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Bisher sichere Zahlungen Nächster Schritt Unsicherheit Wie bewerten wir unsichere Zahlungen? Welche Nutzenfunktion leitet unsere Handlungen unter Unsicherheit? Gibt es ein Separationstheorem auch unter Unsicherheit Im Folgenden: Entwicklung der Nutzenfunktion mit Hilfe von Referenzlotterien 4
Entwicklung Nutzenfunktion aus dem Konzept der Referenzlotterie Referenzlotterie - Antwort auf die Frage: Bei welcher Eintrittswahrscheinlichkeit π für ein gegebenes Resultat (Betrag) in einer Alternative bin ich indifferent zwischen dem sicheren gegebenen Resultat (Betrag) und einer Lotterie aus besten (höchstem Betrag) und schlechtestem Resultat (niedrigstem Betrag) aller möglichen Ereignisse? 5
Beispiel: Zwei Alternativen A: Selbständigkeit B: Eintritt bei einer größeren mittelständischen Firma q = 0.8 Gewinn: 300000 pro Jahr q = 0.6 Geschäftsführer JG:150000 A B q = 0.2 Insolvenz: 0 q = 0.4 Vorstands- Assistent JG: 50000 6
Welche dieser beiden Alternativen ist besser? Antwort nur möglich auf der Basis einer Nutzenfunktion unter Unsicherheit Notwendig: Konzept der Referenzlotterie eindeutige Reihung der Alternativen Angabe eines besten und eines schlechtesten Resultats 7
Voraussetzungen für das Konzept der Referenzlotterie (fortg.) Für jedes Resultat j ist es möglich eine Wahrscheinlichkeit π zu nennen, bei der man indifferent ist zwischen dem sicheren Empfang des Resultates j und einer Lotterie aus bestem und schlechtestem Ergebnis. 8
Reihung: Selbständigkeit Erfolg Geschäftsführer Vorstandsassistent Insolvenz π = 1 Selbständigkeit Erfolg π = 0.8 Selbständigkeit Erfolg Ref.-L.1: Selbst. Erfolg Sicher (300000) 1-π = 0 Insolvenz Geschäftsführer (150000) 1-π = 0.2 Insolvenz 9
Referenzlotterie 3 und 4 π =0.4 Vorstands- Assistent (50000) 1-π =0.6 Selbständigkeit Erfolg π = 0 Insolvenz Ref.-L. 4 Insolvenz (0) 1-π = 1 Selbständigkeit Erfolg Insolvenz 10
Die Indifferenzwahrscheinlichkeiten π aus den Referenzlotterien sind Nutzenwerte. Diese Nutzenwerte werden genutzt um die einzelnen riskanten Alternativen (in unserem Fall A und B) zu bewerten. Unsere Nutzenwerte Π = [0, 0.4, 0.8, 1] U(x) Diese Nutzenwerte werden gewichtet mit ihren faktischen Eintrittswahrscheinlichkeiten q Ergebnis: Erwartungsnutzen 11
Beispiel: Zwei Alternativen A: Selbständigkeit B: Eintritt bei einer größeren mittelständischen Firma q = 0.8 1 q = 0.6 0.8 A B q = 0.2 0 q = 0.4 0.4 12
Berechnung des Erwartungsnutzens A: E[U(A)] = q U(A 1 ) + (1-q) U(A 2 ) = 0.8 1 + (0.2) 0 = 0.8 B: E[U(B)] = 0.6 0.8 + 0.4 0.4 = 0.64 Entscheidungsregel: Ich entscheide mich für die Alternative mit dem höheren Erwartungsnutzen. Selbständigkeit (A) ist besser als Angestelltsein (B). Wann gilt dies nicht mehr? 13
Kritische Eintrittswahrscheinlichkeit A: E[U(A)] = 0.8 1 + (0.2) 0 = 0.8 B: E[U(B)] = 0.6 0.8 + 0.4 0.4 = 0.64 Indifferenz zwischen A und B: Kritische Eintrittswahrscheinlichkeit für das Ereignis A 1 (Erfolg in der Selbständigkeit) E[U(A)] = E[U(B)] q 1 + (1-q) 0 = 0.64 q krit = 0.64 (Schwellenwert) 14
Welche Nutzenfunktion folgt aus den Indifferenzwahrscheinlichkeiten? Resultate und Nutzenwerte 1.2 1 Nutzenwerte 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 Resultate Konkave Nutzenfunktion 15
Allgemein: Konkave Nutzenfunktion und kontinuierliche (potentiell mögliche) Resultate x: Welcher Risikotyp ist damit verbunden? Antwort mit Hilfe zweier Lotterien Frage: Welche dieser Lotterien ist besser? Beantwortung der Frage mit Hilfe einer Graphik 16
Lotterie 2: E[U(x)] Lotterie 1: E[U(x)] 25 - S 1 und 37.5 - S 2 : Risikoprämien S 1 und S 2: Sicherheitsäquivalente Erwartungswert der Resultate A j von L 2 Erwartungswert der Resultate A j von L 1 17
Erwartungsnutzen ergibt sich als Schnittpunkt des Lots über dem Erwartungswert der Resultate E (A j ) und der Erwartungsnutzenfunktion. Erwartungsnutzenfunktion: mit kontinuierlichen Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtete Nutzenwerte Überlegene Lotterie? Antwort: Diejenige mit dem höchsten Erwartungsnutzen L 1 ist besser als L 2. 18
Konkave Nutzenfunktion Nutzen des Erwartungswertes der Resultate ist höher als der Erwartungsnutzen. Als Entscheider mit konkaver Nutzenfunktion bevorzuge ich die Alternative mit der geringeren Spannweite der Resultate, obwohl L 2 den höheren Erwartungswert der Resultate aufweist Die Risikoprämie ist positiv und bei L 2 höher als bei L 1. Risikoeinstellung eines Entscheiders mit konkaver Nutzenfunktion: Risikoaversion Eigenschaften der Nutzenfunktion: 19
Andere Arten der Risikoeinstellung Entscheider bevorzugt die Alternative mit der höheren Spannweite der Resultate. Die Risikoprämie ist negativ. Risikoeinstellung eines Entscheiders: Risikofreude Eigenschaften der Nutzenfunktion: U (x)>0 U (x)>0 20
Andere Arten der Risikoeinstellung Entscheider entscheidet nur nach den Erwartungswerten der Resultate. Die Risikoprämie ist null. Risikoeinstellung eines Entscheiders: Risikoneutralität Eigenschaften der Nutzenfunktion: U (x)>0 U (x)=0 21
Arten der Risikoeinstellung: Verlauf der 1. Ableitungen der Nutzenfunktion 22
Frage: Kann die Nutzenfunktion bei Unsicherheit nur über die Abfrage der Indifferenzwahrscheinlichkeiten ermittelt werden? 23
Test 1 mit Ausgangsbeispiel: Wie verändert sich die Rangfolge der Alternativen, wenn wir alle Nutzenwerte mit dem Faktor b multiplizieren? A: E[U(A)] = q b U(A 1 ) + (1-q) b U(A 2 ) = 0.8 b 1 + (0.2) b 0 = 0.8 b B: E[U(B)] = 0.6 b 0.8 + 0.4 b 0.4 = 0.64 b Multiplikation der Nutzenwerte mit einem Faktor ist bedeutungslos, solange b > 0 24
Test 2 mit Ausgangsbeispiel: Wie verändert sich die Rangfolge der Alternativen, wenn zusätzlich auch noch der Faktor a zu allen Nutzenwerten hinzu addiert wird. A: E[U(A)] = q b U(A 1 ) + (1-q) b U(A 2 ) = 0.8 (b 1+ a) + (0.2) (b 0 + a) = 0.8 b + a B: E[U(B)] = 0.6 (b 0.8 + a) + 0.4 (b 0.4 + a) = 0.64 b + a Addition eines Faktors zu den Nutzenwerten hat ebenfalls keine Bedeutung für die Rangfolge der Alternativen. 25
Ergebnis des Tests Für die Rangfolge der Alternativen spielt es keine Rolle ob die Nutzenwerte U(x) oder die Nutzenwerte U*(x) = b U(x) + a verwendet werden: Nutzenfunktion ist eindeutig bis auf eine positive monotone Transformation der Form U*(x) = b U(x) + a mit b > 0 und a > 0. 26
Muss der Entscheider dann seine Indifferenzwahrscheinlichkeiten bekannt geben? Nein: Jede Nutzenfunktion kann als positive monotone Transformation der Indifferenzwahrscheinlichkeiten interpretiert werden. Beispiele von Nutzenfunktionen 27
Zusammenfassung Die Nutzenfunktion zur Bewertung von unsicheren Resultaten beruht auf Rationalitätsaxiomen (z.b. eindeutige Reihung, bestes und schlechtestes Resultat) und läßt sich mit Hilfe von Indifferenzwahrscheinlichkeit herleiten. Jede beliebige Nutzenfunktion kann als positive monotone Transformation der Indifferenzwahrscheinlichkeiten interpretiert werden. Beispiele von Nutzenfunktionen Konvex: Risikofreude Konkav: Risikoaversion Linear: Risikoneutralität 28
Weitere Analyse der Risikoeinstellung: Untersuchung des Zusammenhang zwischen Risikoeinstellung und persönlichem Reichtum für konkrete Nutzenfunktionen (und deren positive Lineartransformationen) Ermittlung der Risikokennzahlen absolute Risikoaversion (ARA) und relative Risikoaversion (RRA) 29