Zusammenfassung: Kapitel 5, Zusammenhangsmaße

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1 Zusammenfassung: Kapitel 5, Zusammenhangsmaße Kovarianz s xy = 1 n n (x i x)(y i ȳ) i=1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson r xy = s xy s x s y = n (x i x)(y i ȳ) i=1 n (x i x) 2 i=1 n (y i ȳ) 2 i=1 Dr. Matthias Arnold 294

2 Zusammenfassung: Kapitel 5, Zusammenhangsmaße Kovarianz und Korrelation Maßzahlen für den linearen Zusammenhang Korrelation: standardisiert Korrelation Kausalität Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman n ( R(xi ) R )( x R(yi ) R ) y r R xy = i=1 n ( R(xi ) R ) 2 x n ( R(yi ) R ) 2 y i=1 i=1 Maß für monotonen Zusammenhang Dr. Matthias Arnold 295

3 Zusammenfassung: Kapitel 6, Preisindizes Preisindex nach Laspeyres P L 0t = n p t (i) q 0 (i) i=1 n p 0 (i) q 0 (i) i=1 Preisindex nach Paasche P P 0t = n p t (i) q t (i) i=1 n p 0 (i) q t (i) i=1 Dr. Matthias Arnold 296

4 Zusammenfassung: Kapitel 6, Preisindizes Preisindizes Darstellung als gewichtetes arithmetisches Mittel Inflationsrate Warenkorb und Verbraucherpreisindex praktische Umsetzung Dr. Matthias Arnold 297

5 Zusammenfassung: Kapitel 7, Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Grundlegende Begriffe Zufallsexperiment Elementarereignisse ω i Ergebnismenge Ω Ereignisse Ereignisse A und B Schnittmenge A B Vereinigungsmenge A B Differenzmenge A \ B Komplementärmenge Ā disjunkte Mengen Dr. Matthias Arnold 298

6 Zusammenfassung: Kapitel 7, Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten Laplace Axiome von Kolmogoroff Rechenregeln bedingte Wahrscheinlichkeiten stochastische Unabhängigkeit Interpretation bedingter Wahrscheinlichkeiten Dr. Matthias Arnold 299

7 Zusammenfassung: Kapitel 8, Zufallsvariablen Zufallsvariable X Abbildung: Ω R diskrete und stetige Zufallsvariablen diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x i )=P (X = x i ), i =1,...,k, diskrete Zufallsvariable: Verteilungsfunktion F (x) =P (X x) = x i x f(x i ), x R Dr. Matthias Arnold 300

8 Zusammenfassung: Kapitel 8, Zufallsvariablen stetige Zufallsvariable: Dichtefunktion f(x) =F (x), x R, stetige Zufallsvariable: Verteilungsfunktion F (x) =P (X x) = x f(t) dt, x R Dr. Matthias Arnold 301

9 Zusammenfassung: Kapitel 8, Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion Eigenschaften Rechenregeln stochastische Unabhängigkeit Dr. Matthias Arnold 302

10 Zusammenfassung: Kapitel 9, Erwartungswert, Varianz und Kovarianz von Zufallsvariablen Erwartungswert, diskrete Zufallsvariable E (X) = i I x i f(x i ) Erwartungswert, stetige Zufallsvariable E (X) = x f(x) dx Eigenschaften des Erwartungswertes Gesetz der großen Zahl p-quantile Dr. Matthias Arnold 303

11 Zusammenfassung: Kapitel 9, Erwartungswert, Varianz und Kovarianz von Zufallsvariablen Varianz einer Zufallsvariablen σ 2 X = Var (X) =E [ (X E (X)) 2] Standardabweichung σ X = σ 2 X Eigenschaften Dr. Matthias Arnold 304

12 Zusammenfassung: Kapitel 9, Erwartungswert, Varianz und Kovarianz von Zufallsvariablen Kovarianz zweier Zufallsvariablen σ XY = Cov (X, Y )=E [(X E (X))(Y E (Y ))] Korrelation zweier Zufallsvariablen ρ XY = σ XY σ X σ Y Kovarianz und Korrelation Maße für den linearen Zusammenhang Rechenregeln, Eigenschaften Unkorreliertheit und Unabhängigkeit Dr. Matthias Arnold 305

13 Zusammenfassung: Kapitel 10, Ausgewählte Verteilungen Binomialverteilung Bernoulli-Experiment, n-mal wiederholt Stetige Gleichverteilung Normalverteilung Standardnormalverteilung Zentraler Grenzwertsatz Approximationen Dr. Matthias Arnold 306

14 Teil C: Induktive Statistik Dr. Matthias Arnold 307

15 Motivation Teil B: Verteilung F einer Zufallsvariablen X ist bekannt sämtliche Parameter von F (Erwartungswert, Varianz, Quantile,... ) lassen sich direkt angeben Teil C: Verteilung F einer Zufallsvariablen X ist unbekannt Stichprobe X 1,..., X n uiv F Realisationen x 1,..., x n sollen Rückschlüsse auf unbekannte Parameter von F liefern Dr. Matthias Arnold 308

16 Motivation (Fortsetzung) Dr. Matthias Arnold 309

17 Kapitel 11: Punktschätzung Beispiel 11.1 (S1-Verspätung, vgl. u.a. Beispiel 9.5 b)) X = S1-Verspätung (in min) Haltestelle Dortmund Universität Kapitel 8&9: X R[0, 20] Jetzt: X F, wobei F unbekannt Messe nun stichprobenartig folgende Verspätungen (in Min.): 2, 14, 10, 0, 9, 20, 8, 2, 3, 2 gesucht: Durchschnittliche Verspätung, also E (X)??? Dr. Matthias Arnold 310

18 Definition 11.1 X 1,..., X n Stichprobenvariablen aus Grundgesamtheit mit unbekannter Verteilung F = F θ. Dann heißt eine Funktion ˆθ = g (X 1,..., X n ) Schätzfunktion (kurz Schätzer) für den unbekannten Parameter θ. Der sich aus den Realisationen x 1,..., x n ergebende Wert g (x 1,..., x n ) heißt Schätzwert für θ. Dr. Matthias Arnold 311

19 Beispiel 11.2 (S1-Verspätung, Situation wie in Beispiel 11.1) X i = S1-Verspätung (in min) bei i ter Messung uiv X 1,..., X 10 X F (F unbekannt) Von Interesse: μ = E (X i ) einige mögliche Kandidaten: ˆμ 1 = X = 7 ˆμ 2 = X 1 = 2 ˆμ 3 = 3 X 8 = 6 ˆμ 4 = i=1 X i = 7, 56 Welcher Schätzer ist am besten? Dr. Matthias Arnold 312

20 Definition 11.2 Ein Schätzer ˆθ, für den E (ˆθ) =θ gilt, heißt erwartungstreu (oder unverzerrt) für θ. Für einen Schätzer ˆθ heißt Bias (ˆθ) =E (ˆθ) θ Verzerrung (oder Bias) vonˆθ. Dr. Matthias Arnold 313

21 Bemerkung a) Grafische Darstellung erwartungstreue Schätzung f(θ^) Dr. Matthias Arnold 314 θ

22 Bemerkung (Fortsetzung) b) Grafische Darstellung verzerrte Schätzung f(θ^) θ Dr. Matthias Arnold 315

23 Beispiel 11.3 (S1-Verspätung, Situation wie in Beispiel 11.2) Für die vier vorgeschlagenen Schätzer gilt: ( ) E (ˆμ 1 ) = E X i 1 10 i=1 = 1 10 i=1 E (X i )= μ = μ E (ˆμ 2 ) = E (X 1 ) = μ E (ˆμ 3 ) = E (3 X 8 )=3 E (X 8 )=3 μ μ E (ˆμ 4 ) = E ( 1 9 ) 9 X i i=1 = 1 9 i=1 9 E (X i )= μ = μ ˆμ 1, ˆμ 2 und ˆμ 4 erwartungstreu welchen Schätzer bevorzugen? Dr. Matthias Arnold 316

24 Definition 11.3 Seien ˆθ 1 und ˆθ 2 erwartungstreue Schätzer für θ. Wenn Var (ˆθ 1 ) < Var (ˆθ 2 ), so heißt ˆθ 1 effizienter zur Schätzung von θ als ˆθ 2. Bemerkung Grafische Darstellung Effizienz (hier ˆθ 1 effizienter als ˆθ 2 ) f(θ^1) f(θ^2) Dr. Matthias Arnold 317 θ

25 Beispiel 11.4 (S1-Verspätung, Situation wie in Beispiel 11.3) Für die erwartungstreuen Schätzer ˆμ 1, ˆμ 2 und ˆμ 4 gilt: ( ) Var (ˆμ 1 ) = Var X i Var (X i ) 1 10 i=1 = = σ2 = 1 10 σ2 Var (ˆμ 2 ) = Var (X 1 )=σ 2 Var (ˆμ 4 ) = Var ( 1 9 ) 9 X i i=1 = σ2 = 1 9 σ2 = 1 81 i=1 9 Var (X i ) Güte der Schätzer (gemäß Effizienzkrit.): 1) ˆμ 1, 2) ˆμ 4, 3) ˆμ 2 i=1 Dr. Matthias Arnold 318

26 Bemerkung a) Betrachte Zufallsvariablen X 1,..., X n (uiv) mit E (X i )=μ. Gemäß Beispiel 11.4 ist ˆμ 1 = X effizienter als zwei andere erwartungstreue Schätzer für μ. Allgemein ist X der effizienteste Schätzer unter allen erwartungstreuen Schätzern für μ, d.h.esgilt: Var ( X) Var ( μ) für alle μ mit E ( μ) =μ. b) Spezialfall von a) bei Bernoulliverteilung: uiv X 1,..., X n Bin(1,p) E (X i )=p X erwartungstreuer (und außerdem effizientester) Schätzer für p Dr. Matthias Arnold 319

27 Bemerkung (Fortsetzung) c) Betrachte Zufallsvariablen X 1,..., X n (uiv) mit E (X i )=μ bekannt und σ 2 = Var (X i ) unbekannt. Dannist ˆσ 2 = S 2 X = 1 n n (X i μ) 2 i=1 ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2. d) Betrachte Zufallsvariablen X 1,..., X n (uiv) mit E (X i )=μ unbekannt und σ 2 = Var (X i ) unbekannt. Dannist ˆσ 2 = S 2 X = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2. Dr. Matthias Arnold 320

28 Beispiel 11.5 (S1-Verspätung, Situation wie in 11.1) a) X i = S1-Verspätung bei i ter Messung (i =1,..., 10), X i F (unbekannt) Schätze Varianz σ 2 (gem. Bem. d) nach Bsp. 11.1) erwartungstreu mit S 2 X S 2 X = 1 9 ( (2 7) 2 +(14 7) 2 +(10 7) 2 +(0 7) 2 +(9 7) 2 +(20 7) 2 +(8 7) 2 +(2 7) 2 +(3 7) 2 +(2 7) 2 ) = 1 ( ) 9 = = 41, 34 Dr. Matthias Arnold 321

29 Beispiel 11.5 (Fortsetzung) b) Situation wie in a), unterstelle jedoch, dass der aus den zehn Messungen resultierende Mittelwert ( x =7)dem wahren Erwartungswert entspricht verwende diese Zusatzinfo und schätze die Varianz σ 2 (gem. Bem. c) nach Bsp. 11.1) erwartungstreu mit S 2 X S 2 X = 1 n n (X i μ) 2 = 1 10 i=1 372 = 37, 2 Dr. Matthias Arnold 322

30 Beispiel 11.5 (Fortsetzung) c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verspätet sich S1 um höchstens 5 Minuten? { 1, Verspätung 5 min Definiere Y i = 0, sonst Also Y 1,..., Y 10 uiv Bin(1,p); Von Interesse: p (Wahrscheinlichkeit, dass S1 max. 5 min. zu spät) Gemäß Bem. b) nach Bsp ist X effizientester Schätzer für p ˆp = 1 10 ( )= 1 2 (Zur Erinnerung: P(Versp. max. 5 min) =0, 25 bei Unterstellung einer Gleichverteilung) Dr. Matthias Arnold 323

31 Bemerkung Fazit/Zusammenfassung Kapitel 11 Schätzer = Funktion der Stichprobenvariablen, selbst ebenfalls Zufallsvariable Erwartungstreue als Konzept zum Vergleich von Schätzern Effizienz als Konzept zum Vergleich von erwartungstreuen Schätzern Dr. Matthias Arnold 324

32 Kapitel 12: Intervallschätzung Motivation Bisher: Schätzung des unbekannten Parameters θ durch ˆθ auf einen Punkt P(ˆθ = θ) =0(falls ˆθ stetig verteilt), darüber hinaus keine Informationen, wie wahrscheinlich sich ˆθ zumindest in der Nähe von θ realisiert Jetzt: Konstruiere (basierend auf Punktschätzer) Intervall, das unbekannten Parameter mit hoher Wahrscheinlichkeit überdeckt liefert Information über Präzision des Schätzers Dr. Matthias Arnold 325

33 Definition 12.1 X 1,..., X n Stichpr. aus Grundges. mit X i F θ (unbekannt). V u = g(x 1,X 2,...,X n ) und V o = h(x 1,X 2,...,X n ) Stichprobenfunktionen mit V u <V o. Dann heißt das Intervall [V u,v o ] Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter θ. Weiter heißt Irrtumswahrscheinlichkeit und α = P (θ / [V u,v o ]) 1 α = P (θ [V u,v o ]) Vertrauenswahrscheinlichkeit oder Konfidenzniveau. Dr. Matthias Arnold 326

34 Beispiel 12.1 Das Zentrum für Studienangelegenheiten an der TU Dortmund behauptet, dass die mittlere Wartezeit von Besuchern nicht mehr als zehn Minuten beträgt. Eine Befragung von 16 zufällig ausgewählten Besuchern ergab folgende Wartezeiten (in Minuten): 12, 20, 5, 15, 8, 1, 30, 25, 10, 4, 17, 11, 20, 10, 6, 2. Gesucht: 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Wartezeit Annahme: Wartezeiten Stichprobenrealisationen einer normalverteilten Grundgesamtheit mit Standardabweichung σ =5 bekannt. Dr. Matthias Arnold 327

35 Bemerkung Herleitung eines Konfidenzintervalls für μ bei bekannter Varianz (normalverteilte Grundgesamtheit) uiv Ausgangssituation: X 1,..., X n N ( μ, σ 2) n i=1 X i N ( n μ, n σi 2 ) (vgl. Bem. d) nach Def. 10.4) X ( ) N μ, σ2 n (vgl. Bem. d) nach Bsp. 9.1 und Bem. a), Punkt ii), nach Beispiel 9.5) n X μ σ N(0, 1) (vgl. Bem. c) nach Def. 10.4) ( P u α n X ) μ u 2 σ 1 α =1 α 2 mit u γ = γ-quantil der N (0, 1)-Verteilung Dr. Matthias Arnold 328

36 Bemerkung (Fortsetzung) uiv Herleitung Konfidenzintervall für μ bei X i N ( μ, σ 2), σ 2 bekannt (Fortsetzung) 1 α = ( P u 1 α n ( X ) μ) u 2 1 α 2 = ( ) σ P u 1 α X σ μ u 2 1 α n 2 n = P = P ( u 1 α 2 X σ u 1 α 2 n }{{} = V u σ n X μ u 1 α 2 μ X + u 1 α 2 ) σ X n σ n } {{ } = V o Dr. Matthias Arnold 329

37 Bemerkung (Fortsetzung) uiv Somit gilt: Wenn X 1,..., X n N(μ, σ 2 ), Varianz σ 2 bekannt, dann ist ein Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert μ zum Konfidenzniveau 1 α gegeben durch [ ] σ KI 1 α (μ) = X u 1 α, X σ + u 2 1 α n 2 n Interpretation μ ist ein fester Wert (obwohl unbekannt), zufällig sind die Intervallgrenzen deshalb: Das Intervall [V u,v o ] überdeckt den unbekannten Parameter μ mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit 1 α Dr. Matthias Arnold 330

38 Beispiel 12.2 (Wartezeiten ZfS, vgl. Bsp. 12.1) X i = Wartezeit i-ter Besucher (in Minuten), dann gilt nach Annahme: uiv X 1,X 2,...,X 16 N(μ, 25) Konfidenzintervall Varianz σ 2 bekannt, also: [ KI 1 α (μ) = X u 1 α 2 Berechnung für diese Daten: σ n, X + u 1 α 2 ] σ n Dr. Matthias Arnold 331

39 Beispiel 12.2 (Fortsetzung) Hier ist X = 1 ( )=12, und für α =0, 05 gilt nach Tabelle KI 0,95 (μ) = 1 α =0, 95 u 1 α = u 0,975 =1, 96 2 [ 12, 25 1, ;12, , 96 = [12, 25 2, 45; 12, , 45] ] 5 16 = [9, 8; 14, 7]=[9 Min.&48 Sek.; 14 Min.&42 Sek.] Intervall derart konstruiert, dass es unter den getroffenen Annahmen die (unbekannte, aber feste) mittlere Wartezeit beim ZfS mit 95 % Wahrscheinlichkeit überdeckt Dr. Matthias Arnold 332

40 Bemerkung Frage: Wie lässt sich analoges Konfidenzintervall für mittlere Wartezeit finden, wenn Varianz σ 2 unbekannt? Idee: Ersetze in Bemerkung nach Beispiel 12.1 die unbekannte Varianz σ 2 durch erwartungstreuen Schätzer, z.b. S 2 X (siehe Bem. d) nach Bsp. 11.4) Problem: n X μ S X N (0, 1) Aber: n X μ S X besitzt andere, leicht handhabbare Verteilung Dr. Matthias Arnold 333

41 Definition 12.2 X 1,..., X n uiv N(0, 1), dann heißt die Zufallsvariable Y = n i=1 X 2 i χ 2 -verteilt mit n Freiheitsgraden, kurz: Y χ 2 n. Weiter sei W ebenfalls N (0, 1) verteilt und Y wie oben definiert (also Y χ 2 n). Sind W und Y stochastisch unabhängig, so heißt die Zufallsvariable Z = W 1 n Y t-verteilt mit n Freiheitsgraden, kurz: Z t n. Dr. Matthias Arnold 334

42 Bemerkung 1 a) Dichten ausgesuchter χ 2 n Verteilungen f(x) n=1 n=2 n=3 n=4 n=6 n= Dr. Matthias Arnold 335 x

43 Bemerkung 1 (Fortsetzung) b) Dichten ausgesuchter t n Verteilungen f(x) n = 2 f(x) n = x x f(x) n = 10 f(x) n = x Dr. Matthias Arnold 336 x

44 Bemerkung 2 a) Konfidenzintervall für μ bei Normalverteilung, σ 2 unbekannt uiv Betrachte Problem aus Bem. nach Bsp. 12.2: X i N(μ, σ 2 ) mit μ und σ 2 unbekannt; Gesucht: Konfidenzintervall für μ Bekannt: n X μ σ N(0, 1); außerdem leicht zu zeigen: (n 1) S 2 X σ 2 χ 2 n 1 Weiter sind X und S 2 X stochastisch unabhängig n X μ σ n 1 n 1 und somit P S X 2 σ 2 = n X μ σ S Xσ ( t n 1, α 2 n X μ S X = n X μ S X t n 1 (vgl. Def. 12.2) t n 1,1 α 2 ) =1 α Dr. Matthias Arnold 337

45 Bemerkung 2 (Fortsetzung) a) Konfidenzintervall bei N (μ, σ 2 ), σ 2 unbekannt (Fortsetzung) uiv Somit gilt: Wenn X 1,..., X n N(μ, σ 2 ), Varianz σ 2 unbekannt, dann ist ein Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert μ zum Konfidenzniveau 1 α gegeben durch [ ] S X KI 1 α (μ) = X t n 1,1 α, X S + t 2 n 1,1 α X n 2 n b) Für n konvergiert t n Verteilung gegen N (0, 1) Verteilung; Faustregel: Approximation bei n 30 akzeptabel wenn n 30, so kann im Konfidenzintervall aus Teil a) anstelle des (1 α/2) Quantils der t n Verteilung das entsprechende N (0, 1) Quantil verwendet werden Dr. Matthias Arnold 338

46 Beispiel 12.3 (Wartezeiten ZfS, vgl. Bsp und 12.2) X i = Wartezeit i-ter Besucher (in Minuten) ; unterstelle weiterhin Normalverteilung, nehme nun jedoch an, dass σ 2 unbekannt X 1,..., X 16 uiv N(μ, σ 2 ) Gesucht: Konfidenzintervall für μ wende Bem. 2 a) nach Def an X =12, 25 und n =16(vgl. Bsp. 12.2), weiterhin gilt t 15,0.975 =2, 131; berechne nun außerdem S X 2 S 2 X = 1 15 = 69, 933 ( (12 12, 25) 2 +(20 12, 25) (2 12, 25) 2) Dr. Matthias Arnold 339

47 Beispiel 12.3 (Fortsetzung) Somit gilt 69, 933 KI 0,95 (μ) = 12, 25 ± t 15, [ ] 69, , 933 = 12, 25 2, 131 ;12, , = [12, 25 4, 455; 12, , 455] = [7, 795; 16, 705] = [7 Min.&48 Sek.; 16 Min.&42 Sek.] Beachte: Bei bekannter Varianz umschloss das Konfidenzintervall den Bereich [9 Min.&48 Sek.; 14 Min.&42 Sek.], vgl. Bsp dieses Intervall liegt komplett in dem Konfidenzintervall, welches bei unbekannter Varianz berechnet wurde (klar: weniger Informationen größere Unsicherheit) Dr. Matthias Arnold 340

48 Beispiel 12.4 Bei einer Umfrage unter 65 mittelständischen Unternehmen geben 26 Betriebe an, zusätzliche Mitarbeiter einstellen zu wollen, falls der Kündigungsschutz gelockert wird. Gesucht: 90%-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil der Betriebe, die nach einer Gesetzesänderung zusätzliche Arbeitsplätze schaffen wollen { 1 i-ter Betrieb möchte zusätzl. Mitarb. einstellen Definiere X i = 0 sonst X 1,..., X 65 uiv Bin (1,p) 65 i=1 X i Bin (65,p) Gemäß Fragestellung also benötigt: Konfidenzintervall für p Dr. Matthias Arnold 341

49 Bemerkung uiv Seien X 1,..., X n Bin (1,p), dann ist ein (approximatives) Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil p zum Konfidenzniveau 1 α gegeben durch: KI 1 α (p) = [ ˆp u 1 α 2 ˆσ n, ˆp + u 1 α 2 ] ˆσ n Dabei ist ˆp = X, ˆσ = ˆp (1 ˆp) und u γ das γ-quantil der Standardnormalverteilung. Weiterhin gilt die Approximation als akzeptabel, wenn (1) n 30, (2) nˆp 10, (3) n (1 ˆp) 10 Dr. Matthias Arnold 342

50 Beispiel 12.5 (Umfrage in mittelständischen Unternehmen, vgl. Bsp. 12.4) X i wie in Bsp X 1,..., X 65 uiv Bin (1,p) Gesucht: Konfidenzintervall für p Nutze Bem. nach Bsp. 12.4: 65 i=1 Überprüfung der Voraussetzungen: X i =26 ˆp = X = =0, 4 (1) n = (2) n ˆp = (3) n (1 ˆp) = Dr. Matthias Arnold 343

51 Beispiel 12.5 (Fortsetzung) Weiter gilt und somit ˆσ = 0, 4(1 0, 4) = 0, 24 = 0, 49 1 α =0, 9 u 1 α 2 = u 0,95 =1, 645 KI 0,9 (p) = [ ] 0, 49 0, 49 0, 4 1, 645 ;0, 4+1, = [0, 4 0, 1; 0, 4+0, 1] = [0, 3; 0, 5] Das 90 % Konfidenzintervall für den Anteil an Betrieben, die nach einer Gesetzesänderung zusätzliches Personal einstellen würden, geht von 30 % bis 50 %. Dr. Matthias Arnold 344

52 Wahlumfragen Politbarometer (Forschungsgruppe Wahlen) Angabe: Bei Befragten beträgt die Fehlertoleranz für Parteien mit 40% Stimmenanteil +/ 3% für Parteien mit 10% Stimmenanteil +/ 2% Berechnung n = 1250 α =0, 05 (Konvention) u 1 α 2 = u = ˆσ u 1 α 2 n 2 p (1 p) bzw. 2 = 2 n p (1 p) n =2 0, , 028 Dr. Matthias Arnold 345

53 Wahlumfragen Infratest Dimap (ARD-DeutschlandTREND) Angabe: Bei Befragten beträgt die Fehlertoleranz für Parteien mit 5% Stimmenanteil +/ 1, 4% für Parteien mit 50% Stimmenanteil +/ 3, 1% Berechnung n = 1000 α =0, 05 (Konvention) u 1 α 2 = u = ˆσ u 1 α 2 n 2 p (1 p) bzw. 2 = 2 n p (1 p) n =2 0, , 0138 Dr. Matthias Arnold 346

54 Das Konfidenzintervall [ KI 1 α (μ) = X u 1 α 2 σ n, X + u 1 α 2 ] σ n hat die Breite ( V o V u = X + u 1 α 2 ) ( σ X u 1 α n 2 σ n ) =2 u 1 α 2 σ n und ist deshalb umso schmaler, je größer α ist (größere Irrtumswahrscheinlichkeit bedeutet kleineres Intervall) kleiner σ 2 ist (präzisere Schätzung gibt mehr Sicherheit) größer n ist (mehr Stichprobe bedeutet mehr Information) Dr. Matthias Arnold 347

55 erforderlicher Stichprobenumfang In der Praxis häufig: gewünschte Breite des Konfidenzintervalles vorgegeben: V o V u = c mit einer Konstante c daraus: erforderlichen Stichprobenumfang berechnen c = V o V u = 2 u 1 α 2 n = ( 2 u 1 α 2 σ n σ ) 2 c bei unbekanntem σ: durch Schätzwert ersetzen Zusammenhang ist quadratisch: Intervallbreite halbieren erfordert vierfachen Stichprobenumfang Dr. Matthias Arnold 348