Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Brückenkurs 011 Arbeitsblatt Funktionen Büro: 4.613 Semester: - Modul: Mathematik Datum: 011 1. Aufgabe Erstellen Sie von den nachstehenden Zusammenhängen ein Balkendiagramm (z.b. mit Excel): (a) Lautstärke von verschiedenen Geräuschen: (b) Höhe einiger Berge: Taschenuhr (ticken) 10ph Schreien 80ph Flüstern 0ph Motorrad 80ph Leise Unterhaltung 40ph Hupe 90ph Büro 50ph Niethammer 110ph Mechanische Werkstatt 60ph Flugzeugmotor 10ph Zugspitze 963m Kilimandscharo 5955m Grossglockner 3800m Mount McKinley 6187m Matterhorn 4484m Aconcagua 6960m Montblanc 4810m Mount Everest 8847m. Aufgabe Erstellen Sie Kreisschaubilder (z.b. mit Excel): (a) Legierungen: Legierung Sn Zn Pb Cu Ni Sonstiges a.) Rotguss 5% 7% 3% 85% - - b.) Zinnbronze 7% 5% - 88% - - c.) Alpaka - 0% - 60% 0% - d.) Nickelin - - - 67% 30% 3% Mn e.) Neusilber - 41% - 47% 1% - f.) Nirosta-Stahl - - - % 8% 0% Cr, 70% Fe (b) Erdölforderung (Werte in Millionen Tonnen pro Jahr): Rang Land 1970 1980 1990 000 005 1. Saudi-Arabien 188 496 341 439 533. Russland 318 543 516 33 47 3. USA 475 48 414 351 314 4. Iran 191 77 161 193 00 5. Mexiko 1 197 148 173 188 6. China 17 106 138 163 18 7. Venezuela 194 113 116 173 154 8. Kanada 6 83 9 131 143 9. Norwegen 0 4 8 159 138 10. Vereinigte Arabische Emirate 38 83 10 11 131
3. Aufgabe Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Ölpreises (Preis in US-Dollar pro Fass) mit einem Kurvenschaubild (Graph) dar (z.b. mit Excel): 1970 1.1 1976 11.63 198 31.80 1988 13.7 1994 14.74 000 6.0 1971 1.69 1977 1.83 1983 8.78 1989 15.6 1995 16.10 001.81 197 1.90 1978 13.03 1984 8.06 1990 0.45 1996 18.5 00 3.74 1973.83 1979 9.75 1985 7.53 1991 16.63 1997 18.3 003 6.78 1974 10.41 1980 35.69 1986 13.10 199 17.16 1998 1.1 004 33.64 1975 10.70 1981 34.3 1987 16.95 1993 14.95 1999 17.5 005 49.35 4. Aufgabe Stellen Sie die folgenden Punkte in einem (kartesischen) Koordinatensystem dar: P 1 (3, 4) ; P (0, 5) ; P 3 (, ) ; P 4 ( 1, 4) ; P 5 (1, 0) ; P 6 ( 3, 4) 5. Aufgabe Skizzieren Sie die Graphen der folgenden linearen Funktionen: f 1 (x) = x 5 f (x) = x + f 3 (x) = 1 + x 3 f 4 (x) = x f 5 (x) = 3 x 6. Aufgabe Bestimmen Sie die Funktionsvorschriften der linearen Funktionen, welche die angegebenen Punkte beinhalten: (a) P 1 (3, 4) ; P (0, 1) (b) P 1 (3, 4) ; P (0, 4) (c) P 1 (0, 0) ; P (5, 10) (d) P 1 ( 4, ) ; P (6, 1) (e) P 1 (, ) ; P (, 5) 7. Aufgabe Lösen Sie die folgenden Gleichungen graphisch (skizzieren Sie die Graphen der Funktionsterme rechts und links des Gleichheitszeichens und bestimme die x-koordinate des Schnittpunktes): (a) (b) x + 6 = 14 1x = 10x + 8 Seite / 6
(c) 4x + 6 = 3x + 19 8. Aufgabe Bestimmen Sie die Umrechnungsfunktionen um die Temperaturen von Grad Celsius nach Grad Fahrenheit umzurechnen (und umgekehrt). Stellen Sie die gefundenen Umrechnungen tabellarisch und graphisch dar. 9. Aufgabe Skizzieren Sie die Graphen der folgenden quadratischen Funktionen (mit einer Wertetabelle): f 1 (x) = 3x f (x) = x 3 f 3 (x) = x 1 f 4 (x) = x 6x + 8 f 5 (x) = 3x + 1x 9 10. Aufgabe Bestimmen Sie von den Parabeln der vorherigen Aufgabe den Scheitelpunkt und wenn vorhanden die Schnittpunkte mit der x-achse (Nullstellen). 11. Aufgabe Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen (a) graphisch, (b) mit der Lösungsformel und (c) mit quadratischer Ergänzung. x 7x = 6 x + 14 9x = 0 3x 5x + 8 = 0 4x 4x = 3 8x = 1 0x 1. Aufgabe Bestimmen Sie die Funktionsvorschriften der Parabeln durch die angegebenen Punkte: (a) P 1 (1, 1), P (, 1), P 3 (3, 5). (b) P 1 ( 4, 1), P (0, 1), P 3 (6, 5). (c) Scheitelpunkt S(4, ) und y-achsenabschnitt y a = 66. (d) P 1 (3, 3) und den beiden Nullstellen x 1 = 3 und x = 1. (e) P 1 (1, 0), P (3, 1), P 3 (7, 3) Seite 3 / 6
13. Aufgabe Gegeben seien die folgenden Bilder: a.) b.) c.) d.) e.) f.) g.) h.) Bestimmen Sie (mit Begründung) ob eine Funktion vorliegt (horizontal ist der Definitionsbereich und vertikal der Wertebereich aufgetragen). Wenn es sich um eine Funktion handelt, beurteilen Sie, ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. 14. Aufgabe Skizzieren Sie (z.b. mit Excel) die Graphen der folgenden Funktionen: (a) f : [ 5, 5] R, x mx, m { ± 1, ±1, ±} (b) f : [ 5, 5] R, x x + b, b {0, ±1, ±, ±3} (c) f : [ 5, 5] R, x ax, a { ± 1, ±1, ±} (d) f : [ 5, 5] R, x x + c, c {0, ±1, ±, ±3} (e) f : [ s, 5] R, x x + s, s {0, ±1, ±} (f) f : [0, 5] R, x ax, a {1, 4, 9, 5} (g) f : [ 5, 5] R, x x n, n {1,, 3, 4, 5} (h) f : [ 5, 5] \ {0} R, x x z, z { 1,, 3, 4, 5} (i) f : [ 5, 5] R, x b x, b {, e, 3, 4, 5, 10} (j) f : [ 5, 5] R, x b x, b {, e, 3, 4, 5, 10} (k) f : [ 5, 5] R, x log b (x), b {, e, 3, 4, 5, 10} (l) f : [ 5, 5] R, x log b (x), b { 1, 1, 1, 1, 1, } 1 e 3 4 5 10 Seite 4 / 6
(m) f : [ π, π] R, x a sin (x), a { 1, ±1, ±, 5} (n) f : [ π, π] R, x sin (x + d), d { ± π, ± π, ± } π 6 3 (o) f : [ π, π] R, x sin (cx), c { ± 1, ±1, ±, ±5} 15. Aufgabe Skizzieren Sie von Hand die Graphen der folgenden Funktionen, indem Sie von einer Grundfunktion y = f(x) die Transformationen y = g(x) = af(cx + b) + d geschickt anwenden: (a) y = 4 ln(x) + 1 (b) y = 3 x (c) y = sin(4x π) (d) y = sin(4(x π)) (e) y = 1 (x 5) + 1 16. Aufgabe Bestimmen Sie von den folgenden Funktionen die Umkehrfunktionen. Bestimmen Sie zuerst geeignete Definitions- und Wertebereiche, so dass die Funktionen auf einem möglichst grossen Gebiet bijektiv werden. Skizzieren Sie anschliessend (z.b. mit Excel) die gegebene Funktion und deren Umkehrfunktion. (a) f (x) = x 5 (b) f (x) = x 5 (c) f (x) = (x 5) (d) f (x) = x 4x + 5 (e) f (x) = x + 4 (f) f (x) = 5 cos ( x π 3 (g) f (x) = x 1 (h) f (x) = x 3 (i) f (x) = log 3 (x 5) (j) f (x) = x 5 x+1 ) 17. Aufgabe Der Weg-Zeit-Verlauf der Bewegung eines Körpers sei durch die folgende Funktionsvorschrift gegeben: ( ) s (t) = 10me 1 t s t sin 4s (a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion (z.b. mit Excel). (b) Bestimmen Sie den zurückgelegten Weg zu den folgenden Zeitpunkten t {0s, 1s, s, 5s, 10s}. Visualisieren Sie die gefundenen Resultate in der Grafik. (c) Bestimmen Sie für die folgenden Zeitintervalle I 1 = [0s, 0.5s], I = [0s, 1s] und I 3 = [0.5s, 1s] die Durchschnittsgeschwindigkeiten. Visualisieren Sie die gefundenen Resultate in der Grafik. Seite 5 / 6
(d) Die Momentangeschwindigkeit ist gleich der Steigung der Tangente an den Weg-Zeit-Graphen zum interessierten Zeitpunkt. Finden Sie aus der Grafik den Zeitpunkt mit maximaler Momentangeschwindigkeit. Schätzen Sie zudem den Wert für die maximale Momentangeschwindigkeit ab. Seite 6 / 6