Experimentalphysik II (Kip SS 009) Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II Teil : Elektrizitätslehre, Elektrodynamik. Elektrische Ladung und elektrische Felder. Kapazität 3. Elektrischer Strom 4. Magnetostatik 5. Elektrodynamik 6. Schwingkreise und Wechselstrom Teil : Optik 7. Elektromagnetische Wellen 8. Optik 400
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8 Optik 8.. Lichtgeschwindigkeit Messung der Lichtgeschwindigkeit mit Drehspiegelmethode (Foucault 86) Versuch: Experimentelle Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit l s c Δ t L ΔL s Δt s 5km Δt 0 4 s ω Δt ΔL c l L Δt π Δt 4π Δtl Ll 8π ΔL 40
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Drehspiegelmethode (Foucault 86) c L Δt 8π ( L + L + L3)( l + l) ΔL l l + l 4.5 m L L + L + L 3 5.3 m Messwert: ΔL 3 mm 500 s - ΔL 40
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Die Lichtgeschwindigkeit ist heute als Naturkonstante est deiniert. Dies hat den entscheidenden Vorteil, dass die in der Praxis sehr hohe Messgenauigkeit von Zeiten bzw. Frequenzen (z.b. mit Atomuhren) au Längenmessungen übertragen werden kann. Nutzbare Längennormale sind dann z.b. Vielache von Lichtwellenlängen bestimmter Spektrallinien. Die Lichtgeschwindigkeit c ist deiniert durch c μ ε 0 0.9979458 0 8 m/s Michelson-Morley-Experiment Mit einem empindlichen Intererometer haben Michelson und Morley 887 versucht, die Lichtgeschwindigkeit relativ zum absoluten Raum (Äther) zu messen. Spiegel halbdurchlässiger Spiegel L L Spiegel In Vakuum entspricht c der Phasengeschwindigkeit in der Wellengleichung r r ΔE E 0 mit c c t με 0 0 Lichtquelle v Erdbewegung Schirm 403
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Falls es ein Medium als Träger elektromagnetischer Wellen gäbe, so müsste dieses den ganzen Raum durchsetzen. Es wäre erner ein absoluter Raum erorderlich, relativ zu dem gleichörmige Bewegungen gemessen werden könnten. Damit wäre χ abhängig vom Bezugsystem. Das Michelson-Experiment zeigt, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugsystemen den gleichen Wert hat. Es gibt keinen Lichtäther. Lichtgeschwindigkeit in Materie Die Herleitung der Wellengleichung ür das elektrische und magnetische Feld verläut analog im mit Materie geüllten Raum. Die Materie habe die magnetische Permeabilität μ und die Dielektrizitätskonstante ε. Als Gleichung ür das elektrische Feld ergibt sich jetzt: r r ΔE c t μμεε E 0 mit c 0 r 0 r Die Lichtgeschwindigkeit ist in Materie um den Faktor / με verändert. Der Brechungsindex n von Materie ist deiniert als der Quotient aus der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und der Lichtgeschwindigkeit c n in Materie: n c c n με 404
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Da ür die meisten Materialien μ gilt, olgt ür den Brechungsindex in guter Näherung n ε. Der Brechungsindex ist also direkt mit der Dielektrizitätskonstanten und damit der Polarisation der Materie verknüpt. Für den Zusammenhang zwischen der Frequenz ω, der Wellenzahl k und der Phasengeschwindigkeit c der Lichtwelle in Materie gilt dann: ω c c n ω k n k c n Der Brechungsindex ist in der Regel von der Wellenlänge λ des Lichtes abhängig. Dies wird als Dispersion bezeichnet. Für gängige Materialien wie Glas oder Diamant gilt qualitativ: (ungeähre Werte ür n bei λ 589 nm) 405
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8. Welle-Teilchen-Dualismus Huygens 690 Young 80 Licht ist eine Wellenerscheinung Theorie zur Wellennatur des Lichts. Sie konnte ebenalls Relexion, Brechung und die Spektralarben des weißen Lichts erklären. Licht ist eine Wellenerscheinung. Es zeigt das Phänomen der Intererenz. Newton 704 Licht besteht aus vielen Lichtteilchen Deinition des Begris Optik: Opticks or a Treatise o the Relections, Reractions, and Colours o Light. 406
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Maxwell 864 Einstein 905 Licht ist eine elektromagnetische Welle Aus den Maxwell-Gleichungen olgt soort die Existenz von elektromagnetischen Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Licht besteht aus Lichtteilchen, den Photonen Quantitative Erklärung des Photoeekts. Licht verhält sich im atomaren Bereich wie ein Teilchen. Die wahre Natur des Lichtes ist sehr kompliziert. Sie kann aber im Rahmen der Quantentheorie ( Quantenelektrodynamik) verstanden werden. Anschaulich gesprochen ist es so, dass das Licht eine Doppelnatur hat. Dies bedeutet, dass Licht sowohl eine Welle als auch ein Teilchen ist. Die Worte Welle und Teilchen allein können das Phänomen Licht also nicht vollständig erklären. In der Optik tritt nur die Wellennatur des Lichtes zutage. Wir werden Licht daher in diesem Kapitel als elektromagnetische Welle betrachten. Bei Wechselwirkung mit Materie müsste auch der Teilchenaspekt berücksichtigt werden. 407
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.3 Lichtquellen (i) Quellen mit einem diskreten Spektrum: Bei atomaren Prozessen wird häuig Licht mit einem diskreten Spektrum emittiert. Beispiel: Bariumspektrum Wärmestrahlung des schwarzen Körpers: Plancksches Strahlungsgesetz Spektrale Leistungsdichte (λ,t) h ( λ, T ) 6.6 0 exp( 34 5 8π hc / λ hc /( λ k T Js, c B )) 3 0 8 m/s Auch beim Laser wird nur Licht einer ganz bestimmten Frequenz abgestrahlt. (λ) @ 300K (ii) Quellen mit einem kontinuierlichen Spektrum: Beispiel: Thermische Quellen 408
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Wärmestrahlung des schwarzen Körpers: Plancksches Strahlungsgesetz (λ,t) (kg/m s ) T T T λ d dλ max T 400K 50K ( λ, T.898 λ λ max max ) 0 Wiensches Verschiebungsgesetz μmk 7.μm.6μm Temperaturmessung über Plancksches Strahlungsgesetz (Thermographie, Pyrometrie) λ (μm) 409
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Beispiel: Temperatur au der Sonne Die Sonne ist in guter Näherung ein schwarzer Strahler. Das Strahlungsmaximum liegt bei λ max 500 nm und entspricht der Wellenlänge von grünem Licht ( Photosynthese von Planzen). Das Wiensche Verschiebungsgesetz lieert dann ür die (Oberlächen-) Temperatur der Sonne den Wert: λ max T.898 μmk T.898 μmk λ max.898 μmk 500 nm 5800K 40
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.4 Geometrische Optik In der Strahlen- oder geometrischen Optik wird die Lichtausbreitung in guter Näherung durch Lichtstrahlen beschrieben. Beispiel: Schatten erzeugt durch zwei getrennte, punktörmige Lichtquellen ΔΩ Lichtbündel Lichtstrahl Ein Lichtstrahl entspricht ormal einem Lichtbündel im Grenzall ΔΩ 0. grüne Lampe Figur Wand mit Schatten rote Lampe 4
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.4. Huygenssches Prinzip Von jedem Punkt einer Wellenront wird zur Zeit t eine Kugelwelle ausgesendet. Die Überlagerung aller Wellenronten zur Zeit t + Δt ergibt die neue Wellenront. t t + Δt Christian Huygens (69-695) neue Wellenront Kugelwelle t + Δt t ebene Welle neue Wellenront Δx x Dies ist das Huygenssche Prinzip. Mit dem Huygensschen Prinzip können bereits viele Phänomene der Optik erklärt werden. Die Lichtstrahlen stehen dabei immer senkrecht au den Wellenronten. 4
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.4. Relexion und Brechung Hält man einen geraden Stab unter einem Winkel schräg ins Wasser, so erscheint der Stab im Bereich der Wasseroberläche abgeknickt. Diese optische Täuschung kommt daher, dass Lichtstrahlen beim Übergang von einem Medium in ein anderes (hier von Lut in Wasser) ihre Richtung ändern: "Brechung des Lichtes". Versuch: Strahlengang ebener Spiegel Die Linse erzeugt mit der Lichtquelle paralleles Licht. Durch die Spaltblende werden einzelne, getrennte Strahlen erzeugt. Die Relexion ist deutlich zu erkennen. Lichtquelle Linse ebener Spiegel Spalt 43
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Beispiel: Relexion am Spiegel Lichtstrahlen werden an Oberlächen relektiert. Dabei sind Einalls- und Ausallswinkel gleich. Spiegel Gegenstand Gegenstand Spiegel optische Achse optische Achse Der Lichtstrahl scheint ür den Betrachter aus dem Spiegel zu kommen. 44
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Konstruktion des virtuellen Spiegelbildes Spiegel Man sieht ein virtuelles aurechtes Spiegelbild des Gegenstandes. Spiegel 45
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Verhalten an einer ebenen Grenzläche: (i) Relexionsgesetz einallender Strahl Einallsebene I Medium Medium ' relektierter Strahl I 3 Grenzläche gebrochener Strahl I Bei Relexion sind der Einalls- und der Ausallswinkel gleich groß, also: ' Außerdem liegt der relektierte Strahl auch in der Einallsebene. (ii) Snelliussches Brechungsgesetz sin sin n n Ist das Medium das Vakuum mit n, dann olgt: sin n sin n 46
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Eine Konsequenz des Brechungsgesetzes ist die Totalrelexion beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium, d.h. ür n > n. Dabei wird der Strahl so gebrochen, dass er das Medium nicht mehr verlassen kann. Im Grenzall ist: Für Winkel größer als dieser Grenzwinkel der Totalrelexion kann das Licht nicht in das Medium eindringen. Medium n ( π ) n sin n sin n T n sint n > n n Beispiel: Übergang Glas/Lut T n > n sin T Lut Glas 4.8 T n n.5 3 Medium 47
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Versuch: Übergang Wasser/Lut Beispiel: Totalrelexion in Glasasern Unter dem lachen Winkel kann der Lichtstrahl das optisch dichtere Medium (n > ) nicht verlassen und wird ast verlustrei relektiert. n > Glasaser n Lut oder Vakuum Lichtstrahl 48
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Versuch: Lichtleiter Laser Glasaser Laser Plexiglasstab 49
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Beweis des Brechungsgesetzes mit Hile des Huygensschen Prinzips: n In verschiedenen Medien haben Lichtwellen unterschiedliche Geschwindigkeiten. Die Strecken sind: ct AB sin c t AB sin c c sin sin c t c t A B Ersetzen der Geschwindigkeiten durch die Brechungsindizes ergibt: c c n sin n c c n sin n 0 0 n Damit olgt nsin const. bzw. n c nc nc const. 40
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Eine Anwendung des Brechungsgesetzes indet man beim Prisma: γ Versuch: Strahlengang im Prisma an der Grenzläche gespiegelter Strahl 3 3 Θ Lichtstrahl einallendes Licht Für symmetrischen Strahlengang erhält man die Winkelbeziehungen: γ, Θ 3 Θ + γ Θ + 3 ( ) austretendes Licht 4
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Wenn die Umgebung Lut ist, d.h. n, und das Prismenmaterial den Brechungsindex n P hat, dann olgt nach dem Brechungsgesetz bzw.: sin sin n P sin Θ + γ sin n P γ sin ( Θ + γ) γ sin Mit zunehmender Wellenlänge der Strahlung nimmt n ab, d.h. der gesamte Ablenkwinkel des Lichtstrahls Θ nimmt ebenalls ab. Rotes Licht wird also weniger stark abgelenkt als blaues. Das Prisma wirkt als Spektrometer. Damit ist der Zusammenhang des Ablenkwinkels Θ und des Prismenwinkels γ ür einen bestimmten Brechungsindex n P gegeben. 4
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Farbspektrum des sichtbaren Lichts 700 600 500 400 nm λ Schon Newton entdeckte 670, dass sich weißes Licht durch ein Prisma in ein Spektrum verschiedener Farben zerlegen lässt ( Regenbogenarben ). Zerlegung des weißen Lichtes durch ein Prisma in seine Farben. 43
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Versuch: Farbscheibe Die Spektralarben werden au eine drehbare Scheibe gemalt. In Ruhe sind die verschiedenen Farben gut erkennbar. Versetzt man die Scheibe in schnelle Umdrehungen, dann erscheint sie weiß, da das Auge wegen seiner Trägheit über alle Farben mittelt. Farbscheibe in Ruhe Farbscheibe in schneller Rotation 44
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Beispiel: Regenbogen Entstehung des Regenbogens Sonnenlicht Wassertropen zum Beobachter 45
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Der Regenbogen erscheint unter einem Winkel von 4 bzgl. der Richtung der einallenden Strahlung von der Sonne. Eine Rechnung zeigt, dass unter diesem Winkel die meisten Strahlen abgelenkt werden. Beim sekundären Regenbogen werden die Lichtstrahlen zweimal im Wassertropen relektiert.. Regenbogen: umgekehrte Farbolge 46
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.5 Optische Abbildungen Prinzipielles optisches Gerät Bild Gegenstand Von jedem Punkt eines Gegenstandes gehen viele Lichtstrahlen in verschiedene Richtungen aus. (z.b. Linse) Alle Strahlen, die au einen Bildpunkt allen, müssen von einem Gegenstandspunkt ausgegangen sein. 47
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Beispiel: Prinzip der Lochkamera Nach dem Strahlensatz gilt: b g B G Lochblende Ein kleiner Lochdurchmesser lässt nur ein eng begrenztes Strahlenbündel durch, was eine schare Abbildung ergibt. Andererseits kommt nur wenig Licht hindurch, so dass das Bild recht dunkel wird. Hier muss ein Kompromiss zwischen Helligkeit und Schäre geunden werden. G Bild b B Gegenstand g 48
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Versuch: Lochkamera Dia Lochblende Schirm Herr Knopp Original von Wilhelm Busch großes Loch mittleres Loch kleines Loch 49
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.5. Spiegel und Linsen (ii) Hohlspiegel: (i) Ebener Spiegel: Spiegel d << r M s r F s P s Q Q Quelle virtuelles Bild der Quelle Parallele Strahlen werden durch einen Hohlspiegel im Brennpunkt F zusammengeührt. 430
Experimentalphysik II (Kip SS 009) s Für den Strahlengang olgt: r s cos r s r s cos Man entwickelt nun ür << : + ± L + cos Die Brennweite damit: des Hohlspiegels ist r r r s r + oder ür achsennah einallende Strahlen, d.h. << Versuch: Fokussierung im Hohlspiegel parallele Lichtstrahlen r Brennpunkt Hohlspiegel 43
Experimentalphysik II (Kip SS 009) (iii) Linse (konvex): d 3 r d r sin, d sin, r + 3 3 Nach dem Brechungsgesetz gilt sin nsin Kugeloberläche Ein parallel zur Achse au eine Kugeloberläche treender Strahl wird um den Winkel 3 zur Achse hin abgelenkt. Aus der Geometrie der Anordnung olgen die Relationen: n Nun betrachten wir nur achsennahe Strahlen, also d << r, d.h. << und <<. Dann olgt d r Damit erhält man 3, n d d d r r n r n d n r (*) 43
Experimentalphysik II (Kip SS 009) d r β 3 β 4 4 F Daraus olgt ür achsennahe Strahlen n ( + β ) 3 4 β n 3 + 4 + ( n ) β Setzt man 3 nach (*) ein, wird: Für den durch die Kugeloberläche austretenden Strahl gilt entsprechend d n r d sin β sin r und nach dem Brechungsgesetz: nsin β ( + β ) ( β + ) 3 sin 4 β 4 n d d r n ( n ) ( n ) + r + r d r Der gesamte Ablenkwinkel ist damit also d tan 4 4 ( n ) + r r 433
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Bei dieser Ableitung ist eine dünne Linse vorausgesetzt worden, bei der sich die transversale Position d des Lichtstrahls in der Linse kaum ändert. Außerdem gilt die Beziehung nur ür achsennahe Strahlen, d.h. d << r, r. Für eine Linse mit gleichen Kugellächen au beiden Seiten, d.h. r r r, olgt soort: r ( n ) F dünne Linse F der Strahl durch das Zentrum der Linse wird nicht abgelenkt Parallele Strahlen werden also in einem Punkt, dem Brennpunkt vereinigt, der im Abstand, der Brennweite, von der Linsenläche liegt. Mit diesen Eigenschaten des Strahlenganges durch eine dünne Linse können die Abbildungseigenschaten beliebiger optischer Systeme ermittelt werden. 434
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Es gibt auch Zerstreuungssysteme. Das Spiegelbild an einem sphärischen Spiegel erscheint beispielsweise verkleinert. (iv) Sphärischer Spiegel virtueller Brennpunkt sphärischer Spiegel (v) Linse (konkav) F F Die Ursache liegt in der Auächerung der Lichtstrahlen an der Oberläche des sphärischen Spiegels. virtueller Brennpunkt 435
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.5. Abbildungsgesetze Parallele Strahlen werden hinter einer konvexen dünnen Linse immer in einer Ebene mit dem Abstand okussiert, der sogenannten Brennebene. Für Strahlen, die unter einem beliebigen Winkel zur optischen Achse eintreen, gilt: tan Diese Beziehung gilt aber exakt nur ür achsennah einallende Strahlen. x Fokussierung paralleler Strahlen in der Brennebene: optische Achse F xbrennebene Die Funktion der Linse entspricht hier einer räumlichen Fourier-Transormation. 436
Experimentalphysik II (Kip SS 009) g b G 3 F G F optische Achse B B x x Zur Abbildung müssen die drei vom Gegenstand G ausgehenden Strahlen wieder in einem Punkt des Bildes B zusammenlauen. Ein paralleler Strahl () geht hinter der der Linse durch deren Brennpunkt F. Ein durch den vorderen Brennpunkt F einallender Strahl (3) verläut hinter der Linse parallel zur optischen Achse. Der durch das Zentrum der Linse lauende Strahl () bleibt unbeeinlusst. Mit diesen drei Strahlen (eigentlich sind schon zwei ausreichend) wird die Abbildung konstruiert. 437
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Mit dem Strahlensatz ür die entsprechenden Längen olgt soort: G B g b x g g Daraus ergibt sich die Linsengleichung: g b g g + b : g Leicht olgt mit dem Strahlensatz auch noch eine andere Beziehung: G B x x Daraus olgt direkt die Newton- Gleichung : Die Gesamtbrechkrat mehrerer dicht hintereinander angeordneter dünner Linsen ist: D D + D + D + L + D ges x x Deinition der Brechkrat D einer Linse: D [ D] m Dioptrie + + + L+ ges 3 n 3 n 438
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Versuch: Linsengesetz Lampe Dia Linse Schirm g b Das Bild au dem Schirm, ist nur schar, wenn: g + b 439
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.5.3 Mehrlinsensysteme Konstruktion des Strahlenganges Zwischenbild F z F B d b Um den Strahlengang durch ein System von zwei Linsen zu inden, wird zunächst ür die erste Linse ein Zwischenbild konstruiert. Damit wird dann das Bild B hinter der zweiten Linse bestimmt. Es gilt: z tan und z B d b (*) 440
44 Experimentalphysik II (Kip SS 009) Für die zweite Linse gilt nach dem Linsengesetz: ( ) ( ) d d d b d b + Mit (*) olgt: ( )( ) ( ) d d d d b d B z Also erhält man: d B z Mit (*) und (**) olgt weiter: s B d B z tan Daraus ergibt sich schließlich die eektive Brennweite ür das System aus beiden Linsen zu: s d + Sind die Brennweiten groß gegen den Linsenabstand, also, >> d vereinacht sich die Gleichung zu: s + Dies ist die Begründung ür die vorher angegebene Additivität der Brechzahlen bei Linsensystemen.
Experimentalphysik II (Kip SS 009) tatsächlicher Strahlengang F F Brennebene Ersatz durch eine Linse mit gleicher eektiver Brennweite. B tan (**) s s -B B 44
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Beispiel: Kombination aus Sammel- und Zerstreuungslinse gleicher Brennweite d - Der Linsenabstand sei kleiner als die Brennweite, also > d > 0. Dann olgt: s + d d > 0 d.h. eine okussierende und eine deokussierende Linse gleicher Brennweite, die im Abstand d < montiert sind, ergeben immer eine eektive Sammellinse. 443
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.6 Optische Geräte (i) Auge Das Auge erzeugt mit einer Linse ein Bild au der Netzhaut. Die Brennweite der Linse ist in einem bestimmten Bereich variabel, um Nah- und Fernsicht zu ermöglichen. normalsichtiges Auge: Fernsicht: r Bild au der Netzhaut Nahsicht: r 5 cm 444
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Weitsichtigkeit Kurzsichtigkeit F F Korrektur der Weitsichtigkeit durch eine konvexe Linse: Korrektur der Kurzsichtigkeit durch eine konkave Linse: F F 445
Experimentalphysik II (Kip SS 009) (ii) Lupe Verwendung einer Lupe: G Auge G β s 0 s 0 deutliche Sehweite Für den Winkel, unter dem der Gegenstand G ür das normale Auge erscheint, gilt: tan G s 0 L Hält man eine Linse zwischen das Auge und den Gegenstand, dann wird der Winkel G tanβ L Da L < s 0 erhält man die Vergrößerung: tanβ V tan L s0 5cm L L 446
Experimentalphysik II (Kip SS 009) (iii) Mikroskop G Objektiv Δ Zwischenbild z Okular β obj obj ok ok Es gelten olgende Relationen tanβ z und weiter: ok, Δ z obj G tanβ ok GΔ z G Δ obj obj Die Vergrößerung ist also umso höher, je kleiner die Brennweiten von Okular und Objektiv sind. Vergleich zur Lupe: tan tan, V 0 tan G s β Δ s ok 0 obj 447
Experimentalphysik II (Kip SS 009) (iv) Astronomisches Fernrohr Objektiv Zwischenbild Okular β z obj ok ok Für die Winkel gilt: tanβ tan z ok z obj Daraus olgt die Vergrößerung: tanβ V tan Astronomische Fernrohre sollten daher eine möglichst große Brennweite des Objektivs haben. obj ok 448
Experimentalphysik II (Kip SS 009) (v) Spiegelteleskop Spiegel Okular β z ok ok Es gilt wieder: s tan z s, tanβ z ok Daraus olgt die Vergrößerung: tanβ V tan s ok 449
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Dieselbe Optik wird in der Radioastronomie ür Radiowellen benutzt: Das Radioteleskop Eelsberg Empangsantenne Okular Sie liegt im Brennpunkt des Hohlspiegels Hohlspiegel 450
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.7 Wellenoptik 8.7. Beugung und Intererenz Nach dem Huygensschen Prinzip ist jeder Punkt einer Wellenront Ausgangspunkt einer Kugelwelle. ebene Welle E( r, t) Kugelwelle E ( r, t) Das ührt zur Beugung. Das Licht läut quasi um die Ecke. Die verschiedenen Wellen überlagern sich, was zu Intererenzen ührt. Zwei Wellenelder gleicher Frequenz und ester Phase überlagern sich in der Art: E R r (, t) I R E ( r, t) + E( r, t) E R r ( E + E ) r 45
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Kohärenz: konstruktive Intererenz Zwei Wellenronten sind kohärent, wenn ihr Phasenunterschied zeitlich konstant ist. r,t destruktive Intererenz Δϕ const. In diesem Fall gibt es konstruktive oder destruktive Intererenz. 45
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Michelson-Intererometer: Welleneld E ester Spiegel ebene Welle Welleneld E halbdurchlässiger Spiegel a x/ verschiebbarer Spiegel Photodiode oder Schirm Über die Verschiebung Δx x/ wird die Wellenlänge λ gemessen. 453
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Die Wellenelder E und E haben die gleiche Amplitude E 0, jedoch unterschiedliche Lauwege und damit auch unterschiedliche Phasenlagen: Welleneld : E ( iωt) exp( i ka) E E exp 0 Welleneld : E E 0 0 exp exp ( iωt) exp( ik(a + x) ) ( iωt) exp( ika) exp( ikx) Durch Überlagerung entsteht: E E + E, I E E R Also: I ( E + E )( E + E ) R R R * R * * ( E + E )( E + E ) * E R I E E + R Nun ist E E * * * * + EE + EE EE * und analog E E 0 0 exp( iωt)exp( ika) exp( iωt)exp( ika) E * E E0 E + * ( E ) * * * * E + EE EE E Allgemein gilt: A + A * a + ib + ( a ib) a Re( A) 454
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Man erhält: Re( E E ) Re E exp( iωt) ( * 0 exp( i ka) E exp( iωt) exp( + i ka)exp( ikx) 0 0 0 ( E0 ikx ) Re exp( ) ( ) E Re cos( kx) + i sin( kx) E cos( kx) ) x IR,max 4E 0 Δx x x 3 x Damit wird die Gesamtintensität: Zwei Minima liegen im Abstand Δx : kδx ( ) I E + cos( kx) R 0 π π Δx λ Damit ist die Wellenlänge des Lichtes: Δx λ Mit dem Intererometer können also sehr genau Lichtwellenlängen gemessen werden. 455
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.7. Beugung am Spalt Lichtquelle paralleles Licht Schirm x a I Spalt Die wegen des Huygensschen Prinzips am Spalt gebeugten Strahlen intererieren miteinander, was zu einer Intensitätsverteilung mit Maxima und Minima ührt. x 456
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Berechnung der Strahlintensität hinter dem Spalt: x x y a y sin a x y Pro Strecke dy im Spalt erhält man olgenden Beitrag de zur Feldstärke: ( ω ) ( ikysin) de Aexp i t exp dy Die Gesamteldstärke entlang des Spaltes ist dann: ges ( ω ) E Aexp i t a a exp ( ikysin) dy Die Feldstärke ist: E E exp i( t kx) 0 0 ( ω ) ( ω ) ( ) E exp i t exp ikysin Die Integration ergibt: E ges ( iωt) Aexp ik sin exp ( ikysin ) + a a 457
Experimentalphysik II (Kip SS 009) E ges ( iωt) Aexp ik sin a a exp ik sin exp ik sin Wir deinieren die Abkürzung: Damit olgt: E ges a ϕ ( ) k sin ( iωt) Aexp i ϕ( ) [ exp( iϕ( ) ) exp( iϕ( ) )] Aexp( iωt) exp( iϕ) exp( iϕ) ϕ i Da exp ( iϕ) exp( iϕ) i ist die Feldstärke: ges ( ω ) E Aexp i t sin ϕ ( ϕ ) sin ( ) ϕ( ) Die Intensität der Strahlung ist dann: Es ergibt sich also: I ( ) I sin ( ka ) sin ges 0 ( ka ) sin ( ϕ ) * sin ( ) Iges( ) EgesEges A ϕ( ) 458
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 00% Man hat also Minima, wenn: I ges nλ asin 0.8 Maxima liegen vor, wenn: 0.6 0.4 sin ϕ 0. 0 4,5% -0-5 0 5 0,6% ϕ() Die Intensität hat Minima bei (ϕ 0): sin ϕ 0 ϕ min kasin nπ n Z π ϕ min asin nπ λ also π 3π 5π ϕ,,, L n π kasin π a sin λ Daraus olgt ür die Maxima: n λ asin 459
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.7.3 Beugung am Gitter Hauptmaxima liegen vor, wenn g g gsin nλ ( n 0,,, K) Dabei ist n die Ordnung der Intererenz. Δx Analog zur Rechnung am Einzelspalt olgt ür die Intensität: ( N Ψ ) sin ϕ sin Iges I0 ϕ sin Ψ.. 3. 4. 5. Der Wegunterschied zwischen dem n- ten und (n+)-ten Strahl ist: Δx g sin Hierbei sind: Beugung am Einzelspalt Beugung an N Spalten ϕ ( ) kasin Ψ ( ) kg sin 460
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Intensitätsverteilung hinter dem Gitter mit N 5 Spalten ür zwei unterschiedliche Wellenlängen: Bei Verwendung eines Gitters mit N 50 Spalten erhält man wesentlich schärere Linien: n n n0 n n n n n0 n n I N5 I N50 5 500 0 000 5 500 0 000 5 500 0-6 -4-0 4 6 0-6 -4-0 4 6 46
Experimentalphysik II (Kip SS 009) 8.7.4 Beugung von Röntgenstrahlen Es gilt oensichtlich: Wellenlänge λ Θ Θ Δx d sin Θ Damit olgt ür die Maxima der Röntgenstrahlung die sog. Bragg- Gleichung: Δx d Δ x Nλ d sin Θ Nλ Messung ist bekannt Kristall Die Röntgenwellenlängen sind sehr kurz: λ R 0 9 0 0 m Durch Messung des Winkels Θ kann die Gitterkonstante d von Kristallen bestimmt werden. 46
Experimentalphysik II (Kip SS 009) Prinzipieller Aubau eines Streuexperiments mit Röntgenstrahlung: Laue-Diagramme von Zinkblende Kristall Kollimatoren Röntgenröhre 463