Formelsammlung mit Beispielen

Formelsammlung mit Beispielen Mathematik Dozent: Thomas Rochow erstellt von Marek Saß 2004

Inhaltsverzeichnis 1. Folgen und Reihen... 1 1.1. Arithmetische Folgen... 1 1.2. Geometrische Folgen... 1 2. Finanzmathematik... 2 2.1. Zinseszinsrechnung... 2 2.2. Rentenrechnung... 4 2.2.1. nachschüssige Zahlungsweise... 4 2.2.2. vorschüssige Zahlungsweise... 5 2.2.3. Aufgabe 11 nachschüssig... 6 2.2.4. Aufgabe 11 vorschüssig... 6 2.2.5. Aufgabe 11 - Abwandlung... 7 3. Entscheidungsrechnen... 8 3.1 Aufgabe 15... 8 4. Tilgungsrechnen... 9 Aufgabe 12:... 10 5. Projektfälle... 12 5.1. unterschiedliche Zinsfüsse... 12 5.2. Ewige Rente... 13 5.2.1. Ewige Rente nachschüssig... 13 5.2.2. Ewige Rente vorschüssig... 13 5.2.3. Projektaufgabe 5b)... 13 5.2.4. Projektaufgabe 5a)... 14 5.3. Unterjährige Einzahlungen, jährliche Verzinsung... 14 5.3.1. Projektaufgabe 6)... 15 6. Investitionsrechnung... 16 6.1. Gewinnvergleichsrechnung (GVR)... 16 6.1.1. Aufgabe 18 (Seite24)... 17 6.2. Rentabilitätsvergleichsrechnung (RVR)... 18 6.3. Kapitalwertmethode... 19 6.3.1. Aufgabe 1... 20 6.3.2. Projektfall 1... 20 erstellt von Marek Saß 2004

1. Folgen und Reihen 1.1. Arithmetische Folgen Sind Zahlenfolgen ; bei denen die Differenz d zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Allgemeines Glied Bildungsgesetz a n+1 a n = d = konst. für alle n N zur Berechnung des n-ten Gliedes a n = a 1 + (n-1) *d Bsp.: a 1 = 3, d=4, a 7 = 3+(7-1)*4 = 27 Summe der ersten n-glieder s n = n/2 * (a 1 + a n ) s n = n/2 * (2a 1 +(n-1)*d) a 1 = 6, d = 13, s 25 = 25/2 * (2*6 +(25-1)*13) = 4050 1.2. Geometrische Folgen Sind Zahlenfolgen ; bei denen der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Allgemeines Glied Bildungsgesetz a n+1 = q = konst. für alle n N a n zur Berechnung des n-ten Gliedes a n = a 1 * q n -1 Bsp.: a 1 = 3, q = ½, a 5 = 3 * ½ 5-1 = 3/16 Summe der ersten n-glieder s n = a 1 * ( q n -1 ) (q 1 ) VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 1

2. Finanzmathematik K 0 : Kn: Startwert, Anfangswert, [Barwert] Zeitwert, Endwert, Kapital nach n Jahren [nach n Zinsperioden] n: Verzinsungsdauer in Jahren [in Zinsperioden] p: Zinssatz, Zinsfuß (p.a. pro Jahr) q: Aufzinsungsfaktor q = 1 + p/100 1/q: Abzinsungsfaktor = 1 / (1+p/100) k: lfd. Zahlung ; k > 0 Einzahlung; k < 0 Auszahlung; m: Anzahl der Perioden innerhalb einer Periode 2.1. Zinseszinsrechnung - Zinsen werden jährlich gezahlt ( gemäß Zinsperiode) - Zinsen werden dem Kapital am Ende des Jahres (der Zinsperiode) zugeschlagen - Einmalzahlung K n = K 0 * q n Leibniz sche Zinseszinsformel nach K n Bsp.: geg.: K 0 = 800 ; p = 5%, q = 1,05, n = 5 ges.: K 5 Lsg.: K n = K 0 * q n K 5 = 800 * 1,05 5 K 5 = 1021,03 Nach 5 Jahren verfügt man über 1021,03. K 0 = K n Leibniz sche Zinseszinsformel nach K 0 q n Bsp.: geg.: K n = 2000 ; p = 6%, q = 1,06, n = 10 ges.: K 0 Lsg.: K 0 = K n / q n K 0 = 2000 / 1,06 10 K 0 = 1116,79 Man muss 1116,79 anlegen um nach 10 Jahren bei einem Zinssatz von 6 % 2000 zu bekommen. VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 2

n = log(k n /K 0 ) log q Leibniz sche Zinseszinsformel nach n Bsp.: geg.: K n = 1100 ; p = 8%, q = 1,08, K 0 = 800 ges.: n Lsg.: n = log(k n /K 0 ) / log q n = log(1100/800) / log 1,08 n = 4,14 Man muss sein Geld mindestens 5 Jahre anlegen um 1100 zu erhalten. p = [ n Kn 1] * 100 K 0 Leibniz sche Zinseszinsformel nach p Bsp.: geg.: K 6 = 597 ; n = 6; K 0 = 500 ges.: p Lsg.: p = [ n Kn/K 0 1] * 100 p = [ 6 597/500 1] * 100 p = 3,00 % Der Zinssatz p beträgt 3 % Beispielaufgabe Nr.6: Berechnen Sie den Endwert eines Kapitals von 1.000,- nach fünf Jahren bei einem nominellen Zinssatz von 4% p.a.. Gehen Sie bei Ihrer Rechnung davon aus, dass die Zinsen vierteljährlich berechnet werden und ermitteln Sie am Ende Ihrer Rechnung den effektiven Zinssatz. Geg.: K 0 = 1000, p = 1% (pro Quartal, da Quartalsweise Zahlung), q = 1,01, n = 5 *4 = 20 (da vierteljährlich) Ges.: K n Lsg.: K n = K 0 * q n K 20 = 1000 * 1,01 20 K 20 = 1220,19 VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 3

2.2. Rentenrechnung Modelle: Gegeben sei ein Kapital K 0 das zu fest vereinbarten Zeitpunkten um einen festen Betrag k erhöht bzw. vermindert wird. 2.2.1. nachschüssige Zahlungsweise - am Ende einer Zinsperiode nachschüssig - nicht zinswirksam K n = K 0 * q n + k * q n -1 allgemeine Formel nachschüssig nach K n Bsp.: geg.: k = 100 / nachschüssig am Quartalsende, p = 1% /Quartal q = 1,01 /Quartal, K 0 = 0, n = 12 Jahre * 4 Quartale = 48 Zinsperioden ges.: K 48 Lsg.: K n = K 0 * q n + k * q n -1 K 48 = 0 * 1,01 48 + 100 * (1,01 48-1)/(1,01-1) K 48 = 6122,26 Nach 12 Jahren könnte Herr D. über 6122,26 verfügen. q n -1 K 0 = K n - k * allgemeine Formel nachschüssig nach K 0 q n k = K n - K 0 *q n q n -1 allgemeine Formel nachschüssig nach k VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 4

2.2.2. vorschüssige Zahlungsweise - zu Beginn einer Zinsperiode vorschüssig - zinswirksam - K n = K 0 * q n + k q * q n -1 allgemeine Formel vorschüssig nach K n q n -1 K 0 = K n - k q * allgemeine Formel vorschüssig nach K 0 q n k = K n - K 0 *q n q * q n -1 allgemeine Formel vorschüssig nach k VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 5

2.2.3. Aufgabe 11 nachschüssig Auf einem Sparkonto befinden sich am 31.12.1999 20.000,-. Folgende Beträge wurden bzw. werden nach(vor-)schüssig eingezahlt: 2000 bis einschließlich 2006 wurden bzw. werden jeweils am Jahresende 5000,- eingezahlt. Ab 2007 wird jährlich eine nach(vor-)schüssige Rente ausgezahlt: 2007 bis einschließlich 2011 werden jeweils 7000,- entnommen. Wie groß ist das Sparguthaben nach der letzten Ratenzahlung bei einem Zinssatz von 7 %? Periode der Einzahlungen Geg.: K 0 = 20.000,-, n = 7, p = 7%, q = 1,07, k = 5000,- Ges.: K n Lsg.: K n = K 0 * q n q n -1 + k * K 7 = 20000 * 1,07 7 + 5000*[(1,07 7-1)/(1,07-1)] K 7 = 75385,73 Periode der Auszahlungen Geg.: K 0 = 75.385,73,-, n = 5, p = 7%, q = 1,07, k = -7000,- Ges.: K 5 Lsg.: K n = K 0 * q n q n -1 - k * K 5 = 75385,73 * 1,07 5-7000*[(1,07 5-1)/(1,07-1)] K 5 = 65477,21 Nach der letzten Ratenzahlung beträgt das Sparguthaben 65.477,21. 2.2.4. Aufgabe 11 vorschüssig Aufgabe ist zweigeteilt: Periode der Einzahlungen Geg.: K 0 = 20.000,-, n = 7, p = 7%, q = 1,07, k = 5000,- Ges.: K n Lsg.: K n = K 0 * q n q n -1 + k q * K 7 = 20000 * 1,07 7 + 5000*1,07 *[(1,07 7-1)/(1,07-1)] K 7 = 78414,65 Periode der Auszahlungen Geg.: K 0 = 78.414,65,-, n = 5, p = 7%, q = 1,07, k = -7000,- Ges.: K 5 Lsg.: K n = K 0 * q n q n -1 - k q * K 5 = 75385,73 * 1,07 5-7000* 1,07*[(1,07 5-1)/(1,07-1)] K 5 = 66907,56 Nach der letzten Ratenzahlung beträgt das Sparguthaben 66.907,56. VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 6

2.2.5. Aufgabe 11 - Abwandlung Auf einem Sparkonto befinden sich am 31.12.1999 20.000,-. Folgende Beträge wurden bzw. werden nachschüssig eingezahlt: 2000 bis einschließlich 2006 wurden bzw. werden jeweils am Jahresende 5000,- eingezahlt ; 2007 bis einschließlich 2010 nur einfache Verzinsung; Ab 2011 bis 2015 wird jährlich eine vorschüssige Rente i.h.v. 7000 ausgezahlt!wie groß ist das Sparguthaben nach der letzten Ratenzahlung bei einem Zinssatz von 7 %? I 2000 bis 2006 Einzahlung 5.000 nachschüssig n=7, lfd. Zahlung II 2007 bis 2010 einfache Verzinsung n=4, Leibniz III 2011 bis 2015 Auszahlung 7.000 vorschüssig n=5, lfd. Zahlung Geg.: K 0 = 20.000,-, p = 7, q = 1,07 q n -1 I K n = K 0 * q n + k * II K 7 = 20000 * 1,07 7 + 5000*[(1,07 7-1)/(1,07-1)] K 7 = 75.385,73 K n = K 0 * q K 4 = 75385,73 * 1,07 K 4 = 98.815,31 III K n = K 0 * q n - k q * q n -1 K 5 = 98815,31 * 1,07 5-7000* 1,07*[(1,07 5-1)/(1,07-1)] K 5 = 95.520,55 Am Ende beträgt das Sparguthaben 95.520,55. VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 7

3. Entscheidungsrechnen - keine zeitlichen Präferenzen - alle Alternativen sind auf einen einheitlichen Zeitpunkt zu beziehen, am besten wähle man K 0 3.1 Aufgabe 15 Ferdinand Müller ist von seiner Firmenleitung mitgeteilt worden, dass seine Firma zum 31.12. ihren Betrieb einstellen muss. Der vom Betriebsrat ausgehandelte Sozialplan sieht für Herrn Müller, der zur Zeit 60.000,- jährlich verdient, folgende drei Möglichkeiten vor: a) bis zu seinem Renteneintritt in zwölf Jahren jährlich zu Beginn eines jeden Jahres 30.000,- b) zehn Jahre lang am Ende eines jeden Jahres 35.000,- c) fünf Jahre zu Beginn eines jeden Jahres 30.000,- und zu Beginn des sechsten Jahres eine einmalige Abfindung in Höhe von 170.000,- Welcher Vorschlag ist für Herrn Müller der günstigste, wenn ein marktüblicher Zins von 5% p.a. unterstellt wird? a) Geg.: k = 30.000, n =12, K12 = 0, p=5%, q =1,05 vorschüssig Ges.: K 0a) q n -1 Lsg.: K 0 = K n - k q * q n K 0 = [ 0-30.000*1,05 *[(1,05 12-1)/(1,05-1)] ] / 1,05 12 K 0 = 279.192,42 b) Geg.: k = 35.000, n =10, K10 = 0, p=5%, q =1,05 nachschüssig Ges.: K 0b) q n -1 Lsg.: K 0 = K n - k * q n K 0 = [ 0-35.000 *[(1,05 10-1)/(1,05-1)] ] / 1,05 10 K 0 = 270.260,72 c) Geg.: vorschüssig, n = 5, k = 30.000, K 5 = 0, p=5, q = 1,05 ca) lfd. Zahlung : Lsg.: K 0 = K n - k q * q n K 0 = 136.378,51 q n -1 VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 8

cb) cc) Einmalzahlung abzinsen, Ende des 5.Jahres Lsg.: K 0 = K n / q n K 0 = 170.000 / 1,05 5 K 0 = 133.199,44 Zusammenführung: K 0Ges = K 0lfd. + K 0Einm. K 0Ges = 269.577,95 Schlusssatz: Vorschlag A wird empfohlen! 4. Tilgungsrechnen eine Schuld muss getilgt und verzinst werden Rückzahlung Modell: 1) Tilgungen erfolgen immer am Ende einer Periode ( nachschüssig) 2) Zinsen werden jeweils auf die mitgeführte Restschuld bezahlt Formen: a) Rückzahlung in Teilbeträgen aa) konstante Tilgungsbeträge ab) konstante Annuitäten Private Haushalte Annuität ist die Summe aus Zins u. Tilgungsleistung b) Rückzahlung in einem Einmalbetrag, am Ende der Laufzeit Unternehmen Bestandteile: K 0 : zu tilgende Restschuld K n * : n : Restschuld nach n * Perioden Laufzeit p: Zinsfuß, Zinssatz VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 9

Schritte: 1. Berechnung des konstanten Tilgungsbetrages (bei konstanten Tilgungsbeträgen) T = K 0 n 2. Berechnung der konstanten Annuität (bei Tilgung durch Annuitäten) A = K n * q n q n 1 q - 1 Aufgabe 12: 20.000.- sind bei einem Zinssatz 7% p.a. in vier Jahren zu tilgen. a) Stellen Sie den vollständigen Tilgungsplan unter Zugrundelegung konstanter Tilgungsbeträge auf. b) Stellen Sie einen vollständigen Tilgungsplan unter Zugrundelegung konstanter Annuitäten auf. c) Beurteilen und vergleichen Sie beide Vorgehensweisen. a) Geg.: K 0 = 20.000,-, n = 4 Jahre, p = 7% Ges.: Tilgungsplan Lsg.: 1.Schritt : Berechnung konstanter Tilgungsbeträge T = K 0 / n T = 20.000 / 4 = 5.000 /Jahr 2.Schritt : - andere Größen berechnen, Tilgungsplan aufstellen Jahr Restschuld Zins auf Restschuld Tilgung Annuität 1 20.000 1.400 ) 1 5.000 6.400 ) 2 2 15.000 ) 3 1.050 5.000 6.050 3 10.000 700 5.000 5.700 4 5.000 350 5.000 5.350 0 3.500 20.000 23.500 ) 1 7 % von der Restschuld (Zinsen) ) 2 Zinsen + Tilgung ) 3 Restschuld - Tilgung = VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 10

b) Geg.: K 0 = 20.000,-, n = 4 Jahre, p = 7% Ges.: Tilgungsplan Lsg.: 1.Schritt : Berechnung der konstanten Annuität A = (K 0 * q n ) / [(q n -1) / (q 1 )] A = (20.000 * 1,07 4 ) / [(1,07 4-1) / (1,07 1)] A = 5904,56 2.Schritt : - andere Größen berechnen, Tilgungsplan aufstellen Jahr Restschuld Zins auf Restschuld Tilgung Annuität 1 20.000 1.400 ) 1 4.504,56) 2 5.904,56 2 15.495,44 ) 3 1.084,68 4.819,88 5.904,56 3 10.675,56 747,29 5.157,27 5.904,56 4 5.518,28 386,28 5.518,28 5.904,56 0 3.618,25 20.000,00 23.618,24 ) 1 7 % von der Restschuld (Zinsen) ) 2 Annuität - Zinsen ) 3 Restschuld Tilgung = c) konstante Tilgungsbeträge konstante Annuität Vorteile - insgesamt niedrigere Zinsbelastung - gleichmäßige Zahlungsbelastung - niedrigere Zahlungsbelastung in Anfangsmonaten Nachteile - höhere Zahlungsbelastung in den Anfangsperioden - insgesamt höhere Zinsbelastung VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 11

5. Projektfälle 5.1. unterschiedliche Zinsfüsse Projektaufgabe 1: a, d, e Ihre Bank bietet Ihnen folgenden Vertrag: Ihr Guthaben in Höhe von 10.000,- wird im ersten Jahr mit 3,5%, im zweiten mit 4% im dritten mit 5%, im vierten mit 6,5% und im fünften Jahr mit 7,5% verzinst. a) Auf welchen Betrag ist das Kapital am Ende des fünften Jahres angewachsen? d) Am Ende des vierten Jahres benötigen Sie 27.962,94. Wie hoch muss dann Ihr Guthaben Ende der zweiten Periode mindestens sein? e) Berechne den durchschnittlichen Zinsfuss! noch nachlesen! - Einmalzahlung Leibniz o Bei gleichem Zinssatz K n = K 0 * q n K 5 = K 0 * q 5 K 5 = K 0 * q*q*q*q*q 1.Jahr 5.Jahr Lsg. a) K 5 = 10.000 * 1,035 * 1,04 * 1,05 * 1,065 * 1,075 K 5 = 12.939,61 Nach fünf Jahren beträgt das Kapital 12.939,61. Lsg. d) Geg.: q 1 =1,035, q 2 =1,04, q 3 =1,05, q 4 =1,065, q=1,075, K 4 = 27.962,94 Ges.: K 2 Bildlich vorstellen 1.J 2.J 3.J 4.J 5.J 1,035 1,04 1,05 1,065 1,075 K 4 K 0 K 5 K 2? 27.962,94 Lsg.: K 2 = K 4 : q 4 :q 3 = K 2 =25.005,98 VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 12

5.2. Ewige Rente - Rentenzahlung ist zeitlich nicht begrenzt n - Es dürfen maximal die Zinserträge ausgeschüttet werden - Welches Kapital K 0 finanziert die ewige Rente k: ewige Rente q: Aufzinsungsfaktor K 0 : notwendiges Kapital 5.2.1. Ewige Rente nachschüssig K 0 = k (q-1) 5.2.2. Ewige Rente vorschüssig K 0 = (k*q) (q-1) 5.2.3. Projektaufgabe 5b) Welchen Betrag muss ein Kapital haben, wenn eine a) am Anfang b) am Ende zahlbare ewige Rente in Höhe von 100.000,- sicher gestellt werden soll? Rechnen Sie mit einem Zinsfuß von 4,5% p.a. b) Geg.: nachschüssig, k = 100.000,-, p = 4,5%, q = 1,045 Ges.: K 0 Lsg.: K 0 = k / (q-1) K 0 = 100.000 / (1,045 1) = 2.222.222,22 2.222.222,22 finanzieren eine ewige Rente nachschüssig in Höhe von 100.000 bei 4,5% Zinsfuß. VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 13

a) Geg.: vorschüssig, k =100.000,-, p = 4,5%, q = 1,045 Ges.: K 0 Lsg.: K 0 = (k*q) / (q 1) K 0 = (100.000 * 1,045) / (1,045-1) K 0 = 2.322.222,22 2.322.222,22 finanzieren eine ewige Rente vorschüssig in Höhe von 100.000 bei 4,5% Zinsfuß. 5.2.4. Projektaufgabe 5a) A räumt B ein Wegerecht auf alle Zeiten ein. B muss dafür dem A auf unbegrenzte Zeit am Ende eines jeden Jahres 1.000.- zahlen. Wie groß ist der Barwert der ewigen Rente, wenn beide einen Zinssatz von p = 8% p.a. zugrunde legen? Mit anderen Worten: Wie hoch ist der Betrag, durch dessen Zahlung der B seine Zahlungsverpflichtung sofort in voller Höhe abdecken könnte? Geg.: ewig, p =8, q =1,08, nachschüssig, k = 1000,- Ges.: K 0 Lsg.: K 0 = k / (q-1) K 0 = (1000 * 1,08) / (1,08-1) K 0 = 12.500,- B müsste dem A einen einmaligen Betrag von 12.500 zahlen. 5.3. Unterjährige Einzahlungen, jährliche Verzinsung k * : unterjähriger Einzahlungsbetrag m: Anzahl der Einzahlungsperioden im Jahr p: Zinsfuß VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 14

zweigeteilter Aufbau (1) Umrechnung des n- maligen unterjährigen Zahlbetrages k * in einen einmaligen Zahlbetrag vorschüssig: k vor = k * * ( m + (m+1) * p ) 2 100 nachsschüssig: k nach = k * * ( m + (m-1) * p ) 2 100 (2) Berechnung des Rentenendwertes mit Hilfe der Formel für den Endwert einer Rente vorschüssig: K n = k vor * q n 1 q 1 nachschüssig: K n = k nach * q n 1 q 1 5.3.1. Projektaufgabe 6) a) Eine vorschüssige monatliche Rente beträgt 2000,-. Die jährliche Verzinsung liegt bei 6% und die Rentendauer beträgt 10 Jahre. Wie hoch ist der Rentenendwert? b) Welcher Rentenendwert ergibt sich, wenn die monatliche Rente nachschüssig geleistet wird? a) (1) Geg.: k * = 2.000, p = 6, m = 12, n = 10, q = 1,06 Ges.: k vor, K 10 Lsg.: k vor = k * * (m + [(m+1)/2] * (p/100) ) k vor = 2000 * ( 12 + (13/2) * 6/100) k vor = 24.780 Am Ende des 1.Jahres sind 24.780,- bei vorschüssiger unterjähriger Leistung vorhanden. (2) Hochrechnung auf n Jahre K n = k vor * [(q n -1) /(q-1)] K 10 = 24780 * [(1,06 10-1) / (1,06-1)] K 10 = 326.620,10 Nach 10 Jahren verfügen wir über 326.620,10. VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 15

b) (1) Geg.: k * = 2.000, p = 6, m = 12, n = 10, q = 1,06 Ges.: k vor, K 10 Lsg.: k nach = k * * (m + [(m-1)/2] * (p/100) ) k nach = 2000 * ( 12 + (11/2) * 6/100) k nach = 24.660 Am Ende des 1.Jahres sind 24.660,- bei nachschüssiger unterjähriger Leistung vorhanden. (3) Hochrechnung auf n Jahre K n = k nach * [(q n -1) /(q-1)] K 10 = 24660 * [(1,06 10-1) / (1,06-1)] K 10 = 325.038,40 Nach 10 Jahren verfügen wir über 325.038,40. 6. Investitionsrechnung 6.1. Gewinnvergleichsrechnung (GVR) Entscheidungsregel: Wähle die Investition, die den größten durchschnittlichen Gewinn verspricht! Gewinn = Umsatz Kosten Umsatz = Verkaufspreis x produzierte Menge Gesamte Kosten = variable Kosten (1) + fixe Kosten (2) (1) variable Kosten = variabler Kostenansatz x produzierte Menge hängt von Produktionsmenge ab, Beschäftigungsabhängig, (2) fixe Kosten hängt nicht von der Produktionsmenge ab, Beschäftigungsunabhängig, (2)a Abschreibung (lineare Abschreibung) Abschreibungsbetrag je Jahr = Anschaffungskosten Liquiditätserlös Nutzungsdauer (2)b Kalkulatorische Zinsen kalk. Zinsen = Anschaffungskosten + Liquiditätserlös * kalk.zinsfuß 2 VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 16

6.1.1. Aufgabe 18 (Seite24) Ein Investor besitzt einen Planungszeitraum von T=5 Jahren und steht vor der Wahl von 2 Investitionen A und B. Unterschiede bestehen lediglich hinsichtlich der Produktionsgeschwindigkeit, der Anschaffungskosten und der Betriebskosten. Maximaler Absatz von 100.000 Stück je Jahr und einen Preis von 10. Investition A B Anschaffungspreis 500.000 600.000 Erwartete Nutzungsdauer 5 Jahre 4 Jahre Produktionsmenge je Jahr 60.000 Stück 80.000 Stück Beschäftigungsvariable Kosten je Stück 6 5 Beschäftigungsfixe Kosten (ohne Abschreibungen und Zinsen ) (3) 70.000 170.000 Die Anlagen A und B sollen linear abgeschrieben werden und der Kalkulationsfuß auf das durchschnittlich gebundene Kapital beträgt 10%. Prüfen Sie mit Hilfe der Gewinnvergleichsrechnung, welche der beiden Investitionen für den Investor günstiger ist! Umsatzerlöse = Verkaufspreis x produzierte Menge A: 10 x 60.000 ; B: 10 x 80.000 - variable Kosten = var.kostenansatz x prodz.menge A: 6 x 60.000 ; B: 5 x 80.000 - Abschreibung (2) a =(Anschaffkosten-Liqui.erlös)/ Nutzungsdauer A: 500.000-0 / 5 ; B: 600.000-0 / 4 Investition A Investition B 600.000 800.000 360.000 400.000 100.000 150.000 - kalk. Zinsen (2) b =(Anschaff.kosten+Liquierlös)/2 * kalk.zinsfuß 25.000 30.000 - sonstige Fixkosten (3) 70.000 170.000 Summe der Kosten 555.000 750.000 Gewinn gemäß GVR p.a. 45.000 50.000 2a,2b,3 = Fixkosten Gesamtgewinn: A: 5 * 45.000 = 225.000 B: 4 * 50.000 = 200.000 Die Investition B ist für den Investor günstiger, da der Durchschnittsgewinn entscheidet. VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 17

6.2. Rentabilitätsvergleichsrechnung (RVR) Die Rentabilität ist das Verhältnis des Periodenerfolges (als Differenz von Erfolg und Aufwendung) zu anderen Größen. Umsatzrentabilität (ROI) = (Gewinn / Umsatz ) * 100% Eigenkapitalrentabilität = (Gewinn / Eigenkapital) * 100% Gesamtkapitalrentabilität = (Erfolg+Zinsen)/Gesamtkapital *100% Entscheidungsregel: Wähle die Investition die den größten durchschnittlichen Gewinn verspricht! Rentabilitätskennziffer der RVR = Gewinn gemäß RVR * 100% Kapitaleinsatz Kapitaleinsatz = Anschaffungskosten * 100% 2 Gewinn gemäß RVR Direkte Berechnung Umsatzerlöse - variable Kosten (1) - Abschreibungen (2) - sonstige Fixkosten (3) = Gewinn gemäß RVR! kalk. Zinsen werden nicht berechnet! Indirekte Berechnung Gewinn gemäß GVR + verrechnete kalk.zinsen = Gewinn gemäß RVR Umsatzerlöse = Verkaufspreis x produzierte Menge A: 10 x 60.000 ; B: 10 x 80.000 - variable Kosten = var.kostenansatz x prodz.menge A: 6 x 60.000 ; B: 5 x 80.000 - Abschreibung (2) a =(Anschaffkosten-Liqui.erlös)/ Nutzungsdauer A: 500.000-0 / 5 ; B: 600.000-0 / 4 Investition A Investition B 600.000 800.000 360.000 400.000 100.000 150.000 - kalk. Zinsen (2) b =(Anschaff.kosten+Liquierlös)/2 * kalk.zinsfuß --------- -------- - sonstige Fixkosten (3) 70.000 170.000 Summe der Kosten 530.000 720.000 Gewinn gemäß RVR p.a. 70.000 80.000 Kapitaleinsatz = (Anschaff.kosten / 2) *100% 250.000 300.000 Rentabilitätskennziffer= Gewinn/Kapitaleinsatz *100 28 % 26,67 % Entscheidung für A gemäß RVR VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 18

6.3. Kapitalwertmethode - dynamisches Verfahren - Zeit wird berücksichtigt Kapitalwert: Summe der mittels eines Kalkulationszinsfußes auf den gegenwärtigen Zeitpunkt abgezinsten Einnahmeüberschüsse. A 0 A 1 A 2 A 3 Ausgaben A n 0 1 2 3 E 0 E 1 E 2 E 3 Einnahmen E n n: Laufzeit, Nutzungsdauer E 0 bis E n sind die Einnahmen in den Perioden 0 bis n A 0 bis A n sind die Ausgaben in den Perioden 0 bis n E 0 = 0 A 0 = Anschaffungskosten E 0 - A 0 bis E n - A n = C 0 bis C n (Einnahmeüberschüsse) 0 bis n Zahlungsreihe der Investition Entscheidungsregel: Wähle diejenige Alternative deren Kapitalwert C am größten ist, vorausgesetzt diese ist positiv. Ist eine Investition A vorteilhaft? C A > 0 Investition vorteilhaft C A = 0 naja!?! C A < 0 Investition schlecht Welche der guten Investitionen sollen wir nehmen? größter positiver Kapitalwert Kapitalwertformel: n C = C k / q k K=0 VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 19

6.3.1. Aufgabe 1 Gegeben sei die Zahlungsreihe einer Investition mit: -100 25 40 50 Ist die Investition vorteilhaft? Kalkulationszinsfuß 10%. n C = C k / q k = -100 + (25/1,1 1 ) + (40/1,1 2 ) + (50/1,1 3 ) = -6,65 K=0 C < 0 Investition nicht durchführen. 6.3.2. Projektfall 1 Berücksichtigung differenzierter Zinsfüße. Zeitpunkt 0 1 2 3 4 Zahlungsreihe -250 80 100 100 85 Zinsfuß 6% 8% 10% 12% Überprüfe ob C > 0 ist. Allg.: C = C 0 + C 1 /q 1 + C 2 /(q 1 *q 2 ) + C 3 /(q 1 *q 2 *q 3 ) +.+ C n /(q 1 *q 2 *...*q n ) n C = C k / q k = -250 + 80/1,06 + 100/(1,06*1,08) + 100/(1,06*1,08*1,1) + 85/(1,06*1,08*1,1*1,12)=52,5 K=0 C > 0, Investition ist gut! Durchführen! VWA 1.Semester Ökonom Studiengang 20