Baustatik & Festigkeitslehre Vorlesung & Übung Vortragender: O.Univ.Prof. DI Dr. Dr. Konrad Bergmeister
Kraftgrößenverfahren Wenn statisch unbestimmte Systeme berechnet werden sollen, müssen zusätzliche Gleichgewichtsbedingungen gefunden werden. an benutzt zusätzlich geometrische Randbedingungen um diese Probleme zu lösen.
Grad der statischen Unbestimmtheit Gleichgewichtsbedingungen: im Raum: 6 Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene: Gleichgewichtsbedingungen Statisch bestimmte Systeme: Die Reaktionen und Schnittkräfte sind aus den Gleichgewichtsbedingungen alleine berechenbar. Statisch unbestimmte Systeme: Die Reaktionen und Schnittkräfte sind aus den Gleichgewichtsbedingungen alleine nicht berechenbar.
Zerlegungsverfahren Beispiel : Räumliches System 6 6 Anzahl der gelösten Bindungen : 6 + 6 = Grad der statischen Unbestimmtheit : n =
Zerlegungsverfahren Eingespanntes Auflager Stabschnitt 6 Komponenten y V y V x V z = N x x = T x 6 gelöste Komponenten NV,, V, T,, y z y z y z z
Zerlegungsverfahren n i = 6 n a = 6 n= n + n = i a
Zerlegungsverfahren Gelöste Bindungen bei ebenen Tragwerken Entfernen von Auflagern: H R H R V RV RV
Zerlegungsverfahren Gelöste Bindungen bei ebenen Tragwerken Schnitt eines biegesteifen Stabes: V N N V
Zerlegungsverfahren Gelöste Bindungen bei ebenen Tragwerken Biegegelenk einfügen am biegesteifen Stab: Schnitt eines Fachwerkstabes: N N
Zerlegungsverfahren n i = 9 Reaktionen Gleichgew.-Bedingungen n a = 6 z.b. Zerlegung in Kragarme n= n + n = a i 9 n = + + = 9
Zerlegungsverfahren n= oder : n=
Abzählkriterium Das Tragwerk darf kein echanismus sein! a) Ebenes Fachwerk : n = r + s k r= k=6 n = - s = 8 labil r= s = 9 k=6 n = 0 falsch Kriterium nicht hinreichend (echanismus)
Abzählkriterium b) Ebenes biegesteifes System s = 6 k = 7 r = 6 g = 8 6 n = + - = = s + r g k s = 6 k = 7 r = 6 g = n = falsch! Kriterium nicht hinreiche (echanismus) s = 5 k = 6 r = 5 g = n = 5+ 5-8=
Kraftgrößenverfahren δ ik Ort Ursache. Zerlegung des vorhandenen Systems in ein statisch bestimmtes Grundsystem (GS). An den Schnittstellen den gelösten Bindungen entsprechende Kraftgrößen, auch als überzählige Größen (ÜG) bezeichnet, einführen: n überzählige Größen X i Bestimmung der Verschiebungen an den n Stellen und in Richtung der überzähligen Größen X i infolge der Belastung und infolge der ÜG X k = ( ) δ i0
Kraftgrößenverfahren. Formulierung der Verträglichkeitsbedingungen, auch Kompatibilitätsbedingungen genannt, in den Schnittstellen bis n, d.h. man stellt die Kontinuität des Tragwerkes in allen Stellen wieder her: δi = δ + X δ + i0 i + X n δ in
Kraftgrößenverfahren 4. Lösung dieses Gleichungssystems (siehe Lineare Algebra) 5. Die endgültigen Schnittkräfte am statisch unbestimmten System erhält man durch Superposition der entsprechenden Größen am statisch bestimmten Grundsystem.
Symmetrie und Antimetrie P P/ P/ P/ P/ p = p/ p/ + p/ p/ SA Symetriefall S Symetriefall A
Symmetrie und Antimetrie symetrische Größen S Verlauf symetrisch Bedingung auf SA A Verlauf antimetrisch Bedingung auf SA N, 0 = 0 w antimetrische Größen antimetrisch symetrisch V u, j = 0 0 Lagersymbol
Symmetrie und Antimetrie S A Knick S A = + n = n = n = S A
Symmetrie und Antimetrie System S A P P/ / I A = 0 I A N = 0
Systematik des Verfahrens Schritt : Grundsystem mit statisch Überzähligen x x x numerisch günstig numerisch ungünstig x x x
statisch bestimmte Grundsysteme x x x x numerisch ungünstig x x unbrauchbar x möglich x x x x x
Systematik des Verfahrens Schritt : Nullzustand (Lastzustand) X=0 Verlauf Schnittgrößen für X=0 Einzelwerte 0, V0, N 0 S0 m0, Vm0, N m0 S m0 Ort Ursache An den Stabenden: S 0 Verlauf Verschiebungsgrößen für X=0 Einzelwerte u 0, w0, ϕ 0 r0 u m0, wm0, ϕ m0 rm 0 Ort Ursache
Angabe p = kn/m P = 0 kn m 6 4 Nullzustand p = kn/m P = 0 kn m 6 4 6 m0 = = 9 8 d 0 d 0 0 4 4 0 -Verlauf = 0 Biegelinie w 0 Lastwerte : z.b.: nach ohr EI d0 = 69 = 8 Ø º knm ø ß Baustatik EI d 0 = und 69 Festigkeitslehre + 40= 8 - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau 4
Systematik des Verfahrens Schritt : Einheitszustände Schnittgrößen für X k = mit k =,, n Verlauf Einzelwerte k, Vk, N k S k mk, Vmk, N mk S mk Ort Ursache Kraftlastfall X = k
Systematik des Verfahrens Schritt : Einheitszustände Verschiebungsgrößen für X k = mit k =,, n Verlauf Einzelwerte u k, wk,ϕ k rk u mk, wmk,ϕ mk rmk Ort Ursache Kraftlastfall X = k
X = + = m - Verlauf Biegelinie w X = d d = m + - Verlauf d d Biegelinie w Systemwerte (Flexibilitäten) : EI EI d d 0 = EI d = 6+ 4= = EI d = 6 = ØkNm ø Œ knm œ º ß
Systematik des Verfahrens Schritt 4: Bedingungsgleichungen (Verträglichkeit) und Lösung endgültiger Einheitszustand Einheitszustand = [ Nullzustand ] + X + X + X = X = Zustand δ i X X = δ + δ + δ + + δ = i0 i i n in X 0
Systematik des Verfahrens Schritt 4: Bedingungsgleichungen (Verträglichkeit) und Lösung Ødø Ød d dn ø ØXø Ød0 ø Ø0ø Œ d œ Œ d d d œ Œ n X œ Œ d œ Œ 0 0 œ Œ œ Œ = œ Œ œ+ Œ œ = Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œº dnœß Œº dn dn dnnœß Œº X nœß Œº dn0œ ß º 0ß F i X + r = xx - X = Fxx -rx0 x0 0
Systematik des Verfahrens Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) Verlauf Schnittgrößen Einzelwerte = + X 0 0 n i= n i= V = V + V X k k i i = + X m m0 mi i i= V = V + V X m m0 mi i i= n n an den Stabenden: S = S 0 + S xx X i
Systematik des Verfahrens Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) Verlauf Verschiebungsgrößen Einzelwerte u = u + u X 0 0 n i= w= w + w X n i= i i i i u = u + u X m m0 mi i k = w = w + w X m m0 mi i i= n n an den Stabenden: r = r 0 + r xx X i
Kraftgrößenverfahren Systematik des Verfahrens Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) + = 0 0 0 0 X X n m n m n m n m
Kraftgrößenverfahren Systematik des Verfahrens Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) + = 0 0 X X w w w w w w w w n m n m n m n m
Ausgangssystem 4 5 5 EI =,84 0 knm = konst. 4 m 4 m 4 m EA a T = EI / l T = 0 C -5 0 / C statisch bestimmtes Grundsystem X n =
Nullzustand d 0 > 0 = 0 a T a a 0 T Verformungszustand = N = 0 ( Verformungslastfall) a d = a T l = =,0-5 0 0 4 - m a = = 0,60 l -
Einheitszustand = 4 =0 =0 4 - Verlauf -Verlau d w Verformungszustand PvK...: EI d = dx = 4 8 = + =
4 Bedingungsgleichung (Vertäglichkeit) d = d + X d = 0 d fi =- =- =- 0-0 0,60 X EI,6 knm d
5 Endgültiger Zustand (Superposition) = + X 0 = 0 Verfomungslastfall a) -,6 knm -Verlauf Anteil des Nullzustandes w 0 w X a w w a 0 b) Verformungsverlauf a wegen EA = wie im Nullzustand nteil der Krümmung X w (gestrichelt) w = w0 + X w a a
Wirkung der Vorspannung innere Vorspannung äußere Vorspannung P Ds Spannbeton Unterspannung Stützensenkung - Sofortiger Verbund:alle Lastfälle sind mit Verbund zu behandeln. - Nachträglicher Verbund: für P + g gilt : zunächst ohne Verbund, alle weiteren Lastfälle mit Verbund.
ohne Verbund mit Verbund Eigenschaften Querschnitt Stahl und Beton als getrennte komponenten getrennt ( A c, I b und A P ) Verbundquerschnitt ( Stahl / Beton ) verbunden ideell ( A i. I i ) an den Spannglieder in jedem Querschnitt e e Verträglichkeit e P = e cp zusätzliche innere statische Unbestimmtheit X wie sonst statisches System X X (für Lastfall X = P: n=) n = Spanngliedkraft infolge weiterer Lastfälle direkt aus Systemberechnung nach Systemberechnung aus Querschnittsbetrachtung ( gleiche Dehnung ) D Pp = X p s c s P e = = fid P = c A E E P p P P c P
Wirkung der Vorspannung - Beispiel ohne Verbund mit sofortigem Verbund g = 5 kn/m g = 5 kn/m e = 0, m,0 m e = 0, m l = 8,00 m l = 8,00 m 0,6 m N N Ec = 40000, E 00000 p = m m A = 0,6 m, A = 0,00m I c c = 0,05m E I = 000Nm c c 4 E A = 4000 N; E A = 600N c c P P P = 00kN P E A I i c i l = 8,00 m l = 8,00 m N N = 40000, E 00000 P = m m = 0,6m = 0,05m E I = 04Nm c i E A = 4480N c i P = 00kN 4 0,6 m
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Statisch bestimmtes Grundsystem mit Überzähligen A, I b b A, I i i X n = X A P n = X
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Nullzustand (X=0) a) Lastfall Vorspannung P vorgegeben P P d 0,P d 0,P - P e =-60 0,P - P e=-60 0,P - P e =-00 N0 cp, - P e =-00 N0 cp, P e =-00 cp Baustatik und Festigkeitslehre - WS 004/05, - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Nullzustand (X=0) b) Lastfall Eigengewicht g vorgegeben g P d 0,g d 0,g d 0,g 0, g 0,g ( ) N 0c = 0 l ( l) g = 480 N 0P = 0 g = 480 Baustatik und Festigkeitslehre 8 - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven 8 Ingenieurbau
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Einheitszustände X = d d d l = 4 4 l = 4 4 Nc = 0 N c = N = 0
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Einheitszustände X = P= d d -0, - N c Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau N P
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Einheitszustände - Systemwerte: Ε Ι = c c δ dx = 8 4 4 = 85, knm Εc Ιc δ = dx = 8 Εc Ιc δ = dx + ( 4) ( 0,) = 9, 600 Ε Ι Ε Ι + N dx+ Εc Α c ΕP ΑP knm N dx c c c c << c P Spanngliedanteil Ε Ι = ² c c δ dx 0 6 ( 0,) ² + 6 ( ) ² + 6 ² = 56, 07 knm = 8 4 4 = 85, knm
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Einheitszustände - Lastwerte : ) Ε Ι δ = dx = c c 0, P 0, P 8 ( 4) ( 60) = 50 ) Ε Ι δ = dx b b 0, P og, knm = Ε Ι δ = dx c c 0, V 0, P 8 ( 4) ( 60) = 50 Ε Ι δ = dx c c 0, P og, knm = 6 480 ( 4),5 = 800 Ε Ι δ = dx = c c 0, g og, knm = 6 480 ( 4),5 = 800 knm = 6 480 ( 0,) = 5 knm Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt 4: Bedingungsgleichungen x, P ) δ = δ + x δ =, P 0, P, P 0 δ δ 50 85, knm 0, P = = x = kn, P 5 ) δ, g δ0, g δ = + X δ, g δ, g δ 0, g δ X δ, g 800 85, 9,60 X, g 0 + = 5 9,60 56, X, g 0 X, g 55,6kN = Vg X, g 5,kN m Spannkraftänderung infolge g δ δ δ, P = 0, P + x, P = 0 x, P δ δ 50 85, knm 0, P = = δ x = kn, P 5, g = δ0, g + x, g δ = 800 knm = 85, m X 50 kn X, g, g = ( ) Pg x aus den Querschnittsbetrachtungen m 0
Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) ) = + X P op,, P = + X P op,, P -60 knm -60 knm -60 knm -60 knm P P 80 knm 80 knm ) = + X + X g og,, g, g = + X g og,, g -40,8 knm -0 knm,6 knm 0 0 0,6 knm g
Zusammenfassung d -Werte ( Flexibilitäten) Nullzustand Verformungslastfall ( spannungslos ) direkt P. v. K. X = 0 Vorspannung d i 0 Kraftlastfall Einheitszustände Integrationstafeln X = 0 Kraftlastfall d ik
Berechnung der Verschiebungsgrößen a) Ermittlung des endgültigen Schnittkraftverlauf (, gegebenenfalls V und N) b) Bestimmung diskreter Verschiebungsgrößen. z.b. mit dem P.v.K. c) Einhängen des Verschiebungsverlaufes innerhalb der Elemente (wie bei statisch bestimmten Tragwerken).
Berechnung der Verschiebungsgrößen, Kraftlastfall, N δ δ V.. Verformungslastfall δ δ + δ 0, N, V spannungslose Verschiebung..
Der Reduktionssatz Bei der Anwendung des P.v.K auf ein unbestimmtes Tragwerk kann einer der beiden Zustände an einem statisch bestimmten System aufgestellt werden.
Der Reduktionssatz wirklicher Zustand n virtueller Zustand z.b. - Anteil Bewertung n dx δ = v ΕΙ zu aufwendig eduktionssatz.art eduktionssatz.art 0 n dx δ = v 0 ΕΙ n 0 dx δ = v 0 0 ΕΙ günstig bei eine Verschiebung für viele Lastfäll günstig für Lastzustand (Regelfall)
Der Reduktionssatz q System m l l E I = konst. n= d m =?
Der Reduktionssatz X X q d 0 d 0 m 0 q ( l) 8 0
Der Reduktionssatz d Department für Bautechnik und X = d d - Werte d d = _ X = 0 0 = dx E I dx E I l 4 =- l 0 0 linear abhängig d d = = 0 E dx E I dx
Der Reduktionssatz Bedingungsgleichung d = d + X d = 0 fi X 0 d = d 0 + X d = fi X Endgültiger Zustand (Superposition) = 0 + X + + = 0 + X _ +
Der Reduktionssatz 0 + X dx d = E I 0 + X - l m dx Ø dx dx ø 0 - X 0 X E I l Œ + E I E Iœ º ß m d = 0 dx E I d 0 + X d = 0
Integraltafel Auswertung der Integrale f ( x) g( x) dx z.b. ( x) ( x) j j j αa j a a a βa j Stat. System k aj k aj k aj k aj k 0 aj k aj k aj 6 k 4 aj k ( +α ) 6 k 0 k aj k aj 6 k aj k 4 aj k dx ( + β ) 6 ( ) a k aj k aj 4 k aj 4 k aj k a 0, 75 α α 0,5 : β 0, 75 β α 0,5 : α k γ a δ a aj aj( k k + k ) ( +γ ) aj( k + k ) 6 6 ( +δ ) aj( k 6 + k ) Universität für Bodenkultur 6 Wien 0, 75Department γ γ δ : für Bautechnik und δ aj( k + k ) 4 γ δ : 0, 75 δ γ α δ α γ : 6 βγ β γ α γ : 6αδ j j j j aj[ k α 6 ( + β ) + k ( + ) 0 4 j j kubische P. quadratische Parabeln αa j j j β a j j j j j j j j ( ) q j = qa / 8 j = qa / j = qa / j = qa / 6 j = qa /6 q q q q a( j j)k + ( 6 a j + j )k a( j j )k 6 + ( 4 a j + j )k ( 0,5 α ) ( α ) ( β ) 6 6 4 4 a( j + 4 j + j )k a( j j )k 6 6 + ( 6 a j + j )k 7 4 5 60 4 5 0 [ ( ) ( ) j + δ + j + ]k a j ( k + k ) + j ( Baustatik g ( ) ( x x g )dx und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven a j Ingenieurbau ( k + k ) + j( k + 6 ) alle Werte j und k sind mit Vorzeichen einzusetzen ( ) g (x) und g (x) gleichartige Funktionen mit unterschiedlichen Ordinaten j,k a 6 γ 6 [ k + k α 0,5 :( 0,5 α ) α γ : α δ 6 βγ aj[ ( β k ) ( ) + α k β γ 6 α 0,5 :( β 0,5) α γ : 6αδ 5 ( + γδ ) aj( k + k ) 7 ( + γ +γ ) aj( k + k ) 48 7 ( + δ +δ ) aj( k 48 + k ) a( j + 0 j + j )k a[ j j ( ) j ]k δ + + γδ + γ a[ jk + j( k + k) + jk ] 4 6 6 5 7 ( ) + γ 0 γ aj( 7k + 8k ) 60 ( + γ + γ + γ ) aj( k + 4k ) 0 0 [ k