Statistik und Graphentheorie Sommersemester 2012 3. Juli 2012 Teil Graphentheorie Name: Matrikelnummer: 1 (12) 2 (12) 3 (12) 4 (12) 5 (12) (60)
Aufgabe 1 (12 Punkte) Gegeben sei das folgende Netzwerk: (a) Berechnen Sie schrittweise die Abstände von a zu allen anderen Knoten. (b) Geben Sie einen kürzesten Weg von a nach k an. Lösung: (a) Iter. a b c d e f g h i j k u d(u) p(u) 1 0 a 0 2 9 1 7 c 1 a 3 9 7 4 12 e 4 c 4 9 6 12 d 6 e 5 7 13 15 12 b 7 d 6 12 15 12 f 12 b 7 14 19 12 j 12 c 8 14 19 15 18 g 14 f 9 16 15 18 i 15 j 10 16 17 h 16 g 11 17 k 17 i (b) Nach Tabelle aus (a) der Weg (a, c, j, i, k) mit Länge 17. Ebenfalls die Länge 17 hat der Weg (a, c, e, d, b, f, g, h, k). 2
Aufgabe 2 (12 Punkte) Auf einer entfernten Inselgruppe im Eismeer, die aus den sieben Inseln A bis G besteht, möchte man Pinguine und Eisbären ansiedeln. Weil die Eisbären eine Gefahr für die Pinguine darstellen, müssen die beiden Tierarten strikt getrennt werden. Deshalb hat man sich entschlossen, auf jeder Insel entweder nur Eisbären oder nur Pinguine anzusiedeln, aber nie beide Arten gemeinsam. Da Eisbären außerdem gute Schwimmer sind, sollen die Tiere so auf die Inseln verteilt werden, dass die geringste Entfernung zwischen einer Eisbären- und einer Pinguin-Insel möglichst groß ist. Die nachfolgende Tabelle gibt die Entfernungen der Inseln untereinander an. A B C D E F G A 0 560 77 502 120 432 175 B 560 0 621 68 653 139 400 C 77 621 0 566 63 496 232 D 502 68 566 0 598 81 364 E 120 653 63 598 0 528 264 F 432 139 496 81 528 0 294 G 175 400 232 364 264 294 0 Auf welchen Inseln sollen Eisbären und auf welchen Pinguine angesiedelt werden? (a) Erläutern Sie kurz, wie Sie mit Hilfe der Graphentheorie dieses Problem lösen können. (b) Berechnen Sie eine Lösung des Problems. Machen Sie Ihre Berechnung deutlich. Lösung: (a) Die Aufgabe entspricht der Clusteranalyse mit Minimalgerüsten. Gesucht ist eine Aufteilung der Inseln in genau zwei Cluster: die Pinguin-Inseln und die Eisbären- Inseln. Zur Berechnung bilden wir ein Minimalgerüst auf dem vollständigen Graphen mit den Knoten A bis G, wobei die Kantenlängen mit den Entfernungen aus der Tabelle identisch sind. Aus dem Minimalgerüst löschen wir dann die längste Kante und erhalten so zwei Gruppen, die maximal weit auseinander liegen. (b) Berechnung des Minimalgerüstes mit dem Algorithmus von Kruskal: 3
Iter. Cluster Kante Länge Selektion 1 {A}, {B}, {C}, {D}, {E}, {F }, {G} {C, E} 63 ja 2 {A}, {B}, {C, E}, {D}, {F }, {G} {B, D} 68 ja 3 {A}, {B, D}, {C, E}, {F }, {G} {A, C} 77 ja 4 {A, C, E}, {B, D}, {F }, {G} {D, F } 81 ja 5 {A, C, E}, {B, D, F }, {G} {A, E} 120 nein 6 {A, C, E}, {B, D, F }, {G} {B, F } 139 nein 7 {A, C, E}, {B, D, F }, {G} {A, G} 175 ja 8 {A, C, E, G}, {B, D, F } {C, G} 232 nein 9 {A, C, E, G}, {B, D, F } {E, G} 264 nein 10 {A, C, E, G}, {B, D, F } {F, G} 294 ja {A, B, C, D, E, F, G} STOP {F, G} ist die längste Kante des Minimalgerüstes. Wenn wir diese herausnehmen, entstehen die beiden Mengen M 1 = {A, C, E, G} und M 2 = {B, D, F }, die 294 Längeneinheiten auseinander liegen. Wir können nun z.b. die Bären auf der Inselmenge M 1 und die Pinguine auf der Inselmenge M 2 ansiedeln (oder umgekehrt). 4
Aufgabe 3 (12 Punkte) Es sei G = (V, E) ein Baum mit V 3 und der größte Abstand zwischen zwei Knoten von G sei 2. (a) Wie sehen solche Bäume aus? Zeichnen Sie für V = 5 und für V = 6. jeweils ein Diagramm solch eines Baums. (b) Zeigen Sie: Es gibt einen Knoten z V, der adjazent zu allen anderen Knoten ist. Lösung: (a) (b) Da der größte Abstand zwischen zwei Knoten 2 beträgt, existiert ein Weg (a, z, b) der Länge 2. z sei der mittlere Knoten dieses Weges. Annahme: Es existiert ein Knoten u z, der nicht adjazent zu z ist. Dann muss u von z einen Abstand von 2 haben (Abstand 1 ist nicht möglich, weil sonst u = z oder u zu z adjazent wäre, Abstand > 2 ist nach Voraussetzung ausgeschlossen). Wenn u von z den Abstand 2 hat, dann hat u von a oder b aber den Abstand 3 (denn in einem Baum gibt es genau einen Weg zwischen zwei Knoten und der führt von u nach a oder b nur über z). Widerspruch! Also ist z zu allen Knoten u z adjazent. 5
Aufgabe 4 (12 Punkte, für WS 2010/11 oder später) Wenn Sie die Klausur als Prüfung nach dem alten Curriculum ablegen, können Sie alternativ auch die Aufgabe 4 bearbeiten. Es wird aber nur eine der beiden Aufgaben 4 bzw. 4 gewertet! Gegeben sei der folgende Graph G: (a) Ist folgende Graph planar? Begründen Sie Ihre Antwort. (b) Ermitteln Sie für den folgenden Graphen das chromatische Polynom f(g, x) und die chromatische Zahl χ(g). Lösung: (a) Der Graph ist nicht planar. Begründung: Der Graph hat n = 6 Knoten und m = 13 Kanten. Für planare Graphen gilt die Ungleichung m 3n 6 die dieser Graph nicht erfüllt (13 3 6 6). Also kann er nicht planar sein. 6
(b) f(, x) = f(, x) + f(, x) = f(, x) + f(, x) + f(, x) = f(k 5, x) + 2 f(k 4, x) Andere Möglichkeit zur Berechnung des chromatischen Polynoms: nach Aufgabe 3 (c) von Aufgabenblatt 7. Damit ergibt sich: f(, x) = (x 2) f(, x) = (x 2) f(k 4, x) Wegen f(k 5, x) + 2 f(k 4, x) = x(x 1)(x 2)(x 3) [(x 4) + 2] = (x 2) f(k 4, x) sind die beiden Polynome identisch. Aus f(, 3) = 0 folgt χ(g) = 4. f(, 4) = 0 + 2 4! = 48 7
Aufgabe 4 (12 Punkte, für WS 2009/10 oder früher) Es wird nur eine der beiden Aufgaben 4 bzw. 4 gewertet! Eine Automobilfirma stellt in zwei Werken PKWs und LKWs her. Im ersten Werk, in dem die grundlegenden Montagearbeiten durchgeführt werden, werden fünf Mann-Tage pro LKW und zwei Mann-Tage pro PKW benötigt. Im zweiten Werk, in dem die Endmontage erfolgt, sind pro PKW und LKW je drei Mann-Tage notwendig. Die Kapazität des ersten Werkes beträgt 180 und die des zweiten Werkes 135 Mann-Tage pro Woche. Die Firma verdient an einem LKW 3000 EUR und an einem PKW 2000 EUR. (a) Wie viele PKWs und LKWs sollte die Firma pro Woche herstellen, um ihren Gewinn zu maximieren? Stellen Sie zur Berechnung ein entsprechendes LP auf. (b) Lösen Sie das LP mit dem Simplex-Algorithmus. Lösung: (a) Es sei x 1 die Anzahl der PKWs und x 2 die der LKWs. unter den Nebenbedingungen: (b) Starttableau: 2000x 1 + 3000x 2 max 2x 1 + 5x 2 180 3x 1 + 3x 2 135 x 1, x 2 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 3 2 5 1 0 180 x 4 3 3 0 1 135 2000 3000 0 0 0 Wir wählen x 2 als Pivotspalte. Dann ist x 3 die Pivotzeile und 5 das Pivotelement. Das neue Tableau lautet: x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 2/5 1 1/5 0 36 x 4 9/5 0 3/5 1 27 800 0 600 0 108000 Hier ist jetzt x 1 die Pivotspalte und x 4 die Pivotzeile. Das Pivotelement ist 9/5. Das neue Tableau lautet: x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 0 1 1/3 2/5 30 x 1 1 0 1/3 5/9 15 0 0 1000/3 4000/9 120000 Dies ist das Endtableau. Die optimale Lösung lautet damit x 1 = 15 und x 2 = 30. 8
Aufgabe 5 (12 Punkte) Berechnen Sie für das folgende Flussnetzwerk einen Maximalfluss f. Die angegebenen Zahlen geben die Kapazität der jeweiligen Kante an. Geben Sie für jeden Schritt einen zunehmenden Weg und den Flusswert Φ(f) an. Begründen Sie den Maximalfluss. Lösung: (s, a, c, f, t) ist ein ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 4. Damit haben wir Φ(f) = 4. 9
(s, a, c, g, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 3. Damit haben wir Φ(f) = 7. (s, d, g, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 5. Damit haben wir Φ(f) = 12. 10
(s, b, i, g, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 1. Damit haben wir Φ(f) = 13. (s, b, e, h, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 2. Damit haben wir Φ(f) = 15. 11
Dieser Fluss ist ein Maximalfluss. Die folgende Grafik zeigt, welche Knoten noch über einen zunehmenden Weg von s aus erreichbar sind (grün) und welche nicht (gelb). Die von grün nach gelb verlaufenden Kanten A = {(c, f), (g, t), (b, e)} bilden einen trennenden Schnitt mit Kapazität c(a) = 15 = φ(f). Nach dem Max-flow-min-cut-Theorem ist dann f ein Maximalfluss und A ein minimaler Schnitt. 12