QS 46 qualitatives Merkmal 11 QUANTIL 19 Quantil 18, 67 χ 2 ν, 1 ν 16, 86 χ 2 ν, 17 ν 30, 88 t ν, 1 ν 30, 84 Quantile Standardnormalverteilung, 78 Quantilsabstand 23 quantitative 11 QUARTIL 19 Quartil 18 Quartilsabstand halber, 23 Quartilskoeffizient 23 Quintil 18 R 23 Rückweisungsbereich 109 Rückweisungspunkte 109 Rangkorrelationskoeffizient
123 nach Spearman, 51 Rangkorrelationskoeffizient r SP, 52 Regressand 43 Regressionsfunktion 44 Regressionsrechnung 43 Regressor 43 reinen Stichprobe 96 relative Häufigkeit 12 relative Konzentration 28, 30 Residuen 44 Rohdaten 11 Säulendiagramm 16 Satz von Bayes, 62 von der totalen Wahrscheinlichkeit, 62 Schätzfunktion 101 SCHÄTZER 47 Schätzfunktion asymptotisch erwartungstreue, 103 effizientere, 104 erwartungstreue, 103 konsistente, 104 verzerrte, 103 Schätzstatistik 101 Scheinkorrelation 50 schließende Statistik 6 schwaches Gesetz der großen Zahl 89 Scorewert 34 sekundärstatistische Datenerhebung 10 Semiquartilsabstand 23 Sensitivität 63 Signifikanzniveau 108, 110 Skalenniveau 10 metrisches, 10 nominalskaliertes, 10 ordinalskaliert, 10 Sortieren 14 Spannweite R 23 Spearman 51 Spezifität 63 Stabdiagramm 16 STABW 104 STABWN 26 Standardabweichung 25, 68 Standardabweichung σ(x ), 68 σ, 26 Standardisierung 77 Standardnormalverteilung 76, 79 Starkes Gesetz der großen Zahl 90 Statistik 6 beschreibende, 6 bivariate, 43 deskriptive, 6 induktive, 6 schließende, 6 STEIGUNG 46 stetige Zufallsvariable 66 Stetigkeitskorrektur 92 Stichprobe 95 Stichprobenverteilung Anteilswert: P n, 99 Differenz von Anteilswerten: D P,n1,n 2, 99 Differenz von Mittelwerten: D X, 98 Differenz von Standardabweichungen: D S, 100 Mittelwert: X n, 96 Standardabweichung: P n, 100 Stichprobenverteilung einer Maßzahl 96 stochastisch unabhängige Ereignisse 60 stochastische Konvergenz 89 Streudiagramm 43 Streuungsmaße 17 Student-t-Verteilung 80, 82, 83
124 Tabelle p-quantile χ 2 ν, 1 ν 16, 86 p-quantile χ 2 ν, 17 ν 30, 88 p-quantile t ν, 1 ν 30, 84 p-quantile der Standardnormalverteilung, 78 Chi-Quadrat-Verteilung, 86 88 Standardnormalverteilung, 79 Student-t-Verteilung, 81 83 Tabellenkalkulation ACHSENABSCHNITT, 47 BESTIMMTHEITMASS, 51 BINOMVERT, 72 CHIINV, 87 CHIVERT, 87 GEOMITTEL, 22 GESTUTZTMITTEL, 21 HARMITTEL, 22 HYPERGEOM, 74 KONFIDENZ, 107 KOVAR, 49 MAX, 15 MEDIAN, 18 MIN, 15 MITTELABW, 24 MITTELWERT, 20 MODALWERT, 17 NORMINV, 78 NORMVERT, 78 PEARSON, 50 POISSON, 75 QUANTIL, 19 QUARTIL, 19 SCHÄTZER, 47 STABWN, 26 STABW, 104 STEIGUNG, 46 TINV, 84 TVERT, 84 VARIANZEN, 25 VARIANZ, 103 Teilerhebung 10 Testentscheid 110 Testverteilung 108 TINV 84 transponierte Matrix 9, 48 Trennschärfe 112 Tupel 7 TVERT 84 Überanpassung 45 Umbasierung 37 unabhängige Ereignisse 60 Unabhängigkeitstest 107 Ungleichung von Tschebyscheff 69 unkorreliert 49, 70 unmögliches Ereignis 60 untere Gaussklammer 8, 18 Urbildmenge 8 Urliste 11 Variationskoeffizient v 26 Variable 9 VARIANZ 103 Varianz 25, 68 Varianz σ 2, 25 V, 25 VARIANZEN 25 Vereinigung 7 Verkettung 38 Verschiebungssatz 69, 70 Verteilung 13 hypergeometrisch, 118 Verteilungsfunktion 65 F, 65 der Normalverteilung F µ;σ, 77 Quantil, 67 stetige Dichte, 66 Verteilungshypothese 113 Verteilungstest 107 Verteilungstyp 107 Vertrauensintervall 104 verzerrte Schätzfunktion 103
125 Vierfelder-Koeffizient für dichotome Merkmale 53 Vierfelder-Tafel 53 Viertelwert 18 Vollerhebung 10 Wachstumsfaktor 36 Wachstumsrate 36 Wahrscheinlichkeitsfunktion 64 Wahrscheinlichkeitsraum 59 Wahrscheinlichkeitsrechnung 7 Warenkorb 39 Wertindex W t 42 Whisker 27 standardnormalverteilt: X 0;1, 77 stetige, 66 student-t-verteilt: t ν, 80 Varianz, 68 Zufallsvariablen Kovarianz, 69 unabhängige, 70 unkorrelierte, 70 Zufallsvektor 72 zweiseitige Punkthypothese 108 zweistufiges Zufallsexperiment 61 x max 15 x min 15 X n 96 z-transformation 77 zählen 12 Zehntelwert 18 Zeitreihe 36 zentraler Grenzwertsatz 95 Zentralwert 18 ZGS 95 Beispiel, 95 Ziehen ohne Zurücklegen 62 zufällige Stichprobe 107 zufälliger Störfaktor 44 Zufallsexperimente 58 Zufallsvariable 64 χ 2 -verteilt: χ 2 ν, 85 t-verteilt: t ν, 80 binomialverteilt: B n;p, 71 chi-quadrat-verteilt: χ 2 ν, 85 hypergeometrisch verteilt: H N;M;p, 74 multinomialverteilt: M n;p, 73 normalverteilt: X µ;σ, 76 poissonverteilt: P λ, 75 Standardabweichung, 68