5. Kapitel Die De-Broglie-Wellenlänge 5.1 Lernziele Sie können die De-Broglie-Wellenlänge nachvollziehen und anwenden. Sie kennen den experimentellen Nachweis einer Materiewelle. Sie wissen, dass das Experiment von Davisson und Germer sehr gute Übereinstimmungen mit der vorhergesagten Wellenlänge von De Broglie hat. Sie können das Experiment auf zwei verschiedene Arten berechnen. 5.2 Allgemein Im Jahre 1923 hatte der Franzose Louis de Broglie als Erster der Gedanken über eine Wellentheorie von Materie. Er liess seine Theorie analog zum Licht herleiten. Die Teilchen sollten unter bestimmten Umständen Welleneigenschaften aufzeigen. De Broglie stellte darum folgende Hypothesen auf: Die Ausbreitung eines jeden Teilchens erfolgt als eine Welle. Zwischen der Frequenz der Welle und der Gesamtenergie des Teilchens besteht die Beziehung. Wenn ein Teilchen sich also als Welle ausbreitet, gilt der allgemeine Zusammenhang zwischen dem Impuls eines beliebigen Teilchens und der damit verbundenen Wellenlänge : Diese Gleichung wird als De-Broglie-Gleichung bezeichnet und ist die De-Broglie- Wellenlänge. De Broglie schlug folgendes für den experimentellen Nachweis seiner Materiewellen vor: Wenn ein Teilchenstrahl eine sehr kleine Öffnung durchquert, dann treten Beugungserscheinungen auf. Von entscheidender Bedeutung ist dabei die Breite der Öffnung. Denn die Beugung und auch die Interferenz am Doppelspalt werden bei Wellenvorgängen erst dann klar ersichtlich, wenn der Durchmesser des Spaltes etwas grösser als die Wellenlänge ist.
5.3 Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge im nicht-relativistischen Fall Beim nicht-relativistischen Fall drückt man zuerst den Impuls durch die kinetische Energie des Teilchens aus: rechnen wegen ergibt sich in der De-Broglie-Gleichung einsetzen Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge im nicht-relativistischen Fall: 5.4 Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge im relativistischen Fall Beim relativistischen Fall drückt man zuerst den Impuls durch die kinetische Energie und Ruheenergie aus: Relativistische Energie-Impuls-Beziehung (im Kapitel der Compton-Effekt bewiesen)
einsetzen in der De-Broglie-Gleichung einsetzen Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge im relativistischen Fall: 5.5 Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge im nicht-relativistischen Fall mit Spannung Ein Elektron wird durch die Spannung beschleunigt. Die kinetische Energie dieses Elektrons ist: und
Die Wellenlänge kann daher als Funktion der Spannung so geschrieben werden: Gleichung der kinetischen Energie mit Spannung einsetzen Konstanten einsetzen ausrechnen Berechnung der De-Broglie Wellenlänge im nicht-relativistischen Fall mit Spannung: Ein Elektron besitzt bei einer Spannung in der Grössenordnung von 10V also eine Wellenlänge im Nanometer-Bereich, in dem auch der Atomabstand in Festkörpern liegt. Röntgenstrahlen mit Wellenlängen im Nanometer-Bereich werden von kristallinen Feststoffen an ihrem Raumgitter gestreut. Kristalle können somit auch bei Elektronen als Beugungsgitter dienen. Drei Jahre nach De Broglies Hypothese führten Clinton Davisson und Lester Germer den ersten Nachweis der Elektronenbeugung mit einem Nickelkristall aus. 5.6 Das Experiment von Davisson und Germer Aus einer Glühkathode treten Elektronen aus und werden durch Spannung beschleunigt. Nach dem Aufprall auf ein Nickelkristall werden sie gestreut. Der
Abstand zwischen den Nickelkristallatomen beträgt. Mit einem Detektor wird die Intensität der gestreuten Elektronen gemessen. Der Ort des Detektors wird solange variiert, bis die Intensität ein Maximum erreicht. Wenn die Beschleunigungsspannung hat, erscheint das Interferenzmaximum 1 im Winkel von Abb.14: Experiment von Davisson und Germer Die Wellenlänge der Elektronen kann somit auf zwei Weisen berechnet werden: Für die Lage der Maxima bei einer Beugung am Gitter gilt die Gleichung aus der Optik: Für das Interferenzmaximum 1 ist Wellenlänge:. Das Experiment liefert daher folgende Alleine aus der Energie oder Beschleunigungsspannung kann man die Wellenlänge mit der De Broglie Beziehung berechnen:
Auch mit anderen Spannungen erzeilten Davisson und Germer sehr gute Übereinstimmungen mit der vorhergesagten Wellenlänge von De Broglie. 5.7. Aufgaben 1. Aufgabe: Elektronen werden in einer Fernsehröhre mit Wellenlänge dieser Elektronen nach de Broglie? beschleunigt. Wie gross ist die 2. Aufgabe: Experiment von Davisson und Germer: Der Abstand zwischen den Nickelkristallatomen beträgt und die Wellenlänge. In welchem Winkel erscheint das Interferenzmaximum 1?