Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de
Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}. Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge, eine unendliche Folge von Mengen bilden: + ++ +++... = = { } = {, { }} = {, { }, {, { }}}
ω := {0,1,2,...} Kürzt man ab =: 0 + = 0 + =: 1 ++ = 1 + =: 2 +++ = 2 + =: 3 so erhält man 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2},..., allgemeiner also n + 1 = {0,1,...,n}. Auf diese Weise erhält man die Menge N der natürlichen Zahlen einschließlich Null. Ein anderes Symbol dafür ist ω....
Peano-Axiome Man kann diese Menge durch fünf Eigenschaften charakterisieren, die oft als die Peano-Axiome bezeichnet werden: 1 0 ω. 2 Wenn n ω, dann auch n + ω. 3 Wenn S ω, 0 S und mit n S auch immer n + S, dann S = ω. 4 Wenn n + = m +, dann m = n. 5 n + 0 für alle n ω. Auf diese Weise erhält man die Menge ω, also noch nicht die Rechenstruktur.
Arithmetik Die arithmetischen Operationen definiert man nun induktiv. Zunächst die Addition: Für eine beliebige Zahl m ω sei m + 0 := m und m + n + := (m + n) +. Man muss dann beweisen, dass diese Addition den vertrauten Regeln genügt. Dann definiert man die Multiplikation durch m 0 := 0 und m n + := (m n) + m. Erneut kann man mit etwas Mühe nachweisen, dass die erwarteten Regeln gelten.
Halbring (1) Die natürlichen Zahlen mit Null bilden mit den so definierten Operationen einen kommutativen Halbring: Man kann addieren und multiplizieren, und dabei gelten die vertrauten Regeln (für alle x,y,z): Für die Addition gilt x + (y + z) = (x + y) + z Assoziativgesetz x + y = y + x Kommutativgesetz x + 0 = x 0 ist neutrales Element
Halbring (2) Für die Multiplikation gilt: x (y z) = (x y) z x y = y x x 1 = x Gemeinsam gilt: x (y + z) = x y + x z Assoziativgesetz Kommutativgesetz 1 ist neutrales Element Distributivgesetz
Z: Die ganzen Zahlen Man erweitert die natürlichen Zahlen zum Ring Z der ganzen Zahlen, indem man zu jeder natürlichen Zahl z noch eine negative Zahl z hinzunimmt. Die Operationen werden auf natürliche (und bekannte) Weise auf diese Zahlen ausgedehnt. Man erhält dadurch einen kommutativen Ring mit Eins, d.h., man kann addieren, subtrahieren und multiplizieren.
Q :Die rationalen Zahlen Ein weiterer Erweiterungsschritt führt zur Menge Q der rationalen Zahlen. Man bildet zunächst die Menge Z (N \ {0}) und nennt deren Elemente Brüche. Statt (z,n) schreibt man z n. Auf der Menge der Brüche definiert man eine Äquivalenzrelation durch a b c : a d = b c. d Die Äquivalenzklassen nennt man rationale Zahlen.
Der Körper Q der rationalen Zahlen Man definiert (auf die allgemein bekannte Weise), wie Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Man zeigt dann, dass diese Definitionen mit der Äquivalenzrelation verträglich sind. Sie definieren deshalb auch Rechenoperationen für die rationalen Zahlen. Die Menge Q aller rationalen Zahlen wird dadurch zum einem kommutativen Körper, das heißt, zu einer algebraischen Struktur, in der man mit den vertrauten Regeln addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann.
Die Ordnung der rationalen Zahlen Die rationalen Zahlen bilden sogar einen angeordneten Körper. Durch a b c : ad bc d wird eine lineare Ordnung auf Q erklärt, die mit den Operationen verträglich ist. Diese Ordnung ist dicht: zwischen je zwei rationalen Zahlen liegt eine weitere. Diese Ordnung ist aber nicht vollständig: Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist keine rationale Zahl. Nicht jede beschränkte Teilmenge von (Q, ) hat ein Supremum und ein Infimum.
Dedekindsche Schnitte Man kann den Körper der rationalen Zahlen durch Hinzunahme (sehr vieler) Elemente zur Menge R der reellen Zahlen erweitern. Dazu bildet man den Begriffverband des formalen Kontextes (Q, Q, ). Man erhält auf diese Weise R {, }. Die Begriffe von (Q, Q, ) sind genau die Paare (A,B) mit A B = Q, a b für alle a A und alle b B. Man nennt sie Dedekindsche Schnitte.
Der Körper R der reellen Zahlen Die für Q definierten Rechenoperationen lassen sich problemlos auf R erweitern. Man erhält so den Körper R der reellen Zahlen. Vorteile: Die reellen Zahlen lassen sich bequem als Dezimalzahlen (mit möglicherweise unendlich vielen Nachkommastellen) schreiben. Cauchy-Folgen konvergieren. Suprema und Infima beschränkter Teilmengen existieren. Aus nichtnegativen reellen Zahlen können beliebig Wurzeln gezogen werden.