Auswertung CY Aqr Sept. 2010 - Juni 2012 U. Backhaus 23. Oktober 2015 Über einen einen Zeitraum von 12 Monaten wurden die kurzperiodischen Helligkeitsschwankungen des Sterns CY Aquarii von einer Gruppe an Astronomie interessierter Physiklehrerinnen und -lehrern mit dem Monet-Teleskop in Texas remote beobachtet. Aus den beobachteten Zeitpunkten der Helligkeitsmaxima wird ein sehr genauer Wert für die Periodendauer abgeleitet. Nach dem Verfahren von Olaf Römer wird daraus die Lichtgeschwindigkeit bestimmt. Eine weitere Möglichkeit zur Ableitung der Lichtgeschwindigkeit aus den Beobachtungsdaten ergibt sich dadurch, dass die Veränderung der beobachteten Periodendauer als Dopplereffekt interpretiert wird. 1 Einleitung Ausgangspunkt für die hier dargestellten Beobachtungen und Überlegungen war ein Aufsatz in der Zeitschrift Sterne und Weltraum ([1]), in dem eine Gruppe von Schülern beschreibt, wie sie, angeregt durch einen Aufsatz von W. Pfau ([2]), durch Beobachtung des schnellen Lichtwechsels des Sterns CY Aqr zu einem eigenen Messwert für die Lichtgeschwindigkeit gekommen sind. Sie verwendeten dabei das Verfahren, mit dem Olaf Römer anhand der Verfinsterungen des Jupitermondes Io erstmals die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit nachgewiesen hat. Wir, die Gruppe Astronomie und Internet im Ruhrgebiet (AiR), waren bei Erscheinen des Aufsatzes gerade dabei, uns mit dem Nordteleskop des von der Krupp-Stiftung geförderten MONET-Projektes in die astronomische Fotometrie einzuarbeiten. Der Nachvollzug der Beobachtungen bot nicht nur ein reizvolles Übungsfeld. Wir entwickelten darüber hinaus den Ehrgeiz, die Periode der Helligkeitsschwankungen so genau wie möglich selbst zu bestimmen. Würde sich die aufgrund des Umlaufs der Erde um die Sonne um etwa ±0.5s variierende Periode trotz einer Breite der Helligkeitsmaxima von etwa einer Stunde nachweisen und daraus die Lichtgeschwindigkeit berechnen lassen, ohne den Absolutwert der Periodendauer kennen zu müssen? 2 Voraussetzungen Der Stern CY Aquarii hat die folgenden Koordinaten: äquatorial α CY = 22h37m47s, δ CY = +1 32 07 1
ekliptikal λ CY = 341.6, β CY = 9.45 Die Erde bewegt sich senkrecht zur Richtung zum Stern, wenn λ Sonne = λ CY + 180 gilt (Opposition, 4. September). Die gemessene Periode von CY Aqr stimmt mit seiner tatsächlichen Periode überein. vom Stern weg, wenn λ Sonne = λ CY 90 (Quadratur, 4. Dezember). Die gemessene Periode ist größer als am 4. September. An diesem Tag hat sich die Entfernung zum Stern um 1AE vergrößert; die beobachteten Maxima treten deshalb später auf als mit der am 4. September gemessenen Periode vorherberechnet. auf den Stern zu, wenn λ Sonne = λ CY + 90 (Quadratur, 2. Juni). Die gemessene Periode ist kleiner als am 4. September. Die Verspätung der Helligkeitsmaxima gegenüber der Vorausberechnung ist ebenso groß wie am 4. Dezember. Im Folgenden wird vereinfachend angenommen, dass die Erde die Sonne gleichförmig auf einer heliozentischen Kreisbahn umläuft. Darüberhinaus wird vernachlässigt, dass sich der Stern etwas nördlich der Ekliptikebene befindet. 3 Messung der Periode Der Stern hat eine Periode von etwa 88 Minuten. Um Abweichungen zwischen Vorausberechnung und Beobachtung feststellen zu können, muss diese Periode sehr genau bekannt sein. 3.1 Näherungsweise Messung 3.1.1 Am 4. September 2010 Am 4. September 2010 wurden zwei Helligkeitsmaxima gemessen (s. Abb. 1). Zur Messung der Periode wurden mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogrammes in der Umgebung der Maxima Ausgleichskurven 3. Grades an die Messwerte angepasst und durch Differentiation der zugehörigen Funktionsgleichungen 1 deren Maxima bestimmt 2. Dadurch ergeben sich die folgenden Zeitpunkte: t 1 = 8.9935 = 08 : 59 : 37 UT (1) t 2 = 10.47489 = 10 : 28 : 30 UT (2) jd 2 = 2455443.936458 1 Es ist unbedingt erforderlich, die Funktionsgleichungen mit sechs Nachkommastellen ausgeben zu lassen! 2 Eine andere Methode besteht darin, Ausgleichskurven an die steilen linksseitigen Flanken der Helligkeitsmaxima anzupassen und deren Wendepunkte zu bestimmen. 2
Abbildung 1: Am 4. September 2010 gemessene Helligkeitskurve (oben) und Bestimmung der Zeitpunkte für die Helligkeitsmaxima durch Anpassung von Kurven 3. Grades 3
Abbildung 2: Helligkeitsmaxima am 7. September 2010 und der Zeitpunkt des ersten Maximums Aus dem Abstand der beiden Maxima ergibt sich die erste Abschätzung für die Periodendauer T: T 1 = t 2 t 1 = 1.48139h = 88m53s (3) 3.1.2 Zwischen 4. und 7. September 2010 Am 7. September 2010 konnten wieder zwei Maxima beobachtet werden. Allerdings wurde das zweite davon nur unvollständig erfasst, sodass eine Zeitbestimmung nur am ersten Maximum durchgeführt wurde (Abb. 2): t 3 = 7.340892 = 07 : 20 : 27 UT (4) jd 3 = 2455446.805870 Versucht man, durch Vergleich mit dem 2. Maximum vom 4. September eine verbesserte Abschätzung der Periode zu erhalten t 3 t 2 = 68.865888h = 46.49T 1, dann erweist sich die erste Abschätzung als nicht genau genug, um entscheiden zu können, ob in der Zwischenzeit 46 oder 47 Perioden stattgefunden haben. Es ergeben sich deshalb zunächst zwei neue Abschätzungen: T 2 = (t 3 t 2 )/46 = 1.497085h = 89m50s (5) T 2 = (t 3 t 2 )/47 = 1.465232h = 87m55s (6) 4
Abbildung 3: Das am 11. September gemessene Helligkeitsmaximum 3.1.3 Zwischen 7. und 11. September Am 11. September gelang die Beobachtung eines weiteren Maximums und die Messung des zugehörigen Zeitpunkts (Abb. 3). t 4 = 8.033586 = 08 : 02 : 01 UT (7) jd 4 = 2455450.834733 Vergleicht man den Zeitraum zwischen dem 7. und dem 11. September mit den beiden Schätzungen T 2 und T 2, t 4 t 3 = 96.692712h = 64.59T 2 = 65.99T 2, dann erweist sich T 2 in Gleichung (6) als die richtige zweite Näherung3 : T 2 = T 2 = 1.465234h = 87m55s (8) 3.1.4 Faltung der Messungen vom 4. bis 11. September Eine grafische Methode zur Bestimmung der Periode besteht darin, die Zeitpunkte der Messungen als Vielfache einer zu variierenden Periode T var zu berechnen, die gemessenen Helligkeitswerte über dem jeweiligen Rest darzustellen: t i = t ( ) i t 0 ti t 0 GANZZAHL T var T var (9) 3 Dieser Wert ist sicherer als T 1, auch wenn er sich im Vergleich zu unserem später gefundenen Endergebnis (15) als etwas schlechter erweisen wird. 5
Abbildung 4: Durch Faltung erzielte beste Überlagerung der Helligkeitsmaxima vom 4., 7. und 11. September und dann den Wert T var (z. B. mit einem Schieber) so zu justieren, dass die Maxima möglichst gut übereinander liegen (Abb. 4). Auf diese Weise ergibt sich der 3. Näherungswert zu T 3 = 1.465019h = 87m54.07s (10) 3.2 Weitere Verbesserung der Messung Nach genau einem Jahr wurde am 3. September 2011 ein weiteres Helligkeitsmaximum von CY Aqr beobachtet und der Zeitpunkt seines Auftretens bestimmt (Abb. 5): t 5 = 9.814947 = 09 : 48 : 54 UT (11) jd 5 = 2455807.908956 Versucht man, durch Vergleich dieses Zeitpunkts mit dem 4. September 2010 einen weiter verbesserten Wert für die Periodendauer zu bestimmen, ergibt sich wieder eine Unsicherheit bzgl. der in der Zwischenzeit durchlaufenen Perioden: t 5 t 2 = 8735.339952h = 5961.74T 2 = 5962.61T 3. (12) Selbst wenn man T 3 für die bessere Schätzung hält, ist nicht eindeutig, ob 5962 oder 5963 Perioden abgelaufen sind. Die Unsicherheit beträgt also immer noch etwa eine Sekunde: T 4 = (t 5 t 2 )/5962 87m54.6s (13) T 4 = (t 5 t 2 )/5963 87m53.7s (14) 6
Abbildung 5: Helligkeitsmaximum am 3. September 2011 und die Bestimmung des zugehörigen Zeitpunkts Abbildung 6: Vergleich der Faltungsergebnisse für die Messungen zwischen 4. und 11. September mit den Perioden T 4 und T 4 Abbildung 7: Vergleich der Faltungsergebnisse für die Messungen zwischen 4. September und 2. Oktober mit den Perioden T 4 und T 4 7
Abbildung 8: Die beste Faltung der Maxima in der Zeit 4. 9. bis 2. 10. ergibt sich für T=87m53.87s. Die Entscheidung kann erst durch erneute Anwendung der Faltungsmethode erzielt werden: Faltet man die Maxima vom 4. bis 11. September mit diesen beiden Werten (Abb. 6), dann erscheinen 5963 Perioden die bessere Übereinstimmung zu ergeben. Sicherer wird die Entscheidung erst durch Heranziehen einer weiteren Messung vom 2. Oktober 2010 (Abb. 7): Offensichtlich ist die Übereinstimmung für 5963 Perioden deutlich besser. Als bester Wert für die Periode ergibt sich deshalb: T T 4 = (t 5 t 2 )/5963 = 1.464923688h = 87m53.725s (15) Bei der Faltung 4.9.-2.10.2010 ergibt sich eine noch bessere Koinzidenz für eine Periode von 87m53.87s(s. Abb. 8). Darin macht sich wohl bereits bemerkbar, dass die beobachtete Periode dadurch größer wird, dass sich die Erde vom Stern entfernt (s. u.). 4 Messung der Lichtgeschwindigkeit 4.1 Die Römer-Methode Die nun genau bekannte Periode von CY Aquarii gibt uns die Möglichkeit, den Effekt der endlichen Lichtlaufzeit nachzuweisen und mit seiner Hilfe die Lichtgeschwindigkeit zu messen. Auf diese Weise hat Ole Römer anhand der Verfinsterungen des Jupitermondes Io als Erster nachgewiesen, dass sich Licht mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet, und einen ersten Wert für die Lichtgeschwindigkeit angegeben. Die oben bestimmte wahre Periode (15) erlaubt die Vorausberechnung zukünftiger Helligkeitsmaxima vomtag der Oppositionan:t i = t 2+n i T. Dietatsächlich beobachteten Maxima verspäten sich jedoch gegenüber den Vorhersagen um die Lichtlaufzeit für den sich vergrößernden Abstand zwischen Stern und Erde. 8
Abbildung 9: Helligkeitskurven vom 9. (oben), 10. (Mitte) und 19. Dezember 9
Im Dezember, um die Zeit der Quadratur, haben wir an drei Tagen, 9., 10. und 19., Helligkeitskurven gemessen (Abb. 9). Die Anpassung von Kurven 3. Grades führt zu den folgenden Zeitpunkten für die Maxima: 9.12. : t 6 = 3.6349624 = 03 : 38 : 06 UT (16) jd 6 = 2455539.628125 10.12 : t 7 = 3.0750925 = 03 : 04 : 30 UT (17) jd 7 = 2455540.628129 19.12. t 8 = 2.439738 = 02 : 26 : 23 UT (18) jd 8 = 2455549.601653 Damit ergeben sich die folgenden Zeitspannen seit dem 4. September: t 6 t 2 = 1568.108987T (19) t 7 t 2 = 1584.109960T (20) t 8 t 2 = 1731.124201T (21) Die Verspätungen gegenüber der Vorhersage betragen also t 62 = 0.108987T = 9.58min, (22) t 72 = 0.109960T = 9.66min, (23) t 82 = 0.124201T = 10.92min. (24) Um aus diesen Verspätungen die Lichtgeschwindigkeit ableiten zu können, muss zunächst berechnet werden, um wie viel sich der Abstand der Erde zu dem Stern seit dem Bezugszeitpunkt verändert hat. Beim vorausgesetzten idealisierten Umlauf der Erde ist der von der Erde in den Zeitintervallen überstrichene Zentralwinkel β proportional zur Länge der Zeitintervalle, und der Abstand d zum Stern vergrößert sich, bei Vernachlässigung seiner ekliptikalen Breite, folgendermaßen: β = 360 t = d = (1 cos β)1ae (25) 365.25d Damit ergeben sich die folgenden Abstandsänderungen und Lichtlaufzeiten: β 62 = 94.3 = d 62 = 1.0753AE (26) β 72 = 95.3 = d 72 = 1.0924AE (27) β 82 = 104.1 = d 82 = 1.2444AE (28) Setzt man den Abstand Erde-Sonne als bekannt voraus, 10
1AE = 150000000km, dann ergeben sich daraus für die Lichtgeschwindigkeit die folgenden Werte: 1 c = t 62 = 8.9 min d 62 AE 1 c = t 72 = 8.8 min d 72 AE 1 c = t 82 = 8.8 min d 82 AE = c = 281000 km s = c = 284000 km s = c = 284000 km s Berücksichtigt man die ekliptikale Breite des Sterns, dann müssen diese Werte noch durch cosβ CY geteilt werden, und es ergibt sich eine Lichtgeschwindigkeit von etwa c = 287000 km h. 4.2 Der Dopplereffekt Aus den Messungen am 10. und 19. Dezember 4 ergibt sich eine beobachtete Periode von T 5 = (t 8 t 7 )/147 = 1.465065143h = 87min54.2345s (29) und damit gegenüber dem Zeitpunkt der Opposition im September, als die Periodenlänge mit dem wahren Wert T (15) übereinstimmte, eine Vegrößerung um den Faktor α := T 5 T = 1.00009656 (30) Diese scheinbare Vergrößerung der Periode kann als Ergebnis des Dopplereffektes aufgefasst werden: T i = 1 βcosϕ i 1 β 2 = α = T 2 = 1 βcosϕ 2 T 1 1 βcosϕ 1 α 1 = β = (31) αcosϕ 1 cosϕ 2 Dabei ist β = v Erde c. Die Winkel ϕ i sind die Winkel zwischen der Richtung zum Stern und der Bewegungsrichtung der Erde. Berücksichtigt man darüber hinaus, dass die Bahngeschwindigkeit der Erde nicht ganz konstant ist, und ersetzt β durch β i = γ i β, verallgemeinert sich Gleichung (31) zu β = α 1 γ 1 αcosϕ 1 γ 2 cosϕ 2 (32) 4 Der Zeitraum zwischen 9. und 10. Dezember ist zu kurz für eine hinreichend zuverlässigebestimmung der Periode. 11
Am 4. September war ϕ 1 = 90. Nimmt man zunächst näherungsweise ϕ 2 = 180 an 5 und setzt γ 1 = γ 2 = 1, dann vereinfacht sich (31) zu Setzt man v Erde als bekannt voraus, β = α 1 = β = 0.9656 10 4 (33) dann ergibt sich daraus v Erde = 2π1AE 365.25d = 29.87km s, c = v Erde β = 309300 km s. (34) Berücksichtigt man die ekliptikale Breite des Sterns, dann kommt es lediglich auf die projizierte Erdbewegung an, und die Lichtgeschwindigkeit ergibt sich zu β = 1 α cosβ CY = c = 305000 km s. (35) Berücksichtigt man aber darüber hinaus, dass sich die Erde seit der Opposition um etwas mehr als 100 weiterbewegt hat, dann wird ϕ 2 = 165 6, für die Lichtgeschwindigkeit ergibt sich aus (32) ein fast perfekter Wert: β = 1 α αcosβ CY cos165 = c = 298800 km s (36) Um zu diesem Ergebnis zu kommen, haben wir nicht die im Juni gemessene Periode verwendet, sondern die im Laufe eines Jahres gefundene wahre Periode (15). Mit der innerhalb von 7 Tagen im September 2010 bestimmten Periode T 2 (8) hätte sich ein um etwa 20% zu kleiner Wert für die Lichtgeschwindigkeit ergeben. Um die Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe des Dopplereffektes und ohne Verwendung der wahren Periode des Sterns zu bestimmen, wollten wir im Juni des folgenden Jahres erneut die scheinbare Periode von CY Aqr bestimmen, weil der sich zwischen Juni und Dezember ergebende etwa doppelt so große Wert für 1 α weniger empfindlich auf Messfehler reagiert, sodass auch ohne die Kenntnis der wahren Periodenlänge ein befriedigender Wert für die Lichtgeschwindigkeit erzielbar sein sollte. Leider war es aus technischen Gründen erst ein weiteres Jahr später möglich, die Periodenlänge aus Beobachtungen am 2., 4. und 5. Juni 2012 zu abzuleiten. Durch Faltung der Messkurven (Abb.??) erhielten wir den folgenden Wert für die Juni-Periode: 5 Dabei wird wieder die ekliptikale Breite des Sterns vernachlässigt. 6 Dieser Wert lässt sich mit einer Formel aus der sphärischen Geometrie berechnen. 12
Abbildung 10: Faltung der fünf Messungen im Juni 2012 mit der Periode T 6 = 1.46477h T 6 = 1.464770h (37) Kombiniert man diesen Wert mit der Dezember-Periode T 2 (8), ergibt sich das Periodenverhältnis zu α = T 2 T 6 = 1.00019371 (38) Mit diesem Wert soll nun Gleichung (32) mit zunehmender Genauigkeit ausgewertet werden: Annahme konstanter Bahngeschwindigkeit der Erde (γ 1 = γ 2 = 1), Vernachlässigung der ekliptikalen Breite von CY Aqr und Annahme optimaler Zeitpunkte (ϕ 1 = 0, ϕ 2 = 180 ): β = α 1 α+1 = c = 308000 km s (39) Annahme konstanter Bahngeschwindigkeit der Erde (γ 1 = γ 2 = 1) und optimaler Zeitpunkte, aber Berücksichtigung der ekliptikalen Breite von CY Aqr (ϕ 1 = β CY, ϕ 2 = 180 β CY ): β = α 1 αcosβ CY cos(180 β CY ) = 1 α 1 cosβ CY α+1 = c = 304000 km s (40) 13
Annahme konstanter Bahngeschwindigkeit der Erde (γ 1 = γ 2 = 1), aber Berücksichtigung der ekliptikalen Breite β CY und der korrekten Bewegungsrichtungen der Erde 7 (ϕ 1 = β CY, ϕ 2 = 165 ): β = α 1 αcosϕ 1 cosϕ 2 = c = 301000 km s (41) Die zusätzliche näherungsweise Berücksichtigung der variablen Bahngeschwindigkeit der Erde (γ 1 = 1 e, γ 2 = 1+e, wobei e = 0.0167 die Exzentrizität der Erdbahn ist) beeinflusst das Endergebnis nur unwesentlich: β = α 1 γ 1 αcosϕ 1 γ 2 cosϕ 2 = c = 301000 km s (42) 5 Fazit Vergleicht man unsere Ergebnisse für die Periodendauer des Sterns mit in der Literatur angegebenen Werten T Pfau = 87m53.736s, (nach Pfau [2]) T Fu = 87m53.717s, (nach Fu et al. [3]) T AiR = 87m53.725s, dann hat es sich trotz der Breite der Helligkeitsmaxima als möglich erwiesen, die Periodendauer auf etwa 0.01s, d. h. auf 2 10 6 genau zu bestimmen. Allerdings waren dazu Messungen über einen Zeitraum von 12 Monaten erforderlich. Aber bereits der innerhalb von 7 Tagen gemessene Wert (4. 9. - 11. 9., siehe (8)) weicht nur um etwas mehr als 1s vom korrekten Wert ab. Das ist allerdings zu viel, um nach der Römer-Methode zu einem befriedigenden Ergebnis für die Lichtgeschwindigkeit zu kommen. Es ist uns gelungen, die Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe des Dopplereffektes 8 zu bestimmen, ohne den Wert der wahren Periodenlänge zu verwenden. Dabei haben wir ausgenutzt, dass man dazu nur das Verhältnis der zu verschiedenen Zeiten im Jahr gemessenen Periodenlängen bestimmen muss(siehe Gleichung(31)). Bei der Ableitung unseres Ergebnisses (35) haben wir in (30) zwar den besten Wert für T verwendet. In das Ergebnis (41) sind jedoch nur die von uns im Dezember 2010 und Juni 2012 gemessenen Periodenlängen eingeflossen. 7 Sie lassen sich aus den geozentrisch ekliptikalen Koordinaten der Sonne zu Beginn und am Ende des Messintervalls berechnen. 8 bei bekannter Bahngeschwindigkeit der Erde 14
Literatur [1] Cont, D., Wiedemair, C.: Schüler bestimmen die Lichtgeschwindigkeit, Sterne und Weltraum 9/2010, 74 [2] Pfau, W.: Der Stern CY Aquarii und die Lichtgeschwindigkeit, Sterne und Weltraum 3/2004, 60 [3] Fu, J. N., Sterken, C.: Long-term variability of the SX Phoenicis star CY Aquarii, A&A 405, 685 (2003) (http://www.physics.hmc.edu/faculty/esin/a101/labs/fusterken.pdf) Alle ausgewerteten Bilder sind über die Air-Homepage unter http://www.astronomieund-internet.de/images/indeximages.html herunterzuladen. Alle Excel-Tabellen sind auf der (noch sehr vorläufigen!) Projektseite zur Fotometrie 9 abrufbar. 9 http://astronomie-und-internet.de/photometriemonet.html 15