Die Dirac sche δ-funktion

Gero Hillebrandt, Matthias Köhler 20. Oktober 203 Inhaltsverzeichnis Definition und Eigenschaften der δ-funktion 2. Die Heaviside sche Einschaltfunktion................ 2.2 Eigenschaften der δ-funktion.................... 3 2 Ersatzfunktionen 3 2. Beispiele für Ersatzfunktionen.................... 3 2.2 Eigenschaften von Ersatzfunktionen................ 4 2.3 Einfache Rechenbeispiele....................... 5 3 Die δ-funktion im Ortsraum 6 3. Eigenschaften der dreidimensionalen δ-funktion.......... 6 3.2 Anwendungen der δ-funktion im Raum.............. 6 4 δ-funktion und Fourier-Transformation 7

Definition und Eigenschaften Die Dirac sche δ-funktion Die δ-funktion ist keine klassische analytische Funktion, sondern eine Distribution (uneigentliche Funktion). Sie wurde von Paul Dirac eingeführt, um lokale Ereignisse, z.b. das Elektron als Punktladung im R 3, zu beschreiben. Wir versuchen in diesem Skript eine physikalisch motivierte Einführung der δ-funktion. Definition und Eigenschaften der δ-funktion. Die Heaviside sche Einschaltfunktion Die δ-funktion kann als Ableitung der Heaviside schen Einschaltfunktion Θ(t) { für t > +ε Θ(t) = () 0 für t < ε eingeführt werden. Dabei ist der genaue erlauf innerhalb des Intervalls (-ε, ε) nicht definiert und es gelte ε. Mathematische erwendung findet die Einschaltfunktion in der Erweiterung von Integrationsgrenzen, z.b.: wegen b f(t)dt = b f(t)θ(t a)dt = a f(t)θ(t a)θ(b t)dt Θ(t a) = 0 t a < ε t < a ε Θ(b t) = 0 b t < ε t > b + ε Definiert man δ(t) := dθ dt, (2) erhält man einen Peak mit unbestimmter Höhe, der auf das Intervall (-ε, ε) beschränkt ist. In der Umkehrung liefert (2) { t Θ(t) = δ(t )dt 0 t < ε = t > +ε Im Limes t muss dann gelten + δ(t )dt =. Das ist das sog. Normierungsintegral der δ-funktion. Es gilt auch in der ersion t2 t δ(t t o )dt = falls t < t o < t 2. 2

Ersatzfunktionen.2 Eigenschaften der δ-funktion Delta-Funktionen können im R (bzgl. x oder t) sowie im R 3 definiert werden. Eine Delta-Funktion δ(x x o ) (Peak am Ort x = x o ) kann über die folgende 2 Eigenschaften definiert werden:. Peak-Charakter: δ(x x 0 ) = 0 x x 0 2. Normierung: bzw. δ(x x 0)dx = { b a δ(x x falls a < x 0 < b 0)dx = 0 sonst Merke: Integriert man über den Peak der δ-funktion, erhält man Eins. Klassische analytische orstellungen helfen bei der Interpretation der Eigenschaften der δ-funktion nur bedingt weiter. Da wegen der. Eigenschaft das effektive Integrationsintervall die Breite Null hat, müsste das Integral nach klassischer Definition verschwinden. Daher behilft man sich mit der orstellung, dass für ε 0 die δ-funktion den Funktionswert annimmt, so dass gilt: x0+ε lim ε 0 x 0 ε δ(x x 0 )dx = 2 Ersatzfunktionen 2. Beispiele für Ersatzfunktionen Mit analytischen Ersatzfunktionen δ ε ist es möglich, die Eigenschaften der δ- Funktion zu approximieren. Wir geben hier 3 prominente Beipiele an:. abfallende e-funktion: δ ε (x) = 2ε e x ε 2. Lorentzkurve: δ ε (x) = π ε x 2 + ε 2 3. Gaußkurve: δ ε (x) = e x2 2ε 2 abfallende e-funktion Lorentzkurve Gaußkurve 3

Ersatzfunktionen 2.2 Eigenschaften von Ersatzfunktionen Ersatzfunktionen δ ε (x x 0 ) haben folgende Eigenschaften:. Symmetrie: δ ε (x x 0 ) = δ ε (x 0 x) 2. Peak-Charakter für ε 3. Normierung: δ ε(x x 0 )dx = Die δ-funktion kann als Grenzwert einer Funktionenfolge {δ ε (x x 0 )} dargestellt werden, für die gilt: lim ε 0 {δ ε (x x 0 )} = δ(x x 0 ). Weitere Eigenschaften der δ-funktion lassen sich mit Hilfe von Ersatzfunktionen beweisen:. g(x)δ(x a) = g(a)δ(x a), insbesondere gilt xδ(x) = 0 2. f(x)δ(ax)dx = a f(0) 3. f(x)δ(x x 0)dx = f(x 0 ) Die Eigenschaft 3 ist in der Physik besonders wichtig: steht die δ-funktion im Integranden, dann filtert sie den Funktionswert an der Stelle x o heraus. (Im klassisch-analytischen Fall würde hier der Mittelwertsatz der Integralrechnung gelten!) Der Beweis der wichtigen Eigenschaft 3 erfolgt mit der Gaußkurve als Ersatzfunktion. Die Gauß-Funktion δ ε (x) = e (x x 0 )2 2ε 2 besitzt ein Maximum bei x 0 ; ε ist ein Maß für die Streuung der durch die Funktion beschriebenen erteilung. f(x)δ ε (x x 0 )dx = Mit der Substitution z = x x0 2ε f(x)e (x x 0 ) 2 2ε 2 dx dz = dx 2ε erhält man folgende Beziehung. f(x)e (x x 0 ) 2 2ε 2 dx = 2ε f( 2εz + x 0 )e z2 dz Entwickelt man das Argument von f als Taylorreihe x = x 0, erhält man: f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 2 f (x 0 )( 2εz) 2 + 6 f (x 0 )( 2εz) 3 + = f(x 0 )+O(ε) Dabei sindo(ε) weitere Terme von mindestens der Ordnung ε. Somit gilt: lim ε 0 π dze z2 (f(x 0 ) + O(ε)) = f(x 0 ) π e z2 dz = f(x 0 ) Bei I = e z2 dz handelt es sich um das Gauß-Integral, dieses hat den Wert π, was wie folgt bewiesen werden kann: 4

Ersatzfunktionen ( ) ( ) I 2 = e x2 dx e y2 dy = e (x2 +y 2) d(x, y) Da über den gesamten R 2 integriert wird, ist die Integration in Polarkoordinaten möglich. In Polarkoordinaten ist das Flächenelement da = ϱdϱdϕ. 2π e ρ2 ϱdϱdϕ = 2π e ϱ2 ϱdϱ = π 0 0 0 0 e z dz = π [ e z ] 0 = π Dabei wurde ϱ 2 = z substituiert. Es gilt also I 2 = π und somit I = π. 2.3 Einfache Rechenbeispiele. 5 2 (x2 5x + 6)δ(x )dx = (x 2 5x + 6) x0= = 5 + 6 = 2 2. 5 2 (x2 5x + 6)δ(x 3)dx = 9 5 + 6 = 0 3. { b x 2 a (x2 0 für a < x 0 < b )δ(x x 0 )dx = 0 sonst 4. b a (f(x) f(x 0))δ(x x 0 )dx = 0 5

Die δ-funktion im Raum 3 Die δ-funktion im Ortsraum 3. Eigenschaften der dreidimensionalen δ-funktion Die δ-funktion lässt sich auf den R 3 übertragen, wenn man sie als Produkt eindim. δ-funktionen definiert und die entsprechenden Eigenschaften mit Hilfe der eindimensionalen δ-funktion beweist. Wir geben die Eigenschaften hier nur an:. δ( r r 0 ) := δ(x x 0 ) δ(y y 0 ) δ(z z 0 ) Peak bei r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) δ( r r 0 ) = 0 r r 0 2. δ( r r 0 )d = δ(x x 0)dx δ(y y 0)dy δ(z z 0)dz = R 3 Diese Normierung gilt auch für ein endliches olumenelement: δ( r r 0 )d = falls r 0 3. R 3 f( r 0 )δ( r r 0 )d = f( r 0 ) Die dreidimensionale δ-funktion kann auch in krummlinig-orthogonalen Koordinaten eingeführt werden:. Kugelkoordinaten r, θ(breitengrad), φ(längengrad) δ( r r 0 ) = 2. Zylinderkoordinaten ρ, φ, z r 2 sinθ δ(r r 0)δ(θ θ 0 )δ(φ φ 0 ) δ( r r 0 ) = ρ δ(ρ ρ 0)δ(φ φ 0 )δ(z z 0 ) 3. Ebene Polarkoordinaten r, φ δ( r r 0 ) = r δ(r r 0)δ(φ φ 0 ) Wir verweisen hier auf W. Nolting Grundkurs Theor. Physik, Bd. 3 Elektrodynamik, Kap. Math. orbereitung. 3.2 Anwendungen der δ-funktion im Raum Die δ-funktion erlaubt es, die Position von Punktmassen und Punktladungen (als lokale Ereignisse) in das Konzept der Kontinuumstheorie einzufügen. Für die Massendichte bzw. die Ladungsdichte gelten dann die folgenden Relationen:. Punktmassendichte eines Massenpunkts am Orte r 0 ϱ( r) = m δ( r r 0 ) Punktmassendichte für N Massenpunkte: ϱ( r) = N m i δ( r r i ) Gesamtmasse eines Systems von Punktmassen in einem olumenelement: M = ρ( r)d = N m i δ( r r i )d = N m i δ( r r i )d = N m i falls alle r i 6

δ-funktion und Fourier-Transformation 2. Punktladungsdichte einer Punktladung am Orte r 0 : ϱ el ( r) = qδ( r r 0 ) Punktladungsdichte für N Punktladungen: ϱ el ( r) = N q i δ( r r i ) Gesamtladung eines Systems von Punktladungen in olumenelement: Q = ϱ el ( r)d = N δ( r r i )d = N q i falls alle r i 3. Potential und elektrisches Feld einer Punktladung: q Φ = 4πε 0 r r mit r r o o = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) ( ) ( ) 2 E = Φ = q 4πε 0 r r 0 = q r r 0 4πε 0 r r 0 3 Nabla-Kalkül: ( ) r = ( r ) e r = r e 2 r = r r 3 Merke: Die Felder E i mehrerer Punktladungen werden superponiert: Φ = N q 4πɛ 0 i r r N i E = r r 4πε 0 q i i r r i = N E 3 i 4 δ-funktion und Fourier-Transformation Die Fourier-Transformierte F (k) einer Funktion f(x) ist wie folgt definiert: F (k) = f(x)e ikx dx Die Ausgangsfunktion erhält man anschließend durch Rücktransformation: f(x) = 2π F (k)e +ikx dk Hinweis: Die Fouriertransformation besteht aus Hin- und Rücktransformation, die konsistent definiert sein müssen. Dies ist aber nicht einheitlich, so gibt es unterschiedliche Normierungsfaktoren, oder es wird zum Beispiel in der angloamerikanischen Literatur das orzeichen des Exponenten der Exponentialfunktion in Hin- und Rücktransformation umgedreht. Beispiel: Fourier-Transformation der Gaußkurve als Ersatzfunktion f(x) = δ ε (x) = e x2 2ε 2 Wir betrachten hier den Spezialfall x 0 = 0; im allg. Fall muss die Transformation x = x x 0 durchgeführt werden, die auf einen zusätzlichen komplexen Phasenfaktor führen würde (siehe Bemerkungeng am Ende): F (δ ε ) = = exp } exp { x2 2ε 2 exp { ikx} dx = { ε4 k 2 2ε 2 } exp { (x + iε2 k) 2 2ε 2 } dx { exp x2 + 2iε 2 } kx 2ε 2 dx 7

δ-funktion und Fourier-Transformation Dabei wurde die Beziehung x 2 + 2iε 2 kx = (x + iε 2 k) 2 + ε 4 k 2 genutzt. Mit der Substitution y = x+iε2 k 2ε, also dx = 2εdy erhält man: F (δ ε ) = 2ε e ε2 k 2 2 e y2 dy = e ε2 k 2 2 Wie man in der Funktionentheorie zeigt, kann man die imaginäre Einheit bei reeller Integration als konstanten Faktor betrachten. Der Wert des Gauß-Integrals ist wie oben gezeigt π. Offensichtlich ist die Gauß-Kurve invariant gegenüber der Fourier-Transformation, allerdings ändert sich der orfaktor und ε steht im Exponenten der transformierten Gauß-Kurve im Zähler. Das bedeutet: Eine Gauß-Kurve mit kleiner Streuung (kleines ε) ist nach der Fouriertransformation eine Gauß-Kurve mit großer Streuung und umgekehrt. Diese Ergebnisse tragen später zum erständnis der Heisenberg schen Unschärferelation bei (Ort und Impuls können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden.) Im Grenzfall gilt: lim ε 0 δ ε (x)e ikx dx =. also δ(x)e ikx dx = Merke: Die Fourier-Transformierte der δ-funktion ist Eins. Aus der Rücktransformation erhält man das Fourier-Integral der δ-funktion: δ(x) = 2π e ikx dx Da die δ-funktion keine analytische Funktion ist, muss nicht verwundern, dass dieses Fourier-Integral nicht konvergiert. Betrachtet man allerdings die Lorentz- Kurve als Ersatzfunktion der δ-funktion, so gilt: 2π e ikx ε k dk = π ε x 2 + ε 2 = δ ε(x), wobei e ε k der sog. konvergierender Faktor ist. Im Grenzfall erhält man das Fourier-Integral der δ-funktion, denn es gilt: lim δ ε(x) = ε 0 2π e +ikx dx = δ(x) Ergänzend soll an dieser Stelle noch erwähnt werden, dass die beschriebene Rechnung auch mit einer um x 0 verschobenen Gauß-Kurve möglich ist. Als Ergebnis erhält man einen rein imaginären orfaktor in der Fourier-Transformierten, der als Phasenverschiebung definiert werden kann. Weitere Informationen findet man in W. Nolting, Theoretische Physik, Band 3, Kapitel I Mathematische orbereitung 8