Reell : rational irrational -0 5 Mögliche : Reelle Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des dunkelblauen Ovals. azu gehören also auch alle rationalen Zahlen. Rationale Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des hellblauen Ovals. azu gehören alle ganzen Zahlen sowie alle Zahlen die sich als gewöhnliche rüche schreiben lassen. Irrationale Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des dunkelblauen äusseren Rings. Es sind diejenigen reellen Zahlen die sich nicht als gewöhnliche rüche schreiben lassen. bbrechende ezimalbrüche gehören (neben weiteren Zahlen) ins Innere des hellblauen Ovals. uch die ganzen Zahlen können dazugezählt werden (eispiel: 0 ist ein abbrechender ezimalbruch). lle abbrechenden ezimalbrüche können als rüche mit einem der Nenner 0 00 000 geschrieben werden Periodische ezimalbrüche lassen sich in einen gewöhnlichen ruch verwandeln und jeder gewöhnliche ruch der sich durch Erweitern oder Kürzen nicht in einen ruch mit dem Nenner 0 00 umformen lässt kann in einen periodischen ezimalbruch verwandelt werden. Wenn man die Periode 0 zulässt können auch die abbrechenden ezimalbrüche und damit alle rationalen Zahlen als periodische ezimalbrüche geschrieben werden (eispiel: = 000000 ). ie irrationalen Zahlen befinden sich im dunkelblauen Ring ausserhalb des hellblauen Ovals. Irrationale Zahlen lassen sich als ezimalbrüche nur mit einer nicht abbrechenden und nicht periodischen Folge von Ziffern nach dem Komma schreiben und sie lassen sich dementsprechend auch nicht in gewöhnliche rüche verwandeln. Mögliche weitere eispiele: + + 8 50 09 0 = 0 Millionen 0 5 = = (0 0 ) 9 00 8 8 8 = 00 8 = 50 = 8 _ = 00 85 = 69 5 _ 05 0 5 π 9869 6 0 _ 06 0 0 68 06 nein ist eine natürliche Zahl und damit auch ganz rational und auch reell. 05 ist eine rationale Zahl und damit auch reell. 0 wird meistens nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt ist aber sicher eine ganze Zahl damit auch rational und reell. ist keine rationale Zahl weil es keinen ruch gibt der mit sich selber multipliziert ergäbe. ist also eine irrationale Zahl und gehört zu den reellen Zahlen. E 0 (nach dem Komma jedes Mal eine Zwei mehr zwischen den einzelnen Einsen) ist offensichtlich nicht periodisch damit sicher nicht rational sondern reell. F Individuelle z..: 0 56 89 0 5 6 8 6 6 8 56 ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G 05
6 Reell : rational irrational -0 5 natürliche Zahlen rationale Zahlen ganze Zahlen reelle Zahlen. ddieren immer immer immer immer. Subtrahieren manchmal immer immer immer. Multiplizieren immer immer immer immer. ividieren (ivisor 0) manchmal immer manchmal immer 5. Wurzelziehen (positive Zahlen) manchmal manchmal manchmal immer 6. Wurzelziehen (negative Zahlen) Es gibt keine negativen natürlichen Zahlen nie nie nie Ein richtiges Ergebnis zur ivision a : 0 lässt sich nicht ermitteln lässt sich aber auch nicht definieren weil jede mögliche efinition Widersprüche zu gültigen Rechenregeln erzeugen würde. as lässt sich durch folgende Fragestellung veranschaulichen: Wie viele Pack mit 0 euteln Eistee muss man einkaufen damit man schliesslich 0 eutel Eistee eingekauft hat? ie ivision 0 : 0 müsste auf ein gültiges Ergebnis führen. Ein richtiges Ergebnis lässt sich aber nicht finden weil für ein beliebiges die Multiplikation 0 niemals das Produkt 0 erzeugt. ie ehauung ist (in dieser allgemeinen Formulierung) falsch. Zwar hat die Subtraktion 5 = eine natürliche Zahl als Ergebnis die Subtraktion 5 = hat aber keine natürliche Zahl als Ergebnis. Wahr. 8 : = Wahr. Ein solcher Quotient lässt sich als ruch darstellen. ieser lässt sich immer so erweitern dass Zähler und Nenner ganzzahlig sind. eispiel: 5 : = 5 = 5 = 5 6 Falsch. = 6 E F G H Falsch. Ganzzahlige Vielfache von irrationalen Zahlen sind immer auch irrational. Falsch. _ = Falsch. ( ) = Richtig. ist irrational. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G 05
Reell : rational irrational -0 Vorschrift Zahl Zahlenmengen enk dir eine natürliche Zahl (natürliche Zahl) ividiere durch 5 ( ) = ddiere + Quadriere 59 Subtrahiere die Wurzel deiner nfangszahl 5 + Verdopple 55 + Subtrahiere die Hälfte der nfangszahl. u erhältst Term Siehe Spalte «Zahlenmengen» in der Tabelle. Start mit oder 6 liefert lauter natürliche Zahlen als Zwischenergebnisse. ie egründung ist in der letzten Spalte zu finden. + + 5 Vorschrift Zahl Zahlenmengen enk dir eine Zahl (natürliche Zahl) ividiere durch 5 05 Quadriere 5 05 Verachtfache 8 6.5 ividiere durch die Wurzel aus.5 ividiere durch die Wurzel der nfangszahl Term Mit einer geraden Quadratzahl ( 6 6 6 ) gehören alle Zwischenergebnisse ausser einem ( ) zur Menge der natürlichen Zahlen. Individuelle 6 Es sind je Spielrunde maimal zwei Operationen erlaubt höchstens eine Strich operation. Notiert jeweils zuerst die durchzuführende Operation und kontrolliert dann mit dem Rechner. eginnt mit einem neuen Spiel wenn das Ziel nicht erreicht werden kann. as Spiel kann man erschweren wenn 0 und als Zwischenergebnisse nicht verwendet werden dürfen. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G / Klett und almer Verlag G 05 5
Reell : rational irrational -0 5 + = 65 c = 5 + = _ c = + ( ) = + = c = ( ) + ( ) = 9 c = Mögliche : a = c = 5 a = _ c = b = b = a = c = a = b = c = 5 b = ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G 05
a Reell : rational irrational -0 5 5 Individuelle Individuelle 8 Für alle Zahlenbeispiele gültig ist: _ ussage a b = ab ussage a : b = a b _ ussage a b = a b _ ussage a = a ussage 5 a = a ussage 0 a b = a b Nur für einige Zahlenbeispiele gültig ist: _ ussage 6 a + b = a + b Wahr z.. mit a = und b = 0. Falsch z.. mit a = und b =. ie ussage ist nur dann wahr wenn die edingung a = 0 oder b = 0 ist. _ ussage a + a = a Wahr für a = 0. Falsch für a 0. ussage 8 ussage 9 a = a = a Wahr für a =. Falsch für a. ( a b ) = a b ie ussage ist nur wahr wenn a = 0 und/oder b = 0. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G 05