5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er mit etgegegesetzte Vorzeihe) vorhde sei. Beispiele (G x ) ) () x + y 8 () x - y Es spielt für ds Löse ud ds Ergeis keie Rolle, welhe Vrile zuerst wegfällt, wie us der folgede Musterlösug ersihtlih ist. Vrite x soll zuerst wegflle Vrite y soll zuerst wegflle Defiitiosmege Defiitiosmege D x D x Gleihug(e) umforme Gleihug(e) umforme Gleihug(e) geeiget multipliziere Gleihug(e) geeiget multipliziere hier Gleihug () mit Gleihug () mit (-) () x + y 8 ()' 6x + y 6 () x - y ( - ) ()' -6x + 9y - hier Gleihug () mit Gleihug () muss iht multipliziert werde () x + y 8 ()' 9x + y 5 Elimiiere eier der Vrile Elimiiere eier der Vrile Die eide Gleihuge ddiere Die eide Gleihuge ddiere ()' 6x + y 6 ()' 9x + y 5 ()' -6x + 9y - () x - y y + 9y 6-9x + x 5 + Verleiede. Vrile usrehe Verleiede. Vrile usrehe y x 55 y x 5. Vrile usrehe. Vrile usrehe De Wert der erehete Vrile i eier der eide Ausggsgleihuge eisetze. hier y i Gleihug () De Wert der erehete Vrile i eier der eide Ausggsgleihuge eisetze. hier x i Gleihug () x + y 8 ud y x + y 8 ud x 5 x + 8 - x 5 5 + y 8 5 + y 8-5 x 5 y Lösugsmege Lösugsmege L { ( 5 ) } L { ( 5 ) } 86 Gleihugssysteme mit zwei Vrile
) () x + y 7 () 7x + 6y 0 D x Defiitiosmege D x Gleihug(e) umforme / geeiget multipliziere () x + y 7 ( - ) ()' -8x - 6y - () 7x + 6y 0 Elimiiere eier der Vrile ()' -8x - 6y - () 7x + 6y 0 -x - ( - ) Ürig gelieee. Vrile usrehe x. Vrile usrehe (hier x i Gleihug () eisetze) + y 7-6 y -9 y - Lösugsmege L { ( - ) } L { ( - ) } d) () 5x - 8y -6 () x + 6y -7 D x Defiitiosmege D x Gleihug(e) umforme / geeiget multipliziere () 5x - 8y -6 ()' 0x - 6y - () x + 6y -7 ( -5 ) ()' -0x - 0y 5 Elimiiere eier der Vrile ()' 0x - 6y - ()' -0x - 0y 5-6y ( -6 ) Ürig gelieee. Vrile usrehe y -½. Vrile usrehe (hier y i Gleihug () eisetze) x + 6 ( -½ ) -7 x - -7 + x - x - Lösugsmege L { ( - -½ ) } L 88 Gleihugssysteme mit zwei Vrile
6.. pq-formel Nee de eide mthemtishe Methode der Fktorzerlegug ud der qudrtishe Ergäzug git es uh Lösugsmethode, die uf Formel siere die pq- ud die -Formel der qudrtishe Gleihuge. He wir eie qudrtishe Gleihug, ei der vor dem x der Fktor steht, lässt sih die pq-formel wede. Normlform x + px + q 0 x, p ± p q Die mthemtishe Herleitug der pq-formel köe Sie im Kpitel 6.. hvollziehe. Allgemeies Lösugsvorgehe Defiitiosmege estimme Gleihug i die pq-normlform rige (we ötig), ud die Werte für p ud q estimme Ahtug Die Vorzeihe vo p ud q uh üerehme. Werte für p ud q i der Formel eisetze (ikl. Vorzeihe ) Vrile x ud x usrehe Lösugsmege estimme Beispiele (G ) ) x + x - 0 D Wir estimme zuerst p ud q. (flls der Fktor vor x ist, muss die Gleihug oh durh diese dividiert werde) x + x - 0 p q Die Vorzeihe gehöre zu p ud q dzu Die Werte für p ud q i der Formel eisetze p, q - x, ± (-) Vrile x ud x usrehe x, ± + x, ± 5 x, ± 5 x - - 5 x -7 x - + 5 x L { 7 ; } Qudrtishe Gleihuge
) x - 6x - D Gleihug i die pq-normlform rige x - 6x - + x - 6x + 0 (d.h. durh de Fktor vor x dividiere) x - x + 0 x - x + 0 p q Die Werte für p ud q i der Formel eisetze p -, q x, - ± - Vrile x ud x usrehe x,.5 ±.5 x,.5 ±. 5 x,.5 ±.80... x.5 -.80 x.5 +.80 x 0.89 x.680 L { 0.8 ;.6 } ) x - x 5 D D x - x 5 x - x - 5 0 x - x - 5 0 p q x, ± ( 5) x,.5 ±.5 + 5 x,.5 ± 56. 5 x,.5 ± 7.5 x -6, x 9 L { -6 ; 9 } L { -6 ; 9 } Qudrtishe Gleihuge
Aufge 6.5 Bestimme Sie die Defiitios- ud Lösugsmege der folgede Gleihuge i der Grudmege mit Hilfe der -Formel. ) 5x + 0x 75 0 D L { -5 ; } ) x x 8 D L ; ) 5x + x 8 0 D L { -. ; } d) x x 0 0 D L { -.6 ; 7.6 } e) x 5x + D L f) 6x + 0 9x D L ;. ; 5 g) x 0x D L { - ;.5 } h) 8x x 0.5 D L i) x 5x 8 D L ; 8 ; 7 j) 5x + x 7.5 D L { -. ;.5 } k) ( x )(x + ) 0 D L ; l) ( x )(5x + ) 5x D L { -0.6 ; 0.86 } 0 Qudrtishe Gleihuge
) Die Summe zweier türliher Zhle eträgt 8. Teilt m die grössere durh die kleiere, erhält m, ud es leit ei Rest vo. Wie heisse die eide Zhle? Alyse grössere Zhl kleiere Zhl Resultt ) + 8 ), Rest Tipp Sutrhiert m de Rest vo der grössere Zhl, so ergit die Divisio keie Rest mehr, soder geu. oder - Lösug mit ur Uekte Lösug mit Uekte ( [grössere Zhl] - Rest) [kleiere Zhl] () [grössere Zhl] + [kleiere Zhl] 8 () ( [grössere Zhl] Rest) [kleiere Zhl] x grössere Zhl 8 - x kleiere Zhl x grössere Zhl y kleiere Zhl x () x + y 8 8 x () x y D \ { 8 } x 8 x (8 - x) x - (8 - x) usmultipliziere x - 55 - x + x 5x - 55 + 5x 555 5 x D x () x + y 8 x 8 y () x y x y + Gleihsetzugsverfhre 8 - y y + + y 8 5y + - 5 5y 5 y 7 kleiere Zhl 8 - x 8-7 y eisetze ud x erehe x 8 - y x 8-7 x Die Zhle lute ud 7. Proe + 7 8 7, Rest Gleihuge Textufge
) Zähler ud Neer eies Bruhes ergee zusmme. Zählt m zum Zähler ud Neer je die Zhl 7 dzu, erhält der Bruh de Wert. Wie heisst der Bruh? Alyse () Zähler + Neer () Zähler Neer + 7 + 7 () [Zähler] + [Neer] () ( [Zähler] + 7 ) ( [Neer] + 7 ) Lösug mit ur Uekte x Zähler - x Neer Lösug mit Uekte x Zähler y Neer x + 7 () x + y ( x) + 7 () x + 7 y + 7 D \ { 8 } x + 7 8 x (8 - x) ( x + 7 ) ( 8 x ) x + 8 8 - x + x 7x + 8 8-8 7x 56 7 x 8 D x \ { -7 } () x + y - y x y + x -y + 8 () x + 7 (y + 7) y + 7 ( x + 7 ) ( y + 7 ) x + 8 y + - 8 x y - 7 Neer - x - 8 Gleihsetzugsverfhre -y + 8 y - 7 + y 8 7y - 7 + 7 9 7y 7 y y i Gleihug () eisetze x + y x + x 8 Der Bruh lutet 8. Gleihuge Textufge 5
8.5 Reheregel für Poteze mit gleiher Bsis 8.5. Additio / Sutrktio ) + + (iht ddierr) Poteze mit utershiedlihe Expoete köe iht ddiert werde. Ds leuhtet ei, we wir mit m ersetze ud us ewusst werde, dss m ei Flähe- ud m ei Volumemss ist. ) + ) - d) 5 + - ( - ) + Fzit Nur Poteze mit gleiher Bsis ud gleihem Expoet köe ddiert / sutrhiert werde. 8.5. Multipliktio ) ( + ) 5 weil ) 5 5 ( + ) 6 0 weil 5 ) 7 ( 7 + ) 8 d) 5 ( 5 + ) 8 Fzit Poteze mit gleihe Bse werde multipliziert, idem die Expoete ddiert werde. 8.5. Divisio ) ( ) weil ) (6 ) 6 ( ) weil 6 6 ) 8 ( 8 ) 7 d) 6 5 (9 ) 6 9 ( 5 ) Fzit Poteze werde dividiert, idem die Expoete voeider sutrhiert werde. Poteze 99
Aufge 8.8 Berehe Sie die folgede Ausdrüke, ud shreie Sie ds Resultt ohe Prmeter im Neer, soder lleflls mit egtivem Expoete. ) ( ) ) ) e) () g) () d) f) 8 h) 5 () 5 6 5 9 i) ( ) 5 Aufge 8.9 Berehe Sie die folgede Ausdrüke, ud shreie Sie ds Resultt ohe Prmeter im Neer, soder lleflls mit egtivem Expoete. ) ) ) d) e) f) g) h) i) j) 9 () 8 6 9 () + + 6 + 8 9 + 5 + 7 65 5 9 Poteze 5