3.3. Klassifikation quadratischer Formen auf R n 61 3.3 Klassifikation quadratischer Formen auf R n Wir können den Hauptsatz über symmetrische Matrizen verwenden, um uns einen Überblick über die Lösungsmengen quadratischer Gleichungen in n Variablen zu verschaffen. Eine homogene quadratische Gleichung in zwei Variablen x, y sieht so aus: c 1 x 2 +c 2 xy +c 3 y 2 = c 4, (c 1,c 2,c 3,c 4 R vorgegeben). Zum Beispiel ist die Lösungsmenge der Gleichung x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 eine Ellipse, die die x-achse bei x = ±a und die y-achse bei y = ±b schneidet. Die Lösungsmenge der Gleichung x 2 a y2 2 b = 1 2 ist eine Hyperbel mit Asymptoten, gegeben durch y = ± b x. Die Hyperbeläste a schneiden die x-achse bei +a bzw. a. Denn wir könnten die Gleichung umschreiben in die Form b 2 x 2 a 2 y 2 = (bx+ay)(bx ay) = (ab) 2. In den neuen Variablen x = bx+ay und ỹ = bx ay gilt also die üblicherweise als Hyperbelgleichung bezeichnete Beziehung ỹ = c x, wobei c = (ab)2. Weiter erhalten wir aus der definierenden Gleichung, wenn wir x gegen unendlich gehen lassen: y 2 lim x x = lim 2 x (b2 a b2 b2 2 x2) = a. 2 Daraus ergibt sich sofort die Behauptung über die Asymptoten. Wir wollen nun folgende Fragen beantworten: Kann man durch Wahl eines neuen Koordinatensystems jede quadratische Gleichung in eine möglichst einfache Form bringen? Wie lassen sich die möglichen Typen klassifizieren? Die linke Seite der quadratischen Gleichung fasst man zusammen zu einer sogenannten quadratischen Form. 3.16 Definition Unter einer quadratischen Form auf R n versteht man eine Abbildung nach R, die durch einen quadratischen Ausdruck in den Koordinaten gegeben ist, also: q:r n R, q(x 1,...,x n ) = α ij x i x j. i j Aus den Koeffizienten α ij können wir eine symmetrische Matrix A = (a ij ) i,j bilden, indem wir setzen: a ii = α ii für alle i und a ij = a ji = 1 2 α ij für alle i < j. Dann lässt sich die quadratische Form q so schreiben: q(v) = v T Av = v,av für v R n. Umgekehrt liefert jede symmetrische n n-matrix A (das heisst also eine Matrix mit a ij = a ji für alle i j) auf diese Art eine quadratische Form q A auf R n.
62 Kapitel 3. Quadratische Formen und symmetrische Matrizen Für n = 2 heisst das konkreter: Die quadratische Form auf R 2, definiert durch q(x,y) = ax 2 +bxy +cy 2, (a,b,c R), gehört zu der symmetrischen Matrix ( a 1 A := b ) 2 1 b c, 2 denn q A (x,y) = (xy)a ( ) x = ax 2 +bxy +cy 2. y Sei jetzt A eine reelle, symmetrische n n-matrix. Die zugehörige quadratische Form auf R n lautet dann q A :R n R, q A (v) := v T Av. Weil A symmetrisch ist, können wir zu einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren (v 1,...,v n ) übergehen. Bezeichnet T die entsprechende Transformationsmatrix, so ist λ 1... 0 T 1 AT =. 0.. 0, 0... λ n wobei λ 1,...,λ n die Eigenwerte von A sind. Da T orthogonal ist, erhalten wir q A (Tv) = (Tv) T ATv = v T (T T AT)v = v T (T 1 AT)v. x 1 Setzen wir für v =. ein, erhalten wir, weil die Matrix T aus den Spalten x n v 1,...,v n besteht, folgendes Resultat: 3.17 Satz Sei q = q A :R n R die quadratische Form zur symmetrischen Matrix A. Sei weiter (v 1,...,v n ) eine Orthonormalbasis von R n aus Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1... λ n. Dann gilt q(x 1 v 1 + +x n v n ) = λ 1 x 2 1 + +λ nx 2 n. WirkönnenalsojedequadratischeFormaufR n beigeeigneterwahldeskoordinatensystems als Summe von gewichteten Quadraten schreiben. Kommen wir nun zu den Lösungsmengen quadratischer Gleichungen zurück. Schauen wir uns zunächst den Fall n = 2 genauer an. 3.18 Satz Sei A eine invertierbare symmetrische 2 2-Matrix mit Eigenwerten λ 1 λ 2. Dann gibt es für die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung q A (v) = 1 in R 2 drei Möglichkeiten. Ist λ 1,λ 2 < 0, so ist die Lösungsmenge leer. Sind beide Eigenwerte positiv, handelt es sich um eine Ellipse. Ist λ 1 > 0 und λ 2 < 0, so ist die Lösungsmenge eine Hyperbel.
3.3. Klassifikation quadratischer Formen auf R n 63 Beweis. Wie eben gezeigt, lässt sich die Gleichung vereinfachen, indem man zu einer Orthonormalbasis v 1,v 2 von R 2 aus Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1 λ 2 übergeht.dabeihabenwirdasstandardkoordinatensystemlediglichgedreht oder gespiegelt. Bezogen auf die neuen Koordinaten x 1,x 2 nimmt die quadratische Gleichung folgende Gestalt an: ( ) q(x 1 v 1 +x 2 v 2 ) = λ 1 x 2 1 +λ 2x 2 2 = 1. Wenn λ 1,λ 2 < 0, ist λ 1 x 2 1 + λ 2 x 2 2 0 für alle x 1,x 2. Also hat die Gleichung ( ) in diesem Fall keine reellen Lösungen. Sind beide Eigenwerte λ 1 und λ 2 positiv, handelt es sich bei ( ) um eine Ellipsengleichung. Die Lösungsmenge in R 2 ist eine Ellipse mit Hauptachsen in Richtung von v 1 bzw. v 2, die die v 1 -Achse bei x 1 = ± 1 λ1 und die v 2 -Achse bei x 2 = ± 1 λ2 schneidet. Ist λ 1 > 0 und λ 2 < 0, so handelt es sich um eine Hyperbelgleichung. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist eine Hyperbel mit Asymptoten, gegeben λ durch die Gleichungen x 2 = ± 1 x λ 2 1. Die Hyperbel schneidet die v 1 -Achse bei x 1 = ± 1 λ1. q.e.d. 3.19 Beispiele Die Gleichung 2x 2 + 4xy + 5y 2 = ( 1 ) beschreibt eine( Ellipse ) mit Hauptachsen inrichtung der Vektoren v 1 = 1 1 5 und v 2 2 = 2 1 5. 1 Die Ellipse schneidet die v 1 -Achse bei ± 1 6 und die v 2 -Achse bei ±1. Die Gleichung 4x 2 y 2 = (2x y)(2x + y) = 1 beschreibt eine Hyperbel mit Asymptoten y = ±2x. Das Verhältnis λ 1 λ2 = 2 gibt die Steigung der Asymptoten an. Die Hyperbeläste schneiden die x-achse bei ± 1 2. 3.20 Satz Sei jetzt A eine symmetrische 3 3-Matrix mit deta 0. Dann gibt es für die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung q A (v) = 1 in R 3 insgesamt vier Möglichkeiten. 1. Sind alle Eigenwerte von A negativ, hat die Gleichung keine Lösungen in R 3. 2. Sind alle Eigenwerte von A positiv, handelt es sich um ein Ellipsoid. Die Eigenrichtungen geben die Hauptachsen und die Zahlen 1 λj jeweils den Halbachsenabschnitt an. 3. Sind zwei Eigenwerte positiv und einer negativ, so ist die Lösungsmenge ein einschaliges Hyperboloid. 4. Ist ein Eigenwert positiv und sind die zwei anderen negativ, so ist die Lösungsmenge ein zweischaliges Hyperboloid.
64 Kapitel 3. Quadratische Formen und symmetrische Matrizen Hierzu wiederum ein Beispiel. 3.21 Beispiel Sei q(x,y,z) = 2x 2 +4xy y 2 2xz+4yz+2z 2 = 1 für x,y,z R. Die quadratische Form q ist gegeben durch die symmetrische Matrix 2 2 1 A = 2 1 2. 1 2 2 Bestimmen wir nun die Eigenwerte von A, um den Typ der Lösungsmenge der Gleichung q(x, y, z) = 1 herauszufinden. Das charakteristische Polynom von A lautet: λ 2 2 1 p A (λ) = det(λe A) = 2 λ+1 2 1 2 λ 2 = (λ 2)2 (λ+1)+8 (λ+1) 8(λ 2). Durch Umformen erhält man p A (λ) = λ 3 3λ 2 9λ+27 = (λ 3)(λ 2 9) = (λ 3) 2 (λ+3). Die Eigenwerte der Matrix A sind also 3 (doppelt) und 3 (einfach). Deshalb ist die Lösungsmenge der Gleichung q A (x,y,z) = 1 ein einschaliges Hyperboloid. 3.22 Definition Eine quadratische Form q auf einem Vektorraum V heisst positiv (bzw. negativ) definit, falls q(v) > 0 (bzw. q(v) < 0) für alle v 0. Die Form q heisst indefinit, falls q auf V sowohl positive als auch negative Werte (sowie den Wert 0) annimmt. Weil wir jede quadratische Form auf R n als Summe von gewichteten Quadraten schreiben können, gilt folgendes: 3.23 Bemerkung Sei A eine symmetrische n n-matrix. Die zugehörige quadratischeformq A aufr n istgenaudannpositiv(bzw.negativ)definit,wennalleeigenwerte von Apositiv (bzw. negativ) sind. q A ist genaudann indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt. Eine weitere Anwendung des Hauptsatzes über symmetrische Matrizen findet man in der Mechanik bei der Beschreibung der Drehbewegungen eines starren Körpers. Nehmen wir an, ein starrer Körper rotiere um eine (bewegliche) freie Achse, die durch den Schwerpunkt des Körpers geht. Der Vektor ω R 3 gebe mit seiner Richtung die momentane Richtung der Drehachse und mit seinem Betrag die Winkelgeschwindigkeit an. Die kinetische Energie der Bewegung erweist sich als quadratische Form der Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gibt es eine symmetrische Matrix J M 3 3 (R), den sogenannten Trägheitstensor des starren Körpers, so dass: E = 1 2 wt Jw.
3.3. Klassifikation quadratischer Formen auf R n 65 Der Drehimpuls L R 3 der Bewegung ist gegeben durch L(t) = J ω(t). Ist ω ein Eigenvektor von J, so zeigen Drehimpuls und Rotationsachse in dieselbe Richtung. Das bedeutet, dass es dann keine Unwucht gibt. Weil der Trägheitstensor eine symmetrische Matrix ist, gibt es eine Basis des Raumes aus Eigenvektoren für J. Die Eigenrichtungen sind die sogenannten Hauptträgheitsachsen des starren Körpers. Wählt man Eigenvektoren als Basis, so wird aus dem Trägheitstensor eine Diagonalmatrix. In der Diagonalen stehen die Eigenwerte J 1,J 2,J 3, die jeweils die Trägheitsmomente bezüglich der gewählten Hauptträgheitsachsen angeben (und daher positive Zahlen sind). Denn in diesem Koordinatensystem nehmen die Gleichungen folgende Form an: L = J 1ω 1 J 2 ω 2 und E = 1 2 (J 1ω1 2 +J 2ω2 2 +J 3ω3 2 ). J 3 ω 3 Für eine Kugel ist J 1 = J 2 = J 3, in diesem Fall ist jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt eine Hauptträgheitsachse. Es gibt auch starre Körper, für die zwei der drei Eigenwerte zusammenfallen (zum Beispiel ein Bleistift). In diesem Fall ist die Hauptträgheitsachse zu dem einfachen Eigenwert eindeutig bestimmt, und alle dazu senkrechten Achsen durch den Schwerpunkt des Körpers sind Hauptträgheitsachsen für den doppelten Eigenwert. Ist der starre Körper zum Beispiel ein homogener Quader mit drei verschiedenen Seitenlängen, so sind alle Eigenwerte verschieden. Hier sind die Hauptträgheitsachsen gerade die drei Symmetrieachsen des Quaders. Stabil sind die Bewegungen um die Achse mit dem grössten und die Achse mit dem kleinsten Trägheitsmoment.