MATERIE im Magnetfeld

5 1 Kapitel 8 MATERIE im Magnetfeld = > Das Magnetfeld eines Kreisstromes gleicht im Fernfeld dem eines Permanentmagneten. Das magnetische Moment einer Stromschleife der Fläche S = ab ist ~µ mag = ISˆn mit der Einheit [µ mag ] = Am 2. (8.1) Der Normalenvektor ˆn auf die Fläche S bildet mit der Umlaufrichtung von I eine Rechtsschraube. Diese Anordnung bezeichnet man magnetischer Dipol. Im homogenen Magnetfeld B ~ erfährt jeder der Abschnitte a die Kraft ~F mag = ai ê a B ~. (8.2) ê a und ê b sind die Einheitsvektoren in den Abschnitten a und b der Schleife. Ist diese drehbar um die vertikale Achse ê a entsteht das Drehmoment, ~D mag = b ê b ~ F mag = abiê b ê a ~ B = ISˆn ~ B = ~µ mag ~ B. (8.3) Die potentielle Energie des magnetischen Dipols im homogenen Feld beträgt W mag = ~µ mag ~B. Im inhomogenen Feld erfährt der magnetische Dipol die Kraft F ~ = ~µ @ B/@~r. ~ Diese makroskopischen Eigenschaften gelten auch für atomare magnetische Momente (siehe Seite 71). Werden atomare magnetische Momente geeignet ausgerichtet (magnetisiert), dann können sie ein äußeres Magnetfeld verstärken. 8.1 Magnetisierung Zum Beispiel steigt das Feld eines Elektromagneten mit Weicheisenkern um den Faktor 10 2 10 3. Zur Charakterisierung der Feldverstärkung führt man eine dimensionslose Größe ein, die relative Permeabilität µ = B mat /B vac. (8.4) 73

5 74 KAPITEL 8. MATERIE IM MAGNETFELD Für die meisten Matrialien ist µ 1. In der Elektrostatik fanden wir, dass Dielektrika immer in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden. Im Zusammenhang mit dem Magnetismus findet man Materialien, die in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden (paramagnetische), und andere, die aus dem Feld herausgestoßen werden (diamagnetische). Dies zeigt ein Experiment mit Polschuhen, die einen starkem Feldgradienten erzeugen. Diamagnetisch sind zum Beispiel Wismut, H 2 O, Kupfer, Blei. In diesen Fällen liegt ohne externes Feld kein resultierendes permanentes magnetisches Dipolmoment vor. In diamagnetischen Materialien werden beim Einbringen der Substanz in das Magnetfeld atomare Ströme induziert. Nach der Lenz schen Regel ist die Stromwirkung der Zunahme des externen Feldes entgegengerichtet. Das induzierte magnetische Dipolmoment ist dem äußeren Feld entgegengerichtet. Diese Sto e haben µ < 1. Der Diamagnetismus ist temperaturunabhängig. Paramagnetisch sind z.b. Aluminium und (flüssiger) Sauersto. Atomare magnetische Momente sind in diesem Fall permanent vorhanden. Diese werden im Feld ausgerichtet und verstärken das externe Feld. Die Ausrichtung der atomaren Momente wird durch thermische Bewegung behindert. Diese Sto e haben µ > 1. Ihre Permeabilität ist temperaturabhängig, µ / 1/T. Analog zur elektrischen Polarisation definiert man eine Magnetisierung als die Vektorsumme über alle atomaren magnetischen Momente pro Volumeneinheit: ~M = 1 V X ~µ mag, (8.5) V mit der Einheit [M]=A/m. Als Resultierende aller atomaren Kreisströme führen wir schematisch, in Analogie mit dem magnetischen Moment einer Stromschleife, einen Oberflächenstrom ein. Dieser Magnetisierungsstrom pro Längeneinheit I M = ~ M hat die Einheit [I M ] =A/m. Bei Anwesenheit einer magnetisierten oder magnetisierbaren Substanz summieren wir das Feld der externen Stromschleife mit w Windungen pro Meter an und dem freien Strom I frei und das Magnetisierungsfeld der Substanz: oder B = µ 0 (wi frei + I M )=µ 0 (wi frei + M), (8.6) B/µ 0 M = wi frei. (8.7) Für den Ausdruck wi frei führen wir ein neues Vektorfeld ~ H ein, ~B/µ 0 ~ M = ~ H, (8.8) die magnetische Erregung. Sie wird nur durch freie Ströme erzeugt. Die Einheit von ~ H ist A/m. Die Einheit von ~ B ist Vs/m 2 = Tesla.

8.2. PARAMAGNETISMUS 75 Im Gegensatz dazu ist ~ B,diemagnetische Feldstärke, mit dem gesamten Strom verbunden (freie und atomare Ströme). Experimentell findet man ~M = ~ H, (8.9) wobei das dimensionslose die magnetische Suszeptibilität genannt wird. Damit gilt in Anwesenheit von Materie, ~B = µ 0 (1 + ) ~ H = µ 0 µ ~ H, (8.10) wobei µ =1+ ist. Im Vakuum ist µ = 1 und es gilt ~ B = µ 0 ~ H. Amperesches Gesetz : ~ r ~ H = ~j frei. Die freien Ströme erzeugen das äußere Magnetfeld ~ B vac = µ 0 ~ H, in dem die Materie gebadet wird. Im Inneren der Materie herrscht das Feld ~ B mat = µµ 0 ~ H. Analogie im statischen Fall: ~E steht für alle Ladungen, ~ r ~ E =0 ~D für die freien Ladungen, ~ r ~D = frei ~ B steht für alle Ströme, ~ r ~ B =0 ~H für die freien Ströme, ~ r ~ H = ~j frei 8.2 Paramagnetismus Kennzeichen des Paramagnetismus sind: >0 µ>1 B mat >B vac (8.11) Paramagnetisch sind z.b. Atome und Moleküle mit ungerader Anzahl von Elektronen. Dann treten nicht abgesättigte magnetische Momente auf. Der Paramagnetismus kann als Kopplungsenergie zwischen dem äußeren Magnetfeld und dem mit dem Spin bzw. der Bahnbewegung verbundenen magnetischen Moment gesehen werden, ~µ bahn = e 2m ~ L = Das Bohrsche Magneton µ B ist definiert als µ B h ~ L. (8.12) µ B = e h 2m =9.274 10 24 J/T =1.4 MHz/G. (8.13) Die potentielle Energie des magnetischen Dipols im äußeren Magnetfeld ist W = ~µ bahn ~B = µ B h ~ L ~B. (8.14) Das magnetische Moment erfährt ein Drehmoment ~ D = ~µ bahn ~ B. Die Vektoren ~ L und ~µ bahn präzidieren auf einem Kegelmantel um die Richtung von ~ B, die z-achse. Gemäß der Quantenmechanik bleiben ihre z-komponenten zeitlich konstant und nur solche z-komponenten sind erlaubt, für die sich die Komponente L z um einen Wert von h unterscheidet (siehe Seite 72): L z = m h mit ` apple m apple `. (8.15)

2 C 0 76 KAPITEL 8. MATERIE IM MAGNETFELD Dabei ist ` die Drehimpulsquantenzahl ` =0, 1, 2,...Für ~ B = {0, 0,B}, erhalten wir als zusätzliche potentielle Energie eines wassersto artigen Zustandes (n, `, m) (n ist die Hauptquantenzahl) in einem Magnetfeld W pot = mµ B B, (8.16) wobei m die magnetische Quantenzahl ist. Das atomare magnetische Moment mµ B ist unabhängig von B, man nennt diesen Anteil paramagnetisch. 1 Die atomaren Momente zeigen ohne äußeres Feld in beliebige Richtungen. Ein äußeres Feld entlang z versucht die atomaren Magnete auszurichten, die thermische Bewegung verhindert die völlige Ausrichtung. Ein e ektives Moment ~ M = N h~µ i verbleibt. Dieses hängt von der Temperatur ab (Langevin-Gleichung). N ist die Atomdichte, h~µ i die mittlere z-komponente der atomaren Momente. Sättigung bei hohem Feld, bzw. bei kleiner Temperatur. Adiabatische Entmagnetisierung»M» = N»Xm\» > xê3 > Hcoth x- 1 x L 0 5 10 15 20 x = m B B ê k B T Ein paramagnetisches Material befindet sich in einem starken ~ B-Feld bei sehr kleiner Temperatur. Die Magnetisierung sei nahezu gesättigt. Jetzt unterbricht man den Kontakt zum Kühlbad (die Probe befindet sich im Vakuum) und schaltet das Magnetfeld langsam aus. Die geringe, noch vorhandene thermische Energie wird jetzt verwendet, um die atomare Momente erneut isotrop zu verteilen. Der damit verbundene Energieverbrauch (Entropiegewinn) erniedrigt die Temperatur der Probe. Spezielle Substanzen können mit adiabatischer Entmagnetisierung bis auf einige 10 6 K abgekühlt werden. 8.3 Ferromagnetismus Kennzeichen des Ferromagnetismus sind: 0 µ 1 B mat B vac (8.17) H 2 H 0 0 2! Die Magnetisierung kann um Größenordnungen über der von paramagnetischen Sto en liegen (z. B. hat Mumetall, eine Mischung von Ni, Cu, Co einen Wert von µ 10 5 ). Für ferromagnetische Sto e ist M ~ ist keine eindeutige Funktion des äußeren Feldes, sondern hängt von der magnetischen Vorgeschichte ab. Man unterscheidet magnetisch harte (große Remanenz) und magnetisch weiche Materialien (kleine Remanenz). Die Fläche Hystereseschleife ist ein Maß für die Remanenz. Bei ersten Anschalten einer magnetischen Erregung entwickelt sich das B- Feld von 0 nach P 1 entlang der sogenannten Neukurve. 1 Analog für die magnetischen Momente von Elektronenspin und Kernspin.

8.3. FERROMAGNETISMUS 77 Nach Abschalten von H fällt das B-Feld nur langsam auf den Wert B r (das Remanenzfeld) ab. Auf Null kommt man erst durch Anlegen einer gegenpoligen Erregung H k, der sogenannten Koerzitivkraft. Bei Durchlaufen der Hysteresekurve wird Energie zum Ausrichten der Dipole verwendet und in Wärmeenergie der Probe umgewandelt. Für einen Dauermagneten fordert man große Remanenz, für den Eisenkern eines Transformators einen Werksto möglichst geringer Hysterese. In der Gasphase (einzelne Atome) ist jedes ferromagnetische Material paramagnetisch. In Festkörpern führt die Wechselwirkung zwischen Elektronenspins benachbarter Atome zu einer spontanten Magnetisierung, wobei eine Ausrichtung der Momente benachbarter Atome in kleinen Bereichen (Weißsche Bezirke) erfolgt. Das Bild zeigt schematisch die mikroskopische Struktur eines Ferromagneten. Ohne äußeres Feld sind die einzelnen Bezirke statistisch verteilt. Innerhalb eines Bezirkes sind die magnetischen Dipolmomente ausgerichtet. Bei Anlegen der äußeren Erregung richten sich ganze Bezirke aus. Für durchsichtige ferromagnetische Materialien (dünne Filme im Bereich von wenigen µm) können die Grenzen der Bezirke sichtbar gemacht werden, da an den Grenzen eine vom Bezirk unterschiedliche Polarisationsdrehung von polarisierten Licht stattfindet (Aufnahme über Mikroskop). Eine genaue Beobachtung der Hysteresekurve zeigt, dass diese keine glatte Kurve ist, sondern Barkhausen Sprünge aufweist. Das Umklappen ganzer Bezirke kann hörbar gemacht werden, wenn man die statistisch ansteigende Magnetisierung über eine Induktionsspule einem Verstärker und Lautsprecher zuführt. M 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 H Der Ferromagnetismus verschwindet oberhalb der Curie-Temperatur.Beidieser Temperatur übersteigt die thermische Energie (k B T ) die Wechselwirkungsenergie aus der geordneten Ausrichtung der magnetischen Dipolmomente. Ferromagentische Sto e werden oberhalb der Curie-Temperatur paramagnetisch. Nickel hat eine Curie Temperatur von 360 C, Eisen hat 768 C. Das Einstein-de-Haas Experiment zeigt dass mit dem atomaren magnetischen Moment ein Drehimpuls verknpft ist. Ein an einem Torsionsfaden aufgehängter Weicheisenzylinder zeigt durch Rotation die makroskopische Drehimpulsänderung, die mit der Ausrichtung der atomaren magnetischen Dipole verknüpft ist. Anziehende Kraft zwischen zwei Permanentmagneten : Zwei stromführende Leiter ziehen sich an, wenn der Strom in dieselbe Richtung fließt. Dieses Bild lässt sich auch auf atomare Kreisströme bzw. den Magnetisierungsstrom (siehe Seite 74) übertragen.

78 KAPITEL 8. MATERIE IM MAGNETFELD 8.4 Felder an Grenzflächen Elektrostatik: An einer Oberfläche mit der Flächenladungsdichte macht (siehe Seite 19) die Normalkomponente von ~ E einen Sprung von / 0. Wegen der Polarisationsladungen erniedrigt sich beim Übergang vom Vakuum in ein Medium mit der Dielektrizitätskonstante die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke E vac? = E diel?. (8.18) Mit dem Stokes schen Satz lässt sich aus ~ r ~ E = 0 zeigen (Seite 52) : Die Tangentialkomponente von ~ E geht stetig über. Im Spezialfall eines leitendes Mediums verschwindet in der Elektrostatik die Feldstärke im Inneren des Leiters. Die freien Ladungen sitzen an der Oberfläche. Auf einer Metalloberfläche gibt es (im statischen Fall) nur eine Normalkomponente von E ~ und diese ist durch die Flächenladungsdichte bestimmt. Eine Tangentialkomponente von E ~ würde zu Strömen führen. Diese verschieben die Ladungen solange, bis diese Komponente Null ist. Magnetostatik: Wenn keine freien Ströme vorliegen ( ~ r ~ H = ~j frei = 0 ) gilt analog: Die Tangentialkomponente von ~ H geht stetig über. Daraus folgt, dass sich beim Übergang vom Vakuum in ein Material mit Permeabilität µ die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke erhöht und B vac = 1 µ Bmat (8.19) B vac? = B mat?. (8.20) Die Normalkomponente von ~ B geht stetig über. Diese Bedingungen führen zu einem Brechungsgesetz für die Komponenten der magnetischen Feldstärke, das die starken magnetischen Abschirmeigenschaften von Material mit hohem Wert von µ vorhersagt (µ-metall). L =? L =? L =? = J L =? K K = J = J

8.5. ELEKTROMAGNETE 79 8.5 Elektromagnete Wir betrachten eine toroidale Spule (Radius R) mit N Windungen, durch die ein Strom I fließt. Die Spule sei mit einem geschlossenen Weicheisenkern gefüllt. Die große Permeabilität des Kerns (µ 10 4 )erhöht die magnetische Feldstärke im Weicheisenring. Diese Überhöhung kann man in einen kleinen Luftspalt des Rings auskoppeln, das Konzept warum magnetische Polschuhe verwendet werden. Wegen ~ r ~ H = ~j frei gilt für den geschlossenen Integrationsweg I ~H d~s =2R H = NI, (8.21) da der Strom N-mal durch die Kreisfläche tritt. Die magnetische Erregung im Kern ist H = NI 2 R. (8.22) Die magnetische Feldstärke im Kern ist um den Faktor µ gegenüber dem Vakuumwert überhöht, B = µµ 0 NI 2 R. (8.23) Verwendet man nun anstelle des geschlossenen Weicheisenkerns ein Joch mit einem kleinen Luftspalt der Breite d, dann kann sich diese Feldüberhöhung bis zu einem gewissen Grad in den Luftspalt auskoppeln. Beim Joch teilt sich das Linienintegral (8.21) in einen Beitrag des Eisenjoches und einen Beitrag des Luftspaltes: I ~H d~s =(2R d) H Fe + dh vac = NI. (8.24) Mit B = µµ 0 H setzen erhalten wir (2R d) 1 µµ 0 B Fe + d 1 µ 0 B vac = NI. (8.25) Das Magnetfeld steht senkrecht auf den Spaltflächen. Beim Übergang vom Eisenkern ins Vakuum ist die Normalkomponente von ~ B stetig: B Fe? = B vac?. (8.26) Die magnetische Feldstärke im Luftspalt wird damit B vac = NIµµ 0 µd+2r d NIµµ 0 µd+2r wenn d R. (8.27) Für das Verhältnis von B im Spalt mit und ohne Eisenkern ergibt sich B(mit Kern) B(ohne Kern) = µ µ d (8.28) 2R +1. Für kleine Werte von d ist die Überhöhung des Feldes gleich dem Betrag von µ. Für große Werte von d ist die Überhöhung nur gleich 2 R/d.

80 KAPITEL 8. MATERIE IM MAGNETFELD 8.6 Magnetfeld der Erde Das Erdmagnetfeld ist näherunsgweise gleich dem Feld eines magnetischen Dipols, dessen Achse gegenüber der Erdrotationsachse um etwa 11 geneigt ist. Am Äquator liegen die magnetischen Feldlinen etwa parallel zur Erdoberfläche. In Freiburg ist die Inklination etwa 60. An der Erdoberfläche ist das Feld etwa 0.5 Gauss. Abweichungen vom Dipolfeld entstehen u. A. durch lokale Schwankungen des Anteils magnetischer Mineralien in der Erdkruste. Die Magnetpole liegen nicht bei den geographischen Polen (magnetische Deklination). Die wichtigsten Ursachen für das Dipolfeld sind elektrische Ströme im flüssigen Erdkern. Auf Grund des radialen Temperaturgradienten gibt es Konvektionsströme in radialer Richtung. Durch die Coriolis-Kräfte auf Grund der Erdrotation, ~v ~!, werden diese tangential abgelenkt und bilden eine Art Kreisstrom um die Rotationsachse. Der Van Allen Strahlungsgürtel in 10 3 10 4 km Höhe stellt eine magnetische Flasche dar. Das Magnetfeld ist relativ schwach in der Äquatorgegend, aber steigt zu den Polen hin an. In dieser Höhe bewegen sich Ladungsträger frei und werden von der Lorentz-Kraft senkrecht zur Einschussbahn und zum Magnetfeld abgelenkt. 2 H J A - H @ A - A J H A Je nach Einschussrichtung in das Feld beschreibt ein geladenes Teilchen eine Spiralbahn um eine Feldlinie und folgt dieser, wenn sich die Feldlinie krümmt. Im inhomogenen Feld bewegt sich das Teilchen in einen Trichter von Feldlinien. Beim Eintreten in den Trichter erhält die Lorentz Kraft eine kleine rücktreibende Komponente. Diese spiegelt Teilchen bei genügend kleiner Energie und großer Inhomogenität in seiner Bewegung zurück. In der Folge beschleunigt die Inhomogenität das Teilchen zurück zum Äquator, von wo es gegen den gegenüberliegenden Pol anläuft und dort gespiegelt wird. Im inneren Van-Allen Gürtel finden sich Elektronen mit bis zu 0.78 MeV und Protonen mit Energien bis 150 MeV. Die scharfe Grenzenergie der Elektronen deutet auf einen Ursprung aus dem Zerfall eines Neutrons n! p+e+ hin. Die hohe Konzentration schneller Protonen (sie durchdringen ohne weiteres mehrere mm Blei) macht den Strahlungsgürtel so gefährlich. Weit von der Erde entfernt wird das Dipolfeld durch die elektrischen Ströme des Sonnenwindes stark verändert (Magnetopause, siehe Seite 85).

8.7. DIAMAGNETISMUS 81 8.7 Diamagnetismus Kennzeichen des Diamagnetismus sind: 10 6 µ < 1 B mat < Bvac (8.29) Diamagnetismus ist eine Induktionserscheinung, die bei allen Substanzen auftritt. Die induzierten Dipolmomente sind dem induzierenden Feld entgegengerichtet. Das Feld im Inneren der Probe ist kleiner. Die Suszeptibilität ist klein und negativ. Allerdings wird dieser E ekt überdeckt, wenn die Substanz paraoder ferromagnetisch ist. Beobachtbar ist der Diamagnetismus nur bei Substanzen, die kein permanentes magnetisches Dipolmoment besitzen. Atomares Bild auf der Basis des 2. Gesetzes von Maxwell, r ~ E ~ = @ B/@t ~ : Beim Einschalten des Magnetfeldes (beim Einbringen des Atoms in das Magnetfeld) entsteht über @ B/@t ~ ein zirkulares E-Feld. ~ Dieses induziert einen Strom in der Dichteverteilung der Elektronen im Atom. Dieser Strom ist rotationssymmetrisch zur Achse des magnetischen Feldes. Mit diesem Strom verbunden ist ein magnetisches Moment, das dem äußeren Feld entgegengerichtet ist. Ein klassisches Modell geht von einem Elektron (Masse m, Ladung e) aus, das sich im Mittel im Abstand R vom Proton befindet. Ein externes Magnetfeld wird eingeschaltet, die Induktion erzeugt ein E-Feld. Auf Grund der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Bahnfläche des Elektrons, R 2,entsteht I ~E d~s = d m = R 2 d B. (8.30) dt dt Entlang der Umlaufsbahn des Elektrons, 2R ensteht E = R d B. (8.31) 2 dt Das elektrische Feld bewirkt ein Drehmoment auf das Elektron, ~D = e ~ E ~ R. [ ~ D] = Joule (8.32) Dies entspricht einer zeitlichen Änderung des Drehimpulses L, dl dt = er2 2 d B. (8.33) dt Die Integration von t =0(keinB-Feld) bis zum Zeitpunkt t (Feld gleich B), ergibt die Änderung des Drehimpulses infolge der Induktion als L = er2 2 B. (8.34) Das magnetische Moment aus der Bahnbewegung war ~µ bahn = liefert der Diamagnetismus das zusätzliche magnetische Moment e 2m ~ L. Damit ~µ dia = e2 R 2 4m ~ B. (8.35) Dieser Beitrag zum magnetischen Moment ist unabhängig vom Umlaufssinn und Vorzeichen der Ladung. Er hängt ab von der räumlichen Ausdehnung der Elektronendichte im Atom. Typisch liegt R für Atome im elektronischen Grundzustand 2 im Bereich von etwa einem Ångstrøm (1 Å 10 10 m). 2 Damit ist gemeint, dass die Elektron sich in den tiefsten Energieniveaus befinden.