Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere 28.10. V1 Geometrische Grundbegriffe 04.11. V2 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien 11.11. V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze, Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) 18.11. V4 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien) 25.11. V5 Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit) 02.12. V6 Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis) 09.12. V7 Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) 16.12. V8 Kongruenzabbildungen - Symmetrie 13.01. V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen 20.01. V10 Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel) 27.01. V11 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern, Rauminhalt und Oberfläche der Kugel) 03.02. V12 Zusammenfassung 12.02. (Freitag) 14-16 Uhr, Klausur (HS 1, HS 2) 1
Nachtrag aus V7 zu Tangentenvierecken In Tangentenvierecken ist die Länge der Summe der Gegenseiten gleich. Warum ist das so? 2
V8 Kongruenzabbildungen_Symmetrie 1 Kongruenzabbildungen 1.1 Verschiebung 1.2 Spiegelung 1.3 Drehung 1.4 Verkettung von Geradenspiegelungen 2 Symmetrie 2.1 Achsensymmetrie 2.2 Drehsymmetrie 2.3 Punktsymmetrie 3
1 Kongruenzabbildungen Welche Möglichkeiten gibt es, Figuren innerhalb der Ebene zu bewegen, ohne sie in Form und Größe zu verändern? Wir suchen nach Abbildungen der Ebene auf sich selbst. Eine solche Abbildung ist eine Zuordnung, die jedem Punkt der Ebene eindeutig einen Bildpunkt zuordnet. Abbildungen, die nur die Lage, aber nicht die Gestalt und Größe einer Figur verändern, sind Kongruenzabbildungen Original und Bild sind kongruent (deckungsgleich) zueinander. 4
Kongruenzabbildungen: Verschiebung Spiegelung an einer Geraden Drehung um einen Punkt mit einem bestimmten Drehwinkel Wenn die Drehung um einen Punkt um 180 erfolgt, spricht man von einer Punktspiegelung. Verschiebungen in Kombination mit Spiegelungen Schubspiegelung (vor allem in Mustern und Ornamenten zu entdecken) 5
Kongruenzabbildungen sind geraden-, längenund winkeltreu. Man kann sie in zwei Klassen einteilen, die gleichsinnigen und die ungleichsinnigen Kongruenzabbildungen (Umlaufsinn wird beibehalten oder umgekehrt). 6
1.1 Verschiebung Alle Punkte werden in gleicher Richtung um Strecken gleicher Länge verschoben. Die Abbildung ist eindeutig durch einen Verschiebungspfeil AA bestimmt. 7
1.2 Spiegelung Die Abbildung erfolgt durch Spiegelung an einer Geraden. Die Figuren sind zueinander kongruent. Sie haben aber einen unterschiedlichen Drehsinn. Bild Original Es entstehen kongruente (ungleichsinnige Figuren). 8
Eigenschaften der Geradenspiegelung geradentreu ein Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade parallelentreu die Bilder zweier Parallelen sind wieder zwei Parallelen winkeltreu alle sich entsprechenden Winkel sind gleich groß längentreu jede Bildstrecke ist genauso lang wie die ihr entsprechende Strecke im Original nicht orientierungstreu der Umlaufsinn einer Figur wird umgekehrt Fixgerade/Fixpunkte Die Achse ist Fixgerade. Die Punkte der Achse sind Fixpunkte. Eine Fixgerade ist eine Gerade, welche bei einer geometrischen Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. Abb.: Schülerduden Mathematik I, 1999 9
1.3 Drehung Punktspiegelung Drehung 10
Punktspiegelung Sonderfall der Drehung Halbdrehung Drehung um 180 Analogie zur Geradenspiegelung: Ein Punkt und sein Bild auf einer Geraden durch Z liegen gleich weit entfernt von Z. 11
Drehung Bei einer Drehung werden alle Punkte einer Figur auf Kreisen mit dem gleichen Mittelpunkt in gleichem Drehsinn und um gleich große Winkel gedreht. Es entstehen kongruente (gleichsinnige) Figuren. 12
1.4 Verkettung von Geradenspiegelungen Die Verkettung von Geradenspiegelungen führt auch zu Verschiebung, Drehung, Punktspiegelung. 13
Jede Kongruenzabbildung ist auf eine Verknüpfung von Geradenspiegelungen zurückführbar. 14
Die Verkettung zweier Achsenspiegelungen an zueinander parallelen Geraden ist eine Verschiebung. Die Länge des Verschiebungspfeils ergibt sich aus dem doppelten Abstand zwischen den beiden Geraden. Die Orientierung wird beibehalten. 15
Die Verkettung zweier Achsenspiegelungen an sich schneidenden Geraden ist eine Drehung (Rotation). Drehpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden. Der Drehwinkel ist doppelt so groß wie der Winkel zwischen den Geraden. 16
Die Verkettung zweier Achsenspiegelungen an zueinander senkrechten Geraden ist eine Punktspiegelung (Drehung um 180 ) am Schnittpunkt der beiden Achsen. Abb. aus Matheprofis, Kl. 4: Spiegele die Figur an zwei Achsen. Drehe die Figur um den Drehpunkt. 17
Schubspiegelung Der Abbildungstyp, der aus einer Kombination einer Achsenspiegelung und einer Verschiebung in Richtung der Achse besteht, nennt man Schubspiegelung (Gleitspiegelung). 18
Man kann den Blick auf die Abbildungen richten. Dann betrachten wir die Abbildungsarten, die zu kongruenten Figuren führen. (Folien 4-17) Man kann den Blick auf die Figuren richten. Dann untersuchen wir die Figuren hinsichtlich ihrer Symmetrieeigenschaften. (s. folgende Folien) 19
2 Symmetrie Eine Figur heißt symmetrisch genau dann, wenn sie bei einer von der identischen Abbildung verschiedenen Bewegung auf sich selbst abgebildet werden kann. 20
Folgende Kriterien und zugehörige Sprechweisen sind zu unterscheiden: Symmetrie als Eigenschaft einer Figur Symmetrie als Beziehung zwischen Figuren 21
Symmetrie als Eigenschaft von Figuren achsen-, punkt- und drehsymmetrische Figuren Buchstabensymmetrie: - N, S, Z - A, B, C, - H, I, O, X 22
Symmetrie als Beziehung zwischen Figuren Figuren sind zueinander symmetrisch. achsensymmetrisch punktsymmetrisch Abb. aus Hefendehl-Hebeker, 2000 23
2.1 Achsensymmetrie 24
Bei der Arbeit mit Klecksbildern erhält man oft beide Varianten (getrennt und nicht getrennt liegende achsensymmetrische Figuren). Abb. Trinkende Hähne, Martin, Kl. 3 Gespiegelte Zahlen machen den umgekehrten Drehsinn bei achsensymmetrischen Figuren besonders deutlich. 25
Male selbst ein Spiegelbild. Fehlvorstellungen von Grundschulkindern Quelle: Till Grohe, 2006 26
Würde man das Drachenviereck ABCD entlang der Diagonale BD falten, so würden die beiden Dreiecke ABD und CBD genau aufeinander fallen. Kann man eine Figur entlang einer Geraden falten, so dass die erzeugten Teilfiguren beim Falten genau aufeinander fallen, ist die Figur achsensymmetrisch oder symmetrisch bezüglich einer Geraden. Die betreffende Gerade heißt Symmetrieachse. Warum kann man im Zusammenhang mit der Symmetrie vom Spiegeln sprechen? Solche Figuren werden auch als spiegelgleich (bezüglich einer Geraden) bezeichnet. Denn wenn man auf ihre Symmetrieachse einen Spiegel stellt, fällt das Spiegelbild der einen Teilfigur mit der anderen Teilfigur zusammen. So nennt man die Symmetrieachse mitunter auch Spiegelgerade. 27
Eigenschaften der Achsensymmetrie Zwei zueinander symmetrische Punkte sind von der Achse gleichweit entfernt. Ihre Verbindungsstrecke wird von der Achse senkrecht halbiert. Zueinander symmetrische Strecken sind gleich lang. Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß. Zueinander symmetrische Kreise haben denselben Radius. Schneidet eine Gerade die Achse, so schneidet die zu ihr symmetrische Gerade die Achse im gleichen Punkt und gleichen Winkel.... Abb. aus Hefendehl-Hebeker, 2000 28
2.2 Drehsymmetrie Eine Schiffsschraube geht bei Drehungen um 120, 240 und 360 in sich selbst über. Eine Figur, die durch Drehung um einen Punkt in sich selbst übergeht, heißt drehsymmetrisch. Der Punkt, um den die Figur gedreht werden kann, ist ihr Drehpunkt. Zwei drehsymmetrische Punkte haben den gleichen Abstand vom Drehpunkt, liegen also auf ein und demselben Kreis. 29
2.3 Punktsymmetrie Eine Figur, die durch Drehung um 180 in sich selbst übergeht, heißt punktsymmetrisch. Eine Drehung um die Mitte des Propellers um 180 bildet den einen Flügel auf den anderen ab. Die Verbindungsstrecken symmetrischer Punkte gehen alle durch den Drehpunkt und werden von diesem halbiert. 30
Symmetrien im Haus der Vierecke Symmetrieachsen durch die Seitenmitten Diagonalen als Symmetrieachsen Symmetrieachsen sind Mittellinien der Figur. Symmetrieachsen sind Diagonalen der Figur. 31
Fazit 32
Aufgaben zur Übung Woche vom 11.-15.01.2016 Stellen Sie ein Klecksbild her und zeichnen Sie Linien und Punkte so ein, dass wichtige Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren deutlich werden. Benennen Sie die Eigenschaften. Zeichnen Sie ein unregelmäßiges Dreieck. Erzeugen Sie jeweils eine Kongruenzabbildung durch Verschiebung, Spiegelung, Punktspiegelung und Drehung (Drehwinkel 45 ). 33