Statstsche Methoden ür Baungeneure WS 3/4 Enhet 3: Bvarate Zuallsvarablen Unv.Pro. Dr. Günter Blöschl Bezechnungen... Zuallsvarable... Realsaton konkrete Werte Momente Grundgesamthet Mttelwert,Varanz Stchprobe Mttelwert,Varanzs
3 Bvarate Zuallsvarablen Bvarate Vertelungen Korrelaton Regresson Genereren korrelerter Zuallsvarablen 4 Bvarate Vertelungen m m j 0 m,, lm, Vertelungen mt zwe Zuallszahlen stetge Vertelungen - dskrete Vertelungen z.b. Normalvertelung dd ρ ρ R e ρ π R,,,
0.07, Bvarate Dchteunkton 5 0.06 0.05 0.04 Volumen = Ellpsen Isolnen Maß ür de Abhänggket von und 0.03 0.0 0.0 Randvertelung 0 0 7.5 5.5 0.5 5 7.5 0 0 7.5 5.5 bedngte Vertelung 6 Randvertelung,, d Bedngte Wahrschenlchketsdchte,, 3
Lnen glecher Funktonswerte Isolnen der Wahrschenlchketsdchte 7 0,,=0,0 0,0 0,03 7.5 5.5 0 0.5 5, I 0 7.5 5.5 0 7.5, Bvarate Häugketsvertelung 8 4
5 9 Korrelaton...Varanz...Varanz...Kovaranz,...Korrelatonskoezent E E E ρ ρ d d.... = normerte Kovaranz 0 Bespele
ρ Lneare Abhänggketen werden erasst ρ ρ 0 ρ 0 Schätzung des Korrelatonskoezenten r, s s s n n n n n n r,... Korrelatonskoezent s s s E E E... Varanz... Varanz... Ko var anz, 6
Kovaranz: Maß ür de lneare Abhänggket s = n _ n _ [ _ ] = 3 s 0 s 0 -. + = - +. + = + +. - = - -. - = + Korrelaton %Engangsdaten Fall =[.7,.8,4.5,,.5,3.8,4.7,.5,4.75,.5,4.9,.6,3.,3.5, 4.,4.5,5.3]; =[.9,.,4.,.3,,3.9,4.5,.6,4.8,.4,4.8,.3,3.5,3.,4,4.7,5.]; %Engangsdaten Fall %=[.7,.8,4.5,,.5,3.8,4.7,.5,4.75,.5,4.9,.6,3.,3.5,4.,4.5,5.3]; %=[-3,3,-,9,,8,,4,4.8,-,4.8,4,0,,-,6,5.]; % Korrelatonskoezent r=corrcoe,; r=r, plot,,'k.','markersze',0,hold on, h=tetmean,mean,['r = ',sprnt'%.',r], seth,'fontsze',, label'','fontsze',, label'','fontsze',, 4 7
5 Fall Fall Korrelaton vs Regresson 6 Korrelaton beschrebend Kenngröße zur Beschrebung von lnearen Zusammenhängen von Varablen Regresson vorhersagend Vorhersage ener abhänggen Varablen au der Bass von anderen unabhänggen Predktorvarablen 8
Regresson lnear 7 abhängge Varable ŷ ˆ Modell: = a + b. Vorhersage: ˆ = a + b. + unabhängge Varable d.h. Predktorvarable Bestmmung der Regressonsgeraden: Quadratsumme der Abwechungen mnmeren 8 S n ˆ Mn... Bedngung S S 0 und 0 Mn.Abletung glech Null a b n b n Regressonskoezenten a b 9
Mehrachregresson 9 Problem Kollneartät: Ot snd de Predktorvarablen j vonenander abhängg d.h. korrelert Modell: m = a0 + a j j + j= Vorhersage: ˆ = a 0 + m j= a j j Problem Kollneartät: 0 - Multpler Korrelatonskoezent gbt zu große Werte - Modell weng robust d.h. unktonert ür vorlegenden Datensatz, aber ncht unbedngt ür andere Daten Au Kollneartät testen Vorgangswese be Vorlegen von Kollneartät: a Stuenweses Vorgehen mt,, 3,... Predktorvarablen Auswahl nach der Korrelaton b Transormeren der Predktorvarablen n orthogonale Varablen z.b. mttels Hauptkomponentenanalse 0
Regresson %Engangsdaten Fall =[.7,.8,4.5,,.5,3.8,4.7,.5,4.75,.5,4.9,.6,3.,3.5,4.,4.5,5.3]; =[.9,.,4.,.3,,3.9,4.5,.6,4.8,.4,4.8,.3,3.5,3.,4,4. 7,5.]; %Engangsdaten Fall %=[.7,.8,4.5,,.5,3.8,4.7,.5,4.75,.5,4.9,.6,3.,3.5, 4.,4.5,5.3]; %=[-3,3,-,9,,8,,4,4.8,-,4.8,4,0,,-,6,5.]; % De lneare Regresson mt = p* + P p = polt,, plot,,'k.',hold on, plot[:0.5:5.5],p*[:0.5:5.5]+p,'r-' h=tet3.5,3.5,[' = ',sprnt'%.',p,' * + ', sprnt'%.',p], label'', label'' Fall Fall
Realsatonen abhängger Zuallszahlen Ncht nur "beste" Werte bestmmen, sondern auch de Varabltät rchtg beschreben Regresson unterschätzt de Varabltät = a + b. + 3.. Zuallszahl mt Mttelwert 0 und der Varanz der Resduen _ ˆ.. Resduum Quervertelung = Vertelung der Resduen Vorgangswese: Geg.: - Modell: lneare Glechung mt a, b 4 -Werte ür alle... Zehen ener Zuallszahl z.b. N 0, e, e = Schätzung mt Regressonsmodell + Resduum ˆ = a + b. +
Realsatonen abhängger Zuallszahlen 5 n=000; s=; % Std abw. der unabhänggen Varablen se=0.3; % Std abw. der Resduen = normrnd0,s,n,; eps = normrnd0,se,n,; a=0.5; b=.0; =a*+b+eps; plot,,'k.','markersze',0, label'','fontsze',0, label'','fontsze',0, % Berechne Korrelatonskoezent r=corrcoe,; r=r, 6 r=0.6 r=0.8 3