MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri)
ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder A, Mtri der Ordug, heißt Zeilevektor: (,, 8, -4) Mtri der Ordug, heißt Spltevektor: 7 Vektore sid spezielle Mtrize Recheregel für Mtrize gelte uch für Vektore
RECHENREGELN FÜR MATRIZEN Trspoiere eier Mtri (Vertuschug vo Zeile ud Splte) A3, = 3 7 5 3, A T 3 7, 3 = 5 3, 3 T T ( A,3 ) = 5 = A 7 3 Allgeei: (A T ) T = A Nottio: A T oder A 3, 3
Speziell gilt: = 5 6 7, T = ( 5 6 7) Vektore werde ülicherweise it Kleiuchste gekezeichet I Allgeeie wird uter Vektor ei Spltevektor verstde; T ist der zugehörige Zeilevektor. Es ist jedoch öglich, ders zu defiiere: = (,, 3) 4
ORDNUNGSBEZIEHUNGEN A = B = A = B i,j = i,j, i, j zw. = = = = d.h. lle Kopoete sid gleich A B i,j i,j i, j 5
Beispiele: Zwische de Mtrize ud 999 esteht keie Ordugseziehug. Es gilt: 6
ADDITION/SUBTRAKTION VON MATRIZEN C = AB = zw. ci,j = i,j i,j, i, j Alog: D = A B di,j = i,j i,j, i, j Ds heißt: Mtrize werde kopoeteweise ddiert (sutrhiert) Nur Mtrize gleicher Ordug sid ddierr (sutrhierr) 7
MULTIPLIKATION VON VEKTOREN ( 3) 4 5 6 = 4 5 3 6 = 3 ( y ) z y z = yy zz Vorussetzug für Multipliktio: Gleiche Azhl vo Splte (liks) ud Zeile (rechts), d.h. T, 3 3, = c, 8
MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM VEKTOR 3 3 3 33 = 33 A,3 3, = c, A ht 3 Splte, ht 3 Zeile A, y, ist ur defiiert für = y 9
MULTIPLIKATION VON MATRIZEN A, By, ist icht defiiert für y A, B, = C,, it c ik = ij jk j= A = i i B = k k k cik d.h. cik = i k i k i k
A = - B = 4 3 - - - 5 4 3 - = C A, B, 3 = C, 3 D A eie qudrtische Mtri ist, ist uch T, A B, 3 = D, 3 defiiert. Frge: Gilt C = D?
B = 4 3 - A T = 4 = D - 3-3 C D Allgeei gilt: A B A T B
MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM SKALAR Beispiel: 5 4 7 5 8 3 6 9 = 5 35 5 4 5 3 45 zw. ugekehrt 3 5 7 3 = 7 ds heißt, geeise Fktore köe usgeklert werde 3
BEZIEHUNG ZWISCHEN MATRIXMULTIPLIKATION UND GLEICHUNGSSYSTEMEN Ei Mtrizeprodukt eschreit ei Gleichugssyste A,, =, 3 3 3 4
3 3 3 = = =......... A= 5
Lösugsverfhre für liere Gleichugssystee Eisetzverfhre Gleichsetzugsverfhre Additiosverfhre Guß-Algorithus 4 6 6 4 = = 8 () () 6
) Eisetzugsverfhre Aus () folgt: 6 = 4 = 3 : ( 6) ( ) ( ) i () eisetze: 6 4( ) = 8 3 8 6 8 = 8 3 8 8 = 3 = 6 =6 i ( ) eisetze ergit = 6 = 3 7
) Gleichsetzugsverfhre Aus () folgt: = ( ) 3 Aus () folgt: 4 = 8 6 3 = 7 zw. ( ) ( ) ud ( ) gleichsetze: 3 = 7 3 (3) (3) ch uflöse: = 6 = 6 i ( ) ergit = 8
c) Additiosverfhre Ziel: Durch Multipliktio ud schließede Additio der Gleichuge soll eie Uekte eliiiert werde. 4 6 6 4 = = 8 3 ( ) () () 8 8 = 36 = 56 (') (') Durch Additio vo Gleichug ( ) ud ( ) ( 8 8 = 36 = 56) (') (') ergit sich: - = ud dit =. Eisetze vo = i () liefert = 6. 9
Guß-Algorithus/Guß sche Eliitio Allgeeies lieres Gleichugssyste............... = = = (Syste ) = Azhl der Zeile (Gleichuge) = Azhl der Uekte > : Eiige Gleichuge üerflüssig oder widersprüchlich = : Geu eie Lösug (sofer keie Gleichuge widersprüchlich [keie Lösug] oder üerflüssig [redudte Ifortio, z.b. 3 = 5, 6 = ]) < : Uedlich viele Lösuge (wichtiger prisrelevter Fll i Rhe der liere Optiierug)
Lösug des llgeeie liere Gleichugssystes * *, *, *, * *, *, *, * *, *, *, = = = (Syste ) Ds Gleichugssyste wird uf diese For gercht durch folgede (erlute) Rechugsopertioe:. Multipliktio eier Zeile it Zhl c. Additio vo Zeile 3. Vertusche vo Zeile ud/oder Splte
Syste wird uch ls ds etschlüsselte Syste ezeichet,,, heiße Schlüsselvrile ( Schlüssel ) des Systes,,, heiße freie Vrile des Systes Sofer idestes eie freie Vrile eistiert ht ds Syste uedlich viele Lösuge. Durch Festlegug des Wertes der freie Vrile() ergit sich eie spezielle Lösug.
EINHEITSMATRIX UND EINHEITSVEKTOR E = E3 = E = heiße Eiheitstri (der Ordug, 3 zw. ) Eiheitstrize sid spezielle qudrtische Mtrize 3
Beispiele für Eiheitsvektore:,, Ordug 3, Ordug MULTIPLIKATION MIT EINHEITSMATRIZEN Für A, 3 gilt: A, 3 E 3 = A, 3 zw. A E = A E A, 3 = A, 3 zw. E A = A 4
INVERSE MATRIX Sid A ud X zwei qudrtische Mtrize der Ordug ud gilt A X = E, so heißt X Iverse (oder Kehrtri) der Mtri A ud wird it A ezeichet. Es gilt: A A = E ud A = E A Berechug der Iverse A zu eier gegeee Mtri A: Verschiedee Verfhre; eies der Verfhre siert uf de Guß-Algorithus. 5
Beispiel: Iverse eier Mtri A A = 4 6 Zugehörige Eiheitstri: E = 3 4 4 3 6 4 () () Durch Uschlüsselug ittels Guß-Algorithus rige wir ds Gleichugssyste uf die folgede For: 6
Mtri ist die gesuchte Iverse zur Mtri A 7