Aufgabe des Monats Mai 2013 1 Ein Monopolist produziere mit folgender Kostenfunktion: K(x) = x 3 12x 2 + 60x + 98 und sehe sich der Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion) p(x) = 10, 5x + 120 gegenüber. a) Auf jede produzierte und abgesetzte Mengeneinheit werde eine Mengensteuer in Höhe von t = 24 erhoben, so dass sich die Gesamtkosten des Produzenten um die abzuführende Gesamtsteuer T = t x erhöhen. Ermitteln Sie die gewinnmaximale Menge x sowie die dann abzuführende Steuer T und den Gesamtgewinn. b) Statt einer Mengensteuer werde nun vom Staat eine Gewinnsteuer in Höhe von 40% des Gewinns erhoben. Wie lautet die gewinnmaximale Menge? Berechnen Sie auch die gewinnmaximale Menge für den Fall komplett ohne Steuer. Welchen Einuss hat die Höhe des Gewinnsteuersatzes auf den gewinnmaximalen Output? 1 Quelle: Jürgen Tietze, Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik, 3. Auage, Vieweg Verlag, 2002 (angepasst)
MusterlösungAufgabe des Monats Mai 2013 a) Um die gewinnmaximale Menge zu berechnen, muss man zunächst die Gewinnfunktion aufstellen. Der Gewinn ergibt sich als die Dierenz zwischen dem Erlös (auch Umsatz genannt) und den anfallenden Kosten. Der Erlös bestimmt sich aus dem Preis multipliziert mit der abgesetzten Menge, also p x. Für p setzen wir die Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion) ein und die Kostenfunktion ist uns ebenfalls gegeben. Somit erhalten wir folgende Gewinnfunktion: G(x) = E(x) K(x) = ( 10, 5x + 120) x (x 3 12x 2 + 60x + 98) = 10, 5x 2 + 120x x 3 + 12x 2 60x 98 = x 3 + 1, 5x 2 + 60x 98 Nun muss noch die Mengensteuer in Höhe von t x, mit t = 24, als zusätzliche Kosten abgezogen werden. Wir erhalten: G(x) = x 3 + 1, 5x 2 + 60x 98 24x = x 3 + 1, 5x 2 + 36x 98 max x Um den Gewinn zu maximieren, müssen wir zunächst die erste Ableitung von der Gewinnfunktion bestimmen, diese dann gleich Null setzen und nach der gewinnmaximalen Menge x umstellen. Die Überprüfung der zweiten Ableitung liefert den Beweis, dass es sich bei dem gefundenen Optimum tatsächlich um ein Maximum (2. Ableitung < 0) handelt. Bestimmen wir also zunächst die erste Ableitung und stellen diese dann nach x um: G (x) = 3x 2 + 3x + 36 = 0 ( 3) = x 2 x 12 = 0 Um eine Lösung für x aus dieser quadratischen Gleichung zu erhalten, müssen wir
( ) ( die p-q-formel einsetzen x 1,2 = p ± p ) 2 2 2 q, mit -1 als p und -12 als q: ( x 1,2 = 1 ) ± 2 ( 1 ) 2 + 12 2 x 1 = 0, 5 + 12, 25 = 0, 5 + 3, 5 = 4 x 2 = 0, 5 12, 25 = 0, 5 3, 5 = 3 Da die Menge x 2 negativ und somit ökonomisch nicht sinnvoll ist, bleibt nur x 1 als mögliche Lösung übrig. Mit der zweiten Ableitung überprüfen wir, ob es sich hierbei wirklich um ein Maximum handelt: G (x) = 6x + 3 G (4) = 6 4 + 3 = 21 < 0 Da die zweite Ableitung an dieser Stelle kleiner als Null ist, handelt es sich bei dieser Lösung tatsächlich um ein Maximum. Die gewinnmaximale Menge unter Berücksichtigung der Mengensteuer beträgt also 4 ME. Um die abzuführende Steuer zu berechnen, setzen wir nun diese Lösung in T ein: T (x) = t x T (4) = 24 4 = 96 Der Monopolist führt also 96 Geldeinheiten an Steuern an den Staat ab. Den maximalen Gewinn des Monopolisten erhält man, wenn man x = 4 in die Gewinnfunktion einsetzt: G(4) = 4 3 + 1, 5 4 2 + 36 4 98 = 6 Somit erwirtschaftet der Monopolist im Fall mit einer Mengensteuer einen Gesamtgewinn von 6 GE. b) Bei einer Gewinnsteuer wird, wie der Name schon sagt, nicht die Menge x wie im vorigen Fall, sondern der Gewinn als Ganzes besteuert. Somit berechnet sich die nun
anfallende Steuer als T G = t G G(x) mit t G = 40% (also 0,4). Damit ergibt sich in diesem Fall folgende Gewinnfunktion, die wir maximieren müssen: G(x) = (E(x) K(x)) (1 t) max x Bestimmen wir also wieder zunächst die erste Ableitung und stellen diese dann nach x um: G(x) = ( x 3 + 1, 5x 2 + 60x 98) (1 0, 4) G (x) = ( 3x 2 + 3x + 60) (1 0, 4) = 0 ( 3) = (x 2 x 30) 0, 6 = 0 (0, 6) = x 2 x 30 = 0 Diese quadratische Gleichung lösen wir wieder mit der p-q-formel: ( x 1,2 = 1 ) ( ± 1 ) 2 + 30 2 2 x 1 = 0, 5 + 30, 25 = 0, 5 + 5, 5 = 5, 5 x 2 = 0, 5 30, 25 = 0, 5 5, 5 = 5 Die negative Menge x 2 ist wieder ökonomisch nicht sinnvoll und wir überprüfen deshalb nur die erste Lösung mittels der zweiten Ableitung: G (x) = 6x + 3 G (5, 5) = 6 5, 5 + 3 = 30 < 0 In diesem Fall ist die zweite Ableitung wieder negativ und somit handelt es sich bei unserer Lösung tatsächlich um ein Maximum. Betrachten wir nun den Fall komplett ohne Steuer. Die Optimierung erfolgt analog, nur ohne die Gewinnsteuer: G(x) = x 3 + 1, 5x 2 + 60x 98 G (x) = 3x 2 + 3x + 60 = 0 ( 3) = x 2 x 30 = 0
Wie wir sehen, ist die quadratische Gleichung, die wir nun zu lösen haben, identisch mit der im Fall mit Gewinnsteuer und somit beträgt auch die gewinnmaximale Menge für den Fall ohne Steuer 5,5 ME genau wie im Fall mit der Gewinnsteuer. Wie können also schlussfolgern, dass eine Gewinnsteuer die optimale Menge x überhaupt nicht beeinusst. Mathematisch können wir das auf folgende Weise nachvollziehen: G(x) = (E(x) K(x)) (1 t G ) G (x) = (E (x) K (x))(1 t G ) = 0 (1 t G ) G (x) = E (x) K (x) = 0 d.h. es gilt E (x) = K (x) für beliebiges t G ( 1). Mit anderen Worten, solange der Staat keine Gewinnsteuer in Höhe von 100% des Gewinns einführt (was mehr als unwahrscheinlich ist), wird sich das auf die gewinnmaximale Menge nicht auswirken. Beachtet aber, dass der Gesamtgewinn im Fall mit der Gewinnsteuer trotzdem geringer ist als im Fall ohne Steuer, nämlich genau um den Betrag T G = t G G(x).