Prof. Dr. D. Stoffer Orbital Dynamics D-MAVT ETHZ FS Von LEO zu GEO

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1 Prof Dr D Stoffer Orbital Dynamics D-MAVT THZ FS 4 Von LO zu GO Lösung 0 a) α = 64, sodass r GO /r LO = α Seien v und v + die Beträge der Geschwindigkeit unmittelbar vor bzw nach dem ersten Impuls, analog v und v + Sei v 0 = v LO = 7777 m/s Dann haben wir x := v /v 0 = α x + := v + /v 0 = + α x := v /v 0 = α( + α), x + := v + /v 0 = α x i (δ i ) := v i /v 0 = (x i ) + (x + i ) x i x + i cos δ i x tot (δ, δ ) := v tot /v 0 = x (δ ) + x (δ ) Wir minimieren x tot unter der Nebenbedingung δ + δ = ϕ, mit der inschränkung δ 0 und δ 0 Falls es ein Minimum mit δ > 0 und δ > 0 gibt, so muss gelten α 3/ sin δ x (δ ) = sin δ x (δ ), δ + δ = ϕ Auch zu berücksichtigen sind die Möglichkeiten x tot (0, ϕ) und x tot (ϕ, 0) Numerisch: Minimum bei δ min = und δ min = 64, x tot (δ min, δ min ) = 0548 (vgl x tot (ϕ, 0) = 0838 und x tot (0, ϕ) = 055) v min = 4 66 m/s

2 b) Sei r B = βr LO (r B wie in der Vorlesung), sowie x ± i = v ± i /v LO x (β) = x + β (β) = + β x (β) = x + α (β) = β( + β) β(α + β) x β 3 (β) = x + 3 (β) = α(α + β) α Für i =,, 3 sei x i (δ i, β) := v i /v LO = Wir minimieren (x i (β)) + (x + i (β)) x i (β) x+ i (β) cos δ i x tot (δ, δ, δ 3, β) := v tot /v LO = x (δ, β)+ x (δ, β)+ x 3 (δ 3, β) unter der Nebenbedingung δ + δ + δ 3 = ϕ im Bereich δ 0, δ 0, δ 3 0, β > 0 Zunächst drei Spezialfälle: (i) Hohmannübergang, Bahnebenenwechsel nur beim zweiten Impuls: x tot (0, 0, ϕ, ) = x tot (0, ϕ, 0, α) = 055 (ii) Das Minimum aus Teilaugabe a) entspricht hier x tot (0, δ min,a), δ min,a), ) = x tot (δ min,a), δ min,a), 0, α) = 0548 (iii) Für den Grenzfall eines bi-parabolischen Übergangs hat man: lim x tot(0, ϕ, 0, β) = ( + α /) ( ) = 0578 β + Dieser Wert ist unabhängig von ϕ, da der Bahnebenenwechsel bei Geschwindigkeit 0 vollzogen wird Der numerische Wert des Minimums von x tot bei gegebenem β [α = 64, 50] kann in folgendem Plot abgelesen werden:

3 x tot Β Daraus ist ersichtlich, dass für kleine Werte von β (β α) der minimalen Antriebsbedarf bei bi-elliptischen Übergängen geringer ist wie bei einem Hohmannübergang Geschwindigkeitsänderung beim Flyby a) Aus der Definition des Vektors e folgt mit den Perihel-Daten: nergie-rhaltung Wir eliminieren v p: + e = r pv p µ v = v p µ r p e = + v r p µ Die Änderung der Geschwindigkeit ist v := v+ v = v sin(δ/) = v e = v, µ = r 0 v0 + v rp µ 3

4 b) Die Funktion f(x) = x/( + ax ) (mit a > 0) nimmt ihr Maximum bei x = / a an, und zwar ist dort f(x ) = x = / a Also folgt v max = v = v 0 r0 r p, e =, δ = π/3 = 60 3 rde-mars Hohmannübergang Wir kümmern uns hier nicht um das genaue Timing der Abläufe (Rendezvouz- Bedingungen, dazu kommt später eine Aufgabe) Wir bezeichnen mit v (S), v () und v (M) Geschwindigkeitsbeträge bzgl Sonne, rde, Mars Wir verwenden v nur für Grössen, die einem Antriebsbedarf entsprechen Aus den Bedingungen für den Hohmannübergang muss gelten (α = r M /r ) v () = v (S) ( + α ), v (M) = v (S) ( α α α + (α = 537, v (S) = 978 km/s, v() = 944 km/s, v (M) = 649 km/s) Startphase (Bezugssystem rde) Sei e H die xzentrizität der Hyperbel, dann muss gelten δ/ = ϑ π/, cos ϑ = e H, ϑ (π/, π) Dabei ist e H = + v r p,h /µ, vgl Lösung zu a) Aus r p,h = r K = R + h K (K=Kreis) folgt eine Gleichung für den Antriebsbedarf v von der Kreisbahn auf die Hyperbelbahn: v = (v K + v ) µ r K (r K = 668 km, e H = 44, δ = 7 = 85, v = 360 km/s) Ankunft (Bezugssystem Mars) Wir betrachten zwei Möglichkeiten: das Perizentrum der Ankunfts-Hyperbel falle entweder mit dem Perizentrum oder dem Apozentrum der llipse zusammen, dh r p,h = r p,ll bzw r p,h = r a,ll Den jeweils notwendigen Antriebsbedarf bezeichnen wir mit v,p/a, und es muss gelten v = ( v p/a,ll + v,p/a ) 4 µ M r p/a,ll )

5 = µ M a ll + v p/a,ll v,p/a + ( v,p/a ) Demnach erhält man ein geringeres v mit r p,h = r p,ll (Perizentren der Hyperbel und llipse fallen zusammen), also v = v,p In einem geeigneten kartesischen Koordinatensystem ist die Hyperbel H durch (x/a) (y/b) = und x > 0 festgelegt, wobei hier a, b < 0 Koordinaten Mars-Mittelpunkt: ( ae, 0) Asymptoten: x/a = ±y/b Der senkrechte Abstand von ( ae, 0) zu den Asymptoten ist b Aus nergie- und Drehimpulserhaltung: Daraus: v p µ M r p = v, r p v p = b v b = r p + µ M r p v (v p,ll = 4 km/s, v = 0 km/s, b = 805 km) Gesamter Antriebsbedarf v = v + v = 48 km/s 4 rde-saturn Hohmannübergang Der Antriebsbedarf wird mit denselben Formeln wie in der Lösung zu Aufgabe 3 berechnet (siehe Formel für v ) v = 783 km/s Das Manöver benötigt in etwa die Zeit T/, wenn T die Periode einer Sonnen- Keplerbahn mit grosser Halbachse a = (r rde + r Saturn )/ bezeichnet (Annahme: koplanare Kreisbahnen) Also, wenn α = r Saturn /r rde, dann T = T rde ( a r rde ) 3/ = T rde ( ) 3/ + α 605 y Bei der Cassini-Mission vergingen zwischen rde-flyby und Saturn-Ankunft knapp weniger als 5 Jahre (dazwischen lag noch ein Jupiter-Flyby) s war kein exakter Hohmannübergang 5