Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten..................... 132 6.4 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten...134 6.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten............... 136 6.6 Ereignisbäume........................ 139 124
6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung siehe L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 3, Kapitel II,1-3, pp 251-314, Vieweg und Teubner, 6. Auflage, Wiesbaden 2011. 6.1 Kombinatorik Slide 271 Urnenmodell Ziehen (aus einer Urne ) ohne Zurücklegen Beispiel: Lottozahlen 49 verschiedene Kugeln, je 1mal Ziehen mit Zurücklegen Beispiel: Spiel 77 etc. (jede Zi er kann mehrmals vorkommen) 9(10?) Kugeln, je 1mal Slide 272 Definition: Stichprobe Die zufällige Entnahme von k Kugeln heißt in der Statistik Stichprobe vom Umfang k. Sie heißt geordnet, wenndiereihenfolgederentnahme berücksichtigt wird. Sie heißt ungeordnet, wenn die Reihenfolge der Entnahme nicht berücksichtigt wird. Urnenmodell Beispiel! + Wahrscheinlichkeit, dass 1. Kugel schwarz: 4 7 (Aus- mit Zurücklegen: Wahrscheinlichkeit, dass 2. Kugel schwarz: 4 7 gangssituation ) =) Wahrscheinlichkeit, 2 schwarze Kugeln zu ziehen: 16 49 125
ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeit, dass 2. Kugel schwarz: 1 2 (Ausgangssituation ) =) Wahrscheinlichkeit, 2 schwarze Kugeln zu ziehen: 4 14 Die Wahrscheinlichkeit, nacheinander mehrere unabhängige Ereignisse zu erhalten, ergibt sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten Slide 273 Permutationen Auf wie viele Arten kann ich drei verschiedenfarbige Kugeln anordnen? allgemein: Anordnungsmöglichkeitenvon n verschiedenfarbigen Kugeln: 1. Kugel: n Möglichkeiten 2. Kugel: (n 1) Möglichkeiten usw. n. (letzte) Kugel: 1 Möglichkeit Insgesamt: Die Zahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen, P (n), ist P (n) =n (n 1) (n 2)...2 1=n! Slide 274 Permutationen Befinden sich unter den n Kugeln n 1 gleiche (z. B. n 1 schwarze Kugeln), fallen alle Anordnungen zusammen, die sich durch Vertauschungen der gleichen Kugeln ergeben (also n 1! Anordnungen sind nicht voneinander unterscheidbar). Dann gilt o enbar P (n; n 1 )= P (n) P (n 1 ) = n! n 1! 126
Analog kann man zeigen, dass die Zahl der Permutationen von n Kugeln, unter denen sich jeweils n 1,n 2,...,n k gleiche Kugeln befinden, gegeben ist durch P (n; n 1,n 2,...,n k )= n! n 1! n 2!... n k! = n! kq n i! i=1 Slide 275 Permutationen z.b. n =4,davonje2weißeund2schwarze P (n) = 4! 2! 2! = 4 3 2 =6 2 2 Slide 276 Kombinationen aus einer Urne mit n verschiedenen Elementen werden nacheinander k Elemente gezogen. In beliebiger Reihenfolge angeordnet bilden sie dann eine Kombination k-ter Ordnung Die Anzahl der Kombinationen hängt davon ab, ob die Ziehung mit oder ohne Zurücklegen erfolgt. z.b.: Die Lottozahlen sind eine Kombination 6-ter Ordnung mit n =49 ohne Zurücklegen Slide 277 127
Kombinationen Definition: Kombinationen Die Ziehung von k Kugeln (aus einer Grundgesamtheit von n Kugeln) ohnezurücklegen heißt Kombination k- ter Ordnung ohne Wiederholung. Die Anzahl der Kombinationen beträgt n C(n; k) = (k apple n) k Zieht man k aus n Kugeln mit Zurücklegen, so heisst eine Realisierung Kombination k-ter Ordnung mit Wiederholung und die Anzahl der Kombinationen beträgt n + k 1 C W (n; k) = (k 0) k Slide 278 Binomialkoe zienten =!! ( )! Slide 279 Variationen 128
Definition: Variationen Die Anordnung von k Kugeln (aus einer Grundgesamtheit von n Kugeln) in der Reihenfolge ihrer Ziehung und ohne Zurücklegen heißt Variation k-ter Ordnung ohne Wiederholung. Die Anzahl der Variationen beträgt V (n; k) = n! (n k)! (k apple n) Die entsprechende Anordnung mit Zurücklegen heisst Variation k-ter Ordnung mit Wiederholung und die Anzahl der Variationen beträgt V W (n; k) =n k (k 0) Slide 280 Zusammenfassung Menge Permutation ohne n! n aus n Whlg. Permutation mit Whlg. n! k 1!k 2!...k n! n aus n Variation ohne Whlg. n! (n k)! k aus n + Variation mit Whlg. n k k aus n + n Kombination ohne k aus n - k Whlg. n + k 1 Kombination mit k aus n - k Whlg. Reihenfolge 6.2 Grundbegri e Slide 281 Würfeln mit einem homogenen Würfel 129
homogen bedeut hier: nicht gezinkt! Es sind 6 verschiedene Ergebnisse oder Versuchsausgänge möglich. Die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} heißt die Ergebnismenge. Das Ergebnis eines Wurfes des Würfels, also die Menge mit einer der Zahlen 1 6, ist ein Elementarereignis!. das Ergebnis des Wurfs ist nicht vorhersehbar, also zufallsbedingt. Das Experiment Würfeln ist ein Zufallsexperiment. Neben den Elemenarereignissen gibt es noch andere Ereignisse, das heisst Teilmengen von z.b. Es wird eine gerade Zahl gewürfelt. Dann ist das Ereignis durch die Menge C = {2, 4, 6} dargestellt. Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge. Alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich! Slide 282 Ziehung von Kugeln aus einer Urne Beispiel: Ziehen von 3 Kugeln aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen mit Zurücklegen und in der Reihenfolge der Ziehung: Elementarereignisse: Ereignis: 2 Kugeln sind weiß: {,, } Ereignis: alle Kugeln haben gleiche Farbe: {, } Slide 283 130
Zufallsexperimente Slide 284 Slide 285 Slide 286 Definition: Zufallsexperimente Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem folgende Bedingungen (Voraussetzungen) erfüllt sind: 1. Das Experiment lässt sich unter den gleichen äußeren Bedingungen beliebig oft wiederholen. 2. Bei der Durchführung des Experimentes sind mehrere sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse möglich. 3. Das Ergebnis der konkreten Durchführung des Experimentes lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen, sondern ist zufallsbedingt. Elementarereignisse und Ergebnismenge Definition: Elementarereignisse und Ergebnismenge 1. Die möglichen, sich aber gegenseitig ausschließenden Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißen Elementarereignisse (symbolische Schreibweise:! 1,! 2,! 3,...). 2. Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge. Ereignisse und Ereignisraum Definition: Ereignisse und Ereignisraum 1. Eine Teilmenge A der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes heißt Ereignis. 2. Die Menge aller Ereignisse, die sich aus der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes bilden lassen, heißt Ereignisraum. 3. Die Ergebnismenge selbst heißt das sichere Ereignis. Verknüpfung von Ereignissen Entweder tritt Ereignis A ein oder B oder A und B gleichzeitig: Vereinigung der Ereignisse A [ B 131
Ereignis A und Ereignis B treten gleichzeitig ein: Schnittmenge der Ereignisse A \ B Ereignis A tritt nicht ein: Das Komplement von A tritt ein: Ā = \A. Ā ist die Restmenge von und A. Es gelten die de Morganschen Regeln A [ B = Ā \ B A \ B = Ā [ B 6.3 Wahrscheinlichkeiten Slide 287 Laplace-Experiment Wird ein Zufallsexperiment mit einer endlichen Ergebnismenge = {! 1,! 2,...,! n } genügend oft wiederholt und treten alle Elementarereignisse mit nahezu gleicher Häufigkeit auf, so nennt man dies ein Laplace-Experiment. z.b.: Würfeln. Bei n Würfen ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Elementarereignis ungefähr 1/6. z.b. Ziehen einer Kugel (mit Zurücklegen) aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln: Jede Kugel wird, da sie vor dem Ziehen ununterscheidbar sind, mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen ) Laplace-Expt aber: Erwartungswert, eineweißekugelzuziehen,ist60%.dasereignis weiße Kugel hat die relative Häufigkeit 0.6. Slide 288 132
Wahrscheinlichkeiten Für das Laplace-Experiment mit m verschiedenen Elementarereignissen wird dem Elementarereignis! i die Wahrscheinlichkeit P (! i )= 1 m zugeordnet. die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ist dann durch P (A) = X i p(! i )=g(a) 1 m = g(a) m gegeben. g(a) ist die Anzahl der für Ereignis A günstigen Fälle. m ist die Anzahl der ingesamt möglichen Fälle. beachte: diese Definition der Wahrscheinlichkeit gilt nur für endliche Ergebnismengen und gleiche Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse (gleiche a priori -Wahrscheinlichkeiten). Slide 289 Relative Häufigkeiten Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist ganz praktisch definiert als die Zahl der für das Ereignis positiven Versuche, dividiert durch die Gesamtzahl der Versuche. Die relative Häufigkeit h n (A) einesereignissesa ist eine nicht-negative Zahl, diehöchstens gleich 1 sein kann. Es gilt also immer 0 apple h n (A) apple 1 Für das sichere Ereignis, das immer eintritt, gilt: h n ( ) = 1 Für 2 sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B gilt h n (A [ B) =h n (A)+h n (B), (A \ B = ;) Slide 290 133
Relative Häufigkeiten Erfahrungsregel: mit zunehmender Gesamtzahl n der Versuche stabilisiert sich i.a. die relative Häufigkeit h n (A) undschwanktimmer weniger um einen bestimmten Wert h(a). naheliegend: Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeiten aufgrund prinzipieller Schwierigkeiten nicht durchführbar stattdessen Axiomatik von Kolmogorov (1903-1987) Slide 291 Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov Jedem Ereignis A eines Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge wird eine reelle Zahl P (A), Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, so zugeordnet, dass folgende Axiome erfüllt sind Axiom 1: P (A) isteinenichtnegative Zahl, die höchstens gleich 1 ist: 0 apple P (A) apple 1 Axiom 2: Für das sichere Ereignis (Ergebnismenge) gilt: P ( ) = 1 Axiom 3: Für paarweise sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A 1,A 2,A 3,... gilt ( Additionssatz ): P (A 1 [ A 2 [ A 3 [...)=P (A 1 )+P (A 2 )+P (A 3 )+... 6.4 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Slide 292 134
Festlegung von Wahrscheinlichkeiten in der Praxis näherungsweise wird eine unbekannte Wahrscheinlichkeit P (A) eines zufälligen Ereignisses durch die in umfangreichen Versuchsreihen beobachtete relative Häufigkeit h n (A) ersetzt,also P (A) h n (A) mit der Bedingung, dass die h n (A i )imeinklangmitdenkolmogorov schen Axiomen sind. h n (A) isteinschätzwert (Näherungswert) für die meist unbekannt bleibende Wahrscheinlichkeit P (A)) das ist die sogenannte statistische Festlegung Slide 293 Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten unabhängiger Ereignisse Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit 2 Würfeln einen Sechserpasch (2 mal die Augenzahl 6) zu werfen? diese Wahrscheinlichkeit ist im übrigen die Gleiche, wie mit einem Würfel nacheinander zweimal eine 6 zu werfen 1. Wurf: P ( 0 6 0 )=1/6 da 1. und 2. Wurf unabhängig voneinander sind, die Wahrscheinlichkeit für den Sechser im 2. Wurf also nicht vom Ergebnis des 1. Wurfes abhängt: 2. Wurf: P ( 0 6 0 )=1/6 Gesamtwahrscheinlichkeit ist das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, also P ( 0 6 6 0 )=P ( 0 6 0 ) \ P ( 0 6 0 )=1/6 1/6 =1/36 Slide 294 135
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Würfen mit 1 Würfel die Zahl 6 zu würfeln (exakt: mindestens eine 6 zu würfeln)? Ereignis A: 6im1.Wurf:P (A) =1/6 Ereignis B: 6im2.Wurf:P (B) =1/6 Additionssatz p(a [ B) = p(a) + p(b) ist nicht anwendbar,weil die beiden Ereignisse überlappen. es gilt noch, die Wahrscheinlichkeit dafür, 2 Sechser zu würfeln, abzuziehen, da diese nicht zum Ereignis beiträgt. es gilt der allgemeine Additionssatz in unserem Fall P (A [ B) =P (A)+P (B) P (A \ B) P (A [ B) =1/6+1/6 1/36 = 11/36 6.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Slide 295 Bedingte Wahrscheinlichkeit Häufig interessiert die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses B unter der Bedingung, dasseinanderesereignis A bereits eingetreten ist. man nennt diese Wahrscheinlichkeit die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A. Dafür wählt man das Sympol P (B A). Slide 296 136
Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel In einer Urne befinden sich 3 weiße und 3 schwarze Kugeln: Wir entnehmen zufällig und nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der 2. Ziehung eine weiße Kugel zu erhalten? 2Fälle sind zu unterscheiden Fall 1: weiße Kugel bei der 1. Ziehung. Die 2. Ziehung wird dann aus einer Urne mit der Konfiguration vorgenommen. P (B A) =2/5 Fall 2: schwarze Kugel bei der 1. Ziehung. Die 2. Ziehung wird dann aus einer Urne mit der Konfiguration vorgenommen. P (B Ā) =3/5 Slide 297 Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel Folglich ist der Ausgang der 2. Ziehung abhängig vom Ergebnis der 1. Ziehung: es lassen sich also nur Wahrscheinlichkeiten unter bestimmten Voraussetzungen (Bedingungen) angeben Slide 298 Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition: Bedingte Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Bedingung, dassdasereignisa bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A, P (B A) P (B A) = P (A \ B) P (A) (P (A) 6= 0) Slide 299 137
Slide 300 Multiplikationssatz Für das Theorem: gleichzeitige Multplikationssatz Eintreten zweier Ereignisse gilt der Multiplikations- Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse A und B ist P (A \ B) =P (A) P (B A) satz oder P (B \ A) =P (B) P (A B) also P (A) P (B A) =P (B) P (A B) stochastisch unabhängige Ereignisse Definition: stochastisch unabhängige Ereignisse Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn P (A \ B) =P (A) P (B) Slide 301 gilt stochastisch unabhängige Ereignisse Definition: stochastisch unabhängige Ereignisse Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn P (A \ B) =P (A) P (B) gilt maw: wenn (P (B A) =P (B)! Slide 302 Bayessche Formel Gibt es mehrere verschiedene Wege, um ein Ereignis B zu erzielen, so besagt die Bayessche Formel 138
Theorem: Bayessche Formel Für verschiedene Zwischenstationen A i auf dem Weg zu einem Ereignis B ergibt sich: Die totale Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B ist P (B) = nx P (A i ) P (B A i ) i=1 6.6 Ereignisbäume Slide 303 Wiederholter Münzwurf Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4maligem Münzwurf mindestens einmal Zahl zu erreichen? Addiere die Wahrscheinlichkeiten entlang aller Wege, die zum Ereignis A (mindestens einmal Zahl in 4 Würfen) beitragen: p(a) = 1 2 + 1 1 2 2 + 1 2 1 1 2 2 + 1 1 1 1 2 2 2 2 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 = 15 16 Slide 304 Urnenmodell Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen zweimal die gleiche Farbe zu ziehen, wenn zu Beginn 4 blaue und 2 rote Kugeln in der Urne liegen? 139
p(2mal gleiche Farbe) = 2 3 3 5 + 1 3 1 5 = 6 15 + 1 15 = 7 15 p(2 Farben) = 2 3 2 5 + 1 4 3 5 = 4 15 + 4 15 = 8 15 Slide 305 Baumdiagramme Nutzung eines Ereignisbaums Bei einem in mehreren Stufen ablaufenden Zufallsexperiment lässt sich jedes mögliche Endergebnis durch einen bestimmten Pfad im zugehörigen Ereignisbaum darstellen. Die Berechung der Wahrscheinlichkeiten erfolgt dabei mit Hilfe der sog. Pfadregeln 1. Die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden miteinander multipliziert. 2. Führen mehrere Pfade zum gleichen Endergebnis (d.h. tragen sie zum Ereignis bei), so addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten. Bemerkung: Der Ereignisbaum beim Münzexperiment war unvollständig (oder beschnitten, engl.: pruned ) 140