Nonparametric estimation of the probability of default 1

probability of default 1

Fixierte Studienzeit Fixierter Anteil an Toten (z.b. 80%) Fixierte Beobachtungsz. A B C D E 10 20 30 A B C D E 10 20 35 A B C D probability of default 4

accidential loss: Kontakt mit dem Patienten geht verloren controlled loss: z.b Begrenzung der Studienzeit loss aus einem Grund, der nicht Gegenstand der Studie ist Frage: Was bedeutet eine Datenzensierung im Bankwesen? probability of default 5

Wieso sind zensierte Daten ein Problem? Beobachteter Zeitpunkt des Ausfalls = Zeitpunkt der Zensierung falls die Daten zensiert werden probability of default 6

Survival time- Sei T- S(t)- Daten, die die Zeit bis ein bestimmtes Ereignis messen (Tod, Kreditausfall usw.) Survival time Kumulative Überlebensrate (cumulative survival rate) Eigenschaften: nicht steigend S(t)=1 für t=0 (keiner ist tot bevor Anfang der Studie bzw. Es werden keine Kredite an insolvente Unt. vergeben S(t)=0 für t= (Lebenszeiten sind endlich) Was bedeutet es im Kreditkontext? probability of default 7

Beispiele für survival functions: 1 Verteilungsfkt. 1 Verteilungsfkt. pdf pdf t t 1 Steilere SF kürzere Überlebenszeit 1 flachere SF längere Überlebenszeit t probability of default 8 t

1.Fall: keine Datenzensierung: allgemeine Vorgehensweise zur Ermittlung eines nichtparam. Schätzers Stichprobe ziehen Ordne die beobachteten Überlebenszeiten (survival times) so dass t₁<t₂<t₃<... Ermittlung der survival function von 1 ausgehend: Ŝ(ti)= (n i)/n wobei i=anzahl der Kreditausfälle falls mehrere ti-s gleich sind, Benutze das größte i Ann: Es gelten die Annahmen für eine SF 2. Fall: mit Datenzensierung: probability of default 11

A probability of default 12

Anteil an Patienten/Kredite, die(...) aus dem Experiment/Kreditportfolio Bsp: Ŝ(2)=P(2 Jahre überleben/nicht ausfallen gegeben, dass 1. Jahr überlebt)x P(Überleben im 1.Jahr) Ŝ(k)=p₁xp₂xp₃x...xpk Ŝ(t)=Ŝ(t 1)p(t) => Bemerkung: PL Schätzer sind ML Schätzer Bsp. zur Ermittlung des PL Schätzers bei zensierten Daten: Gegeben: 10(=n) Pat. ->gestorben in 3; 6,5;6,5;10;12;15 ->zensiert in:8,4 ->noch nicht gestorben gegen Ende des Experimenten in 4;5,7;10 probability of default 15

Alle beobachteten ZPzensierte und nicht zens. geordnet Entspr. Rank Rank nur für nicht zensierte Daten abschreiben Wahrsch., dass in Per.t überlebt Wahrsch., dass bis Per. t überlebt remission rank r (n r)/(n r+1)=pt Ŝ(t) 3 1 1 (10 1)/10=9/10 0.9000 4 2 5.7 3 6.5 4 4 0.8571 0.7714 6.5 5 5 0.8333 * 0.6429 8.4 6 10 7 7 0.7500 0.4821 10 8 12 9 9 0.5000 0.2411 15 10 10 0.0000 0.0000 * Falls 2 Zeitpunkte übereinstimmen, benutze Ŝ(ti), das dem größten i entspricht probability of default 16

Survival function als Treppenfunktion: Anmerkung: wenn die größte beobachtete t nicht zensiert ist=> PL(tmax)=0 zensiert ist=> PL Schätzer kann nie 0 werden probability of default 17

Formale Darstellung des Kaplan-Meier Schätzers: wobei n= Anzahl der Kredite, dessen survival time (zensiert oder nicht) beobachtet wird Median survival time: t, für das gilt Ŝ(t)=0,5 probability of default 18

2. Alternative zur Ermittlung des Kaplan-Meier Schätzers: Ŝ : Seien t < t < < ( 1) (2)... ( r) t geordnete Überlebenszeiten n j sei die Anzahl an Versuchsobjekten, die bis j überlebt haben d j sei die Anzahl Ausfälle in Zeitpunkt tj Bzgl. Ausfälle und Zensierungen genau im tj: o Ausfälle in tj werden subtrahiert o aber Zensierungen in tj sind in nj enthalten!!! Bsp: Zensierung und Ausfall gleichzeitig=> Zensierung nach Ausfall (Idee: wenn bis tj überlebt wahrscheinlich, dass auch danach weiterlebt probability of default 19

Schätzer für die mittlere Überlebenszeit µ Ŝ t dt 0 Fläche unterhalb der geschätzten SF Erwartungstreu, da Ŝ(t) erwartungstreu* Nicht definiert falls Ŝ(t) nicht überall def. µ 1.t 1 Ŝ t 1. t 2 t 1 Ŝ t 2. t 3 t 2 Ŝ t m 1. t m t m 1 Summe der Vierecke unterhalb der SF Problem: Falls die letzte Beobachtung (größtes t) zensiert ist und für t(m) benutzt wird=> µ kann zu gering sein! Irwin: Wähle eine Zeitgrenze B und schätze mittlere Überlebenszeit bis zur Zeitgrenze B. Setze B=t(m) probability of default 20

Zu zeigen: 1. Erwartungstreue von Ŝ(t) 2. Erwartungstreue von µ 3. Greenwood Formel für var[ŝ(t)] 4. Var(µ) ermitteln 5. Konsistenz des Kaplan-Meier Schätzers intuitiv probability of default 21

Beweis*: Ε[Ŝ(t)] S(t) Fazit: Der Kaplan-Meier Schätzer Ŝ(t) ist unverzerrt => µ auch erwartungstreuer Schätzer für mittlere Überlebenszeit probability of default 22

Herleitung: Anwendung der Delta-Methode var Ŝ t Ŝ t 2 1 n r n r 1 Anwendung der Delta-Methode zum 2. Mal Substituiere pj=(nj-dj)/nj für πj (Greenwood Formel) =1 =(n-r+1) =(n-r) probability of default 23

Zurück zum Beispiel... Berechnung von gesch. var(ŝ(10)): = 2 0,482 1 9.10 + (n-r)(n-r+1) 1 6.7 + 1 5.6 + 1 3.4 Summe über alle r von 1 bis 7 =0,0352 remission rank r (n r)/(n r+1)=ptŝ(t) 3 1 1 0.90 0.9000 4 2 5.7 3 6.5 4 4 0.8571 0.7714 6.5 5 5 0.8333 0.6429 8.4 6 10 7 7 0.7500 0.4821 10 8 12 9 9 0.5000 0.2411 15 10 10 0.0000 0.0000 se(ŝ(10))= 0,1876 Konfidenzintervalle für die einzelnen Ŝ(t) ermitteln probability of default 24

var(µ) = 2 Ar ( n r)( n r + 1) r Wobei Ar:= Fläche unter der Funktion rechts von t(r): Ŝ remission rank r (n r)/(n r+1)=ptŝ(t) 3 1 1 0.90 0.9000 4 2 5.7 3 6.5 4 4 0.8571 0.7714 6.5 5 5 0.8333 0.6429 8.4 6 10 7 7 0.7500 0.4821 10 8 12 9 9 0.5000 0.2411 15 10 10 0.0000 0.0000 Am Bsp: Berechnung von var(µ) A1=Ŝ(t1)[t2-t1]+Ŝ(t2)[t3-t2]+Ŝ(t3)[t4-t3]+ Ŝ(t4)[t5-t4]+Ŝ(t5)[t6-t5]=7,088 A4=Ŝ(t2)[t3-t2]+Ŝ(t3)[t4-t3]+ Ŝ(t4)[t5-t4]+Ŝ(t5)[t6-t5]=3,938 A5=3,938; A7=1,688; A9=0,724; A10=? var(µ)= 1,942 => aber verzerrt =>korrigiere mit m/(m-1), wobei m = (n-zensierungen) probability of default 25

Falls median survival time nicht eindeutig ist. Ŝ(t) Ŝ(t) 0,5 0,5 t1 t2 t t1 t2 t Falls weniger als 50% der Beobachtungen nicht zensiert sind und die grösste Beobachtung zensiert ist probability of default 26

Annahme war: Zensierung ist unabhängig von survival time (der Grund wieso eine Beobachtung zensiert wird ist unkorreliert mit der Ursache für den Tod/Ausfall). Annahme verletzt wenn: o Bei Krediten wird die Beobachtung/das Kredit terminiert bevor ein Kreditausfall tatsächlich eingetreten ist, aber trotzdem einzutreten droht: Kündigungsrechte des Kreditgebers o Andere Ursachen für Tod/Ausfall, die am besten aus der Betrachtung herausgenommen werden. probability of default 27

Kaplan Meier Schätzer ist asympthotisch normalverteilt Der Konfidenzintervall des Kaplan-Meier Schätzers ist interessanter als der Punktschätzer: [Ŝ(t)+/-1.96se(t)] =>95% Konf.intervall Zusammenfassung Kaplan-Meier Schätzer: i. Konsistent ii. asympthotisch normalverteilt iii. unter bestimmten Annahmen (iid loss) unverzerrt probability of default 28