Vorlesungsfolien Kosten

Institut für Allgemeine Wirtschaftsforschung Abteilung Sozialpolitik: Prof. Dr. G. Schulze Jahreskurs Mikroökonomie Teil 1 WS03/04 Vorlesungsfolien 08.01.2004 Nicholson, Walter, Microeconomic Theory Kapitel 12 Kosten XII/1

Definition: Kosten Unter Kosten (im ökonomischen Sinne) eines jeden Einsatzfaktors versteht man die erforderlichen Zahlungen, um den Faktor in seiner derzeitigen Verwendung zu erhalten. Man versteht unter Kosten auch die Entlohnung, welche ein Produktionsfaktor bei seiner bestmöglichen Alternativverwendung erzielen würde. Nicholson, S.299 XII/2

Zwei Vereinfachungen Zur Vereinfachung treffen wir folgende beiden Annahmen: 1) Es gebe nur zwei jeweils homogene Produktionsfaktoren Kapital K und Arbeit L (gemessen in Maschinenstunden und Arbeitsstunden). 2) Die beiden Einsatzfaktoren werden auf Märkten angeboten, die sich in vollständiger Konkurrenz befinden. Die Unternehmer kaufen L zum Preis w (Stundenlohn) und K zum Preis v. XII/3

Gewinn im ökonomischen Sinne: π Umsatz - Kosten P: Produktpreis q:produzierte Menge Pq wl vk Pf ( K, L) wl vk Kosten der eingesetzten Arbeit: L Anzahl der Arbeiterstunden w Stundenlohn des Arbeiters Kapitalkosten: z.b. Preis einer Maschine K Maschinenstundensatz v XII/4

Kostenminimaler Faktoreinsatz Mathematisch haben wir es hier mit einem Minimierungsproblem zu tun: Wir wollen die Kosten minimieren, um gegebenen Output q 0 zu produzieren(nebenbedingung). Lagrange-Ansatz l wl + vk + λ (1) l f w λ 0 L L [ q f ( K, )] 0 L (2) l K v λ f K 0 (3) l λ q0 f ( K, L) 0 XII/5

Teilt man (1) durch (2), so erhält man: w v f f L K GRTS LK... die Grenzrate der technischen Substitution L nach K. Kostenminimaler Faktoreinsatz ist also dann gegeben, wenn das Faktorpreisverhältnis der GRTS entspricht. Anders ausgedrückt: f / L f / K w v Die Grenzproduktivität des marginalen uros muss für beide Faktoren gleich sein. XII/6

Isokostengerade TK wl + 0 vk TK0 K v w v L TK: Gesamtkosten XII/7

Grafik 12.1: Kostenminimierung Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.302 XII/8

Grafik 11.2: Das duale Problem: Outputmaximierung TC totale Kosten Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.303 XII/9

Statt Kosten für gegebenen Output zu minimieren wird für gegebene Kosten ( TC 1 ) der Output maximiert. Optimierungsansatz: l D D q 0 f ( K, L) + λ ( TC1 wl vk) Waren im Kostenminimierungsproblem TC 1 die minimalen Kosten, zu denen q 0 produziert werden konnte (Nebenbedingung), so ist nun q 0 der maximale Output, der für gegebene Kosten TC 1 produziert werden kann. (Optimierter Wert der Zielfunktion und Nebenbedinung werden also im dualen Problem veranschaulicht. XII/10

Kostenminimale Faktorkombination Um die Kosten für einen gegebenen Output zu minimieren, muss die Firma an dem Punkt der Isoquante produzieren, bei dem die GRTS von L für K gleich dem Verhältnis der Inputpreise w/v ist. Bei dieser Faktorkombination, ist also das Verhältnis, mit dem L durch K substituiert werden kann (bei gleichem Output) gleich dem Verhältnis, mit dem L gegen K im Markt getauscht werden kann. q 0 XII/11

Komparative Statik der Faktornachfrage - analog zur Nutzentheorie? Nutzentheorie: Wie wirken Veränderung eines Güterpreises auf das optimale Konsumbündel? Ableitung der Nachfragekurve Produktions- und Kostentheorie: Faktornachfragen sind abgeleitete Nachfragen für gegebenen Output. Um die komparative Statik bezüglich eines Faktorpreises zu ermitteln, müssen wir analysieren, wie sich der Output infolge der Faktorpreisvariation verändert. XII/12

Expansionspfad Ein Unternehmen kann den Optimierungsprozess (Kostenminimierung bei gegebenem Output) für mehrere Outputniveaus machen. Die Verbindung aller Optima stellen dann den Expansionspfad dar. (Merke: v und w sind konstant entlang des Pfades.) XII/13

Grafik 11.3: Expansionspfad Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.304 XII/14

Grafik 11.4: Faktorinferiorität Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.305 XII/15

Bsp 12.1: Kostenminimierung im Cobb-Douglas Fall Wir greifen wieder unser Beispiel 11.3 auf: Produktionsfunktion: Kostenfunktion: 0,5 q 10K L TC vk + 0,5 wl Kostenminimierung für ein Produktionsvolumen von 40: Lagrangeansatz: BEO: l l K l L l λ vk + wl + λ(40 10K 0 L v λ5( L / K ) w λ5( K 40 10K / L) 0,5 L 0,5 0,5 0,5 0 0 0,5 0,5 ) XII/16

Wenn wir wieder die erste B.E.O. durch die zweite B.E.O. teilen, erhalten wir: w v K L GRTS Wären jetzt vw4, könnten wir mit einem Einsatz von KL4 einen Output von 40 Einheiten zu einem Preis von 32 erzielen. Jede andere Inputkombination, die 40 Einheiten Output generiert, würde höhere totale Kosten implizieren. Expansionspfad? Wie bereits gezeigt haben wir im Cobb-Douglas-Fall konstante Skalenerträge, so dass der Expansionspfad durch eine Ursprungsgerade dargestellt werden kann. XII/17

Kostenfunktionen Definition: Gesamtkosten Die (Gesamt-)Kostenfunktion gibt uns für jedes Outputniveau und jede Faktorpreiskombination die entsprechenden minimalen Gesamtkosten (TK) an. TK TK( v, w, q) Zentrale Fragen: Wie ändern sich die Gesamtkosten - mit steigendem Output? - mit veränderten Faktorpreisen? XII/18

Grenz- und Durchschnittskosten Durchschni ttskosten DK ( v, w, q) TK ( v, w, q) q Grenzkosten GK ( v, w, q) TK ( v, w, q) q Sowohl Durchschnitts als auch Grenzkosten hängen vom Outputniveau und von den Inputpreisen ab. XII/19

Grafik 12.5: Konstante Skalenerträge Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.309 XII/20

Graphische Analyse Grafik 12.5a zeigt den Fall proportionaler Gesamtkosten (relativ zum Output). Dies ist eine Folge der konstanten Skalenerträge. Um eine Einheit an Output zu erzeugen benötigen wir: TK ( q 1) vk + wl Und entsprechend für m Einheiten: TK ( q m) vmk1 + wml1 m( vk1 + wl1 ) m TK ( q 1) 1 1 Für den linearen Verlauf der Gesamtkostenkurve ohne Fixkosten (Grafik 12.5a) sind DKGK. XII/21

Grafik 12.6: Ertragsgesetzlicher Verlauf (ohne Fixkosten) Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.310 XII/22

Intuition für den ertragsgesetzlichen Verlauf: Existenz eines fixen Faktors Einsatz der variablen Produktionsfaktoren (K,L) wächst zunächst in ein günstiges, später in ein ungünstiges Verhältnis hinein. Alternativ: Zunächst hat die Unternehmung Vorteile der Massenproduktion, später erfährt sie Ineffizienzen aufgrund zu hoher Betriebsgröße. XII/23

Veränderungen der Kostenkurven durch: - Veränderung der Faktorpreise - Veränderung der Technologie XII/24

1) Änderung der Faktorpreise a) Homogenität Die Kostenfunktion ist linear-homogen in allen Inputpreise. Die minimalen Gesamtkosten zur Produktion der Menge seien: TK + 1 vk1 wl1 Wir erhöhen jetzt v und w um den Faktor t und erhalten die neuen Gesamtkosten q 1 ( vk ) 1 + wl1 1 TK + TK ' 1. 1' tvk1 twl1 t ttk XII/25

Daraus folgt, dass auch DK und GK homogen vom Grade 1sind: TK ' ttk TK' TK DK ' t q q tdk TK' TK GK ' t q q tgk XII/26

b) Nur ein Faktor-Preis ändert sich 1) Qualitativer Effekt auf TK,DK,GK 2) Stärke des Substitionseffekts zwischen den Faktoren 3) Quantitativer Effekt auf TK,DK,GK 1) Vorzeichen des Effekts: Eine Preiserhöhung erhöht die Gesamtkosten für alle Produktionsniveaus (mindestens sinken die TK nicht). Wäre diese Annahme verletzt, befänden wir uns in der Ausgangssituation nicht im Kostenminimum. Dieses Argument gilt auch für die Durchschnittskosten (DK). Durch eine Preiserhöhung steigen sie ebenso. (vgl. Fußnote 8 auf Seite 313 in Nicholson!) XII/27

Für die Grenzkosten kann der Effekt unterschiedlich ausfallen. Im seltenen Fall inferiorer Produktionsfaktoren, könnte die Preiserhöhung für einen inferioren Faktor zu einem Absinken der Grenzkosten führen. Für nicht inferiore Produktionsfaktoren steigen die GK infolge der Faktorpreiserhöhung (normaler Fall). Hier findet erneut das Envelope-Theorem Anwendung: GK TK q l q λ GK v 2 l v q 2 l q v K q l v K Young-Theorem Das Vorzeichen ist positiv (negativ) falls K ein normaler (inferiorer) Faktor ist. XII/28

im einzelnen: TK min wl + vk u. d. B. q0 f ( K, L) l wl + vk + λ ( q f ( K, )) 0 L l q λ l v K 2 l v q K q XII/29

2) Substitutionseffekte: Durch Preissteigerung eines Faktors werden die anderen Faktoren relativ billiger, das veranlasst den kostenminimierenden Unternehmer, einzelne Produktionsfaktoren durch andere teilweise zu ersetzen. Also ändert sich das Faktoreinsatzverhältnis K/L. Eine Maßgröße für die Reaktion des Faktoreinsatzverhältnisses auf eine Veränderung des Faktorpreisverhältnisses ist: K L w v s ( K / L) ( w/ v) w K / / v L ln ln s Substitutionselastizität ( K / L) ( w/ v) XII/30

2a) Partielle Substitutionselastizitäten Die Partielle Substitutionselastizität zwischen zwei Produktionsfaktoren X, zu den Faktorpreisen w, w ist definiert als: s ij i X j ( X ) i / X j w j / wi ln( X i / X j ( w / w ) X / X ln( w / w ) j i i Ceteris paribus Annahme: Alle anderen Preise sind kostant. Partielle Substitutionselastizität bedeutet, dass sich andere Faktoreinsatzmengen ebenfalls ändern können, aber nicht weiter betrachtet werden. Bsp: Man möchte untersuchen, wie sich eine Energiepreiserhöhung auf Einsatzverhältnis von Energie zu Kapital auswirkt (unter der Annahme, dass der Output konstant bleibt). Ob dieses Einsatzverhältnis steigt oder fällt, hängt letztlich davon ab, ob die beiden Faktoren Komplemente oder Substitute sind. j i j i j ) XII/31

3) Quantitativer Effekt auf TK,DK,GK... hängt davon ab, - welchen Anteil der betroffene Produktionsfaktor an den Gesamtkosten hat. - wie eng die Substitutionsbeziehung zu anderen Produktionsfaktoren ist. XII/32

2) Technischer Fortschritt Auch der technische Fortschritt beeinflusst die Kostenkurve, da die gleiche Menge mit weniger Input produziert werden kann. Im Falle konstanter Skalenerträge stellen sich unsere Kosten zum Zeitpunkt t0 wie folgt dar: TK 0 TK0( q, v, w) K0( v, w) q K0( v, w) sind die Stückkosten XII/33

Bilden wir den technischen Fortschritt mit Hilfe des Terms A(t) mit der bekannten Gleichung 11.44 q A( t) f ( K, L) mit [ A( 0) 1und A' > 0], so betragen die Kosten einer Einheit zum Zeitpunkt t: TK K0( v, w) K t ( v, w) A( t) ( q, v, w) K ( v, w) q TK0 / A( t) t t Die totalen Kosten fallen über die Zeit mit der Rate des technischen Fortschritts A(t). Der technische Fortschritt ist in diesem Falle als neutral modelliert. Er wirkt sich nicht auf das Faktoreinsatzverhältnis aus. XII/34

Bsp 12.2: Cobb-Douglas Produktions Funktion Bei Kostenminimierung ergab sich folgende Optimalitätsbedingung: w v K L Wir nutzen folgende Produktionsfunktion... 0,5 q 10K L 0,5...und teilen sie durch K: q K L 10 K 0,5 XII/35

...setzen die Bedingung für den optimalen Faktoreinsatz im Cobb-Douglas-Fall ein, und erhalten: q K v 10 w 0,5 K q 0,5 w v 10 0,5 q vk w 10 0,5 v 0,5 Analog erhalten wir: q wl 10 w 0,5 v 0,5 XII/36

Es gilt: TK vk + 0,5 wl TK 0,2w v 0,5 Wenn zum Beispiel wv4 betragen, so ergeben sich die Gesamtkosten zu: TK 0, 8q Auch hier benötigen wir 32 um 40 Mengeneinheiten Output herzustellen. XII/37

Im Falle konstanter Skalenerträge sind DK und GK konstant und gleich: DK TK q 0,8 GK TK q 0,8 Die Grenz- und Durchschnittskosten zur Produktion pro Einheit an Output betragen also 0,8. Ändert sich jetzt der Preis eines Inputs, z.b. v9, so ergeben sich die Gesamtkosen zu: 0,5 0,5 TK 0,2qw v 1, 2q XII/38

Erweitern wir dieses Modell nun um den technischen Fortschritt, verändert sich die Gleichung beispielsweise so: q A( t) f ( K, L) e 0,05t f ( K, L) TK zu jedem Zeitpunkt t sind dann: TK t TK 0,05t 0,05t 0 A( t) e TK0 e 2 [ ] 0,5 0,5 0, qw / v Für t10: wv4: 10,607TK0 0, 121 0,5 TK 0 qw v w4, v9: 0,5 TK10 0, 48q TK10 0, 73q XII/39

Langfristige und Kurzfristige Analyse Kurzfristig Wir gehen davon aus, dass in der kurzen Frist der Kapitalstock unveränderbar die Höhe K 1 hat. Nur der Einsatz an Arbeit (L) kann variiert werden: q f ( K1, L) Für die totalen Kosten (TK) gilt zwar nach wie vor die selbe Formel, allerdings ist K jetzt fest: TK vk + kurzfristi ge TK vk1 + wl wl XII/40

Fixe vs. variable Kosten In unserem Beispiel beschreibt der erste Term die (in der kurzen Frist) fixen Kosten, da K kurzfristig nicht variiert werden kann. Die variablen Kosten wl können durch eine Änderung des Einsatzes an Arbeit verändert werden: Kurzfristige totale Kosten: KTK vk1 + Fixe Kosten wl Variable Kosten Merke: Fixe Kosten fallen auch dann an,wenn nichts produziert wird. Wie in der folgenden Grafik 12.7 gezeigt, befinden wir uns in der kurzen Frist i.a. nicht im Optimum. Da K fix ist, kann eine Unternehmung keine Kostenminimierung betreiben, indem sie das optimale Einsatzmengenverhältnis (K/L) ermittelt: XII/41

Grafik 12.7: Kosten in der kurzen Frist STCKTK Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.320 XII/42

Grenzkosten und Durchschnittskosten in der kurzen Frist Kurzfristige Durchschnittskosten: TK KDTK Output KTK q Kurzfristige Grenzkosten: KGK Veränderung der TK Veränderung des Output KTK q Beide sind definiert für einen gegebenen Bestand des kurzfristig fixen Faktors (hier Kapital). XII/43

Durchschnittliche Fixkosten und durchschnittliche variable Kosten in der kurzen Frist Manchmal kann es in der kurzen Frist sinnvoll sein, zwischen variablen und fixen Durchschnittskosten zu unterscheiden: totale Fixkosten KDFK Output KFK q totale variable Kosten KDVK Output KVK q XII/44

Grafik 12.8: Kurzfristige Gesamtkostenkurven für unterschiedliche Einsatzmengen des fixen Faktors K0, K1, K2 Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.322 XII/45

Beziehung zwischen langfristiger und kurzfristiger Kostenkurve Die langfristige Gesamtkostenkurve liegt unterhalb der kurzfristigen Gesamtkostenkurve und berührt diese nur bei dem Outputniveau, für das der fixe Kapitalbestand dem kostenminimalen Kapitaleinsatz entspricht (z.b.ist optimal für bei gegebenen Faktorpreisen). q K0 0 XII/46

Kurzfristige Gesamtkosten KTK KTK ( q, K ) Im Optimum sind KTK minimal, d.h. KTK ( q, K K) 0 Variiert man K so, dass für jedes q die kurzfristige Gesamtkostenkurve minimiert wird (s.o.) und verbindet die sich ergebenden Optima, so erhält man die langfristige Kostenkurve. XII/47

Grafik 12.9: DK und GK für die ertragsgesetzliche Kostenfunktion Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.323 XII/48

Stückkostenkurve In Grafik 12.8 wird gezeigt, wie die langfristige Kostenkurve die kurzfristigen Kostenkurven umhüllt ( envelope ). Der geometrische Zusammenhang zwischen GK und DK in kurzer und langer Frist wird in Grafik 12.9 für die ertragsgesetzliche Kostenkurve dargestellt. Im Punkt sind langfristige GK und DK gleich. Hier gilt: q 1 DK GK KDTK KGK XII/49

Kurz- und langfristige Gesamtkosten für 0,5 0,5 q 10K L und w v 4 q KTK(K1) KTK(K4) KTK(K9) TK 0 4,00 16,00 36,00 0,00 10 8,00 17,00 36,44 8,00 20 20,00 20,00 37,78 16,00 30 40,00 25,00 40,00 24,00 40 68,00 32,00 43,11 32,00 50 104,00 41,00 47,11 40,00 60 148,00 52,00 52,00 48,00 70 200,00 65,00 57,78 56,00 80 260,00 80,00 64,44 64,00 90 328,00 97,00 72,00 72,00 100 404,00 116,00 80,44 80,00 Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.325 XII/50

Bsp 12.3: Kurzfristige Kosten bei Cobb-Douglas-PF Produktionsfunktion: 0,5 1 q 10K L 0,5 q 0,5 10 L K1 wq KTK vk1 + wl vk1 + 100K Sei K4: K sei fix, nur L variiert mit der Produktionsmenge 2 2 1 KTK 4v + 2 wq 400 XII/51

Ableitung der langfristigen Kostenkurve durch ihre Eigenschaft als Umhüllende (Envelope) der kurzfristigen Kostenkurven für wv4 gilt: KTK 4K + 2 4q 100K Durch Ableiten nach K erhalten wir: KTK K 2 4q 4 100K Da wir die kurzfristigen TK minimieren, muss die Ableitung nach K Null sein und wir erhalten durch Umformen den folgenden Term: 2 4 2 4q 100K 2 XII/52

Der (fixe) Kapitalstock, für den bei gegebenen Faktorpreisen die kurzfristigen Kosten minimal sind, genügt also der Gleichung: Durch Einsetzen in unsere Ausgangsgleichung für die kurzfristigen 2 4q Gesamtkosten KTK 4K + ergibt sich dann: 100K K q 10 TK 0,4q + 0,4q 0, 8q, was mit der langfristigen Kostenfunktion aus Beispiel 12.2 übereinstimmt. XII/53

Grafik 12.10: Kurz- und Langfristige DK und GK 0,5 q 10K L 0,5 Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.326 XII/54