Experimentalphysik für Naturwissenschaftler Universität Erlangen Nürnberg SS 0 Übungsblatt 4 (08.06.0) ) Geladene Kugeln Zwei homogen geladene Eisenkugeln mit den Ladungen Q = q = q = 0, 0µC haben einen Abstand a = 5cm ihrer Schwerpunkte voneinander. Sie besitzen jeweils die Masse m = 00g und haben einen Radius R =, 5cm. As (ɛ 0 = 8, 85 0 V m ) (a) Skizzieren Sie qualitativ das elektrische Feld E(r) einer solchen Kugel von r = 0 bis r >> R. Welchen Betrag hat E auf dem Rand der Kugel? r R : E(r) = r R : E(r) = Q 4πɛ 0 Einsetzen ergibt E(R =, 5cm) =, 4 0 6 V m (Durchschlagsfestigkeit von Luft ist etwa 3, 3kV/mm) (b) Skizzieren Sie die Feldlinien zwischen den Kugeln. r R E(R) = Q 3 4πɛ 0 R Q 4πɛ 0 r E(R) = Q () 4πɛ 0 R
Jede Ladung erzeugt (jedenfalls außerhalb der geladenen Kugel) ein radialsymmetrisches Feld wie eine Punktladung. Feldstärkevektoren müssen vektoriell addiert werden. Dadurch kann es z.b. auf der Symmetrieachse zwischen den Ladungen keine horizontale Komponente des elektrischen Feldes geben. Links von der linken Ladung bzw. rechts von der rechten Ladung ist der Einfluss der zweiten Ladung wegen des großen Abstandes zur jeweils anderen Ladung sehr gering, so dass dort näherungsweise das Feld einer einzelnen Punktladung entsteht. (c) Welche Kraft wirkt zwischen den Kugeln und wie ist sie gerichtet? Die Kugeln sind homogen geladen, daher Kraft zwischen zwei Punktladungen: F = Q = 4, 0mN () 4πɛ 0 a Kugeln stoßen sich aufgrund des gleichen Vorzeichens der Ladungen ab. (d) Die Kugeln werden nun an masselosen Fäden der Länge l = m am gleichen Punkt aufgehängt und stoßen sich aufgrund der positiven Ladungen ab. Welchen Abstand nehmen die Kugelschwerpunkte zueinander an? (Benutzen Sie die Kleinwinkelnäherung, also tan x sin x)
Die Kugeln können als Punktladungen betrachtet werden, allerdings muss bei folgender Rechnung der Radius R der Kugeln berücksichtigt werden, um die korrekte Position der effektiv wirkenden Punktladung wiederzugeben. Auf jede der Kugeln wirkt die Gravitationskraft senkrecht nach unten und die abstoßende Coulomb-Kraft horizontal. Diese Kräfte addieren sich zu einer Gesamtkraft, die längs des gestrafften Fadens wirkt und einen Winkel α mit der Vertikalen einnimmt. Der Auslenkungswinkel α stellt sich also so ein, dass der Winkel des Fadens mit der Vertikalen, der vom Abstand d der Kugeln abhängt, gleich α ist. Es gilt: sin α = d/ und tan α = F C l+r Fg Kleinwinkelnäherung: tan α sin α Q 4πɛ 0 d mg d (l + R) (3) ( ) Q /3 (l + R) d = = 5, 7cm (4) 4πɛ 0 mg ) Elektrische Feldlinien Welche der unten gezeigten Feldlinienbilder sind für statische elektrische Felder verboten, welche sind erlaubt? Aus welchem Grund sind sie verboten bzw. erlaubt? 3
(a) Verboten, da es keine geschlossenen elektrischen Feldlinien gibt (im statischen Fall) und die Felder immer senkrecht auf Metalloberflächen steht. (b) Erlaubt. Coulombfeld einer Punktladung. (c) Verboten, da sich Feldlinien nicht kreuzen. Zwei sich kreuzende Feldlinien würden bedeuten, dass es an einer Stelle zwei unterschiedliche Richtungen des elektrischen Feldes gibt. Das resultierende Feld einer Ladungsverteilung ergibt sich jedoch als vektorielle Summe der Coulomb-Felder aller Punktladungen und hat damit eine eindeutige Richtung an jeder Stelle! (d) Verboten. Feldlinien zeigen nicht auf positive Ladungen, außerdem sind die Feldlinien geschlossen (e) Erlaubt. Dipol Feld. (f) Erlaubt. Feld in einem Plattenkondensator 3) Widerstände Ein Widerstandsnetzwerk besteht aus wie im nebenstehenden Bild angeordneten Widerständen. Der Wert jedes Widerstandes beträgt Ω. An die Punkte A und B wird eine Spannung von V angelegt. a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Anordnung, den Gesamtstrom sowie die Ströme durch die einzelnen Widerstände. Nutzen Sie hierfür die Symmetrie der Anordnung (Überlegen Sie qualitativ, welche Ströme am Punkt C fließen). b) Welche Leistung wird in den Widerständen umgesetzt? c) Die Punkte A und C werden nun leitend verbunden. Berechnen Sie den Gesamtstrom sowie den Strom durch die am Punkt B angrenzenden Widerstände. Würden Widerstände, die eine maximale Leistung von 5W aushalten, hier noch einsetzbar sein? 4
a) Aus Symmetriegründen fließt durch C von oben nach unten und von links nach rechts kein Strom, da das Widerstandsnetzwerk auch wie in nebenstehender Abbildung interpretiert werden kann. Der Widerstand der "inneren" Parallelschaltung eines Zweiges: R i = ( + R R) = R Also hat ein Zweig R z = 3 R und das gesamte Netzwerk R ges = R z R ges = R z =.5R = 3Ω Es fließt also ein Strom von I ges = 4A. Durch die beiden Zweige also jeweils A und durch die Widerstände der inneren Paralellschaltungen jeweils A, da sich der Strom zu jeweils gleichen Teilen aufteilt. b) Mit P = I R ergeben sich Leistungen von P (A) = 8W und P (A) = W. c) Die Schaltung kann nun wie rechts dargestellt gezeichnet werden. Innerer Teil eines Zweiges(rot): R i = R + R = 5Ω, gesamter Zweig R z = ( ) R i + R + R = 3, 43Ω und damit der gesamte Widerstand Rges = Rz =, 7Ω Damit ergibt sich jetzt ein Gesamtstrom von I ges = 7, 0A, wovon jeweils die Hälfte durch die untersten beiden Widerstände fließt, womit sich ein Leistungsabfall von P = 4, 5W ergibt und der Widerstand damit gerade noch verwendbar ist. 5