U Test (Rangsummentest) Parameterfreie Tests. U -Test. U -Test. χ ²- Unabhängigkeitstest Test auf Unabhängigkeit von zwei Zufallsgrößen

Transkript

1 Parameterfree Tests U Test (Rangsummentest) Verglech der Mttelwerte (Medane) be ncht normalvertelten Größen U - Test Mttelwertverglech von zwe ncht verbundenen Zugrößen Wlcoxon - Vorzechenrangtest Mttelwertverglech von zwe verbunderen Stchproben χ ²- Unabhänggketstest Test auf Unabhänggket von zwe Zugrößen χ ²- Anpassungstest Test auf Vorlegen ener bestmmten Vertelung SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests U -Test (Wlcoxon-Rangsummentest) für ncht verbundene Stchproben Analogon zum doppelten T-Test, wenn kene Normalvertelung vorlegt z.b. be schefen Vertelungen, Vertelungen mt Ausreßern Voraussetzung stetge Vertelungen, (be ordnalem Skalennveau ab 5 Kategoren möglch, mt Korrektur für Rangbndungen) ncht verbundene Stchproben Der Test setzt de Glechhet der Form der Vertelungen voraus. Der Untersched zwschen den Vertelungen legt dann n ener Verschebung. Ene Ablehnung mplzert somt auch ene Verschebung der Medane. Es damt wrd also getestet, ob de Medane beder Vertelungen überenstmmen Mttelwertschätzung über Durchschntt st be schefen Vertelungen bzw. Ausreßern ungeegnet. Nullhypothese: μ μ (Glechhet der Medane) x y SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests U -Test U -Test Idee: Stchprobenwerte werden n Ränge (Platzzffern, Rangzahlen) umgewandelt Berechnung der Testgröße für den U-Test Bede Stchproben werden zusammengenommen und der Größe nach geordnet. Dabe erhalten gleche Stchprobenwerte jewels den Durchschnttswert der hnen entsprechenden Rangzahlen (Rangbndungen legen vor). Dann bldet man für jede Stchprobe separat de Summe der Rangzahlen, man erhält de Rangsummen T, T. n Stchprobenumfang von X, n Stchprobenumfang von Y, n + n n nx( nx + ) U n n + - T, ny( ny + ) U n n + - T, nn ( + ) Kontrolle: T + T Kontrolle: U+ U n n aus U mn( U, U) berechnet man n Abhänggket vom Stchprobenumfang de Testgröße. SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 3 U max( n, n) < 0 nn Testgröße T U n 0, oder n 0 nn ( n+ n+ ) Testentschedung be Rsko α Ablehnberech T Un n α U n, n, α/ max( n, n ) < 0,, / Quantl Tab. für U-Test n 0, oder n 0 Ablehnberech T > z α / Der U-Test kann auch für ensetge Hypothesen berechnet werden. Be zu velen Rangbndungen st ene Korrektur der Testgröße erforderlch (s. Sachs). SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 4 9.

2 Vorzechenrangtest Vorzechenrangtest Vorzechenrangtest für verbundene Stchproben Analogon zum t-test für verbundene Stchproben, wenn kene Normalvertelung vorlegt Voraussetzung: Nullhypothese: stetge Vertelungen, (be ordnalem Skalennveau ab 5 Kategoren möglch, mt Korrektur für Rangbndungen) verbundene Stchproben mndestens n 6 Messwertpaare H : 0 0 μ D μ D steht herbe für den Medan der Dfferenzen der Messwertpaare der verbundenen Stchproben. Berechnung der Testgröße Aus den n Wertepaaren ( x, y ) bldet man de Dfferenzen d x y De Beträge deser Dfferenzen werden aufstegend mt Rangzahlen versehen, dabe werden Nulldfferenzen weggelassen (es bleben dann n' Paare übrg). Be betragsglechen Dfferenzen vergbt man mttlere Rangzahlen. + Rn' : Summe der Ränge be d > 0 Rn' : Summe der Ränge be d < 0 Rechenkontrolle: R + R n'( n' + ) / R mn( R, R ) + n' n' n' + n' n' SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 5 SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 6 Vorzechenrangtest Bemerkungen Testgröße be Vorzechenrangtest Rn ' T Rn ' n'( n' + ) / 4 ( n' + n')( n' + )/4 Ablehnberech be Rsko α n' 5 Ablehnberech T k u k u Quantl aus Tab. für Vorzechenrangtest n' 5 n' > 5 n ' > 5 Ablehnberech T > z α / Be ordnalen Daten erhält man schnell vele Rangbndungen. Dann st de Testgröße geegnet zu modfzeren Formeln zu Handrechnung z.b. be Sachs, Statstsche Verfahren, besser geegnet st en gutes Computerprogramm Be klenen Fallzahlen snd exakte Tests zu rechnen, mest als Opton be guter Statstksoftware verfügbar De parameterfreen Mttelwertvergleche bezehen sch auf de Medane, daher müssen n der deskrptven Statstk de Mttelwerte stets durch de Medane geschätzt werden. Prnzpell können de parameterfreen Tests auch ensetg gerechnet werden. Dann darf man be den Testgrößen kene Bldung des Mnmums vornehmen. Man verglecht dann n Rchtung der Alternatvhypothese mt den Quantlen der Ordnung -α. 9. SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 7 SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 8

3 χ² - Unabhänggketstest χ² - Unabhänggketstest Zel Bem χ ²-Unabhänggketstest wrd getestet, ob zwe Zugrößen unabhängg snd. Für dskrete, nsbesondere nomnale Zugrößen basert er drekt auf dem Ch-Quadrat-Maß, das aus der Kontngenztafel berechnet wrd. Be stetgen Zugrößen st deser Test eben anwendbar. Es erfolgt zunächst ene Klassenentelung für bede Stchproben. Mt den dabe ermttelten Klassenhäufgketen erstellt man ene Kontngenztafel und verfährt dann analog we be dskreten Merkmalen. Als Alternatve für Untersuchung der Abhänggket stetger Zugrößen stehen Korrelatonstests zur Verfügung. Be Normalvertelung testet man de Pearson-Korrelaton auf Null, Ablehnung schert enen sgnfkanten lnearen Zusammenhang. Ohne NV mt Spearman-Korrelaton (monotoner Zusammenhang), s. z.b. Storm. Kontngenztafel für dskrete Merkmale, erhoben jewels am glechen Objekt Bezechnungen X, Y Zugrößen mt dskreten Werteberechen x,..., x bzw. y,..., y Stchprobe mt n Messwertpaaren ( x, y ) p n : Anzahl des Auftretens der Kombnaton ( x, y ) n der Stchprobe j j y x n n q x p n p n pq n. n.q Erwartete Zellnhalte be Unabhänggket... y p j nˆ j n. n p. n n n n.. j Randwerte: q n n, n n. j. j j j Gesamtzahl q p.. j j n n n q p SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 9 SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 0 χ² - Unabhänggketstest χ ²-Unabhänggketstest χ ²-Anpassungstest Nullhypothese: X, Y unabhängg Testgröße χ²-maß Ablehnberech be Rsko α p q ( n ˆ ) H 0 j nj T ~ χ nˆ j j T >χ( p ) ( q ), α ( p ) ( q ), α Achtung: Da de Testgröße nur näherungswese χ ²-vertelt st, sollte kene der erwarteten Klassenhäufgketen 0 und höchstens 5% klener als 5 sen. (sonst benachbarte Klassen zusammenlegen, wenn nhaltlch snnvoll) SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 9.3 Problem Entstammt ene beobachtete Zugröße ener bestmmten Vertelung? Vele statstsche Auswertungen setzen Normalvertelung voraus. Daher beschränken wr uns her auf den Anpassungstest an NV, das Verfahren st aber analog zur Anpassung an andere Vertelungen anwendbar. Ene erste grafsche Beurtelung kann über das Hstogramm erfolgen, das für ene NV näherungswese zu ener Glockenkurve passen sollte. En Test ermöglcht ene genauere Beurtelung. Besonderhet der Anpassungstests Nullhypothese: es legt NV vor An deser Hypothese möchte man festhalten, d.h. es st kene Ablehnung erwünscht. Allerdngs 'bewest' ene Nchtablehnung der Nullhypothese ncht das Vorlegen der vermuteten Vertelung, man hat dafür kene statstsche Scherhet. Oft werden Anpassungstest mt α 0. gerechnet, um den β-fehler zu verklenern. SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests

4 χ ²-Anpassungstest auf NV Man nmmt ene Entelung der Stchprobe n k Klassen vor, wobe de Randklassen halboffen gewählt werden. De Klassenhäufgketen seen O (observed), k. Dann berechnet man unter NV de Wahrschenlchketen deser Klassen und erhält nach Multplkaton mt dem Stchprobenumfang n de erwarteten Klassenhäufgketen E (expected). Testgröße k ( O E) T E Ablehnberech be Rsko α: De Testgröße st unter der Nullhypothese näherungswese χ²-vertelt, wobe de Anzahl der Frehetsgrade aus der Klassenanzahl k und der Anzahl p der geschätzten Parameter der Vertelung berechnet wrd, FG k - -p T >χ k p, α Bespel Entstammen folgende Blutgernnungszeten von 30 Patenten (n s) ener NV?,70 7,00 9,00 4,00 7,70 9,00 4,40 7,80 30,00 5,80 8,00 30,0 5,90 8,00 30,0 6,00 8,0 3,80 6,40 8,70 3,00 6,60 8,70 33,00 6,60 8,80 33,70 6,80 9,00 35,00 Klassenanzahl (Faustregel) k n: n 30 ergbt k 5 oder k 6 xmax xmn 35.0,7 Klassenbrete (Faustregel) b + 3.3logn + 3.3log30 Kompromss: Wahl von 7 Klassen der Brete, begnnend be SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 3 SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 4 Grafsches Verfahren: Hstogramm Blutgernnungszeten,70 7,00 9,00 4,00 7,70 9,00 4,40 7,80 30,00 5,80 8,00 30,0 5,90 8,00 30,0 6,00 8,0 3,80 6,40 8,70 3,00 6,60 8,70 33,00 6,60 8,80 33,70 6,80 9,00 35,00 untere absolute Häufgket Hstogramm Abwechung von NV Dabe gehört de Untergrenze stets zur Klasse dazu, de Obergrenze ncht (wllkürlche Festlegung). Testdee: de Flächen der Balken werden mt den entsprechenden Flächen unter der Dchte verglchen. Kann de Grafk ncht per Computer erstellt werden, schätzt man aus der Stchprobe de Parameter der NV. Das Maxmum der Kurve legt be μ, de Wendepunkte be μ ± σ. SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 5 SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 6

5 Blutgernnungszeten, dabe Modfzerung der Randklassen als halboffen untere absolute Häufgket Schätzung der Parameter der NV durch Mttelwert und emprsche Streuung x 8.36 für μ s.86 für σ Berechnung der Klassenwahrschenlchketen als Intervallwktn. der NV mt desen Parametern: b μ a μ Pa ( < X< b) φ φ σ σ z.b P(,4) Φ Φ( ) P(4, 6) Φ Φ Blutgernnungszeten, dabe Modfzerung der Randklassen Untere Wkt. der Klassen erwartete Häufgket Aus den Klassenwahrschenlchketen erhält man nach Multplkaton mt dem Stchprobenumfang n 30 de erwarteten Klassenhäufgketen, z.b Der Test arbetet unzuverlässg, wenn zu vele dünn besetzte Klassen mt erwarteter Häufgket E < 5 auftreten (Faustregel: maxmal 5%). Daher legt man her de ersten und de letzten beden Klassen jewels zusammen. SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 7 SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 8 Blutgernnungszeten, jewels zusammengelegte Randklassen Klasse beob. Häuf. O erwart. Häuf. E / / S Ablehnung der NV be T >χ k p, α (O - E )²/E Berechnung der Testgröße T Σ (O - E )²/E Frehetsgrade: Be k 5 Klassen und p geschätzten Parametern ergbt sch FG k - -p. Damt st der Schwellwert für den Test be Rsko α 0.05glech χ Entschedung: wegen T.0853 < 5.99 kann de Normalvertelungsannahme ncht verworfen werden., SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests Achtung De Testgröße st unter der Nullhypothese nur näherungswese χ²-vertelt, und zwar mt k - - p Frehetsgraden be k Klassen und p geschätzten Parametern. Be Test auf NV werden oft de beden Parameter μ, σ² geschätzt, daher hat man be k Klassen k - 3 Frehetsgrade. Man braucht also mndestens 4 Klassen, von denen mndestens n 75% ene erwartete Besetzung E 5 haben sollten, d.h. mnd. 6 Werte n der Stchprobe. Für zu klene Stchproben funktonert der Test also ncht. Besser st dann en Test, der ohne Klassenbldung arbetet, etwa der Kolmogorov-Smrnov-Test oder der Shapro-Wlks-Test, s. Lteratur. SS 08 Prof. Dr. J. Schütze Parameterfree Tests 0